Fujimura, Hisashi

Kiyama, Hideo

Nishimura, Tsuyoshi

Takayama, Shinsuke

Tottori University Research Result Repository

要素分離を表現する流動要素法解析手順西村  強・木山 英郎 。藤村 尚・高山 伸介土木工学科Extended flow element lnethod for cracking problemsbyTsuyoshi NIsHIMURA,Hideo KIYAMA,HiSashi FuJIMuRAand Shinsuke′rAKAYAMAAbstractThe FLEM (FLOw Element Method)is a numerical method which is useful inanalyzing large deformation and plastic flow problems of a continuum.Main featuresof the FLEM are summarized as fol10ws The prOcesses of dividing a body intoelements and computing of nodal forces are the same to the FEM But it is notnecessary to obtain a giobal stiffness rnatrix,cach node with virtualrnass can displacealong a direction of nodal force vector according to the equation of motion And theexpHcit time marching solution scheme in solving the equation of rnotion is adopted,which is the same to main calculation cycle of the DI]M, the accumulation ofdisplacements of nOdes within the very sman time step results in a large deformationof the bodyln this paper,an attempt to model the generation and propagation of failure planes(or cracks)iS presented,This can be performed without the ttoint element'whichrepresents discontinuities exphcitly, Some results are illustrated to elucidate theperformance of this numerical technlque.Key wOrds:  FttM,Failure plane,Separation of node,Crack136     西村 強・・木山英郎・藤村 尚。高山伸介 :要素分離を表現する流動要素法解析手順1. まえがき有限要素法(FEM)など,連続体に立脚する数値解析手法では,不連続性岩盤のように不連続面がその挙動の支配的要因となる場合には, 自ずと適用限界が生ずるものと思われる。そこで,FEMに不連続性を加味すべく,Joint要素1)など,数値モデルの導入が図られている.ここで述べる解析手順は不連続面を陽に表現して,構成関係を与えるとともに,その面上の諸量 (応力・ひずみなど)に降伏条件を適用するものとは異なる。すなわち,要素分割を施した解析領域内において,節点上の応力を算出し,それが,所定の降伏条件を満した時点で,その節点位置に破壊面を生じさせる。このとき破壊面の方向は,理論的に求められるものと一致させることが望ましいが,これは要素再分割等の作業を新たに必要とするので困難である。そこで,便宜的に, これに最も近い方向の要素境界を分離面として選択し,表現するのが本手法である.破壊面の位置・方向を予め限定することなく,応力集中→破壊面の発生→進展.さらには,開口あるいは閉日 (接触)などの時々刻々変化する様子を追跡できるのが大きな特徴である。2.節点上応力の算出と分離面の選択2.1 節点上応力の算出本手順は,節点上の応力状態によって,節点の分離,そして,その節点に集まる要素境界での分離を表現するものである.ここでは,節点上応力の算出法,分離面の選択について述べる.節点上応力を睦―の値として直接求めることは容易ではない2)ので,次のように簡略化している.図■において, まず,各要素内で,a点に極めて近い点での応力 (ox,σン,τXり)を求める。ここに,a点は,要素el～。4を構成する点である。そして,それらの平均値 (5x,3り,τxソ)を求め,a点上の応力とする.実際の計算においては,図-2のように,要素を全体座標 lx,y)から基準座標 (ξ, η,(■≦ξ,つ,≦1))に変換するとき, lξl=lηl=0。9999なる位置の応力を前述 (σX,0り,τスリ)として用いている。2.2 分離画の選択次に,降伏条件として,tensiOn cut―offを考慮したモール・クーコン規準を適用するとき,分離させる要素境e4  4＼3   e3//el   l＼2図-1 要素と節点番号図 2 全体座標系と基準座標系界の選択について述べる.なお,圧縮を正とする.(1)引張破壊図-3(b)のように,oe≦σt               (1)ここに, σt:号1張強度が成立するとき,引張破壊が生ずる.このとき,図より明らかなように,Pは面の方向に関する極を表しており,破壊面はolの作用方向と平行となる (σ9の作用方向は破壊面の法線方向)本手順では,1.で概略を述べたように近似的な取り扱いではあるが,(b)図より求められる方向に近い境界で分離させることにする。この例では, に,図より,BB・力i選択されることになる.(2)せん断破壊^   2Ccos φ+(。1+oe)sin φfs= ≦ ユ鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 23巻(b)図-3 引張破壊と分離境界の選択ここに,ci粘着力成分, φ:内部摩擦角が成立するとき,せん断破壊が生じる.この場合, olの作用方向と,上(π/4-φ/2)なる角度を有する面が,破壊面Sl,S2となる (図-4(b)).これらの面に近い要素境界を分離面として選択することになるが, ゅの実在範囲を考慮すれば,St,Sっの方向を直接求めずとも, σIの作用方向に近い要素境界が分離面として選択できる.図-4口では,BB.が選択される。引張破壊が同時に生ずることも考えられるが1上記(1)からもわかるように,選択される境界はolの作用方向に近い面ということに変わりないので,AA'を同時に分離面として選択することはない。図‐3,4より求められる破壊面の方向に対して,要素境界BBIを選択することにより,当然のことながら結果には,誤差を含むことになるが,4.に示す解析結果からも示されるように,初期要素分割の工夫,細やかな要素分割等(b)図-4 せん断破壊と分離境界の選択の対策を講ずることで,軽減することが可能であると判断している。3.節点の分離と運動方程式3.1 節点の分離と運動方程式本節では,節点に集約される質量,節点力などの分離が生ずる前・後における取り扱い方,運動方程式の用い方について述べる。図■に示すように,要素が分離した後のことを考慮して,a点には要素ごとに4つの節点番号を付してあり, これらの節点番号に与えられる質量,生ずる節点力 (変位抗力)は所属要素内で計算される。しかし,分離が生ずる前において,a点は,周辺領域を代表する連続体中の1点であるので,上記の質量・節点力を加えたのち,運動方程式に用いられる.質量:me=Σ Ini                (3)節点ブブ:Fxa:=ΣF×t, Fνa=Σ Fψi       (4)(1=h2,3,4)西村 強・木山英郎・藤村 尚・高山伸介 :要素分離を表現する流動要素法解析手順3.2 接触外力の算出分離が生じたのち,図-6に示すように,要素同志の接触が生じる可能性がある。D出と同じく辺―点,点―点接触を基本として,処理することに変更はないが,接触外力を,DEMでは要素中心へ集約して計算を進めるのに対し,FL酬要素では,当該辺に対しては構成する2節点へ振り分け,そして運動方程式右辺に考慮する点が異なる.図-6のように全体座標系 (X,Y)から節点iを原点とする局所座標系 (X',Yl)に変換する。(111 JJ(1三ユ|ここに,節点,の辺ijへの接触条件は,0≦x,1≦xJl, ypt≧0つぎに,接触点(xp',y,1)における接触相対変位増分を求めることが必要となる.(6)式と同様に節点p.i,jの変位増分を局所座標系へ変換する.点(xpt,yp')における辺ijの変位増分 (△uci l',△vc ll)を図-6を参考に接触点の内分比によって次のように求める。△uc j'=(x。ソ xl')△ut'十((xit―x,1)/xj'}△ui'Δvc l'=(xp./xJ''△vi'十((xj'一x。')′xj t}△v'(8)以上より接触点での接触相対変位増分 (△uc',△vc')は,会携t全1上会淀lil   硼となる。接触剛性係数(kn,k3)および粘性定数 (ηn, ηs)を用いて,弾性抗力増分 (Δ en,△es),粘性抗力増分(△dh, △ds)を求め,新たな接触力を求める手順はDEMと同様である.式のみ示すと以下のようである。全登乳全と1全煙;:客と子鑑 硼登翠会登 士載寵   硼ただし,式(11)には次の2条件を付す。だ協iSぁとす乱朝  囲es=μ en・SIGN(es),  tls=0            (13)接触力は1薫鶴鷲鷲盈デ哲詈Ё「蛋藤匡極顎謙電勇争換される (式(15)).fn ienttdn    fs ics tds?????????????????????????????。?．?．?ぅ〓―????y古r挫X    ↓Y'図 6 要素同志の接触と局所座標系運動方程式:ma ja+η↓aキFx3=ma gメ十fxa  (5)nla↓3+η'a+Fva tala gり+fッaここに,(fx8,fツa)はa点にに直接作用する外力,(gx,gコ)は重力加速度成分である。図-5のように,a点において,8Bl線に沿って分離が生じ,at点,a"点になったとする。この時点より,at点には(1,2)より,a"点には(3,4,より諸量 (質量・節点力など)が前述のように集約されたのち,各々 に運動方程式が適用される。さらに,at点,a"点には,前節の判定式(1)(2)が引き続き適用され,それぞれの点で求められる破壊面とAa',あるいはAra"のなす角がπ/4を下国れば,Aa'あるいはA'a"に沿う分離が生じる。最終的には,1節点として取り扱われていたa点が,4つの別々の点として運動する時点までも解析することも可能である.I At図 5 節点の分離鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 23巻表-1 解析定数E=100kgf/cmρν=0.3ρ=2.65g/cm。△til.OX 10~4seC.Young's 口odulusPoisson's ratiodensitytime stepAngle of internalfriction  ゅ=30°CohesionTensile strengthc=0。lkgf/cm2ot=1.Okgf/ca12Normal stiffness      in/ρg=62 10cm2Tangential stiffness  ks/ρg=1552cm⊇Friction coefficient μ=0.577件30° )fxj=(x,・/ xl')fx pfvi=(xp'/ Xj')fりpこれらは,接触外力として,節点1,右辺に考慮される。4.三,三の解析例(17)j,pの運動方程式の以上述べてきた解析手順によって数例の解析を実施した。解析に際しては, き裂先端付近における応力,ひずみおよび変位の分布など,検討すべき課題が生ずると思われるが,今回は, これらを先送りし,与えられた境界条件のもとで,分離が生ずる節点の位置とその方向の選択は妥当なものかどうかなど,全体としての変形状態の定性的な観察に留めた. 2例とも,重力は作用していない.(1)せん断モデル図-7は,節点数30よりなる直接せん断モデルを示している.要素は,全て平面ひずみ要素であり,四辺形四節点要素数21,および三角形三節点要素数1計22要素となっている.節点数が通常の解析に比べ,多くなるのは3.で述べたように,1点に対して各要素ごとに複数の番号を付しているからである。なお,三角形要素の導入については,面積座標を利用して,四角形要素と同様の取扱いが図-7 せん断モデル(b)p/p = 2235 (cm2)図 8 解析結果可能なようにしている解析は,等分布荷重q/ρ=100cm2を載荷し,つり合い状態に至らしめたのち,等分布荷重pを初期要素分割時の辺abに対して垂直に作用させるものである。実際の計算に際しては,pを(X,η成分に分解して用いている。用いた解析定数を表■に示す.gは,重力加速度であり,980cm/s'を与えている.接触剛性係数は,ヤング率.ポアソン比をもとに従来通り決定しているつ)。 なお,この例ではせん断破壊を強調するため,式(1)の判定は省略して実施している.また,bc辺付近は引張領域となりやすいので,(15)また,辺ijに対しては,さきほどの内分比を利用し′て,節点i,jに振り分けられる。11監竜ヽ 営十数  硼(a)p/ρ = 894 (cm2)門西村 強・木山英郎・藤村 尚・高山伸介 :要素分離を表現する流動要素法解析手順図-9 開ロモデル0    1000.0 (図■0 解析結果 (p/ρ=110cm2)(b)0.2sec.   (c)0.3sec.図■1 解析結果 (p/ρ=115cm2)辺bc(図中太線部)は最初から分離させて解析を実施した.図-8は,解析結果を示している。実線が変形後,破線は初期状態を表している。図は,pを連続的に増加させた一瞬間を表すものではなく,図中のコの値で,所定のstepを繰り返しッたのちのつり合い状態を表している.lb)図をみると,辺cdに沿って,分離が生じていることがわかり, また,全体としての変形状態からも,分離辺の選択,その後の要素同志の接触計算がうまく機能とノていることが何える.(2〉開ロモデル図 9は,解析モデルを示しており,節点数144.要素数36よりなる。要素は,(1,と同じく平面ひずみ要素である.解析では,図-9に示すように側方より等分布荷重を作用させ,単純引張状態を発生させた。上記(1)に対応して,ここでは式 (謝の判定を省略した。図■0は,pr/ρ=110cm2とした きの変形,主応力の状態を表している。図中のスケールは応力に対するものであり,切欠き部分に応力集中が発生しているのがわかる。この段階ではき裂は発生せず,つり合い状態を求めることができた。図-11は,p/ρ=115c♂としたときの結果を時間の経過とともに描いたものである。切欠き先端よりき裂が発生し ((b)図,一気に進行する様子が表れている ((cl図以降),この図において,要素境界が破線となっているところは,分離と′ていないことを示す。5。 おわりに本文で述べた解析手順では,節点上応力を算出し,それが,降伏条件を満たした時点で,その節点位置に破壊面を生じさせた.このとき,破壊面の方向は,理論的tこ求められるものに対し,最も近い方向の要素境界を使宣的に選択した,4.で示したように,対象とする問題に上三ニミミヽたユニニニ十 ‐ ―― ― ―… …+‐… …… ― 一― ……(a)0.l sec. (d)0.4sec.(e)0.5sec.鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 23巻対し,初期要素分割に工夫を施すなどすれは 定性的には` 滴足ゆく変形状態が再現できたと考えている. しかしながら,き裂先端の応力,ひずみおよび変位の様子など詳細に検討を進めなければならない重要な問銀が残されている。今後|の研究課題としたい,参考文献1'G.N.Pandet G`BeeF t 」.R.111liams.:Numerical Mot―hodS in ROCK ttECHANICS,  JOHN WILEY & SONS ITD,pp.9‐7-114, 1900.2)G.Ctdehus(edited):地盤力学の有限要素解析Vol.2(,‖本・桜井・足立共訳)森北出版,つo.118-204,1982.3)木山英郎■藤村 尚|:カンドルの離散剛要素法を用いた岩質粒状体の重力流動の解析`土木学会論文氣 第333号, pp.137-146, 19鶴.

Extended flow element method for cracking problems

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