'FSBEIHE Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University'
Doi
Abstract
In this paper the problem of the width for verbal subgroups in different classes of groups is considered. We give a review the results obtained in this direction. The width of the verbal subgroups V (G) is equal to а least value of m ∈ N ∪ {+∞} such that every element of the subgroup V (G) is represented as the product of at most m values of words V ±1 . The results about the width of verbal subgroups for free products and other free group constructions, such as free products with amalgamation and HNN-extensions are indicated. A. H. Rhemtulla solved the question of conditions for infinity of the width of any proper verbal subgroups in free products. V. G. Bardakov and I. V. Dobrynina received similar results for the free products with amalgamation and HNN-extensions, for which associated subgroups are different from the base group. Also, V. G. Bardakov completely solved the problem of the width of verbal subgroups in the group of braid. Many mathematicians studied the width of verbal subgroups generated by words from commutator subgroup for some classes of groups. R. I. Grigorchuk found conditions for infinity such verbal subgroups of free products with amalgamation and HNN-extensions, for which associated subgroups are different from the base group. D. Z. Kagan obtained the corresponding results on width of verbal subgroups generated by words from commutator subgroup for groups with one defining relation and two generators, having a non-trivial center. Authors obtained the results about infinity of the width of verbal subgroups for groups with certain presentations, as well as for anomalous products of various types of groups. Also many results about verbal subgroups of Artin and Coxeter groups and graph groups are considered in the article. В данной работе рассматриваются вопросы о ширине собственных вербальных подгрупп для различных классов групп. Приводится обзор результатов, полученных в этом направлении. Ширина вербальной подгруп- пы V (G) равна наименьшему числу m ∈ N ∪ {+∞} такому, что всякий элемент подгруппы V (G) записывается в виде произведения не более чем m значений слов V ±1 . Рассматриваются результаты о ширине вербальных подгрупп для свободных произведений и других свободных групповых конструкций, таких как свободные произведения с объединением и HNN-расширения. А. Х. Ремтулла решил вопрос об условиях бесконечности ширины всякой собственной вербальной подгруппы в свободных произведениях групп. В. Г. Бардаков и И. В. Добрынина получили аналогичные результаты для свободных произведений с объединением и HNN-расширений, в которых связные подгруппы отличны от базовой группы. Также В. Г. Бардаков полностью решил вопрос о ширине вербальных подгрупп в группе кос. Для некоторых классов групп получены результаты о ширине коммутантных вербальных подгрупп, порожденных словами из коммутанта. Р. И. Григорчук определил условия бесконечности коммутантных вербальных подгрупп в свободных произведениях с объединением и HNN- расширениях, в которых связные подгруппы отличны от базовой группы. Д. З. Каганом получены соответсвующие результаты о ширине коммутантных вербальных подгрупп для групп с двумя образующими и одним определяющим соотношением с нетривиальным центром. Авторами были получены результаты о бесконечности ширины вербальных подгрупп для групп, обладающих определенными копредставлениями, а также для аномальных произведений различных типов групп. В статье также рассматриваются различные результаты о вербальных подгруппах в группах Артина и Кокстера, в граф-группах.
