Hayashi, Tsutomu

Kawai, Hajime

Matsumoto, Munehisa

Waka, Ryoji

Yamaguchi, Kenji

Yoshino, Fumio

Tottori University Research Result Repository

分数計画法の最適水力地点選定法への適用林   農・河合  一*l・松本 宗久*2山口 顕司*3.吉野 章男 。若  良二機械工学科・ホニ社会開発システムエ学科*2鈴木自動車い 。キ3米子工業高等専門学校(1990年9月1日受理)Fractional PrOgraHllning Apphed to Optilnal Sequencingof]肛ydro‐Power StationsbyTsutomu HAYASHI,Haiime KAWAI・I,Attunehisa AttATSUMOTO*2Kenii YAMAGUCHIキ9,Fumio YOsHINO and Ryoii WAKADepartment of Mechanical Engineering*l Department of Social Systelns Engineering*2 Suzuki h/1otOr Co,LTD.*3  Yonago National CoHcge of Technology(Received September l, 1990)At the first stage of a water survey for a river,it iS important to select the optinal、vater power site.The most important condition to be satisfied is for he site to takeout he greatest and most economical amount of water energy as possible. A ne、vmethod of selectillg the optimum economic、vater power site has been propOsed in aseparate study,along、vih  fractional progranuning lnethod used in the real compu‐tation by computer. lΓhis paper describes the fractional progranaming method indetail,Key wOrds i  Fractional Programming,Optimal Sequencing,HydrO‐Power Stations8   林  農・河合 ―・松本宗久・山口顕司・吉野章男 。若 良二 :分数計画法の最適水力地点選定法への適用上 はじめに    nRx告制=λⅢ  …①λの値に対して無公害・無尽蔵であり,古くからエネルギー源として   とおくと,ある雹と議,こ景舟苺1霊罷縁≧3よ量黒皆E整七辞gtta ttX的=巾 ―λ叩   … ①て重要である 1'3)。この水力資源は海面で蒸発した水   とすると,任意のxに対して露票岳ζ尾曇覺季七ヒ汽七羅盤手,テ万ゼ怠gi4云写 巾 ―λttn≧Ж β一λⅨo … ①イクル中に置かれた水力発電所は地球の環境を乱すこと   が成立する。が少ないので,環境保全の見地からも将来に渡つて益々    λ=λtのときには,毛學琶言そと彗花七霙擦稼継亀I:振を査憲語層,こな 飽X的=畑一租耐=O …ωたがって,に重要なものとなるであろうと予想される。         が成立する。し疼 ど昼ぞ轟含セご二豪写宅亀冨桑繁与三≧套泳岳兎奪  巾 ―榊 湖 ≧蜘 ―租 n… 0最大電力よりもむしろ取得可能電力量を優先した開発計   したがつて,任意のxに対して層逸≧吾£こ長び霊詈こ協尋転ユえ岳客七承供「婦画 ″]ω≧畑    …0著者らは,取得水カエネルギーを最大にする最適水力   したがつて,全てのxに対して警を身登電卓盈 憲τぞ理露言重迄素写憲憲冴窪蓬象を  鉾 !=″≧ 鵠 !   … ①ついて研究を進めてきて,その基本概念と計算法を確立しようとしている。経済的最適水力地点の計算では,取   が成立する。得エネルギーと総費用の比を最大にする式を求めて,分教計画法を適用して電子計算機援用による計算を行う方   2.2 関数再帰方程式への適用{看奪種F赤数網 法そのものの焼 継 理しヽ 道  t&8≡ 留 8:諸8 :ii脳g低言1畳海岳蓬言喬どt奪Ⅲ匙甚島重こ泉身亀置亀亀・  [,:極誕争種尋議二IE兌:猛琵1主鳥j色、ij,憲求める問題は次のようにして解くことが法の計算を若千試みる.                  最大とするjをできる。すなわち,2. 分 数 計 画 法fn(j;λ)=Pn(j)―λ Cn(j)(gn(3)一λ hn(3))2.1 分数計画法の基礎+(Pn-1(j)一λ Cn_1(3))(gn(3)―λ hn(j)}+fn_1(j;λ)一般に分教 嗚装器 の最大値を求める問題は,          =―。(10)f(x)=A(x)―λB(x)の最大値を求める問題に置き換えられる。すなわち,鞘 に対して,  とおいて,その最大値を求めて,K fn(j;λ)λを道当に選び ,A(x)―λB(x)=f(x,λ)とおき,    f nimox=n4max f(x;λ)=0が成り立つならば,この時の x・,λ・          3K[(gn(j)一λ hn(j))= nalは最適解である。なぜなら,                     3+fn_1(j:λ)max] ―。(11)鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 21巻最大値が fn:mox=0のときの解,j・,λ・が最適解であり,甲 報 ;=器 !=″を満足する。3.経済的最適水力地点選定法―。(12)ある川に沿つてnヶ所の発電所を設けて,その河川からできるだけ多くのエネルギーを,経済的に成立する範囲で得ようとする計算手法を最適水力地点選定法と呼ぶ.計算の使宜上,流域面積A(k)と標高H(k)が流路延長距離L(k)の関数として表すことができ,且つ,その変数はk=0から始まる識散データ (0,1,2,……… °i・k)であるものとする。発電所数がnヶ所の場合の発電出力Pnおよび工事費Cnが,流域面積A(k),標高H(k)および流路延長距離L(k)によつて表せるものと仮定して,その比が最大となる位置すなわちデータ点kを求める。例えば,発電所数n=1の時,デー タ点k=1までの流域で得られるエネルギーと工事費はそれぞれPl(1)=PH(1,0), Cl(1)=CI(1,0)                             ―・ (13)で表されるものとする。一般に,デー タ点kまでの範囲にn箇所の発電所を下位から順に,(放水口,取水日)=(si, rl),(i=1,2,‥・,n),0=st<ri≦s2<r2≦…・ Sn l<rn_1≦sn<rR≦k・… (14)の地点にとつた時の総エネルギー量及び総工事費をそれぞれ,Pn(k,sl,rt,…,sn,rn),Cn(k,sl,rl,・・,Sn,rn)とする.このとき,Pn(k,sl,rl,・,¨sn,rn)???????????．????〓???ゎ? ‐???，??????，???‐，????????????〓蝋 H飢庁 輛 ″お =笙l CHCr凸)=iど'ポェ呈濡…'吐n≦篇び放水回の位置を最適水力地点と定義する。総エネルギ 量ーと総工事費との比,すなわち電力費用率を定義し田よ 賄 ″ ・snprn)=Pn(k,sl,rl,…sn rn)を総エネルギ 量ーの評価関数としてその最大を求めた結果から決定される発電所の取水口及…・ (17)PCn(k:sl,rl,・・,Sn,rn)を経済性の評価関数として,その最大条件より求めた地点を経済的最適水力地点と定義する。4.分数計画法の最適水力地点と定法への適用―。(16)…・ (181…。(19)発電所数n〓1のとき,一般にkの範囲では,PI(k,0,j)=PH(」,0),(j=1,2,い。,kCl(k,0,j)=CH(j,0),(j=1,2,―・,k||1     10   楚法へ房娼澪合 ―・松本宗久・山口顕司・吉野章男 。若 良二 :分数計画法の最適水力地点選|     である.PCl(k;0,3)max=Hlax(PH(k,0)/CH(k,0),PCi(k‐13 ,j)max)                  ―。(20)である。ここでλ・1,j= cH(3,0)                                       …°(21)とおくと,fl(k;λ)=PH(k,0)一λ CH(k,0)                         …。(22)は,fl(k;λ)max=0のときのλがλ・1,kとなる。したがつて,PCt(k,0,3)max=max(λ・1,k,λ・1.k_1,…,λ・1,2,λ・1,1)〓 nEx(λ・1,j)                (j=Ⅲ2,3,,・,k)             …°(23)」改めて,fl(k;λ)mox=max(PI(k,0)一λ CH(k,0),fl(k‐1:λ)max)                 …。(24)とおけば,fi(k,λ)max=0から求めた λ=λ・1.kはPCl(k,0,3)mox=max(λ・1,k,λ`1,k_1,…,λ・1,2,λ・1,1)を満足する。                                    |fl(k-1,λ)ma x=0から求められた λ=λ・1,k-1は唯一決まつているので,fi(k:λ)mex〓0の解を求めるには,λを少しずつ変えながら解を捜す必要はなく,PI(k,0)一λ CH(k,0)=0から求めたλ・1lkとλ・1,k-1の大小関係を比較して大きいほうを fl(k;λ)nax=0の解と決めればよい。発電所数n=2のとき,同様に,P2(k'0,■1 s2,j)=PH(j,s2)+PI(rl,0)  (j=1,2,3デ…,k)                   …。(25)C2(k,0,■1 s2,j)=CH(j,s2)+CH(■1,0   (j=1,2,3,,い,k)                   "。(26)PC2(k:0,■1,s2,j)膊Ox=nηx3(PH(k,1)+Pl(1,0)〕/ CH(k,1)+CH(1,0)}(PI(k,2)+Pl(2,0,j))/(CH(1,2)+Ct(2,0,j))(PH(k,k‐1)+Pl(k■,0,3)}/(CH(k,k…1)+Gl(κ…1,0,3)}P2(k・1'0,rl,s2,j)/C2(k…1'0,rl,s2,3)中0(27)ここ4聴 =綿 お 鵠 式90と同様に 長 にD ttx猿議すれば(PH(k,1)+PI(1,0)〕一λ (CH(k,1)+CI(1,0)}(PH(k,2)+Pl(2))一λ (CH(k,2)十Ci(2)):(PH(k,k‐1)+Pl(k‐1)〕一λ (Cl(k,k‐1)+Cl(k～1)〕P2(k‐1)―λ C2(k‐1)f2(k:λ)max=nax鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 21巻(PH(k,1)―λ CH(H,1)}+fl(1,λ)耐aX(PH(k,2)―先Cl(k,2)}+fl(2,λ)max(PH(k,k‐1)―先CH(k,k‐1))+fl(k‐1,λ)mexf2(k■'λ)ma x=ΨI貿注ゞit∬醐 hG転IG札“劇  … ⑩f2(k'λ)max=Oより求めたλはλ・2.Jの最大値と一致するので,PC2(k'0,rl,s2,j)mex=λ・ kを求めることができる。一般に,発電所数n=nのとき (但しn≦k),同隷にPCn(k,0,rl,・・・,Sn,j)= mηスJ=  n4x」(PH(k,n■)十Pn-1(n‐1,0,■1,s2,・…,Sn-1,rn_1))(CH(k,n‐1)+Cn_1(n■50,rt,s2,…,Sn-1,rn-1))(PI(k,n)+Pn"(n‐1,0,rl,S2,・・・,Sn-1,j))(CI(k,n)+cn-1(n‐■0,■1,s2,中● sn~1,3)):(PH(k,k‐1)+Pn_1(k‐;0,■1,s2,,中sn~1,rn-1))(CH(k,k■)+Cn_1(k■,0,ri,s2,…,Sn-1,rn_1))Pn(k‐110,PI,S2,…Sn,j)/Cn(k■,0,「1,s2,…Sn,3))(PH(k,j)十Pn-1(j))/(CH(k,j)+Cnコj))PCn(k‐1,0,■1,S2,・・,Sn,3))… (29)(j=n‐1,n,nⅢl,…,k■)上の方程式は比較すべき各項が割算であるので,分数計画法を適用して,これを差の形に変換した方程式の関数fn(k;λ)を導入すれば,fn(k,先)max =nax(PH(k,n…1)一λ CH(k,n‐1)〕+(Pn‐1(■‐1,0,「1,S2,・・,Fn…1,Sn‐1)‐λ Cn_1(n‐1,0,■1,s2,…',rn_1,snコ))(PH(k,n)一λ CI(k,■))+(Pn-1(n,o,rl,s2,・・,rn-1,sn-1)‐λ Cn_1(n30,Tl,s2,・“,Tn-1,Sn-1))(PI(k,k‐1)一λ CH(k,k‐1))+(Pn-1(にい ,0,■1,s2,…rn_1,sn-1)…λ Cn…1(k‐40,ri,s2,…,rn_1,sn-1))Pn(k■,0,■1,s2,・…,rn-1,sn-1)‐λ Cn(k‐1,0,rt,S2,・中,rn~1,sn‐1)林  農・河合 ―・松本宗久・山口顕司・吉野章男 。若 良二 :分数計画法の最適水力地点選定法への適用= nax(PI(k,n‐1)―λ CH(k,n‐1))十fド1(n‐1,λ)na*(PI(k,n)一λ CH(1,n))+fn_1(ni λ) ax(PH(k,k‐1)一λ CH(に,k‐1))十fn―t(k‐1,λ)naxfn(1■;λ)max= B14X3(PH(k,j)一λ CH(k,j))+fn_1(3,λ)maxfn(k‐1,λ)nax (j=n‐l,n,■+1,…,k‐1)  …。(30)この関数再帰方程式をfn(k;λ)mex=0とおいて,λについて解いた解 λ=λ tn,kはPCn(k)mex=IlaX l λ・n,k,λn,k l,中●λn,nIを満足する。但しλ・n,j=cρ(k,0,■1,Sa,・・,Sn,3)            …°(31)である,実際の計算では fn(k■,λ)mBx〓0より求めたλin,k_1をfn(k,λ)れ。xの各項に代入してそれらの項が全て負であれば,fn(k,λ)mex=fn(k‐1,λ)maxで,λ・ぃ,k=λ・n,k_1が成り立つているので,λ=λ'n,k_1を解とすることができ,それ以上の繰り返し計算の必要がなく,計算時間を節約することができる。5。 具 体 的 計 算 例計算のために取り上げた河川は,飛藤山脈に沿つて岐阜県を縦断し,木曽川に流下する飛脚川である。図1は流れ込み式水力発電所の概念図を示す。標高60nの木曽川との合流点から山頂の標高3000mまでの流路延長は147。94kn,総流域面積は2120。74kmρで,流路に沿う総データ点数は326点である。流路長L(km)と流域面積A(km2)及び標高H(■)の関係は図2に示す.計算条件としては無圧水路の勇合とし,a=c=1/1000,b=1/200, θ=45°と仮定した。この飛藤川のデータを用いて,最下流発電所標高Hoを300mとし,最上流側取水口を121111nまでの範囲とした時,発電所数 nが1から4までの範囲の場合について発電所を途中空きを置かず連続に配置するものとして電力費用率PCn=P/Cの値が最大となる水力地点の選定を行つた。また,各段の出力Pと工事費Cも計算し,その結果を図3,図4,図5,図6に示す.図6中丸印は最下流側発電所標高Hoを,+印は取水口標高を示す。この場合,発電所数 nが違つても電力費用率P/Cの値はさほど違わないがn=2の場合のP/C=(Pl+P2)/(Cl+C2)が154.45で最大となつている.即ち,発電所を2箇所設置することが経済性の面から最良であると言うことができる。この時,図4,図5,日6に示すように,下流側取水口標高は 954.31ln,上流側取水口標高は 1190。61mであり,総出力ΣPは116225,7(kW),総工事費ΣCは752.49(億円うである。しかし,各段毎にみるとn=2の義合の上流側発電所の電力費用率P/Cの値は,162.72で他より大きい。この時の取水口標高と放水口標高はそれぞれ■90.61m,954。311凰である。しかし,いたずらに高い標高の地点に発電所を設置してもP/Cの値は大きくならない。n=3の場合の最上流側発電所とng4の毎合の最上流側発電所はP/Cの値が小さく,取水口標高が殆ど1200mであり,落差は1肺程度である。発電所数 n=2とn=3で最適位置が異なつている。しかし,n=2の島合のP/Cが154。45に対してn=3の鍔合の下流側2個の発電所の総P/C,即ち(Pl+P2)/(Cl+C2)は154.44で儘かにn=2の場合よりも小さい。n=2の場合の取得エネルギーPの総和(Pl+P2)が116225,7(kW)であるのに対して,ュ=3の場合の下流側2個の発電所の政得エネル鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 21巻ギーの総和(Pl+P2)は129964(kW)であり,こちらの方が大きく,取得エネルギーの観点から言えばn=3の下流側2個の発電所の選択の方が良い,また、n=3の場合の3箇所全てのPの総和およびCの総和から求めたP/C=(Pl+P2+P3)/(CⅢC2+C3)は153.87であり,n=2の場合の上流側に同じ位置に3個目の発電所を設置した場合は153.81であり,殆ど変わらない。電力費用率P/Cが同じ程度であればできるだけ取得エネルギーが大きい方が望ましいと思われるので,n=2の場合の発電所の最適位置よりもn=3の場合の下流側2つの発電所を選ボ方が良いと言うことが分かる.従つて,経済性のみで判断するのは少しばかり危険であり、同時に取得エネルギーの量も考慮していく必要があることがわかる。6.おわ り に経済的最適水力地点の選定に際しては,総出力を総工事費で除して得られる電力費用率を評価関数として導入した。その評価関数を最大にする計算では割り算が含ま180130堅14010012011010000    1    2    3    4N図3 Hc=300n,落差に制綴無しの場合の電力費用率 P/Cれているので多大な計算時間を要する場合が多い。そこで本論文では割り算を減算に変換して演算する分数計画法を導入して,経済的最適水力地点の選定法に適用する尋合について詳しく述べた。またその具体的適用例も示した,(1)IAYASII T。, YOSIINO Fl, VA【A R., YAIAHOTO Y.'OPTIIAL SEQUENCINC OF IICRO HYDRO‐POWERSTAT10NS "  Proceeding of The Third AsianCongress of Fluid Mechanics, Sept. 1‐5 (1986)507‐510(2)林 農,吉野章男,若 良二,最適水力地点の選定法,ター ボ機械 15巻12号(1987)743‐9(3)林 農,吉野章男,著 良二,松本宗久,水力発電所の最適位置,第4回 ソフトウェア コンフアレンス プロシーディングス (1988)163-1660 20 4tl∞801∞1201悧L tk日'図2 飛廓川 H‐A―L線図Paax・ 1313600    1    2    3    4N図4 HD=300m,落差に制限無しの場合の取得エネルギー P????〔????】?図1発電所晉こ置図ね。soaloo2.502.001.601.000,SOO楚法へ秀麹日合 ―・松本宗久・山噸 司・吉野章男・若 良二 :分数計画法の最適/kt地点選23002000lg001000S000o1281.         N図5 Ho=300n,落差に制限無しの場合の工事比 C0 200300 m SOo 80乳100012W図6H9=800n,落差に制限無しの場合の取水口標高H??〓GRは末々 ]58。888

Fractional Programming Applied to Optimal Sequencing of Hydro-Power Stations

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