НЕКОТОРЫЕ АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП КОНЕЧНОГО РАНГА

Abstract

The generalization of one classical Smel’kin’s theorem for polycyclic groups is obtained. A. L. Smelkin proved that if G is a polycyclic group, then it is a virtually residually finite p-group for any prime p. Recall that a group G is said to be a residually finite p-group if for every nonidentity element a of G there exists a homomorphism of the group G onto some finite p-group such that the image of the element a differs from 1. A group G will be said to be a virtually residually finite p-group if it contains a finite index subgroup which is a residually finite p-group. One of the generalizations of the notation of polycyclic group is a notation of soluble finite rank group. Recall that a group G is said to be a group of finite rank if there exists a positive integer r such that every finitely generated subgroup in G is generated by at most r elements. For soluble groups of finite rank the following necessary and sufficient condition to be a residually finite π-group for some finite set π of primes is obtained. If G is a group of finite rank, then the group G is a residually finite π- group for some finite set π of primes if and only if G is a reduced poly-(cyclic, quasicyclic, or rational) group. Recall that a group G is said to be a reduced group if it has no nonidentity radicable subgroups. A group H is said to be a radicable group if every element h in H is an mth power of an element of H for every positive number m. It is proved that if a soluble group of finite rank is a residually finite π- group for some finite set π of primes, then it is a virtually residually finite nilpotent π-group. We prove also the following generalization of Smel’kin’s theorem. Let π be a finite set of primes. If G is a soluble group of finite rank, then the group G is a virtually residually finite π-group if and only if G is a reduced poly-(cyclic, quasicyclic, or rational) group and G has no π-radicable elements of infinite order. Recall that an element g in G is said to be π-radicable if g is an mth power of an element of G for every positive π-number m. Получено обобщение одной классической теоремы Шмелькина о полициклических группах. А. Л. Шмелькин доказал, что если G — полицик- лическая группа, то она почти аппроксимируема конечными p-группами для любого простого числа p. Напомним, что группа G называется аппроксимируемой конечными p-группами, если для каждого неединичного элемента a группы G существует гомоморфизм группы G на конечную p-группу, при котором образ элемента a отличен от 1. Группа G назы- вается почти аппроксимируемой конечными p-группами, если она содержит подгруппу конечного индекса, которая аппроксимируема конечными p-группами. Одним из обобщений понятия полициклической группы является по- нятие разрешимой группы конечного ранга. Напомним, что группа G называется группой конечного ранга, если существует целое положительное число r такое, что любая конечно порожденная подгруппа группы G порождается не более чем r элементами. Для разрешимой группы конечного ранга получено следующее необходимое и достаточное условие аппроксимируемости конечными π-группами для подходящего конечного множества π простых чисел. Группа G конечного ранга аппроксимируема конечными π-группами для некоторого конечного множества π простых чисел тогда и только тогда, когда G является редуцированной поли-(циклической, квазициклической, рациональной) группой. Напомним, что группа G называется редуцированной, если в ней нет неединичных полных подгрупп. Группу H мы называем полной, если в ней из любого элемента h можно извлечь корень любой натуральной степени. Доказано, что если разрешимая группа конечного ранга аппроксимируема конечными π-группами для некоторого конечного множества π простых чисел, то она почти аппроксимируема конечными нильпотентными π-группами. Доказано также следующее обобщение сформулированной выше теоремы Шмелькина. Пусть π — фиксированное конечное множество простых чисел. Разрешимая группа G конечного ранга почти аппроксимируема конечными π-группами тогда и только тогда, когда G — редуцированная поли- (циклическая, квазициклическая, рациональная) группа, не содержащая π-полных элементов бесконечного порядка. Напомним, что элемент g группы G называется π-полным, если для каждого π-числа m из элемента g можно извлечь в группе G корень m-й степени