This paper presents a Neuro-Fuzzy system with defuzzification based on Boolean relations (DBR) for the prediction of Mackey-Glass chaotic time series. Initially, the Back-propagation training algorithm and use of DBR as a defuzzification method&nbsp;are explained. Later, time series is modeled with sixteen fuzzy If-Then rules, using the technique described. The results show a reduction in training time and computational calculations, compared with conventional Neuro-Fuzzy Networks.En este artículo se presenta un sistema neurodifuso con defuzificación basaba en relaciones booleanas (DBR) para la predicción de la serie de tiempo caótica Mackey-Glass. Inicialmente, se explica el algoritmo de entrenamiento retropropagación y la utilización del DBR como método de defuzificación. Posteriormente, se modela la serie de tiempo con dieciséis reglas difusas Si-Entonces, usando la técnica descrita. Los resultados obtenidos muestran una reducción del tiempo de entrenamiento y cálculo computacional, en comparación con las redes neurodifusas convencionales

Espítia Cuchango, Helbert Eduardo

Morales Laguado, Lina Cristina

Soriano Mendez, José Jairo

Visión electrónica

En este artículo se presenta un sistema neurodifuso con defuzificación basaba en relaciones booleanas (DBR) para la predicción de la serie de tiempo caótica Mackey-Glass. Inicialmente, se explica el algoritmo de entrenamiento retropropagación y la utilización del DBR como método de defuzificación. Posteriormente, se modela la serie de tiempo con dieciséis reglas difusas Si-Entonces, usando la técnica descrita. Los resultados obtenidos muestran una reducción del tiempo de entrenamiento y cálculo computacional, en comparación con las redes neurodifusas convencionales

Lina C. Morales L.

Helbert E. Espítia C.

José J. Soriano M.

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Sistema neurodifuso con defuzificación basado en relaciones booleanas (dbr) aplicado a series de tiempo mackey-glass

Universidad Distrital de la ciudad de Bogotá: Open Journal Systems

SISTEMA NEuROdIFuSO CON dEFuZIFICACIÓN bASAdO EN RELACIONES bOOLEANAS (dbR) APLICAdO A SERIES dE TIEMPO MACKEY-GLASSNEURO-FUZZY SYSTEM WITH DEFUZZIFICATION BASED IN BOOLEAN RELATIONS (DBR) APPLIED TO TIME SERIES MACKEY-GLASSLinA cristinA MorALEs LAGuAdo1 HELbErt EduArdo EsPítiA cucHAnGo2José JAiro soriAno MEndEz3rEcibido: MArzo 2009AProbAdo: JuLio 2009resumenEn este artículo se presenta un sistema neurodifuso con defuzificación basaba en relaciones booleanas (DBR) para la predicción de la serie de tiempo caótica Mackey-Glass. Inicialmente, se explica el algoritmo de en-trenamiento retropropagación y la utilización del DBR como método de defuzificación. Posteriormente, se modela la serie de tiempo con dieciséis reglas difusas Si-Entonces, usando la técnica descrita. Los resultados obte-nidos muestran una reducción del tiempo de entrenamiento y cálculo com-putacional, en comparación con las redes neurodifusas convencionales.1  Ingeniera Electrónica, investigadora del Grupo LAMIC (Laboratorio de Automática, Microelectrónica e Inteligencia     Computacional), Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Correo: linam_26@hotmail.com.2  Ingeniero Electrónico, Universidad Distrital. Ingeniero Mecatrónico, Universidad Nacional de Colombia. Especialis-    ta en Telecomunicaciones Móviles, Universidad Distrital. Investigador del Grupo LAMIC (Laboratorio de Automática,     Microelectrónica e Inteligencia Computacional), Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Correo:     heespitiac@unal.edu.co3  Ingeniero Químico, Universidad Nacional de Colombia. Ingeniero Electrónico, Universidad Distrital. Msc en Inge-    niería Industrial, Universidad Distrital. Investigador del Grupo LAMIC (Laboratorio de Automática, Microelectrónica     e Inteligencia Computacional), Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Correo: jjsorianom@unal.edu.coPalabras claveSistema neurodifuso, DBR, retropropagación, serie de tiempo, predicción, serie de tiempo Mac-key-Glass.AbstractThis paper presents a Neuro-Fuzzy system with defuzzification based on Boolean relations (DBR) for the prediction of Mackey-Glass chaotic time se-ries. Initially, the Back-propagation training algo-rithm and use of DBR as a defuzzification method 12Universidad distrital Francisco José de caldas  -  Facultad tecnológica13SiStEMA NEURodiFUSo coN dEFUZiFicAciÓN BASAdo EN RElAcioNES BoolEANAS (dBR) APlicAdo A SERiES dE tiEMPo MAcKEY-GlASSVISIÓN INVESTIGADORARevista Visión Electrónica  Año 3.  No. 1  pp. 12-18  Noviembre de 2009are explained. Later, time series is modeled with sixteen fuzzy If-Then rules, using the technique described. The results show a reduction in training time and computational calculations, compared with conventional Neuro-Fuzzy Networks.Key wordsNeuro-fuzzy system, DBR, back-propagation, time series, prediction Mackey-Glass time series.1.   INTROduCCIÓNExisten diferentes metodologías para construir la aproximación de un modelo de un sistema. Entre las técnicas más tradicionales se cuentan herramientas matemáticas convencionales, como las ecuaciones diferenciales, pero generalmente no se acomodan a sistemas que presentan cierto grado de incertidum-bre [12]. Sin embargo, los sistemas difusos pueden captar los aspectos cualitativos del razonamiento hu-mano sin tener que emplear análisis cuantitativos. En la actualidad se han realizado muchos estudios y aplicaciones de la lógica difusa que han llevado a un rápido progreso de esta teoría y han proporcionado una alternativa para enfrentar situaciones del mun-do real, no lineales, complejas y dinámicas [9].En los sistemas difusos, para ciertas aplicaciones, el defuzificador se torna un problema a la hora de realizar su implementación. Esto puede explicar-se porque tiene que efectuar cálculos complejos para encontrar la salida del sistema, y se demora un tiempo considerable, lo que hace que el diseño del algoritmo no sea tan sencillo [10], [11]. Enton-ces, el propósito del DBR es simplificar el proce-so de defuzificación, convirtiéndolo en un método sencillo de diseño e implementación. Los sistemas neurodifusos convencionales pre-sentan las características comunes a ambas tecnologías, se benefician por la transparencia para representar conocimiento propio de los sis-temas difusos y por la capacidad de aprender y adaptarse propia de las redes neuronales. Por otra parte, tanto las redes neuronales como los sistemas difusos pueden ser considerados como aproximadores de funciones; es decir, tienen la capacidad de estimar la función que caracteriza su relación entrada-salida [4], [6], [8]. El enfoque del sistema neurodifuso en este artí-culo se basa en la sintonización del sistema difuso con defuzificación basado en relaciones booleanas, mediante el algoritmo de entrenamiento super-visado de retropropagación empleado en redes neuronales convencionales. Ello con el objetivo de mejorar el desempeño del sistema difuso. En este caso particular, se realiza la predicción de la serie de tiempo Mackey-Glass. Esta es una ecua-ción diferencial retardada no lineal que presenta un comportamiento caótico para ciertos rangos de valores de sus parámetros [3], [12]. La selección de esta serie de tiempo se fundamenta en la li-teratura, lo que permite comparar los resultados obtenidos con otras perspectivas de diseño.2.   SISTEMA NEuROdIFuSO CON dEFuZIFICACIÓN        dbREl sistema neurodifuso utilizado en este artícu-lo se presenta en [7] y [13]; aquí la estructura del sistema difuso se caracteriza por el producto como motor de inferencia difusa, fuzificador sin-gleton, defuzificador centro promedio y funcio-nes de pertenencia gaussianas (1).                                                                   Donde M es el número de reglas o consecuentes, yl son los centros de los consecuentes, xi son los datos (1)14VISIÓN ELECTRÓNICAliNA cRiStiNA MoRAlES lAGUAdo  -  hElBERt EdUARdo ESPítiA cUchANGo  -  JoSé JAiRo SoRiANo MENdEZ Universidad distrital Francisco José de caldas  -  Facultad tecnológicade entrada al sistema difuso, xil son los centros de las gaussianas en los antecedentes y σil son las des-viaciones estándar de las gaussianas en los antece-dentes. El valor de M es fijo, e yl, xil y σil son paráme-tros libres. Una vez se especifiquen los parámetros yl, xil y σil, se obtiene el sistema difuso diseñado; esto es, el diseño del sistema difuso es equivalente a determinar los parámetros yl, xil y σil.El mapeo desde la entrada a la salida puede ser implementado de acuerdo con la siguiente ope-ración: primero se pasa la entrada x a través de un operador producto gaussiano para convertir-se en (2); entonces se pasa el zl a través de un operador suma y un operador suma promediado para obtener (3) y (4); finalmente, se computa la salida del sistema difuso [5], [7], [13], como (5):                                                            EL objetivo es diseñar un sistema difuso f(x) en la forma (1), de modo tal que el error cuadráti-co medio (MSE) sea mínimo. Esto es, hay que determinar los parámetros yl, xil y σil de forma que el error se minimice. El algoritmo de entre-namiento de retropropagación se utiliza para la predicción de la serie de tiempo Mackey-Glass y se describe en [2] y [5]. La arquitectura del DBR usada en este documento se propone en [11] y es de la forma (6). Por lo tanto, (1) puede ser modifi-cada para obtener el sistema de inferencia (7).                             Las ecuaciones de actualización de los parámetros del sistema neurodifuso con DBR, utilizadas en el algoritmo de retropropagación teniendo en cuen-ta las variaciones del sistema de inferencia (1), que se muestran a continuación [véase ref. 8].                  Donde no se usa la ecuación (3) y la ecuación (5) se transforma en (9) (véase [8]).  3.   PREdICCIÓN dE LA SERIE dE TIEMPO       MACKEY-GLASSLa serie de tiempo Mackey-Glass utilizada se describe por la ecuación:  Para τ > 17, es conocida por presentar compor-tamiento caótico. La serie de tiempo de Mackey-Glass (para τ > 17) se ha convertido en uno de los puntos de referencia en la predicción de series de tiempo en los campos de redes neuronales y lógica difusa, [7], [13].(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)15SiStEMA NEURodiFUSo coN dEFUZiFicAciÓN BASAdo EN RElAcioNES BoolEANAS (dBR) APlicAdo A SERiES dE tiEMPo MAcKEY-GlASSVISIÓN INVESTIGADORARevista Visión Electrónica  Año 3.  No. 1  pp. 12-18  Noviembre de 2009Para la predicción de la serie de tiempo Mackey-Glass, se determinan las mismas características definidas en la predicción de la serie usando un sistema neurodifuso convencional, presentada en [7]. Aquí se evalúa la serie con 1.000 datos: s(1001), s(1002),…, s(2000). Se usan los primeros 504 datos para el diseño del modelo, mientras que los restantes 496 son datos de validación. Para la predicción, se emplean inicialmente cuatro ante-cedentes o entradas del modelo por cada univer-so de discurso, que corresponden a s(k-3), s(k-2), s(k-1) y s(k). Para predecir s(k+1), se usa el valor de τ = 30 en la ecuación de Mackey-Glass. Se tienen en cuenta inicialmente solo dos con-juntos difusos para cada uno de los cuatro an-tecedentes; por lo tanto, el número de reglas difusas es igual a 16. La localización inicial de cada función de pertenencia gaussiana se basó en la media o centro, ms (igual a 0,9032) y la des-viación estándar, σs (igual a 0,262), de los 504 datos de entrenamiento. Más específicamente, inicialmente se escogió el centro de cada una de las dos gaussianas como ms - 2σs y ms + 2σs, res-pectivamente, y sus desviaciones estándar como 2σs (igual a 0,5240). Luego se eligieron para la predicción 16 consecuentes de manera aleatoria dentro de un intervalo de 0 a 1 (se evalúan varios consecuentes y se elige el que presente mejor re-sultado). Los valores iniciales de los parámetros del sistema se resumen en la Tabla 1. Se determinan seis epoch o épocas de entrena-miento. El ritmo de aprendizaje en el entrena-miento se define como α = 0,2. Esto se determinó según [7], donde se observa que a partir de la sexta época el RMSE se nivela; es decir, el RMSE disminuye, pero en menor cantidad. El compor-tamiento del modelo es evaluado por la raíz del error cuadrático medio (RMSE) y el coeficiente de correlación (IC); según [1], [8] y [12]. La gráfi-ca de la serie de tiempo Mackey-Glass a predecir se muestra en la Figura 1. 4. RESuLTAdOS ObTENIdOSSe utiliza la herramienta computacional Mat-Lab® en un computador Intel Pentium M, proce-sador 1,73 GHz y 504 MB de RAM, para realizar la predicción de la serie de tiempo descrita ante-riormente, usando el sistema neurodifuso conven-cional presentado en [7] y el sistema neurodifuso con DBR propuesto en este artículo. La salida del modelo neurodifuso y del modelo neurodifuso con DBR, empleando los datos de validación, se pre-sentan en las Figuras 2 y 3, respectivamente.Figura 1. Serie de tiempo Mackey-Glass.Figura 2. Salida del modelo neurodifuso convencional. La línea continua corresponde a la ecuación descrita en (10) y la punteada corresponde a la salida del modelo diseñado.16VISIÓN ELECTRÓNICAliNA cRiStiNA MoRAlES lAGUAdo  -  hElBERt EdUARdo ESPítiA cUchANGo  -  JoSé JAiRo SoRiANo MENdEZ Universidad distrital Francisco José de caldas  -  Facultad tecnológicaEn la Tabla 1 se presenta el RMSE por cada época de entrenamiento, utilizando los datos de validación en los dos modelos diseñados. Se ob-serva que el RMSE de la última época es mayor para el modelo Neuro-DBR con DBR. Sin embar-go, la reducción del RMSE desde la primera a la sexta época de entrenamiento es de 0,0636 para el modelo neurodifuso con DBR y de 0,0488 para el modelo neurodifuso convencional.El coeficiente de correlación IC es de 0,9961 para el caso del modelo neurodifuso, mientras que obtiene un valor menor, con 0,991, para el modelo neurodifu-so con DBR. Esto significa que el modelo neurodifuso convencional estima mejor las fluctuaciones de los datos respecto de la media. El tiempo de entrena-miento total para el modelo neurodifuso es de 0,201 segundos y para el modelo neurodifuso con DBR es de 0,163 segundos, lo que confirma que el modelo propuesto reduce el tiempo de entrenamiento y los cálculos computacionales requeridos. Las Tablas 2 y 3 presentan los parámetros fi-nales obtenidos después de las seis épocas de entrenamiento para los dos modelos trabajados en este artículo.Figura 3. Salida del modelo neurodifuso con defuzificador DBR. La línea continua corresponde a la ecuación descrita en (10) y la punteada corresponde a la salida del modelo diseñado.Tabla 1. RMSE obtenido de los dos modelos diseñados.Tabla 2. Parámetros finales obtenidos con el sistema neurodifuso convencional.17SiStEMA NEURodiFUSo coN dEFUZiFicAciÓN BASAdo EN RElAcioNES BoolEANAS (dBR) APlicAdo A SERiES dE tiEMPo MAcKEY-GlASSVISIÓN INVESTIGADORARevista Visión Electrónica  Año 3.  No. 1  pp. 12-18  Noviembre de 20095.   CONCLuSIONESSe evidenció la capacidad de reducir el tiempo de entrenamiento total y los cálculos compu-tacionales requeridos para predecir la serie de tiempo Mackey-Glass. El modelo neurodifu-so convencional presenta menor RMSE que el modelo neurodifuso con DBR, pero este último muestra una menor reducción del RMSE desde la primera hasta la sexta época, con lo que se obtiene menor RMSE al trabajar con más épocas de entrenamiento. El coeficiente de correlación es mayor en el modelo neurodifuso. Sin embargo, el modelo neurodifuso con DBR es 0,0051 menor. Se observa entonces una buena estimación de las fluctuaciones de los datos respecto de la media, en los dos casos. Como propuestas de trabajos fu-turos, hay que trabajar con otro tipo de sistemas no lineales para probar las ventajas descritas del modelo neurodifuso con DBR. REFERENCIAS [1] S. Badjate y S. Dudul. “Prediction of Mackey-Glass chaotic time series with effect of supe-rimposed noise using FTLRNN model”. Pro-ceeding on Advances in Computer Science and technology (2008).Tabla 3. Parámetros finales obtenidos con el sistema neurodifuso con defuzificador DBR.[2]  C. Bishop. Neural Networks for Pattern Re-cognittion. Oxford University Press. (1995) p. 116-148. [3]  A. Casiano y D. Mocencahua. “Predicción de series de tiempo caóticas con reglas di-fusas IF-THEN”. Seminario de Lógica Difu-sa, Facultad de Ciencias de la Electrónica, Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, México, 2002.[4]  M. Figueiredo y F. Gomide. “Design of fuzzy systems using Neurofuzzy networks”. IEEE Transactions on Neural Networks, 1999.[5]  B. Martín y A. Sanz. Redes neuronales y sis-temas borrosos, 3 ed. Alfaomega, 2007, pp. 45-180.[6]   D. Meesand y G. Yen. A neurofuzzy networks and its application to machine health moni-toring. Oklahoma State University, 2001.[7]  J. Mendel. Uncertain rule-based fuzzy logic systems. Introduction and new directions. Prentice-Hall, 2000, pp. 156-175. [8]  L. Morales. “Estudio y evaluación del mé-todo de defuzificación basado en relaciones booleanas (DBR) aplicado a las redes neuro-18VISIÓN ELECTRÓNICAliNA cRiStiNA MoRAlES lAGUAdo  -  hElBERt EdUARdo ESPítiA cUchANGo  -  JoSé JAiRo SoRiANo MENdEZ Universidad distrital Francisco José de caldas  -  Facultad tecnológicadifusas, para la identificación de sistemas no lineales”. Tesis de Ingeniera Electróni-ca, Universidad Distrital Francisco José de Caldas, 2009, pp. 16-65. Bogotá.[9]  L. Morales, H. Chamorro y J. Soriano. “Aná-lisis y comparación entre un controlador PI difuso y un controlador PI óptimo convencio-nal para un conversor reductor”. Revista de Ingeniería (octubre de 2008). Universidad Nacional de Colombia, Bogotá. [10] J. Olarte, J. Soriano y M. Melgarejo. “Fuzzy controller for mimo systems using defuzzifi-cation base don boolean relations”. Procee-dings on FUZZ-IEEE, 1(1) (2005): 21-27.[11] J. Soriano. Propuesta de concresor basado en relaciones booleanas. Revista de Ingenie-ría, 6(1) (2001): 44-50. Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá.[12] J. Velásquez. “Pronóstico de la serie de Mackey-Glass usando modelos de regresión no lineal”. Revista de la Facultad de Minas, 71(142) (2004): 85-95. Universidad Nacional de Colombia, Medellín.[13] L. Wang. A course in fuzzy systems and con-trol. Prentice-Hall, 1997, pp. 168-177.

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This paper presents a Neuro-Fuzzy system with defuzzification based on Boolean relations (DBR) for the prediction of Mackey-Glass chaotic time series. Initially, the Back-propagation training algorithm and use of DBR as a defuzzification method are explained. Later, time series is modeled with sixteen fuzzy If-Then rules, using the technique described. The results show a reduction in training time and computational calculations, compared with conventional Neuro-Fuzzy Networks.En este artículo se presenta un sistema neurodifuso con defuzificación basaba en relaciones booleanas (DBR) para la predicción de la serie de tiempo caótica Mackey-Glass. Inicialmente, se explica el algoritmo de entrenamiento retropropagación y la utilización del DBR como método de defuzificación. Posteriormente, se modela la serie de tiempo con dieciséis reglas difusas Si-Entonces, usando la técnica descrita. Los resultados obtenidos muestran una reducción del tiempo de entrenamiento y cálculo computacional, en comparación con las redes neurodifusas convencionales

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