Metode Newton merupakan salah satu metode yang dapat mencari persamaan nonlinear dengan syarat untuk suatu . Penelitian ini bertujuan mengkonstruksi metode baru dengan memodifikasi metode Newton dengan persamaan Newton-Cotes Kuadratur menggunakan metode Trapesium orde dua untuk menghampiri integral. Hasil penelitian ini diperoleh tipe baru metode Newton dengan konvergensi kubik untuk mencari akar persamaan nonlinear

Kiftiah, Mariatul

Partiwi, Woro Budiartini

Yudhi, Yudhi

Universitas Bangka Belitung: Open Journal Systems

 Prosiding Seminar Nasional Penelitian & Pengabdian pada Masyarakat TIPE BARU METODE NEWTON UNTUK MENCARI AKAR PERSAMAAN NONLINEAR Yudhia, Woro Budiartini Partiwi, dan Mariatul Kiftiah  Universitas Tanjungpura  Pontianak, Kalimantan Barat, 78124 a)E-mail: dhye_dhoank@yahoo.co.uk ABSTRAK Metode Newton merupakan salah satu metode yang dapat mencari persamaan nonlinear dengan syarat         untuk suatu    . Penelitian ini bertujuan mengkonstruksi metode baru dengan memodifikasi metode Newton dengan persamaan Newton-Cotes Kuadratur menggunakan metode Trapesium orde dua untuk menghampiri integral. Hasil penelitian ini diperoleh tipe baru metode Newton dengan konvergensi kubik untuk mencari akar persamaan nonlinear. Kata kunci: Newton-Cotes Kuadratur, Galat, Konvergensi  PENDAHULUAN Analisis numerik merupkan salah satu cabang matematika yang banyak diaplikasikan kebidang teknik, fisika dan ilmu sains lainnya. Permasalahan di kehidupanya nyata banyak berhubungan dengan persamaan nonlinear. Penyelesaian persamaan nonlinear adalah salah satu masalah yang penting dalam analisis numerik. Metode penyelesaian dari persamaan nonlinear ada dua metode, yaitu metode tertutup dan terbuka. Metode terbuka terdiri dari metode bagi dua, metode titik tetap dan metode posisi palsu. Kelebihan metode ini, yaitu nilainya yang selalu konvergen tetapi memerlukan banyak iterasi. Sedangkan metode terbuka terdiri dari metode Newton dan metode Secant, yang memiliki kekonvergenan lebih cepat dibandingkan metode tertutup. Namun, mempunyai kelemahan di kekonvergensiannya. Metode Newton merupakan salah satu metode terbuka yang mempunyai konvergensi kuadratik dengan syarat         untuk suatu bilangan    . Modifikasi metode Newton dengan menggunakan persamaan Newton-Cotes Kuadratur telah dilakukan beberapa peneliti, yaitu Weerakoon and Fernando (2000) dengan metode Trapesium orde satu untuk menghampiri integral, Frontini and Sormani (2003) dengan metode Midpoint untuk menghampiri integral, dan Homeier (2005) dengan metode Midpoint untuk menghampiri integral dan mencari fungsi invers. Oleh karena itu, penelitian ini memodifikasi metode Newton menggunakan persamaan Newton-Cotes Kuadratur dengan metode Trapesium orde dua untuk menghampiri integral. HASIL DAN PEMBAHASAN Metode Newton merupakan salah satu metode yang dapat mencari akar persamaan nonlinear dengan syarat         untuk suatu     yang mempunyai konvergensi kuadratik dengan formula sebagai berikut                                                            Penelitian ini mengkonstruksi tipe baru dari metode Newton, dengan memodifikasi metode Newton dengan menggunakan persamaan Newton-Cotes Kuadratur, yaitu                                        dan penelitian sebelumnya memodifikasi metode Newton menggunakan Persamaan (2), yaitu Weerakoon and Fernando (2000), Frontini and Sormani (2003) dan Homeier (2005). Penelitian ini menghampiri integral pada Persamaan (2) dengan metode Trapesium orde dua.                                                                                                                                      Teorema 1. Misalkan fungsi         terdiferensialkan pada   dan         untuk suatu     , maka Prosiding Seminar Nasional Penelitian & Pengabdian Pada Masyarakat                ISBN: 978-602-61545-0-7  74                                                                                                                                     Pangkalpinang, 7 Oktober 2017                        dimana            untuk      Bukti  Misalkan         . Deret Taylor       dan        disekitar    adalah                                             dan                                                  Maka                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 dan                                                                                            Deret Taylor dari                    dan        disekitar    adalah                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         Substitusikan Persamanan (6), (7), (8) dan (9) dan          ke Persamaan (5), diperoleh                                                                                     Berikut ini hasil simulasi numerik dari Metode Newton (NM), Metode Homeier (HM), Metode Weerakoon and Fernando (WFM) dan metode yang diperoleh dari penelitian ini, yaitu Tipe Baru Metode Newton(TBMN) dengan toleransi galat       dari berberapa fungsi berikut:                                                                                                                                                                                                            Tabel 1. Perbandingan jumlah iterasi dari beberapa metode         Iterasi TBMN HM WFM NM       4,0  5 31 7 29       1,8 4 4 4 6       0,0 3 3 3 5       4,0 4 4 5 7       3,2 5 5 5 8 KESIMPULAN Berdasarkan hasil dan pembahasan bahwa metode yang dperoleh dari modifikasi metode Newton dapat mencari akar persamaan nonlinear dengan dengan konvergensi kubik. REFERENSI Ababneh, O. Y. 2012. New Newton’s Method with Third-order Convergence for Solving Nonlinear Equations. Inter. J. Math. Comput. Phys. Electrical and Computer Engineering,6 (1), pp. 118-120. Frontini, M. and Sormani, E. 2003. Some variants of Newton’s method with third-order convergence, J.Comput.Appl. Math., 140 (2-3), pp. 419–426. Frontini, M. and Sormani, E. 2004. Third-order methods from quadrature formulae for solving systems of nonlinear equations. Appl. Math.Comput. 149 (3), pp. 771–782. Ghanbari, B. 2012. Three-Step Iterative Methods with Sixth-Order Convergence for Solving Nonlinear Equations. Walailak J. Sci. & Tech., 9 (3), pp. 249-253. ISBN: 978-602-61545-0-7                Prosiding Seminar Nasional Penelitian & Pengabdian Pada Masyarakat    Pangkalpinang, 7 Oktober 2017                                                                                                                                              75 Hasanov, V.I., Ivanov, I. G. and Nedjibov, G. 2002. A New Modification of Newton’s Method. Applied Mathematics and Engineering, 27, pp. 278-286. Homeier, H.H.H. 2003. A Modified Newton Method for Rootfinding With Cubic Convergence. J. Comput. Appl. Math., 157 (1), pp. 227–230. Homeier, H.H.H. 2004. A Modified Newton Method with Cubic Convergence: The Multivariate Case. J. Comput. Appl. Math., 169 (1), pp. 161–169. Homeier, H.H.H. 2005. On Newton-Type Methods with Cubic Convergence. J.Comput.Appl.Math., 176 (2), pp.  425–432. Kou, J., Li, Y. and Wang, X. 2006. A Modification of Newton Method with Third Order Convergence. Applied Mathematics and Computation, 181 (2), pp. 1106-1111. Mirzaee, F. and Hamzeh, A. 2014. A Sixth Order Method for Solving Nonlinear Equations. Inter. J. Math. Mode. Comput., 4 (1), pp. 55-60. Oghovese, O. and Johnson, A.O. 2014. New Two-Step Method with Fifth-Order Convergence for Solving Nonlinear Equations. Inter. J. Math. Stat. Invention, 2 (10), pp. 24-27. Weerakon, S. and Fernando, T.G.I. 2000. A Variant of Newton’s Method with Accelerated Third Order Convergence. Applied Mathematics Letters, 13 (8), pp. 87-93.  

TIPE BARU METODE NEWTON UNTUK MENCARI AKAR PERSAMAAN NONLINEAR

http://journal.ubb.ac.id/index.php/snppm/article/download/500/445

TIPE BARU METODE NEWTON UNTUK MENCARI AKAR PERSAMAAN NONLINEAR

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Universitas Bangka Belitung: Open Journal Systems