This paper presents a method to construct an optimal control problem of a system connected with scale expand and exploit as control a random process

Lam, Lê Xuân

Quỳ, Tống Đình

Vietnam Academy of Science and Technology: Journals Online

TỐI Ư U  HÓA VIỆC M Ở RỘNG QUY MÔ 
VÀ KHAI THÁC MỘT HỆ T H ố N G  (*)
i
LÊ XUÂN LAM, TỐNG ĐÌNH QUỲ
A b s t r a c t .  T h is paper presents a. m ethod to  construct an op tim al contro l problem  of a 
system  connected w ith  scale expand and exploit as control a random  process.
1. M Ở Đ Ầ U
Trong công trình  này, ta  tiếp tục tổng quát hóa những kết quả trong 
[l, 2, 3], để xét viêc m ờ rộng quy mô m ột hệ thống gắn với quá trình  khai 
thác chúng (như phát triển  hệ thống các mỏ than , m ờ rộng diện tích khai hoang 
trong các tiểu  vùng thuộc một vùng kinh tế  nào dó).
Để dat đươc muc đích này, trước hết (xem muc 2.) cần th iế t lâp mối quan hê 
giữa quy mô của hệ thống và kết quả khai thác (sản lượng) của nó với tiến  độ mor 
rộng quy mô của hệ thống. Nhưng, do những hạn chế về kỹ th u ậ t (như sự  tiêu 
thụ, bảo quản sản phẩm  tồn dong, tốc đô mổr rộng quy mô,..) và  cả những hạn 
chế về kinh tế  - tà i chính như tỷ lệ tích lũy, khả nâng huy động vốn đầu tư ...) , 
nếu quá trình  m ở rộng quy mô hệ thống phải m ang tính  đồng bộ với các nhân tố  
trên, nghĩa là nó mang tính  “khả th i” (xem mục 3.). Trên cơ sờ  này, các “dự  án 
tối iru” (theo những mục tiêu khác nhau) được th iế t lập tập  trong mục 4. Việc 
xác định các dự án này đưa về viêc giải một bài toán điều khiển tối ưu (trong mô 
hình rời rạc).
2. S ự  PHỤ THUỘC CỦA M ẬT ĐỘ CHI PH Í SAN XUẤT VÀO TIẾN  ĐỘ 
PHÁT TRIỂN q u y  M ỏ  m ộ t  h ệ  T H ốN G
Xét một hệ thống s = {5 1 ,..., ổVn} gồm m  bộ phận (hệ thống con) Si (i  =  
1 , m) ,  trong đó mỗi bộ phận Si có quy mô phát triển  được đặc trư ng  bỏ"i một
í*) Công trìn h  J <.y dươc sự  giúp đỡ của Chưcmg trìn h  N CCB N hà nirớc.
dại lượng không âm z { (gọi là tiến độ m ỏ rộng quy mô), sao cho Z l tăng  khi quy 
mô Si tấng , Z i không thay đổi khi quy mô Si được giữ nguyên.
Q uá trình  khai thác hệ thống s  trong sự phát triển  về quy mô của nó sẽ dược 
đặc trư ng  b(H hai hệ hàm  khả vi, không âm và dơn điệu tăng: {Vi{Z%) : 1 <  i < 
ra}, {uj(z*') : 1 <  i < m} ,  trong đó : Vi(Z')  biểu thị khối lượng công việc cần 
thực hiện đề m ờ rộng quy mô Si đến tiến độ z i (gọi là hàm mà rông quy mô của 
Si), Ui{Z%) biểu th ị số lượng sản phẩm  khai thác được từ  Si cho dến khi quy mô 
của nó đạt đến tiến  độ z % (goi là hàm sản lượng  của sì).
Xét tỷ  lệ:
K. -  K.t?'ì -  =, Vi(zi +  A z i)  ■ Viizi) 12 U
Ki  =  K ' ( z  > =  ¿ Ỉ M  53 U,(Z'  ị  A Z ‘) -  « i ũ ó  (2 1 )
biểu th ị khối lượng công việc m ở rộng quy mô Si cần thực hiện để khai thác được 
1 đơn vị sản phẩm  tạ i bộ phận này ờ lân cận tiến độ z i . Ta gọi K ị ( z i) là hê sổ  
m à  rộng quy mô  của 5, ờ  tiến độ z i . Còn dại lượng
Ọi — ) ~  (2-2)
biểu th ị lượng sản phẩm  khai thác được từ  Si Ở lân cận tiến  độ z i ứng với 1 đơn 
vị biến thiên của tiến độ này. Ta gọi nó là mât độ sản lượng khai thác Si ờ  tiến  
đọ z \
X ét các đại lượng kị = k ị ( z i ) - là chi phí để thực hiện 1 đơn vị khối lượng 
công việc m ờ rộng quy mô Si ờ  lân cận tiến độ z i (gọi là suất chi ph í  m ỏ  rộng 
quy mô Sị ờ tiến  độ Z l) và dại lương kị =  fct-(Z‘) - là chi phí khai thác Si ở  lân 
cận tiến  độ z % để thu  được 1 đơn vị sản phẩm  (gọi là suất chi phí khai thác Si
ở  tiến  độ Z l ). Khi đó mâế ãô chi phí sản xuất dối với hệ thống s  ờ  các tiến  độ
z  = ( Z 1, z m) sẽ dược xác định bởi công thức:
m
CSX(Z) = J 2 < n { Z i) { ^ { Z i) K i {Z i) + fc¿(Z*')] . (2.3)
t= i
T ừ  (2.1), (2.2) ta  nhận thấy  rằng m ật độ chi phí sản xuấ t này biểu th ị chi 
phí dể phá t triển  quy mô và khai thác s (ỏf lân cận các tiến  độ z = (zl, z m) 
ứng với một dom vị biến thiên của mỗi tiến đô z i (1 <  i < m).
3. D ự  ÁN KHẨ TH I ĐE m ở  r ộ n g  q u y  m ô  m ộ t  h ệ  T H ốN G
Xét quá trình  m ở rộng quy mô hệ thống s  trong các thờ i kỳ n  = 1 -T N  và 
xem rằng sản phẩm  khai thác dược từ  hệ thống chia thành  no =  n \  +  ĨỈ2 loại,
trong dó ta  nhận dược sản phẩm  loại j  (1 <  j  < n 0) từ  các sản phẩm  khai thác 
tại Si với xác suất áịị (không phụ thuộc vào tiến dộ z i). Khi đó ta  có:
Ễ  =  1, c ị  > 0 (1 <  i < m  , 1 <  j  < n 0) . (3.1)
3 = 1
Ngoài ra , sau khi khai thác, nếu sản phẩm  bị tồn đọng (chờ tiên thụ) nó 
sẽ bị “xuống cấp” , thậm  chí tiêu hao dần. Giả sử quá trình  “xuống cấp” các 
loại sản phẩm  sau mỗi thời kỳ tồn đọng là m ột xích Markov thuần  n h ấ t với 
không gian trạng  thá i (pha) là {0, 1 ,..., no} và xác suất chuyển trạn g  thá i là 
pjk = p { j  -* k}  ( j  > 1). Trong đó Ị3jk (1 <  j  < no) là xác suất để sản phẩm  
loại j  trờ  thành  loại k  (khi 1 <  Ả; <  nò) và dể sản phẩm  loại j  bị tiêu hao (khi 
Ả: =  0), sau m ột thờ i kỳ tồn dọng. Khi đó quá trình  ’’xuống cấp” các sản phẩm  
bị tồn đọng sẽ dược diễn đạt bỏã các giả th iế t saù: *
Wọ
0 <  1 - J 2 ^ k =  ^  1 ’ h k ^  0 0' < k)» Pik = 0 { j > k ) .  (3.2)
k=j
M ặt khác, theo quy định về tiêu thụ , ta  có thể  phân n 0 loại sản phẩm  khai 
thác được từ  s  thành  2 dạng: dạng chinh phẩm  (gồm n  1 loại sản phẩm  j  đầu tiên 
: 1 < j  < nx); dạng thứ phẩm  (gồm n 2 loại sản phẩm  j  còn lại Uị +  1 <  j  < n 0). 
Đối với mỗi thờ i kỳ n  =  1 , N ,  giả sử sản lượng trung bình x3n của chính phẩm  
loai j  (1 <  j  <  n i)  được tiêu thụ  theo yêu cầu x]n của kế hoạch (với đơn giá thực 
a£); phần còn lại được tiêu thụ  ngoài kế hoạch (với đơn giá thực -A^), nhưng 
không vượ t quá mức quy đinh X n .  Còn sản lượng trung  bình x 3n của th ứ  phẩm  
loại j  {n 1 <  j  < n o) bị hạn chế trong những giới hạn x3n , Xn xác định bời kế 
hoạch tiêu th u  (với đơn giá thực a?n) Nghĩa là:
4 ị  < xn < ĩ i  + x* (1 <  3 < n i ) ,  ^^
< x ì  (ri! <  j  < no) .
Gọi x ị t  là lượng tồn đọng trung bình của sản phẩm  loại j  (1 <  j  < no) vào 
thcri kỳ n; z ị  và  z in lần lượt là tiến độ và tốc độ cùa tiến độ mỏr rộng quy mô Si 
vào thời kỳ n. Khi dó từ  (2.2) và dịnh nghĩa các xác suất Cíy, /3jk ta  dễ dàng thu  
được:
j  m
x i  = ỵ i  ậị t  x t i  +  E  “ í «  K - i )  4  - 4  (1 <  i  < »0 , 1 < n < N )  (3.4) 
fc=l i —1
í*) Khái niệm  đơ  giá, doanh  th u  thư c hiểu  theo nghĩa không kể thuế.
z \  =  z ị l_ l + 4  (1 <  * <  m , 1 <  n < N )  (3.5)
Trong đó: x ị  ( ì  <  j  < no), z ị  (1 <  i < m) được cho từ  thống kê hiện trạng  vào 
thờ i kỳ ban đầu (n = 0).
Khi xem rằng tốc độ của tiến dộ mờ rộng quy mô z xn bị hạn chế trong những 
giới hạn xác định zịl , zịl (0 <  2 ^ < zịl) vào mỗi thời kỳ n  và xem rằng tiến  dộ 
lớn n h ấ t Z '  được xác định bời quy mô tối đa của Si (1 < i <  n), ta  có:
4 < 4 < ĩ >  0 < z in <~zi (1  < i < m ,  1 < n <  N)  . (3.6)
Ngoài ra, khi giả th iế t rằng X n là mức trung bình của sản phẩm  các loại được 
phép tồn đọng vào thời kỳ n, ta  còn có:
no
ỵ , x i < x ,
i = 1 (3.7)
X Jn > 0 (1 <  j  < n 0 , 1 <  n < N ) .
Trên cơ SỜ (3.4), (3.5) ta  nhận thấy  rằng: mỗi dự án m à  rộng quy mô khai
thác hệ thống s  thực chất là m ột phương án xác định các biến:
X  =  { x i  : 1 <  j  < n 0, 1 <  n < N }  , 
z  — {zịl : 1 < i < m, 1 < n < N } .
Các điều kiện ràng buộc (3.3) - (3.7) đã th iế t lập trên  đây đảm  bảo tính  chấp 
nhận dược về m ặt kỹ thứật cho dự án.
Khi xét tính  chấp nhận dược của dự án này về m ặt kinh tế  - tà i chính, ta  gọi: 
c (n ) ,  D(n), L(n), v(n)  lần lượt là mức trung bình về chi phí, doanh thu thực,
tích lũy, huy động vốn đầu tư của hệ thống s  vào thời kỳ n. Khi đó từ  (2.3) ta
suy ra:
m no
C(n) =  ịkUzị_l) +  M 2 Í - 1Ỉ Ì 4  +  Xi
1=1 j = 1
:=  C n ( X n, Z n- 1 , z n) , (3-9)
trong đó
X — ( V1 v n° ^n — •••> A n ) )
Z n = ( Z ị , . . . , Z ? ) ,  ■
z n =  ( 4 . - ,  z n )  ,
b>n là chi phí bảo quản 1 đơn vi sản phẩm loại j  tồn đọng vào thời kỳ n.
Ngoài ra, ta  còn có:.
ni vno
D (n ) =  D ( <  “  A n) ĩ i  +  A n x i} +  a* Xn :=  D n ( x n) , (3.10)
3 = 1 j = n i  +  l I
Lịn)  =  D(n)  -  C(n)  :=  L n ( X n, z n_ i ,  x nj z n) , (3.11)
V(n)  = c ( n ) -  D (n  -  1) := Vn ( X n, Z n- 1 , X n - 1 ,  z n) , (3.12)
trong đó: x n = (x*, x £ ° ) .
Gọi An và Vn lần lươt là tỷ lê tích lũy thấp nhất và mức cao nhất về vốn có
thề huy động vào thời kỳ n. Khi dó:
Ln ( X  ní Z n— 1 , x n, z n) ^  \ n Cn { Xn , Z n—ị,  2 n) , (3.13)
Vn{Xn Z n—1 , x n , 2 n) <  Vn . (3.14)
Tóm lại, để cho dự  án (3.8) chấp nhận dược (về m ặt kỹ th u ậ t và kinh tế  - 
tài chính), nó phải là “dự án khả th i” theo nghĩa sau.
Đ ịn h  n g h ĩa  3 .1 . Dự án (X, z )  m ờ rộng quy mô và khai thác hệ thống s  gọi là
khả thi, nếu nó thỏa m ãn các diều kiện (3 .3)-(3 .7), (3.13), (3.14).
4. D ự  ÁN TỐ I ƯU ĐỂ M Ở RỘNG QUY MÔ 
VÀ KHAI THÁC M ỘT HẸ THONG
Khi tối ưu hóa m ột dự  án khả th i, ta  có thể  xét hàm  mục tiêu dưới dạng:
N
J SIS2S3( X , Z )  = Y , (  I +  t T "  X
n — 1
Mo
^1 Vn^Znì Z n—1, X f i — 1 ,  ¿>2 ( L^n(Zn, Z n—1, x n, -ị- 2^ x n )
3 = 1
Tl 0
— S3 Í D n (xn) +  aJN
3 = 1 (4.1)
Trong dó: ỏi (1 <  i <  3) là các th ừ a  số dưcmg, 7  là lãi suất (môt thờ i kỳ) của 
vốn dầu tư  được huy động.
Gọi X  X z  :=  { X  X Z }  là tập  hợp tấ t  cả các dự án khả th i dạng (3.8). Khi 
dó m ột dự  án khả th i (X*, z *) gọi là tối tru, nếu:
(X*,  z * )  =  A rgm in{Jí lM ,(X , z )  : (X, z )  e  X  X Z } .
Đặc biệt, khi ¿1 =  1, ¿>2 =  ¿3 =  0 thì dự án tối ưu (X*, z *) là dự  án cực tiểu  
mức huy dộng vốn dầu tư ; khi ¿2 =  1, ỗi = S3 = 0 th ì dự án tối ưu ( X * , z *) là 
dự án cực đại tích lũy; khi ¿ 3  =  1, ¿ 1  =  ỏ2 = 0 thi (X*, z* )  trỏr thành dự án Gực 
dại khai thác hệ thống s .
Để xác dịnh dự  án tối ưu (X*, z*) ,  ta  dặt:
ĩ n  = ( x ị , - ,
= (x n + ĩ i » - »  ĩ " 1 +  - Ç ,  x ” i + 1,..., xít0) ,
£» =  ( 4 . - . £ £ ) >  '
( 4 > - >  ,
Z  = ( Z Ĩ , . . . , Z ^ ) ,
A n = ỉ ( x l . . . ,  X ? )  : T x Í < X Í ,  x i >  O ( l < y < n o ) } ,
ữ tlO
a ntlo
a m no J
trong đó r t (Z ‘) =  (z*‘) +  *,•(£*■).
j= i
=  ......o T,
a n -  (a* ,..., a ”° )T , 
bn = (bln ,..., bn° )T ,
a (n ) =  X ] ( a n -  ^ n ) 4 >  
y = l
’ / ? u  /?12 •• ßln0 ■ <*2
0  /?22 /?2 no
, P o  =
cị a\ ■
oo ßn0n0 - . ö ] ” «2* } •
f M ) 0 0  \
< ? (Z „ )  =
0 M )  •• 0
V 0 0 <7 m i z ? ) )
r ( Z „ )  =  ( n ( 2 r ¿ ) ,  r j ( Z j ) ............ m ) T ,
Khi đó, từ  định nghĩa (3.1) và từ  (3.2), (4.1), (4.2) ta  có thể  chỉ ra  rằng  dự 
án tối ưu sẽ là lời giải (X, z) = ( X * , z *) của bài toán điều khiển tối ưu  dưới 
đây:
B ài to á n  4 .1 . Xác dinh các điều khiển X  — {x n : 1 <  n < N }  , z  =  { z n : 1 < 
n < N }  , sao cho:
„< N
J 0(X,  Z ) % j 2 ( i + 1 r n X
n — 1
[(¿1 -  ¿2) X nbn — ỏi X n- i A n- i  — (ốj + ẽs)(XnAn +  xnclịsị)
+  (¿1 + ¿>2 ) zn Q(zn- 1) r(Zn_i)j -> min ,
x n =  X n - 1  p  + zn Q(Zn-.ị)Po -  xn (1 < n < 7V) ,
Xo cho trư ớ c ,
Z n =  z n_ i +  (1 <  n < N)  , Z q cho trư ớ c ,
%n — ^  >
^  5; Zn )  ^ ^
X n Ễ , 0 <  Z n < z  ,
( 1  +  \r ì)  [Xn bn +  z n Q (Z n- 1 ) r (Z n- 1 )] — (xn A n +  ®(rc)) <  0 ,
-X"n ®n—1 -^n— 1 "t” ọ (^ n  — l) l)  ^  Vn “f" 0,{n l)  .
Đ ể giải bài toán  4.1 ta  có thề  sử dụng phương pháp dò tìm  ngẫu nhiên (xem 
[1, 2]). Trong trư ờng  hợp Ui(zi), (1 <  i <  m) là những hàm  lỗi và kị(zi)
— const, k i { Zi ) =  const, thì ta có thể dùng phương pháp chiếu gradent ngẫu 
nhiên (xem [4]).
Xin chân thành  cảm  ơn giáo sư Nguyễn Quý Hỷ và Xim ena Phương pháp 
ngẫu nhiên và giải tích số của ông dã giúp hoàn thành  công trình  này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. N guyễn Q uý Hỷ, P hạm  Kỳ A nh, N guyễn Đ ình Hóa, T rần  c ả n h , Giài số  một lóp bài toán điều 
khiển cỡ lón, H N K H  Toán - Co'- T in  học, Đ H TH  Hà Nội, 1994.
2. N guyen Q uy Hy, N guyen Van Kim, P ham  Ky A nh, Random seach for a descrete optimal control 
problem of large scde, Proc. Conf. M ath . Mech. and  Inf. College N at. Sei. VNU H , 1995.
(*) Ký hiệu ( f l , .. Ịk)  <  (¡71, Sfc) có nghĩa là f i  < ỷi (1 <  i < k)
N guyễn Q uý Hỷ, Phạm  Kỳ Anh, N guyễn Ngọc Cưcmg, N guyễn Đ ình Hóa, T ống  Đ ình Q “ỳ, 
Lý thuyết hoi phuc trong việc phả xanh đất trống đồi núi troc, T uyển  tậ p  công tr ìn h  đê tà i B94-05-09 
Đ H Q G  H à Nội, 1995.
Erm olev J. M., Các phương pháp quy hoạch ngẫu nhiên, Moskva, 1976 (tiếng Nga).
N h ậ n  bài ngày  2 -S -1995


Tối ưu hóa việc mở rộng quy mô và khai thác một hệ thống

http://vjs.ac.vn/index.php/jcc/article/download/8082/6718

Tối ưu hóa việc mở rộng quy mô và khai thác một hệ thống

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Vietnam Academy of Science and Technology: Journals Online