Schulmathematik beschreibt in weiten Teilen physikalische Referenzobjekte (Anschauungsmittel, Anwendungskontexte, etc.) und auch schulmathematisches Argumentieren ist oft ausgerichtet an empirischer Überprüfbarkeit. Die Entwicklung von Schulmathematik in empirischen Theorien ermöglicht Diskussionspunkte mit der Physikdidaktik. Der Vortrag eröffnet einen vergleichenden Blick auf die Wissensentwicklung in beiden Schulfächern

Krause, Eduard

Witzke, Ingo

PhyDid - Physik und Didaktik in Schule und Hochschule (E-Journal, FU Berlin)

Didaktik der Physik  Frühjahrstagung – Hannover 2016 1 Erkenntnistheoretische Parallelen von Schulphysik und –mathematik Vergleichende Beschreibungen im Rahmen des Konzeptes empirischer Theorien Ingo Witzke*, Eduard Krause+ *Walter-Flex-Straße 3, 57068 Siegen, +Adolf-Reichwein-Straße 3, 57068 Siegenwitzke@mathematik.uni-siegen.de, krause@physik.uni-siegen.de Kurzfassung Schulmathematik beschreibt in weiten Teilen physikalische Gegenstandsbereiche (Anschauungs-mittel, Anwendungskontexte, etc.) und schulmathematisches Argumentieren ist häufig ausgerichtet an empirischer Überprüfbarkeit. Die Rekonstruktion von Schulmathematik im Sinne sogenannter empirischer Theorien (Strukturalismus) ermöglicht interessante Diskussionspunkte mit der Phy-sikdidaktik. Der Vortrag eröffnet einen vergleichenden Blick auf erkenntnistheoretische Parallelen beider Schulfächer und gibt Ausblicke, wie diese für fächerverbindendes Lehren und Forschen ge-nutzt werden können.  1. Der pragmatische Zusammenhang von Ma-thematik und PhysikMathematische Kompetenzen spielen bekanntlich eine große Rolle im Physikunterricht. Häufig benö-tigte Fertigkeiten sind dort beispielsweise das Um-stellen von Gleichungen, das Ableiten von Funktio-nen oder das Bestimmen von Mittelwerten u.v.m. Reduziert man Mathematik in physikalischen Zu-sammenhängen auf diese (algebraischen) Fertigkei-ten läuft man Gefahr der Mathematik einen reinen Werkzeugcharakter beizumessen und damit eine unangemessene Auffassung von Mathematik im Schulunterricht zu vermitteln.  Während Mathematik schon lange explizit eine wichtige Rolle im Physikunterricht spielt, erfreut sich nun auch der Umgang mit physikalischen Ge-genständen und Kontexten im Mathematikunterricht zunehmender Beliebtheit. Dabei geht es nicht nur um die Anwendung mathematischer Inhalte auf physikalische Beispiele, sondern auch um die Me-thoden der Physik. Allen voran wird das Experimen-tieren, zunehmend im Mathematikunterricht einge-setzt [9].  Wenn, wie in manchen didaktischen Modellen be-schrieben, die Physik nur auf den Anwendungspool für den Mathematikunterricht reduziert wird und die Mathematik wiederum nur als „Werkzeugkasten“ für die Naturwissenschaften gesehen wird, verliert man viel natürliches Kooperationspotential. Diese ver-kürzte Darstellung des Zusammenhangs und die darin angelegte strikte Trennung beider Fächer wird zudem den historischen Entstehungsgründen nicht gerecht. So wurde der Bezug zur (physikalischen) Empirie lange als ganz natürlicher Bestandteil der Mathematik gesehen. Moritz Pasch sagt beispiels-weise: „Die geometrischen Begriffe bilden eine besondere Gruppe innerhalb der Begriffe, welche überhaupt zur Beschreibung der Außenwelt dienen […] und wonach wir in der Geometrie nichts weiter erblicken als einen Theil der Naturwissenschaft“ [10]. Leonhard Euler bezeichnet die Mathematik als eine „Wissenschaft der Größen, welche Mittel aus-findig macht, wie man diese ausmessen kann.“ [4] Andererseits nutzt die Physik ganz natürlich deduk-tive Methoden, die eher mit der Mathematik verbun-den werden. Spätestens seit Einführung der experi-mentellen Methode Galileis sind diese nicht nur Werkzeug, sondern als essentielles Glied in den Prozess der Erkenntnisgewinnung eingebunden [8]. Aus unserer Sicht sollten Mathematik- wie Physik-lehrende sich solcher tiefliegenden erkenntnistheore-tischen  Parallelen bewusst sein, wie wir im Weite-ren ausführen werden. In wie fern sind nun physikalische Anwendungen und Methoden sinnvoll für den Mathematikunter-richt und mathematische Schlüsse für den Physikun-terricht? Welches Bild von Physik bzw. Mathematik wird durch diesen Bezug vermittelt? Welches sind (erkenntnistheoretische) Parallelen beider Fächer und wie können sie fächerverbindend gelehrt wer-den, um adäquate Vorstellungen des jeweils anderen Faches zu vermitteln? Diese Fragen sollen im Fol-genden näher umrissen werden. 2. Anschaulicher und experimenteller Mathema-tikunterrichtDer anwendungsorientierte und experimentelle Ma-thematikunterricht gilt aus vielerlei Hinsicht als sinnvoll. Aus bildungstheoretischen Gründen sollten Schülerinnen und Schüler mit Hilfe der Mathematik Ereignisse in der Gesellschaft, Kultur und Natur in einer spezifischen Art und Weise wahrnehmen und verstehen [14]. Des Weiteren gibt es auch entwick-lungspsychologische Argumente für das händische Witzke, Krause 2 und induktive Schließen im Mathematikunterricht [vgl. 2]. Wie jeder didaktische Ansatz birgt der an-wendungsorientierte und experimentelle Mathema-tikunterricht aber auch Risiken, die es zu beachten gilt. Alan Schoenfelds systematische Auswertung von Schülertransskripten in Problemlösekontexten macht deutlich, dass ein verkürzender anschauungs-orientierter Mathematikunterricht Gefahr läuft, eine naiv-empirische Auffassung von Mathematik zu vermitteln. Als naiv-empirische Auffassung charak-terisiert Schoenfeld vereinfacht gesagt  solche, in denen rein anschaulich, d.h. ohne logische Schlüsse argumentiert wird. Charakteristisch für diese Ma-thematikauffassung ist, dass Ideen und Vermutungen über das Betrachten von Zeichnungen generiert werden und auch die Überprüfung von Hypothesen geschieht anhand von Zeichnungen. Damit spielen Deduktionen keine Rolle [11, S. 161]. Es werden beispielsweise zwei sich logisch widersprechende Lösungen eines geometrischen Problems gleicher-maßen als richtig angesehen, weil die Zeichnungen jeweils „richtig aussehen“: Die konkrete Aufgabe zu der in Abb.1 gegebenen Schülerlösung  war, zwi-schen zwei gegebenen sich in einem Punkt schei-denden Geraden einen Kreis zu konstruieren, der die beiden Geraden als Tangenten besitzt. Ein Berühr-punkt war dabei vorausgesetzt. Die von zwei Schü-lern gegebene Lösung B ist korrekt, enthält sie doch u.a. den grundsätzlichen Zusammenhang, dass Radi-us und Tangente im Berührpunkt orthogonal sind. Lösung A, welche von denselben Schülern gleich-zeitig als richtig angesehen wurde, widerspricht dieser Lösung aus logischen Gründen – erscheint aber im Ergebnis richtig zu sein. Diese als „naiv-empirisch“ titulierte Mathematikauffassung ist si-cherlich einem für Schüler angemessenen Mathema-tikbild hinderlich, eine „empirische“, d.h. eine sol-che die reale ontolgische Bindungen mit deduktiven Schlussweisen verbindet, dagegen förderlich [vgl. 15 und 17]. Im Bereich dieses theoretischen Modells zur Be-schreibung von Schülerauffassungen in Problemlö-seprozessen sehen wir ein großes Anknüpfungspo-tential zur Physikdidaktik – denn auch hier, so eine vorsichtig zu formulierende These, erscheint in den letzten Jahre eine gewisse Tendenz zur einseitigen Vernachlässigung von deduktiven Schlüssen (z.B. im Sinne der experimentellen Methode) im Ver-gleich zu tentativ-induktiven Elementen erkennbar zu sein [12]. Damit wird auch die Vermittlung rudi-mentärer physikalischer Prinzipien vernachlässigt, die für die Entwicklung physikalischen Wissens eine wichtige Rolle spielen [7]. 3. Schulmathematik und Physik als empirische Theorien Zur exemplarischen Beschreibung der erkenntnis-theoretischen Parallelen zwischen Schulmathematik und Physik soll ein Brief Einsteins an Solovine ge-nutzt werden [reprinted und kommentiert bei 6]. Einstein spricht sich gegen die Auffassung aus, dass physikalische Gesetze zur Beschreibung der Natur ausschließlich durch induktive Verallgemeinerung generiert werden. Für ihn sind zentrale physikalische Begriffe und Axiome ad hoc-Setzungen, aus denen Sätze geschlussfolgert werden können. Diese gefol-gerten Sätze werden in der Physik dann an der Em-pirie überprüft. Dieses Vorgehen, das schematisch in Abbildung 2 dargestellt ist, scheint gewisse Paralle-len zu Vorgehensweisen im modernen Mathematik-unterricht aufzuweisen.  Denn die die Begriffe und Axiome sind auch dort geistige Schöpfung, die aus ihnen gefolgerten Sätze sollen zum Zweck der Wirklichkeitserschließung auf die Realität angewendet werden. Struve führt bei-spielweise im Zusammenhang der (anschauungsge-bundenen) Schulgeometrie aus: „Die so beschriebe-Abb. 1: Bei einer naiv-empirischen Auffassung von Phy-sik können sich logisch widersprechende Lösungen als richtig angesehen werden, wenn die Zeichnung richtig anmutet [11]. Abb. 2: Einsteins schematische Darstellung zur Methodik der Physik. Erkenntnistheoretische Parallelen zwischen Schulphysik und -mathematik 3 ne Auffassung kann man mit der eines Naturwissen-schaftlers vergleichen. Die Ergebnisse eines Expe-rimentes „erklärt“ er mit Hilfe einer Theorie. Die Theorie gibt ihm aber nicht die Gewissheit, dass die Tatsache gilt, die er im Experiment nachgewiesen hat“ [3, S. 35]. Damit unterscheidet sich Schulmathematik von allgemeiner (Hochschul-) Mathematik, die – spätes-tens seit Hilbert – keine realistischen ontologischen Verpflichtungen mehr hat. In der formalistischen Mathematik ist Existenz und Wahrhaftigkeit durch innere Konsistenz und Widerspruchsfreiheit charak-terisiert. Möchte man dagegen die Mathematik in der Schule anwendungsorientiert und anschauungs-gebunden lehren und keine „naiv-empirische“ Auf-fassung anregen, so gibt das in Abbildung 2 schema-tisch dargestellte Konzept viele interessante An-knüpfungspunkte und Erklärungsansätze. In diesem Sinne lässt sich in der Physik [12] wie in der Schul-mathematik [3 und 16] das wissenschaftstheoreti-sche Konzept der empirischen Theorien, in ihrer strukturalistischen Rekonstruktion, gewinnbringend zur vergleichenden Beschreibung und Deutung von Erkenntnisprozessen nutzen [1]. 4. Forschungspotential  Der Ansatz, Bereiche der Schulmathematik und der Physik im Sinne empirischer Theorien zu beschrei-ben, betont die Gemeinsamkeiten und nicht die (ge-wiss bestehenden) Unterschiede beider Disziplinen. Er stellt damit eine Grundlage für interdisziplinäres Forschen und Lehren dar. Im Forschungsverbund der MINT-Didaktiken der Universität Siegen (MINTUS) werden u.a. im Rahmen dieses Ansatzes erkenntnistheoretische Parallelen von Physik und Mathematik beschrieben und der didaktischen Community zugeführt (Dissertationsprojekt Er-PaSS). Konkret geht es dabei u.a. um die Grundle-gung und Konzeption von fächerverbindendem Un-terricht sowie die Erforschung der Übergangsprob-lematik von der Schule zur Hochschule in den MINT-Fächern. 5. Literatur [1] Balzer, W.; Moulines, C.U.; Sneed J. (1987): An Architectonic for Science. New York: Springer [2] Bruner, J. S. , Oliver, R. S. & Greenfield, P. M. (1971): Studien zur kognitiven Entwicklung. Stuttgart: Kohlhammer. [3] Burscheid, H. J.; Struve, H. (2010): Mathema-tikdidaktik in Rekonstruktionen. Ein Beitrag zu ihrer Grundlegung. Hildesheim: Franzbecker. [4] Euler, L. (1770): Vollständige Anleitung zur Algebra. Teil 1, §2 [5] Gopnik, Alison; Meltzoff, Andrew N. (1998): Words, thoughts, and theories. Cambridge, MA: MIT Press (A Bradford book). [6] Holton, G. (1981): Thematische Analyse der Wissenschaften – Die Physik Einsteins und sei-ner Zeit. Frankfurt am Main: Suhrkamp Verlag [7] Krause, E. (2013): Das Erhaltungsprinzip in der Physik und seine Anwendung im Physikunter-richt. Dissertation an der Universität Siegen. [8] Kuhn, W. (2001): Ideengeschichte der Physik. Braunschweig: Vieweg-Verlag. [9] Leuders, T. & Philipp, K. (2012). Innermathe-matisches Experimentieren – empiriegestützte Entwicklung eines Kompetenzmodells und Evaluation eines Förderkonzepts. In: Rieß, W., Wirtz, M., Barzel, B. (Hrsg). Experimentieren im mathematisch-naturwissenschaftlichen Un-terricht – Theoretische Fundierung und empiri-sche Befunde. Münster: Waxmann. S.285-300 [10] Pasch, M. (1882): Vorlesungen über die neuere Geometrie. Berlin: Springer-Verlag [11] Schoenfeld, Alan H., (1985): Mathematical Problem Solving. Orlando et al.: Academic Press.  [12] Sneed, J. D. (1979): The Logical Structure of Mathematical Physics. Second Edition. Dord-recht: Reidel Publishing Company [13] Uhden, O. (2012): Mathematisches Denken im Physikunterricht – Theorieentwicklung und Problemanalyse. Dissertation an der techni-schen Universität Dresden. [14] Winter, H. (1996): Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der Gesell-schaft für Didaktik der Mathematik Nr. 61, 37-46 [15] Witzke, I. (2009): Die Entwicklung des Leib-nizschen Calculus. Eine Fallstudie zur Theorie-entwicklung in der Mathematik, Texte zur ma-thematischen Forschung und Lehre, Bd. 69, Verlag Franzbecker, Berlin et al. (Dissertation). [16] Witzke, I. (2014): Zur Problematik der empi-risch-gegenständlichen Analysis des Mathema-tikunterrichtes. Der Mathematikunterricht, Jahrgang 60, 2, S. 19-32.  [17] Witzke, I. (2015): Different understandings of mathematics. An epistemological approach to bridge the gap between school and university mathematics. ESU 7, S. 304-322.   

Erkenntnistheoretische Parallelen zwischen Schulphysik und –mathematik. Vergleichende Beschreibung im Rahmen des Konzepts empirischer Theorien.

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