Im Rahmen des Schülerlabors "Raumzeitwerkstatt" bieten wir Workshopszur Einführung in die Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorieauf Schulniveau an.Dabei setzen wir einen neuartigen Zugang ein, der in unserer Arbeitsgruppeentwickelt wurde. Er basiert auf dem Regge-Calculus, einer Methode zurLösung der Einsteinschen Feldgleichungen, und resultiert in einerkoordinatenfreien, nur auf messbaren Abständen beruhenden Beschreibung derRaumzeit.In den Workshops wird mit zwei- und dreidimensionalen Modellengearbeitet, welche die TeilnehmerInnen aus Bauvorlagen selbst bauenund an denen sie Messungen ausführen und Vorhersagen der Theoriekonstruieren. Die mathematische Formulierung, die über die Schulmathematikweit hinausgeht, wird dabei durch geometrische Anschauung undzeichnerische Lösungen ersetzt.Die Themen der Workshops reichen von der relativistischen Beschreibung derGravitation als Raumzeitkrümmung bis hin zu Schwarzen Löchern,Neutronensternen, Wurmlöchern und dem expandierenden Universum.Nähere Informationen und Kontakt: www.raumzeitwerkstatt.de

Kraus, Ute

Zahn, Corvin

PhyDid - Physik und Didaktik in Schule und Hochschule (E-Journal, FU Berlin)

Didaktik der PhysikFrühjahrstagung – Hannover 2010Workshops zur Allgemeinen Relativitätstheorie im Schülerlabor„Raumzeitwerkstatt“ an der Universität HildesheimCorvin Zahn, Ute KrausUniversität Hildesheim, Abteilung Physik,Marienburger Platz 22, 31141 Hildesheim,corvin.zahn@uni-hildesheim.de,ute.kraus@uni-hildesheim.de.KurzfassungIm Rahmen des Schülerlabors „Raumzeitwerkstatt“ bieten wir Workshops zur Einführung indie Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie auf Schulniveau an.Dabei setzen wir einen neuartigen Zugang ein, der in unserer Arbeitsgruppe entwickelt wur-de. Er basiert auf dem Regge-Calculus, einer Methode zur Lösung der Einsteinschen Feldglei-chungen, und resultiert in einer koordinatenfreien, nur auf messbaren Abständen beruhendenBeschreibung der Raumzeit.In den Workshops wird mit zwei- und dreidimensionalen Modellen gearbeitet, welche dieTeilnehmerInnen aus Bauvorlagen selbst bauen und an denen sie Messungen ausführen undVorhersagen der Theorie konstruieren. Die mathematische Formulierung, die über die Schul-mathematik weit hinausgeht, wird dabei durch geometrische Anschauung und zeichnerischeLösungen ersetzt.Die Themen der Workshops reichen von der relativistischen Beschreibung der Gravitationals Raumzeitkrümmung bis hin zu Schwarzen Löchern, Neutronensternen, Wurmlöchern unddem expandierenden Universum.Nähere Informationen und Kontakt: www.raumzeitwerkstatt.de.1. EinleitungUnsere Workshops zur Allgemeinen Relativitäts-theorie sind ein Angebot des Schülerlabors Raum-zeitwerkstatt ([1]) der Universität Hildesheim. Sierichten sich an die oberen Klassenstufen (ab 10.Klasse) sowie an Lehrkräfte.Auch wenn die Relativitätstheorie wenig Raum inden Kerncurricula für die Schule einnimmt, hal-ten wir eine Einbeziehung ihrer Grundlagen in denSchulunterricht trotzdem für wichtig:• Es geht um grundlegende Konzepte unseresAlltags: Raum und Zeit.• Die Relativitätstheorie mit ihren Anwendun-gen ist sehr präsent in den Medien: Einstein,Schwarze Löcher, LHC, Science Fiction, ...• Fehlvorstellungen sind weit verbreitet (gera-de in den Medien).• Untersuchungen zeigen, dass Astronomie ei-nes der wenigen Teilgebiete der Physik ist,die auch Mädchen ansprechen.Die Allgemeine Relativitätstheorie gilt als schwie-rig und dem Schulunterricht nicht zugänglich. Wennman an den mathematischen Hintergrund denkt, derim Hochschulstudium zu diesem Thema vermitteltwird, stimmt das sicher.Die Grundidee der Allgemeinen Relativitätstheoriekann jedoch recht einfach zusammengefasst wer-den:Matter tells space how to curve.Space tells matter how to move.John WheelerDie Materie krümmt den Raum (genauer die Raum-zeit) und die gekrümmte Raumzeit bestimmt die Be-wegung der Materie.Daraus ergeben sich direkt drei Fragen:1. Was ist denn eigentlich ein gekrümmterRaum? Eine gekrümmte Fläche kann mansich noch ganz gut vorstellen, aber einen ge-krümmten Raum? Mathematisch wird diesdurch den Riemanntensor beschrieben.2. Wie genau bewegt sich ein Körper unter demEinfluss der Gravitation? Um dies zu berech-nen müssen die Geodätengleichungen, viergekoppelte Differentialgleichungen zweiterOrdnung, gelöst werden.3. Wie hängen die Materieverteilung und dieRaumzeitkrümmung zusammen? Dies wird1Zahn, Krausdurch die Einsteinschen Feldgleichungen aus-gedrückt (10 nichtlineare, gekoppelte, partiel-le Differentialgleichungen).Die mathematische Behandlung dieser drei „einfa-chen“ Fragen überschreitet bei Weitem die Mög-lichkeiten der Schulmathematik. Hier etwas Schul-taugliches herauszuziehen, das über die üblichenAnalogien hinausgeht, erscheint auf den erstenBlick aussichtslos.Andererseits ist die Allgemeine Relativitätstheorieeine geometrische Theorie und damit der geometri-schen Anschauung zugänglich. Wir haben für un-sere Workshops neues Unterrichtsmaterial entwi-ckelt, das den geometrischen Aspekt in den Mittel-punkt stellt und fast ohne Mathematik auskommt.Stattdessen setzen wir auf geometrische Anschau-ung und das Selbstkonstruieren und Basteln vonModellen. Unser neuer Zugang basiert auf demRegge-Calculus ([2]), einer Methode zur Lösungder Einsteinschen Feldgleichungen. Er resultiert ineiner koordinatenfreien, nur auf messbaren Abstän-den beruhenden Beschreibung der Raumzeit. Typi-sche Anwendungen des Regge-Calculus liegen inden Bereichen numerische Relativitätstheorie undQuantengravitation. Wir möchten zeigen, dass derAnsatz auch für die didaktische Aufbereitung derAllgemeinen Relativitätstheorie sehr fruchtbar ist.Sein großer Vorteil besteht darin, dass er eine ko-ordinatenfreie, maßstabsgerechte Darstellung derRaumzeit liefert, so dass durchweg mit Beobach-tungsgrößen argumentiert werden kann.Andere Ansätze für die Visualisierung gekrümm-ter Räume oder Raumzeiten basieren auf Einbettun-gen glatter zusammenhängender Flächen in einendreidimensionalen Raum (z.B. Darstellungen wieAbb. 1, [3], [4] (s.a. [5]), [6]) oder in eine 2+1-dimensionale Raumzeit ([7]). Sie sind damit aufzweidimensionale Räume beschränkt. Der Verzichtauf die Einbettung in einen höherdimensionalenRaum in unserem Zugang erlaubt die Modellie-rung eines dreidimensionalen gekrümmten Raums.Mit einer Dimension weniger umgehen zu müs-sen, erleichtert außerdem das Basteln der Modelleund den praktischen experimentellen Umgang da-mit (der einen Schwerpunkt unserer Workshops dar-stellt).Das für unsere Workshops entwickelte Material undseine Anwendung möchten wir hier anhand deroben genannten drei Fragen kurz vorstellen.2. Gekrümmter Raum: ErklärungsversucheFür den gekrümmten Raum wird als Erklärungs-muster oft folgendes angeboten:Eine Linie kann gerade oder krumm sein, eine Flä-che eben oder gekrümmt, beim Raum ist es genauso,nur eine Dimension höher.Diesem Muster folgend wird ein Schwarzes Lochoft wie in Abb. 1 dargestellt. Dies ist eine mathema-tisch korrekte Darstellung der zweidimensionalenÄquatorfläche eines Schwarzen Lochs, eingebettetin den dreidimensionalen Raum. Nur die Aufforde-rung, sich dies einfach eine Dimension höher vorzu-stellen, funktioniert nicht; unser Verstand ist dreidi-mensional.Was dabei herauskommt, sieht man beispielsweisein Abb. 2 oder Abb. 3: Solche Bilder für Schwar-ze Löcher sind weit verbreitet, sie können jedochbestenfalls die Illusion von Verständnis vermitteln:Was man hier sieht, ist irgendwie krumm und hatein Loch. Trotzdem haben sich, besonders im po-pulärwissenschaftlichen Bereich, solche Bilder festals Symbol eines Schwarzen Lochs etabliert. Das esdadurch zu eklatanten Fehlvorstellungen kommt, istklar.Wir suchen ein Modell eines gekrümmten Raums,das dessen geometrische Eigenschaften (auch quan-titativ) korrekt wiedergibt, ohne dass ein höherdi-mensionaler Raum benötigt wird, in den es sich hin-einkrümmen kann.Um sich dem zu nähern, schauen wir uns in unse-ren Workshops zuerst zweidimensionale gekrümm-te Flächen an. Anhand von Alltagsgegenständenwird der Begriff der inneren Krümmung einer Flä-che diskutiert. Die Oberfläche eines Tennisballs istpositiv gekrümmt, die eines Kartoffelchips negativund ein zu einem Zylinder gerolltes Blatt Papier istgar nicht gekrümmt.Aus vorgegebenen Bastelbögen werden Modelle ge-krümmter Flächen gebaut (Abb. 4 links). Aus der3D-Perspektive ist die Krümmung leicht erkennbar.Wie könnte ein zweidimensionales Wesen ([8]), dasin einer solchen Fläche lebt, feststellen, ob und wiediese gekrümmt ist? Von außen betrachten kann esdiese Fläche nicht, dieses Wesen hat keine Vorstel-lung von der dritten Dimension.Es kann jedoch die Fläche in Sektoren aufteilen unddiese als Modell auf dem ebenen Tisch ausbreiten.Es wird feststellen, dass die Stücke nicht zusam-menpassen (Abb. 4 rechts). Die Weise, wie sie nichtzusammenpassen (ob Lücken übrigbleiben oder obsich die Sektoren überlappen würden) steht in direk-tem Zusammenhang mit der Krümmung in dieserGegend.Unser Flächenwesen kann so mit seinem 2D-Verstand die innere Geometrie seiner Welt ermit-teln, ohne eine zusätzliche dritte Dimension zu be-nötigen.Diese Methode können wir jetzt auf drei Dimensio-nen übertragen. Wir unterteilen den ev. gekrümmtenRaum in dreidimensionale Sektoren, messen dieseaus und bauen sie in unserem ungekrümmten Raumnach.2Workshops zur Allgemeinen Relativitätstheorie im Schülerlabor „Raumzeitwerkstatt“Abb. 1: Einbettungsfläche der Äquatorfläche durchein Schwarzes Loch.Abb. 2: Schwarzes Loch, J. Bergeron, Sky & Teles-cope Magazine.Abb. 3: Schwarzes Loch. Barron Storey, imAuftrag der Stanford University für eineBroschüre zu Gravity Probe B ([9]).Abb. 4: Links: Durch ungekrümmte Flächenstücke angenäherte positiv gekrümmte Fläche. Rechts: dazugehö-rende Sektorkarte.Ein solches Modell ist (wie auch das vorher ge-nannte 2D-Modell) maßstabsgetreu. D. h. wir kön-nen es verwenden, um geometrische Konstruktio-nen zu machen oder um, wie in einem Straßenatlas,eine Reiseroute zu planen. Längen und Winkel inder „Wirklichkeit“ entsprechen, eventuell maßstäb-lich verkleinert, Längen und Winkeln im Modell.Eine „Gerade“ in der Wirklichkeit ist eine Geradeim Modell.Als Beispiel bauen wir in unseren Workshopsein Pappmodell des gekrümmten Raums um einSchwarzes Loch ([10], [11]).Links in Abb. 5 sieht man eine Computergrafik deskompletten Modells, rechts oben einen Bastelbogenund rechts unten einen gebastelten Ausschnitt ausdem Modell. Man sieht, dass die Klötzchen wie im3Zahn, Kraus2D-Fall nicht zusammenpassen.3. „Space tells matter how to move“Wie wirkt sich die Raumkrümmung auf die Materieaus?In der Allgemeinen Relativitätstheorie gibt es denBegriff der Gravitationskraft nicht. Freie Teilchenbewegen sich auf Geodäten, d. h. lokal geradeaus.Mathematisch können Geodäten mit den Geodäten-gleichungen beschrieben werden (Abb. 6 für einSchwarzes Loch), was aber für die Schule zu an-spruchsvoll ist.Da eine Geodäte lokal gesehen eine Gerade ist, istsie das auch in unserem maßstäblichen Modell undkann dort einfach mit einem Lineal konstruiert wer-den (Abb. 7).Das 3D-Modell aus Abb. 5 ist für diese Experi-mente etwas unhandlich, wir nehmen deshalb diezweidimensionale (dort grüne) Äquatorfläche her-aus (Abb. 8). Für diese Sektoren geben wir in un-seren Workshops meist Bastelvorlagen aus (obwohldiese, wenn man etwas mehr Zeit hat, auch mitSchulmathematik selbst berechnet werden können).Die einzelnen Sektoren können dann mit Sprühkle-ber für wiederlösbare Verbindungen auf einen Un-tergrund aufgeklebt und hin- und herversetzt wer-den.In Abb. 9 sieht man zwei Punkte, die durch zweiLinien verbunden sind. Beide Linien sind gerade,wie man durch Umlegen der Sektoren zeigen kann(so wurden sie auch konstruiert). D. h. die Aussage,dass zwei Punkte genau eine Gerade festlegen, giltim gekrümmten Raum nicht.Hier entsprechen die zwei Geraden zwei gespann-ten Schnüren. Analog dazu ist die gravitative Licht-ablenkung zu verstehen. Licht breitet sich lokal ge-rade aus und hat trotzdem nach dem Passieren ei-ner großen Masse eine andere Richtung als vorher;es wird „abgelenkt“. Um dies mit unserer Methodekorrekt darzustellen, bräuchte man ein raumzeitli-ches Modell. Ein solches ist auch in unserem Work-shopprogramm enthalten. Es ist aber deutlich an-spruchsvoller, da Grundlagen der Speziellen Rela-tivitätstheorie benötigt werden.4. „Matter tells space how to curve“Zum letzten Punkt, dem Kern der AllgemeinenRelativitätstheorie: Wie hängt die Raum/Raumzeit-Krümmung mit der Materieverteilung zusammen?Dies wird durch die Einsteinschen Feldgleichungenbeschrieben, deren mathematische Behandlung na-türlich weit jenseits des in der Schule Möglichenliegt.Für statische Materieverteilungen gibt es aber ei-ne einfache Form: Die Summe der Krümmungen indrei aufeinander senkrecht stehenden Ebenen an ei-nem Punkt ist direkt proportional zur Materiedichtean diesem Punkt. Die Krümmung dieser drei Ebe-nen kann durch Messungen am Modell ermitteltwerden. D. h. an einem gegebenen Modell kann miteinem Geodreieck und einer einfachen Rechnungdie Materiedichte ermittelt werden.In unseren Workshops setzen wir dafür das vorhergenannte Modell des Schwarzen Lochs sowie einModell des Inneren eines Neutronensterns ein.5. Workshops im SchülerlaborUnser Angebot an Workshops umfasst folgendeThemen:• „Wir basteln ein Schwarzes Loch“ – Schwar-ze Löcher und gekrümmte Räume• „Licht auf krummen Wegen?“ – Lichtab-lenkung im Schwerefeld, Gravitationslinsen,Geodäten• „Wie Materie den Raum krümmt“ – Neutro-nensterne und die Feldgleichungen• „Gravitationswellen“ – Was wellt sich da?• „Flug durch ein Wurmloch“• „Newton vs. Einstein“ – Wurfparabel, Gravi-tationsrotverschiebung• „Das expandierende Universum“Je nachdem wieviel Zeit zur Verfügung steht, kannman in etwa einer Stunde einen Einblick in denBegriff des gekrümmten Raums geben, an einemNachmittag Geodäten und Lichtablenkung hinzu-nehmen und in etwa einem ganzen Tag oder zweiNachmittagen mit den Feldgleichungen eine Kom-pletttour durch die Allgemeine Relativitätstheoriemachen. Als Vertiefung sind die weiteren Themengedacht, die in den Rahmen einer Projektwocheoder Lehrerfortbildung passen können.Nähere Infos, Termine, Kontaktadresse sind auf un-serer Webseite:www.raumzeitwerkstatt.dezu finden.4Workshops zur Allgemeinen Relativitätstheorie im Schülerlabor „Raumzeitwerkstatt“Abb. 5: Links: Computergeneriertes Klötzchenmodell einer Hohlkugel, die ein Schwarzes Loch im Zentrumhat. Rechts: Pappmodelle.d2tdλ 2 =−2Mr2(1−2Mr)−1 drdλdtdλd2rdλ 2 =−Mr2(1−2Mr)dtdλ2+Mr2(1−2Mr)−1 drdλ2+(r−2M)(dθdλ2+ sin2 θ dφdλ2)d2θdλ 2 =−2rdθdλdrdλ + sinθ cosθdφdλ2d2φdλ 2 =−2rdφdλdrdλ −2cotθdφdλdθdλ .Abb. 6: Geodätengleichungen in der Schwarzschild-metrik. Werkzeug: Computer.Abb. 7: Geodäte auf der Sektorkarte. Werkzeug: Li-neal!Abb. 8: Eine gestückelte Karte für einen Teil derÄquatorebene des Schwarzen Lochs.Abb. 9: Ein Geradenstück auf der zweidimensionalenKarte (untere Linie).5Zahn, Kraus6. Literatur[1] Kraus, U.; Zahn, C.: Das Schülerlabor „Raum-zeitwerkstatt“ an der Universität Hildesheim,Tagungsbeitrag zur Frühjahrstagung Didaktikder Physik, Hannover 2010.[2] Regge, T.: General Relativity without Coordi-nates, Il Nuovo Cimento 19, 558–571, 1961.[3] Epstein, L. C.: Relativity Visualized, Insight,San Francisco, 1994, Kap. 10–12.[4] Jonsson, R. M.: Embedding Spacetime via aGeodesically Equivalent Metric of Euclide-an Signature, Gen. Relativ. Gravit. 33, 1207–1235, 2000.[5] Kahnt, M.; Korte, S.: Newtons fallender Apfelals Effekt der Raumzeitkrümmung, Frühjahrs-tagung Didaktik der Physik, Hannover 2010.[6] Jonsson, R. M.: Visualizing curved spacetime,Am. J. Phys. 73 (3), 248–260, 2005.[7] Marolf, D.: Spacetime embedding diagramsfor black holes, Gen. Rel. Grav. 31 (1999) 919,[arXiv:gr-qc/9806123].[8] Abbott, E. A.: Flatland, A Romance in Ma-ny Dimensions, Seely & Co., 1884; deutscheÜbersetzung: Flächenland. Ein mehrdimensio-naler Roman, Klett Verlag, 1982.[9] Storey, B.: Illustrationen im Auftrag der Stan-ford University für eine Broschüre zu GravityProbe B, URL:http://einstein.stanford.edu/content/pict_gal/barren_storey/[10] Zahn, C.; Kraus, U.: Wir basteln ein Schwar-zes Loch, Arbeitsheft mit Bastelbögen, 2004Bärenverlag (nur Direktvertrieb) oder onlineURL:http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de/graum/graum.html[11] Kraus, U.; Zahn, C.: Wir basteln ein Schwar-zes Loch – Unterrichtsmaterialien zur Allge-meinen Relativitätstheorie, Praxis der Natur-wissenschaften Physik, Didaktik der Relativi-tätstheorien, Heft 4/54, 38–43, 2005.6

Workshops zur Allgemeinen Relativitätstheorie im Schülerlabor "Raumzeitwerkstatt" an der Universität Hildesheim

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