学位の種別: 課程博士審査委員会委員 : （主査）東京大学准教授 坂井 秀隆, 東京大学教授 時弘 哲治, 東京大学教授 中村 周, 東京大学教授 寺杣 友秀, 東京大学准教授 植田 一石University of Tokyo(東京大学

Matsubara Saiei

松原 宰榮

UTokyo Repository

論文内容の要旨
博士論文題目
Studies on integral representations of GKZ hypergeometric functions
(GKZ超幾何函数の積分表示に関する研究)
氏名　　松原　宰榮
1 研究背景および動機
本論文では GKZ超幾何函数の 5つの実現、級数表示、Mellin-Barnes型積分表示、Laplace積分
表示、Residue積分表示、Euler積分表示、の間の関係を明らかにする。GKZ超幾何函数とは、あ
る多項式係数線形偏微分方程式系MA(c)の解を指す。MA(c)は n ×N 整数行列 Aとパラメーター
ベクトル c ∈ Cn×1の情報で定義される。任意のパラメーター cに対して、MA(c)はホロノミー系と
なることが知られている（Adolphson）。一般に、Aから定まる格子 L上の級数 ϕv(z)を Γ級数と呼
ぶ。ここで行列Aを特別にとることにより、Γ級数 ϕv(z)は古典的な超幾何級数（Gauss, Kummer,
Hermite-Weber, Bessel, Airy, Appell-Lauricella, Horn）となる。従って、GKZ超幾何函数は古典超
幾何級数の一般化であると捉えられる。更に、Gelfand, Ferna´ndez-Ferna´ndezによる次の定理が知
られている。
Theorem (Ferna´ndez-Ferna´ndez, G.-K.-Z.).
Aから定まるNewton多面体∆Aの良い正則三角形分割 T を一つとる。T に応じて有限Abel群の族
{Gσ}σが定まり、
⋃
σ∈T Gσでラベルづけられた Γ級数
⋃
σ∈T {ϕvkσ}k∈Gσ がMA(c)の解空間の基底を
なす。
このように、GKZ超幾何函数の級数表示の理論はよく整備されていると言える。他方で、古典的超
幾何函数たちはすべて初等函数を積分核にもつ積分表示を持っている。積分核が Γ函数、指数関数、
多項式の冪積函数からなるとき、それぞれMellin-Barnes型積分表示、Laplace型積分表示、Euler
型積分表示という。他方、GKZ超幾何函数の文脈では、MA(c)が正則ホロノミー系であるときに
Mellin-Barnes型積分表示がBeukersによって、Euler型積分表示がGelfand, Kapranov, Zelevinsky
によって導入、研究され、一般のMA(c)に対する Laplace積分表示がGelfand, Adolphsonらによっ
て導入、Schulze, Waltherなどにより研究された。また、MA(c)が正則ホロノミー系であるときに
多変数特有の積分表示であるResidue積分表示がBeukersによって導入された。また、Cayley trick
と呼ばれる方法により、Euler積分表示は Laplace積分表示へと変換できることが知られていた。そ
こで次のような問題が自然と設定される。
1
問題 1.級数表示と積分表示はどのように関係するか。また級数解を与えるサイクルを組み合わせ的
手続きで作ることができるか。
問題 2.種種の積分表示の間にはどのような関係があるか。
本博士論文ではこれらの疑問に対する解答を与える。本論文では格子の生成条件 ZA = Zn×1を仮
定する。
2 第一部：Mellin-Barnes型積分表示とΓ級数
第一部では不確定特異点型も込めたGKZ超幾何函数のMellin-Barnes型積分表示を導入し、Laplace
積分表示、および Γ級数との関係を述べる。まず、次が基本的である。
Theorem.
∆A = c.h.{0, a+1 e(1),−a−1 e(1), . . . , a+l e(l),−a−l e(l), al+1e(l+1), . . . , ane(n)} で、cが non-resonant
であるとき、Laplace積分表示のサイクルの空間Hr.d.n (Tn)は一次元のサイクルの空間Hr.d.1 (T)の直
積である。ここに、Hr.d.∗ (T∗)はM.Hienの急減少ホモロジー群である。
この定理に現れるサイクル上で形式的に積分をすることにより、次のMellin-Barnes型積分表示に
到達する。σ ⊂ {1, . . . , N} を n 元集合で detAσ ̸= 0 となるもの（これを n-simplex という）、
σ¯ = {1, . . . , N} \ σとおく。この時、
Fσ(z) =
z−A
−1
σ c
σ
(2pi
√−1)N−n
∫
Cσ
Γ(sσ)(e
pi
√−1zσ)−sσzA
−1
σ Aσsσ
σ
Γ(1−A−1σ (c−Aσsσ))
dsσ
とおいてこれをMellin-Barnes型積分表示と呼ぶ。ここで、Cσ¯はHankel contourの直積である。次
の定理が第一部の主結果である。
Theorem.
T を正則三角形分割で、∀σ ∈ T , |A−1σ a(j)| ≤ 1(∀j ∈ σ¯)となるものとする。cは T に対して generic
であるとする。この時、各元 k˜ ∈ Ĝσ = HomZ(Gσ,Q/Z)に対して Fσのある解析接続 Fσ,k˜を対応さ
せることができ、⋃σ∈T {Fσ,k˜}k˜∈Ĝσ はMA(c)の解の基底をなす。また、この基底と Γ級数からなる
基底⋃σ∈T {ϕvkσ}k∈Gσ の間の変換行列は（対角行列）×（Gσ の指標行列の直和）で与えられる。
この TheoremによりMellin-Barnes積分に対する問題 1が解かれたことになる。
3 第二部之一：Laplace, Residue, Euler積分表示に対するサイクルの
構成
この節では三角形分割に付随するトーラスの被覆変換を通じて 3種類の積分表示に対する積分サイ
クルを構成し、Γ級数との対応を与える。以下の内容は §3, §4, §5に対応する。A = (a(1) | · · · | a(N))
と書くとき、この行列に付随した Laurent多項式を hz(x) =
∑N
j=1 zjx
a(j)と置く。この時、
fΓ(z) =
1
(2pi
√−1)n
∫
Γ
ehz(x)xc−1dx
を Laplace積分表示と呼ぶ。fΓ(z)は実際MA(c)の解である。各 n-simplex σに対してトーラスの被
覆変換を pσ : (C×)nx ∋ x 7→ ξσ = xAσ ∈ (C×)nξσ で定める。すると、σに付随した標準的なサイクル
2
を、(C×)nξσ における Hankel contourと Pochhammer cycleの直積の、pによる pull-backとして作
れる。（cycleの pull-backは Poincare´ dualityを通じて作る。）これを Γσ,0と書く。Laplace積分表
示のサイクルの構成に関しては次が主結果である。
Theorem.
T を正則三角形分割で、∀σ ∈ T , |A−1σ a(j)| ≤ 1(∀j ∈ σ¯)となるものとする。cは T に対して generic
であるとする。この時、各元 k˜ ∈ Ĝσ に対して Γσ,0 の pについての被覆変換 Γσ,k˜ を対応させるこ
とができ、⋃σ∈T {fΓσ,k˜}k˜∈Ĝσ はMA(c)の解の基底をなす。また、この基底と Γ級数からなる基底⋃
σ∈T {ϕvkσ}k∈Gσ の間の変換行列は（対角行列）×（Gσの指標行列の直和）×（対角行列）で与えら
れる。
次に Residue及び Euler積分表示に対する結果を述べる。hl,z(l)(x) =
∑Nl
j=1 z
(l)
j x
a(l)(j)(l = 1, . . . , k)
を x変数に対するトーラス Tnx上の Laurent多項式たちとする。この時、Residue, Euler積分表示を
順に
1
(2pi
√−1)n+2k
∫
Γ
yγ1−11 . . . y
γk−1
k x
c−1dydx∏k
l=1(1− ylhl,z(l)(x))
,
1
(2pi
√−1)n+k
∫
Γ
k∏
l=1
hl,z(l)(x)
−γlxc−1dx
で定義する。fΓ(z)でこれらの積分のいずれかを表す。n×Nl行列AlをAl = (a(l)(1) | · · · | a(l)(Nl))
で定義し、n×N (N = N1 + · · ·+Nk)行列Aを
A =

1 · · · 1 0 · · · 0 · · · 0 · · · 0
0 · · · 0 1 · · · 1 · · · 0 · · · 0
...
...
. . .
...
0 · · · 0 0 · · · 0 · · · 1 · · · 1
A1 A2 · · · Ak

で定義する。d =
(
γ
c
)
と置く時、fΓ(z)はMA(d)の解である。各 (n + k)-simplex σに対してトー
ラスの被覆変換を pσ : (C×)n+k(y,x) ∋ (y, x) 7→ ξσ = (y, x)Aσ ∈ (C×)n+kξσ で定める。この時、Residue積
分表示における σに付随した標準的なサイクルを、(C×)nξσ における Pochhammer cycleの直積の、
pによる pull-backとして作れる。これを Γσ,0と書く。Residue積分表示のサイクルの構成に関して
は次が主結果である。
Theorem.
T を正則三角形分割であるとする。dは T に対して genericであるとする。この時、各元 k˜ ∈ Ĝσに
対して Γσ,0の pについての被覆変換 Γσ,k˜を対応させることができ、
⋃
σ∈T {fΓσ,k˜}k˜∈Ĝσ はMA(c)の
解の基底をなす。また、この基底と Γ級数からなる基底⋃σ∈T {ϕvkσ}k∈Gσ の間の変換行列は（対角行
列）×（Gσ の指標行列の直和）で与えられる。
Euler積分表示については、座標変換はより対称的でない複雑な形をしている。まず、各 (n+k) simplex
σに対してうまく n元部分集合 τ を取り出す。この τ と Aの情報から被覆変換 p : (C×)n → (C×)n
が定まり、再び標準的サイクル Γσ,0が定義される。この時、次の Euler積分表示に関する主結果を
得る。
Theorem.
T を正則三角形分割であるとする。dは T に対して genericであるとする。この時、各元 k˜ ∈ Ĝσに
3
対して Γσ,0の pについての被覆変換 Γσ,k˜を対応させることができ、
⋃
σ∈T {fΓσ,k˜}k˜∈Ĝσ はMA(c)の
解の基底をなす。また、この基底と Γ級数からなる基底⋃σ∈T {ϕvkσ}k∈Gσ の間の変換行列は（対角行
列）×（Gσ の指標行列の直和）で与えられる。
4 第二部之二：混合型積分表示の同値性とそのサイクルの構成
この節では以下の Laplace,Residue,Euler積分表示を補完するような 3つの積分表示を考え、それ
らの同値性をD加群の順像の同型として示す。以下の内容は §6に対応する。まず、一般にXを滑ら
かな代数多様体、ϕをX上の多価函数で dϕϕ がX上の代数的 1形式となるものとするとき、OXϕでX
上の捻った接続 (OX ,∇)、∇ = d− dϕϕ ∧を表す。hl,z(l)(x) =
∑Nl
j=1 z
(l)
j x
a(l)(j)(l = 0, . . . , k)をx変数に
対するトーラスTnx上の Laurent多項式たちとする。この時、hz(y, x) = h0,z(0)(x)+
∑k
l=1 ylhl,z(l)(x)
と置く。また、
A =

0 · · · 0 1 · · · 1 0 · · · 0 · · · 0 · · · 0
0 · · · 0 0 · · · 0 1 · · · 1 · · · 0 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 · · · 0 0 · · · 0 0 · · · 0 · · · 1 · · · 1
A0 A1 A2 · · · Ak

と定める。この時、以下が第二部之二の主結果である。
Theorem.
Ωz でAのNewton non-degenerate locusを表す。以下のD-加群の標準的同型が存在する。
MA(d)|Ωz ≃
∫
ϖ
OΩz×(C×)ky×(C×)nxyγxcehz(y,x)
≃
∫
pi
O
Ωz×(C×)nx\
{
h
1,z(1)
···h
k,z(k)
=0
}h−γ11 · · ·h−γkk xceh0,z(0) (x)
≃
∫
ϖ˜z
O
Ωz×(C×)ky×(C×)nx\
{
(1−y1h1,z(1) )···(1−ykhk,z(k) )=0
}yγxceh0,z(0) (x).
ここに、ϖ, pi, ϖ˜はそれぞれ Ωz への射影である。
この定理における第一の同型は本質的に Schulze-Waltherによるものであり、学位申請者の結果は二
番目以降の同型である。2つ目の同型は通常Cayley trickとして知られているものであり、専門家は
implicitに認識していたように思われる。しかし、D加群の順像としての定式化は学位申請者による
ものが初と思われる。また、3つ目の同型は Lerayの composed residueに対応するもので、多変数
複素解析学における基本的な同型をGKZ超幾何系にあてはめたものと思える。Residue積分表示に
ついては解空間とサイクルの空間の対応が得られていなかったが、上の定理において h0,z(0)(x) = 0
とし、Riemann-Hilbert対応（の一部）を用いると次の結果を得る。
Corollary.
パラメーター dが generic（より正確な記述あり）であるとき、以下の局所系の間の同型が存在する。∫
: Rn+kϖ!(CY˜ any
γxc)
∣∣∣
Ωan
∋ Γ 7→
∫
Γ
yγ−1xc−1dydx
(1− y1h1,z(1)(x)) · · · (1− ykhk,z(k)(x))
∈ SolMA(c)
∣∣
Ωan
.
ただし、Y˜ = Ωz × (C×)ky × (C×)nx \
{
(1− y1h1,z(1)) · · · (1− ykhk,z(k)) = 0
}
最後に、§7においては上記の Theoremに現れる積分表示に対応するサイクルの基底を構成し、
§3,§4,§5同様に Γ級数との対応を導いている。
4


GKZ超幾何函数の積分表示に関する研究

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GKZ超幾何函数の積分表示に関する研究

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