El propósito de este taller es mostrar como con el uso del cabrí, y laconstrucción de algunos fractales (conjunto de Cantor, el triángulo deSierpinski y el copo de nieve de Von Koch) se pueden identificar patronesnuméricos y/o geométricos. Estas actividades preparan a los estudiantespara la construcción de la expresión algebraica a través de la formulaciónverbal de una regla recursiva que muestre cómo construir los términossiguientes a partir de los precedentes y el hallazgo de un patrón quelos guíe más o menos directamente a la expresión algebraica. Esta es unaforma muy apropiada de preparar el aprendizaje significativo y comprensivode los sistemas algebraicos y su manejo simbólico para mejorar elproceso de transición de la Aritmética al Algebra

Puerto Monterroza, Jose Francisco

Universidad Distrital de la ciudad de Bogotá: Open Journal Systems

REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica 665el uSo de loS fraCtaleS para potenCiar el deSarrollo del penSamiento algeBraiCo-variaCional a travéS del Software CaBrí “del penSamiento numériCo al penSamiento algeBraiCo-variaCional”El uso de los fractales para potenciar el desarrollo del pensamiento algebraico-variacional a través del software cabrí “Del pensamiento numérico al pensamiento Algebraico-Variacional”1The use of fractals to enhance the development of algebraic thinking-variational through Cabri “From thought to thought Algebraic-numerical variational”O uso de fractais para melhorar o desenvolvimento do pensamento algébrico-variacional através Cabri “de pensamento a pensamento variacional Algébrica-numérico”Jose Francisco Puerto Monterroza2ResumenEl propósito de este taller es mostrar como con el uso del cabrí, y la construcción de algunos fractales (conjunto de Cantor,  el   triángulo de Sierpinski y el copo de nieve de Von Koch) se pueden identificar patrones numéricos y/o geométricos. Estas actividades preparan a los estudiantes para la construcción de la expresión algebraica a través de la formula-ción verbal de una regla recursiva que muestre cómo construir los térmi-nos siguientes a partir de los precedentes y el hallazgo de un patrón que los guíe más o menos directamente a la expresión algebraica. Esta es una forma muy apropiada de preparar el aprendizaje significativo y compren-sivo de los sistemas algebraicos y su manejo simbólico para mejorar el proceso de  transición de la Aritmética al Algebra.Palabras clave: Patrones numéricos; generalización; sistemas algebraicos; expresión algebraica; matemáticas escolares; geometría; fractales; aula; recursos didácticos; recursos informáticos; software.AbstractThe purpose of this workshop is to show how to use Cabri, and the cons-truction of some fractals (Cantor set, the Sierpinski triangle and snowflake Von Koch) number patterns can be identified and / or geometric. These activities prepare students for the construction of the algebraic expression through verbal formulation of recursive rule that shows how to build the following terms from the preceding and the finding of a pattern to guide more or less directly to the algebraic expression. This is a very appropriate way to prepare meaningful learning and understanding algebraic systems and symbolic management to improve the transition from arithmetic to algebra.1 Artículo de Investigación. 2 Universidad De Sucre Sincelejo-Sucre, Colombia. Contacto: jopuermon@gmail.comRecibido: mayo de 2013Aceptado: agosto de 2013REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica666Jose FranCisCo puerto monterrozaKeywords: Number Patterns; generalization algebraic systems; algebraic expression; school mathematics, geometry, fractals, classroom teaching resources, computing resources, software.ResumoO objetivo deste workshop é mostrar como usar o Cabri, ea construção de alguns fractais (Cantor set, o triângulo de Sierpinski e floco de neve Von Koch) padrões de número podem ser identificados e / ou geomé-trica. Essas atividades preparar os alunos para a construção da expressão algébrica através da formulação verbal de regra recursiva que mostra como construir os seguintes termos da anterior eo achado de um padrão para orientar mais ou menos diretamente à expressão algébrica. Esta é uma maneira muito apropriada para se preparar de aprendizagem e com-preensão significativa de sistemas algébricos e gestão simbólica para mel-horar a transição da aritmética para a álgebra.Palavras-chave: padrões numéricos, sistemas de generalização algébricas; expressão algébrica, a matemática escolar, geometria, fractais, recursos de ensino em sala de aula, recursos de computação, de software.Introducción“La exposición repetida de construcciones de for-mulas, como expresiones que explicitan un patrón de variación, ayuda a los estudiantes a comprender la sintaxis de las expresiones algebraicas que apa-recerán después en el estudio del algebra”. Demana (1990).Diferentes investigaciones realizadas en los últimos años (TIMSS, PISA, etc) develan las dificultades que presentan los estudiantes de los primeros nive-les de la educación secundaria cuando se enfrentan a problemas algebraico, manipulación de expresio-nes algebraicas y significación de éstas, interpreta-ción de información dada en  distintos lenguajes (gráficos, tabulares, algebraicos) y  solución de problemas de cambio y variación, entre otros. Esto se debe quizás a que el  currículo durante los pri-meros grados está basado solamente en el estudio de la aritmética, y que tópicos como el Algebra, que podrían ayudar a los estudiantes a desarro-llar destrezas de pensamiento como: observar, analizar, conjeturar, generalizar, etc., son reserva-dos para ser estudiados en los grados superiores. Además,  la aritmética  frecuentemente se enfoca en los resultados de los procesos de cálculo más que en los aspectos relacionales y estructurales, oponiéndose así al reconocimiento de las reglas del álgebra, que constituyen expresiones que expresan generalidades, donde los patrones que se observan aparecen en las mismas colecciones de números, y en las operaciones comunes que se hacen con estos números o como modelos que describen situaciones.  El hecho de que el álgebra pueda ser vista como la formulación y manipulación de proposiciones generales sobre los números, hace que la experien-cia previa que el estudiante ha tenido  con la estruc-tura de expresiones numéricas en la escuela, tenga efecto sobre la habilidad para asignarle sentido a esta. Por esto el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de Estados Unidos (NCTM), esta-blece que se deben propiciarse actividades que involucren la generalización  de patrones  numé-ricos para modelar, representar o describir patro-nes físicos, regularidades y patrones que se hayan observado. Estas exploraciones informales de con-ceptos algebraicos deben contribuir a que el estu-diante adquiera confianza en su propia capacidad de abstraer relaciones a partir de información con-textual y de utilizar toda una gama de representa-ciones para describir dichas relaciones.  Cuando los estudiantes elaboran gráficas, tablas de datos, expresiones,  ecuaciones o descripciones verbales REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica 667el uSo de loS fraCtaleS para potenCiar el deSarrollo del penSamiento algeBraiCo-variaCional a travéS del Software CaBrí “del penSamiento numériCo al penSamiento algeBraiCo-variaCional”para representar una relación simple, descubren que representaciones diferentes dan lugar a dife-rentes interpretaciones de una situación.Esta propuesta se fundamenta en lo descritos anteriormente y se plantean actividades de gene-ralización de patrones numéricos, geométricos y de leyes y reglas de tipo natural o social que rigen los números y las figuras; se involucra la visuali-zación, exploración y manipulación de los núme-ros y las figuras en los cuales se basa el proceso de generalización como lo propone Mason (1992). Estas actividades preparan a los estudiantes para la construcción de la expresión algebraica a través de la formulación verbal de una regla recursiva que muestre cómo construir los términos siguientes a partir de los precedentes y el hallazgo de un patrón que los guíe más o menos directamente a la expre-sión algebraica. De esta manera, el pensamiento algebraico surge como generalización del trabajo aritmético con modelos numéricos en situaciones de variación.  Marco teóricoLa  generalidad es un aspecto central en la activi-dad matemática, a todo nivel, y, a la cual se puede retornar una y otra vez, cualquiera que sea el tema particular de discusión. Las matemáticas compren-den muchas generalizaciones, ya sea que tomen forma de métodos, procedimientos, o de fórmulas, y estas pueden ser vistas como originándose de la misma manera que las propias generalizaciones de los patrones, hechas por los alumnos. La generalización es uno de los procesos que ocu-rren en cualquier nivel del pensamiento mate-mático y que está incluido en uno más global, el proceso de abstraer, “To generalize is to derive or induce from particulars, to identify commonalities, to expand domains of validity” (Dreyfus, 1991, p. 35). La generalización es fundamental para el desa-rrollo del pensamiento matemático y algebraico, es base de la abstracción (Mason, 1985), es indu-dable entonces la importancia de su tratamiento. Está relacionada con otros procesos propios de la actividad matemática, que podrían denomi-narse más particulares como: inducir, observar, descomponer, hacer analogías e identificar caracte-rísticas comunes. Y debe pasar por varias etapas; a saber: La percepción de un patrón, la expresión del patrón, el registro del patrón y la prueba de validez del patrón (Mason, Socas, Sessa, Butto y Rojano).Por otra parte las reglas del álgebra constituyen expresiones que expresan generalidades, pero los patrones que se observan aparecen en las mis-mas colecciones de números, y en las operaciones comunes que se hacen con estos números o como modelos que describen situaciones. El álgebra es el lenguaje con que se expresa dicha generalidad. Para aprender el lenguaje del álgebra es necesario tener algo que decir, se debe percibir algún patrón o regularidad y luego tratar de expresarlo en forma sucinta, para poder comunicarlo a alguien.  (Rutas hacia el álgebra. John Mason y otros, 1999). Es así como el mayor reto en la enseñanza del álgebra es promover la percepción de la “generalidad” que esta detrás de los símbolos, para lo cual es nece-sario ampliar la notación del lenguaje aritmético y utilizar las propiedades características de los sis-temas numéricos. De esta manera, el pensamiento algebraico surge como generalización del trabajo aritmético con modelos numéricos en situaciones de variación.Una manera propicia de experimentar con pro-cesos de generalización y búsqueda de patrones, entre otros, es aprovechar las posibilidades que brindan la incorporación de las TICs en el aula y muy especialmente el software de geometría diná-mica CABRI, por que permite: el descubrimiento, la experimentación, la exploración, la construc-ción de modelos, la formulación de hipótesis, la demostración, la responsabilidad, la creatividad, el análisis, el trabajo colaborativo, en fin la actividad del estudiante sobre el objeto-conocimiento desde diferentes aristas (Cervantes &   Viquez, 1994, 144), es decir, ver la matemática de una manera mas activa y dinámica: la matemática experimental.Este taller se fundamenta en este software y en la hoy naciente GEOMETRÍA FRACTAL,  que es una poderosa herramienta que permite modelar fenó-menos impredecibles y fascinantes de la naturaleza y que fue dada a conocer al mundo en los años setenta por Benoît Mandelbrot. El término fractal REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica668Jose FranCisCo puerto monterrozafue acuñado por el y hace referencia a la idea de “partido” o “fracturado”. Como característica fun-damental se considera la autosemejanza o autosi-milaridad de su forma, la reiteración o iteración en la formación de su modelo, la dimensión que intenta describir su tamaño o densidad y el con-cepto de atractor para caracterizar la figura cuando el proceso de iteración tiende al infinito. Esta idea es suficiente para pensar en figuras que, por ejem-plo, tienen área finita y perímetro infinito. Quizás algunos conjuntos ya clásicos puedan resultar familiares, y que podrían servir de ejemplos bas-tante sencillos para estas características (como el conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpinski, o la curva de Koch). Cabe indicar que este trabajo se centra mas en las regularidades numéricas que se presentan entre los elementos constitutivos del fractal, que en la construcción formal de los con-ceptos fractales. El trabajo con  actividades sobre  reconocimiento de patrones y su generalización, proporciona la oportunidad de acordar nuevas formas de comu-nicación en las que prevalece y se le da sentido al lenguaje algebraico como una forma sucinta para expresar conjeturas, y someterlas a verificación y refutación. Las actividades planteadas sobre gene-ralización, posibilitan el desarrollo de habilidades como la predicción y la sistematización, las cua-les se deben explicitar, para propiciar la discusión sobre su  importancia no solo en las matemáticas sino en situaciones cotidianas.El propósito de este proyecto de aula es mostrar como con el uso del Cabrí, y a través de la mani-pulación de objetos geométricos y la identificación de regularidades numéricas, se puede mejorar el tratamiento del proceso de  transición de la Aritmética al Algebra, trabajando dos aspectos centrales: el desarrollo del Pensamiento Numérico y el Pensamiento Algebraico. Metodologia La metodología a utilizar en este taller esta funda-mentada en el uso del software de geometría diná-mica Cabrí, y la inmersión en el fascinante mundo de los fractales que permite a través   de construc-ciones geométricas modelar y explorar problemas que conllevan a desarrollar en los alumnos los pen-samientos matemáticos. Se hace la construcción de algunos fractales como el conjunto de Cantor,  el triángulo de Sierpinski y el copo de nieve de Von Koch y se identifican las regularidades numéricas que se presentan entre los elementos constitutivos del fractal, se registran estos resultados para así poder determinar su expresión algebraica. Esta es una forma muy apropiada de preparar el apren-dizaje significativo y comprensivo de los sistemas algebraicos y su manejo simbólico. Objetivo general•	 Favorecer un acercamiento significativo a conceptos fundamentales del álgebra como expresiones algebraicas y ecuaciones, desde actividades funcionales y de generalización.Objetivos específicos•	 Fomentar el uso de las TICs en el desarrollo de los procesos de aula.•	 Propiciar en los estudiantes el desarrollo de competencias para: observar, medir, valorar, analizar e interpretar situaciones  numéricas.•	 Desarrollar en los estudiantes competencias para: ver relaciones y establecer conexiones, hacer predicciones y  generalizaciones, hasta llegar a la modelización y la formalización de leyes•	 Fomentar el desarrollo del razonamiento inductivo-deductivo.•	 Propiciar el desarrollo de la competencia comunicativa.•	 Crear espacios para el trabajo cooperativo.•	 Mejorar los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas.Resultados que se esperan obtenerAfianzar la comprensión de las operaciones mate-máticas básicas. El desarrollo de valores como: la autoestima, la res-ponsabilidad, la autonomía, la solidaridad, la crea-tividad y el emprendimiento.REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica 669el uSo de loS fraCtaleS para potenCiar el deSarrollo del penSamiento algeBraiCo-variaCional a travéS del Software CaBrí “del penSamiento numériCo al penSamiento algeBraiCo-variaCional”La ceración de nuevas ideas a partir de lo concreto para interiorizar conceptos abstractos.El desarrollo de competencias para la identifica-ción de regularidades numéricas para su generali-zación y modelación.Familiarizar al estudiante con el manejo del len-guaje gráfico-tabular-algebraico.Desarrollar en los alumnos habilidades de orden superior como explorar, conjeturar, razonar, reflexionar y comunicar matemáticamente, así como habilidad para usar efectivamente sus habi-lidades cognitivas y metacognitivas en la solución de problemas rutinarios.Minimizar las deficiencias que se presentan en el proceso de transición de la aritmética al algebra.Fomentar el trabajo cooperativo.Estandares de calidad a  desarrollar1. Pensamiento numérico y sistemas numéricosReconocer significados del número en diferentes contextos (medición, conteo, comparación, codifi-cación, localización, etc).Identificar regularidades y patrones numéricos, las propiedades de los números, sus   relaciones y operaciones utilizando calculadoras o computador. 2. Pensamiento espacial y sistemas geométricosDiferenciar atributos y propiedades de objetos bidimensionales y tridimensionales.Hacer conjeturas y verificar los resultados de apli-car transformaciones a figuras en el plano.3. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticosReconocer y describir regularidades y patrones en distintos contextos (numérico, geométrico, etc).Predecir patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica.Describir y representar situaciones de varia-ción relacionando diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas).Reconocer el conjunto de valores de una variable en situaciones concretas de cambio (variación).Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar conjeturas.Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas ReferenciasBriggs, J. (1994). Espejo y Reflejo: Del Orden al Caos. Barcelona: Gedisa.Guzmán, M. (1993). Estructuras Fractales y sus Aplicaciones. Barcelona: Labor.García, A. (1995). Nuevas Tecnologías y Enseñanza de Las Matemáticas. Madrid: Síntesis. Ministerio de Educación Nacional (1999). Nuevas Tecnologías y Currículo de Matemáticas. Bogotá: Punto Exe editores.Mason J. (1999). Rutas hacia el álgebra .Traducción por Cecilia Agudelo Valderrama. Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia   Ministerio de Educación Nacional. (2003). Estándares Básicos de calidad - Matemáticas.Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos curriculares - Matemáticas.Rosillo, N. (1997). Fractales con el Miniordenador TI-92. Madrid: Faster Soca, M. M., (1997): “Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las Matemáticas en la Educación Secundaria, cap. 5, pp. 113-141” en L. Rico y otros: La educación Matemática en la Enseñanza Secundaria. Ed. Horsori (en prensa)Soca, M. M., y otros (1989). Iniciación al Algebra. Síntesis. Madrid.Soca, M. M., y Palarea, M. M. (1987). Las fuen-tes de significado, los sistemas de represen-tación y errores en el algebra escolar. Uno, núm14, pp. 7-24. Barcelona

El uso de los fractales para potenciar el desarrollo del pensamiento algebraico-variacional a través del software cabrí “Del pensamiento numérico al pensamiento Algebraico-Variacional”

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