Continuando una línea de investigación iniciada en 1998, en el presente trabajo se realiza un estudio estadístico bivariado de series de radiación promedio y temperatura promedio diarias empleando la metodología del análisis estructural, introducidos por estadísticos comtemporáneos. Se presenta un modelo de correlación entre ambas series para poder generar sintéticamente valores de radiación diarios a partir de valores de temperaturas diarias, efectuando pronósticos con una alta confiabilidad (95%).Following a research line that began in 1998, in this paper a statistical bivariate correlation between diary average radiation an temperature study is done by using the structural analysis methodology, introduced by actual contemporary statisticians. A correlation model between the two variables is presented to generated syntethic diary radiation values from diary temperature values, being able to make forecasting with a high confidential level (95%).Tema 11: Radiación solar y clima.Asociación Argentina de Energías Renovables y Medio Ambiente (ASADES

Abril, J. C.

Avila Blas, Orlando José

Lesino, Graciela

Abril, Juan Carlos

Servicio de Difusión de la Creación Intelectual

RADIACION  Y TEMPERATURA DIARIAS: UN MODELO DE CORRELACION ESTRUCTURALO. J. Avila Blas1, J. C. Abril2, G. Lesino3Av. Bolivia 5150 - 4400 SaltaTel. : (0387) 4255385, (0381) 4364093Email :  oblas@unsa.edu.ar, jabril@herrera.unt.edu.ar, lesino@unsa.edu.arRESUMENContinuando una línea de investigación iniciada en 1998, en el presente trabajo se realiza un estudio estadístico bivariado deseries de radiación promedio y temperatura promedio diarias empleando la metodología del análisis estructural, introducidos porestadísticos comtemporáneos. Se presenta un modelo de correlación entre ambas series para poder generar sintéticamente valoresde radiación diarios a partir de valores de temperaturas diarias, efectuando pronósticos con una alta confiabilidad (95%).Palabras clave : Radiación, Temperatura, Correlación, Análisis Estructural..INTRODUCCION.Para el diseño de sistemas solares, se han desarrollado programas computacionales de simulación de diferentes niveles desofisticación. Existen programas aproximados, que en realidad son herramientas de prediseño, mediante los cuales se predice laproducción y la eficiencia con un error entre el 10 y el 20%. La mejora en el ajuste de los programas más precisos proviene de unamejor descripción física de los procesos involucrados, lo que obliga a mejorar también la calidad de los datos meteorológicos conque dichos programas se ejecutan. Dado que son cálculos predictivos, es obvio que no se cuenta con el dato climático real.Para la simulación de los sistemas solares son necesarias varias variables meteorológicas, tales como radiación solar, temperaturaambiente y vientos, muchas veces en promedios horarios. Estas variables están correlacionadas entre sí y en el tiempo.En los últimos años se han propuesto métodos estadísticos de generación de series de algunas variables de interés : temperatura desuperficie (Avila Blas, 1997), radiación horaria (Aguiar y Collares Pereira, 1992), utilizando modelos basados en el tratamientode Box y Jenkins, es decir, modelos ARIMA(p,d,q) y también modelos estructurales de radiación diaria (  Avila Blas et al, 1999).No se conocen hasta el momento trabajos de modelado multivariado de series de tiempo con la metodología del enfoqueestructural introducido por estadísticos contemperáneos (Harvey y Shepard, 1993 ; Abril, 1997). La idea central de este trabajo eniniciar este tipo de estudio, al caso de una serie de valores de radiación promedio diaria y otra de valores de temperatura promediodiaria, las que corresponden a mediciones realizadas entre los años 1981 y 1996 en Salta Capital. Los datos fueron brindados porel Servicio Meteorológico Nacional con sede en el Aeropuerto Salta.ANALISIS ESTADISTICO ESTRUCTURAL BIVARIADOLa representación matemática de las ecuaciones que describen un modelo estructural multivariado, tienen un esquema similar alde una ecuación unidimensional, con la particularidad de que el vector de observaciones {y t } tiene dimensión T x 1, donde T esla cantidad de observaciones de la serie a tratar.  La representación matemática de un modelo de espacio de estado relaciona alvector de disturbios {εt} con el vector de observaciones {y t } a través de un proceso de Markov {α t } y tiene la forma                                                   y t = Z t  α t + G t εt,            εt ~ N(0, H t)                                                   α t = T t  α t-1 + H t η t ,     η t ~ N(0, Q t) ;   α 0 ~ N(a0 , P0 ) ,     t=1,…,T(1)donde  α t es el vector de estado de orden mx1, et es un vector de disturbios de orden kx1 y las matrices del sistema Z t, T t, G t, yHt tienen dimensiones Nxm, mxm, Nxk y mxk respectivamente. Los disturbios son ruido blanco mutuamente no correlacionadoscon medio cero y varianza Ht. Cuando se supone normalidad, los disturbios son independientes entre sí. Las matrices G t y H tpueden interpretarse como matrices de selección, lo que le brinda generalidad al modelo. Las cuatro matrices son fijas y si en ellashubiere elementos desconocidos, se incorporan al vector Ψ de hiperparámetros, el que es estimado por máxima verosimilitud.Los estadísticos de prueba usados para la bondad de ajuste son : el BS (de Bowman y Shenton) que emplea estimadores de laasimetría y de la kurtosis de los datos ;  el Q (de Box-Ljong) para la autocorrelación seriel y el de DW (de Durbin y Watson), losque junto con otros estadísticos adicionales, califican según sus valores, al modelo como adecuado para  ajustar a los datosobservados.                                                          1 Probabilidades y Estadística, Depto. de Matemática, Fac. Cs. Exactas - UNSa2 INIE, Instituto UNT - CONICET3 INENCO, Instituto UNSa - CONICETRecordemos que la idea básica de los modelos estructurales de series de tiempo es que ellos pueden ser puestos como modelos deregresión en donde las variables explicativas son funciones del tiempo, con coeficientes que pueden cambiar a través del tiempo.La estimación actual de los coeficientes ó filtrada, se logra poniendo al modelo en forma de espacio de estado y aplicándole luegoel denominado Filtro de Kalman. Se emplean algoritmos específicos para hacer predicciones y  para los suavizados. Esto últimosignifica computar el mejor de los los estimadores en todos los puntos de la muestra usando al conjunto de observaciones. Lamagnitud por la cual los parámetros pueden variar está gobernada por los llamados hiperparámetros. Estos pueden ser estimadospor el método de máxima verosimilitud, construyendo la función específica a optimizar.Cuando se trata de datos diarios, los modelos estructurales pueden ser extendidos de tal forma de permitir el manejo de losmismos introduciendo un componente diario. Este se modela en la misma forma que un componente estacional y puedepermitírsele que varíe en el tiempo. Otros componentes como la tendencia y la estacionalidad anual pueden ser introducidos comolo explicado en el modelo general.  La falta de normalidad en los datos, que es el caso de nuestro serie, requiere de un tratamientomás particular que implica el uso de una función de verosimilitud que se maximiza por métodos iterativos, dado que lasecuaciones normales asociadas no son lineales. En este sentido se puede intentar tratar a los datos como provenientes de unafamilia exponencial ; o bien, cuando los datos tienen una distribución de “colas pesadas”, se puede emplear combinaciones dedistribuciones normales con la t de Student.Las series originales tratadas aquí constan de N=5842 valores diarios cada una. Pero, dada la ventaja del tratamiento estructural,podemos trabajar con una serie sustancialemente más pequeña, por ejemplo tomando el par de años 1982 y 1983 ;  en particularlos T=360 primeros valores, a fin de poder compararlos con los datos predichos por la serie modelada. En estos años se observa lapresencia de datos ``outliers” o extremos, los que fueron tratados con la incorporación de variable explicativas, previo al procesode análisis de correlación estructural.El modelo estructural para la serie de radiación diaria (Rad) obtenida anteriormente (Avila Blas et al., 1999) correponde al de unmodelo de varianza o volatilidad estocástica (SV), cuya estructura viene dada por:y1t = σ 1t ε 1t  =3.43 ε 1t exp(h 1t /2) ,  ε 1t  ~ IID(0, 1),    t=1,…,730 ;   donde   h 1t = 0.955 h 1t-1 + η 1t    ,   η 1t ~ NID(0 , 0.05)(2)El término σ =3.43 es un factor de escala, φ=0.995 es un parámetro y η t  es un término de disturbio que se considera nocorrelacionado con  ε t.En una primera etapa del presente trabajo se consiguió un modelo análogo al establecido por la ecuación (2) para ajustar los datosde la serie correspondiente a los valores de temperatura promedio diaria (Tprom). El mismo responde a la ecuación :y2t = σ 2t ε 2t  =3.82 ε 2t exp(h 2t /2) , ε 2t ~ IID(0, 1),    t=1,…,730 ;   donde   h 2t = 0.974 h 2t-1 + η 2t    ,   η 2t ~ NID(0 , 0.04)(3)Nótese que las distribuciones empíricas de las variables de estudio, no son gaussianas y presentan una fuerte asimetría por laizquierda. En cada gráfico, cuando no se indiquen unidades, es porque la variable es adimensional.Las similaridades así halladas pueden corroborarse observando las representaciones gráficas de las series a las que se le aplicó latransformación de volatilidad (SV), en las figuras 1 y 3, con sus respectivas densidades en las figuras 2 y 4   Figura 1: Serie SV de temperatura diaria (ºC), (eje x en días)  Figura 2 : densidad SV de temperatura diaria, (eje x en ºC) Figura 3: Serie SV de radiación diaria(MJ/m2), (eje x en días) Figura 4 : densidad SV de radiación diaria,(eje x enMJ/m2)La figura 5 corresponde al diagrama de dispersión de las variables estudiadas, el cual muestra una clara correlación entre lasmismas. Esto dió sentido a la búsqueda de un modelo estructural de correlación entre dichas variables, que permita poderpresentar a una de ellas en función de la otra.        Figura 5 : Diagrama de dispersión entre temperatura  y radiación diarias(eje x en ºC, eje y en MJ/m2)ANALISIS ESTADISTICO DE CORRELACION ENTRE LAS SERIES.El nexo a través de las diferentes series se realiza mediante las correlaciones de los disturbios que influyen sobre las componentes.En un modelo de factores comunes, algunas, o posiblemente todas, las matrices de covarianza serán de rango reducido. Estosfactores comunes son de considerable importancia para el modelado multivariado. Las únicas partes que no aparecen en losmodelos univariados son las denominadas matrices de factores y covarianzas, las que son de radical importancia en el contexto delos factores comunes.En la búsqueda de un modelo de correlación se propusieron diferentes descomposiciones de las variables de estudio, escribiendoa las variables de estudio como la suma de componentes de diversa índole como ser : nivel, tendencia, autorregresión, ciclos eirregular o ruido blanco.Para poder determinar el modelo óptimo se tuvieron en cuenta las siguientes consideraciones estadísticas teóricas.En en el análisis multivariado, las matrices de covarianzas de los disturbios son calculadas cuando se realiza el proceso deestimación de los hiperparámetros. A continuación se muestra esta matriz, para el análisis bivariado de las series bajo estudio.Notemos que la matriz de covarianza viene dada por la parte triangular superior, correspondiendo los valors de la diagonalprincipal, a las varianzas de los términos de disturbios en cada serie.Los elementos indicados en itálicas son los correlaciones estimadas. Se observa que la correlación es mucho más grande para losdisturbios en los niveles que para la componente irregular, esto significa que tiene sentido establecer la siguiente relación entre lasvariables bajo estudio, a partir de los respectivos modelos de volatilidad estocática (SV), ecuaciones (2) y (3)                                                              y1t* = [µ 1t + y2t*] + ε t *= µ t + y1t*(4)y aplicando la función exponencial miembro a miembro obtenemos la siguiente expresión linealizada :                                                             y1t = C. exp{ h1t / 2 }. y2t . ε 1t *( 5)donde C es una constante relacionada a la componente de nivel de la primera variable.A partir de la ecuación ( 5)  se siguieron dos caminos para establecer el modelo de correlación más apropiado :1)  sustituyendo y2t  por su forma de volatilidad estocástica y aplicando nuevamente logaritmos miembro a miembro, se obtiene lasiguiente ecuación :                                             y1t* = log y1t  = [log K + (h1t +h2t)/2] + ε 1t *= µ t + ε 1t *(6)en la que K es el producto de las constantes a y c en los modelos (SV),  y la expresión entre corchetes representa la componentede nivel. Esta componente queda escrita en función de las caminatas aleatorias h1t y h2t , y en consecuencia el modelo no presentavariables explicativas observadas ; es decir no aparece en forma explícita la variable y2t .2)  dejando en forma explícita la variable y2t , y aplicando logaritmos miembro a miembro, se consigue escribir la siguienteecuación :                                       y1t* = log y1t  = [log 3.43 + h1t /2 ]+ β log y2t + log ε 1t = µ 1t + β y2t*+ε 1t *(7)El parámetro β constituye una ponderación sobre la variable independiente y2t* y cuya estimación se consigue en el proceso desuavizado y filtrado de Kalman. El valor obtenido en este caso es β=0.946.Además, si simbolizamos con (θ)E al estimador de un parámetro genérico θ, se puede constatar que el estimador (log c)E satisfacela relación                                                                              (log a)E ≅ (log K)E - (log c)E(8)Los resultados estadísticos complementarios más importantes asociados al modelo óptimo se muestran en la siguiente tabla. y = Level + AR(1) + 1 Cycle(s) + Irregular y_1 : SVRad y_2 : SVTprom EstimationResúmen de estadísticos                  SVRad    SVTprom Std.Error        1.730      1.235 Normality        32.00      204.3 H(239)           1.052      1.442÷÷øöççèæ=∧÷÷øöççèæ−−= åå 371.0673.0464.187.039.0063.0 ** 0.936.099ηt Modelo con 15 hiperparámetros ( 0 restricciones).Estimación paramétrica muetral     1. 1 -  720. 1. (T =  720). Núcleo de Log-verosimilitud -1.759383. Convergencia muy fuerte en   96 iteraciones. r( 1)        0.0051294   0.015436 r(25)         0.016204   0.034973 DW               1.972      1.962 Q(25,20)         13.58      30.29Desviaciones estándar estimadas Componente         SVRad (razón q)       SVTprom (razón q) Irr              1.3400 ( 1.0000)      0.160066 ( 1.0000) Cy2            0.889928 ( 0.6641)        1.0575 ( 6.6064) Ar1            0.129650 ( 0.0968)      0.322609 ( 2.0155)Parámetros estimados de la componente ciclo       Matriz de covarianza       1.202    0.40239     0.57486      1.698 El coeficiente rho es  0.5841867.Coeficientes estimados de la componente autorregresiva       matriz de coeficientes para VAR(1)     0.98225  -0.011537  -0.0087582    0.94630matriz asociada a Ar1       1.000     0.0000     0.70297      1.000Matriz estimada para la covarianza de los disturbios.  el triángulo superior derecho muestra correlaciones        disturbios de Irr       1.796   -0.98410    -0.21108   0.025621      distrubios de  Cy2     0.79197    0.40239     0.37867      1.118       disturbios de  Ar1    0.016809    0.28251    0.011816    0.10408    Tabla 1 : Resultados estadísticos obtenidos en las etapas de suavizado, filtrado y aplicación del filtro de KalmanLa bondad del ajuste del modelo de correlación puede observarse en las siguientes figuras y tabla :   Fig.6 :Predicciones de radiación 10 días hacia adelante             (eje y en MJ/m2), (eje x en días)Fig.7 : Comportamiento residual en las predicciones deradiación           (eje x en días) Período     Pronóstico    R.m.s.e.      - Rmse      + Rmse  721. 1      15.953      6.3286      9.6246      22.282  722. 1      16.355      6.9550      9.4001      23.310  723. 1      16.550      7.1094      9.4404      23.659  724. 1      16.665      7.1605      9.5041      23.825  725. 1      16.744      7.1826      9.5617      23.927  726. 1      16.803      7.1951      9.6080      23.998  727. 1      16.845      7.2040      9.6411      24.049  728. 1      16.873      7.2117      9.6610      24.084  729. 1      16.888      7.2191      9.6694      24.108  730. 1      16.895      7.2265      9.6687      24.122  731. 1      16.896      7.2341      9.6618      24.130  732. 1      16.893      7.2420      9.6511      24.135  733. 1      16.889      7.2502      9.6387      24.139  734. 1      16.885      7.2587      9.6260      24.143  735. 1      16.881      7.2672      9.6138      24.148  736. 1      16.878      7.2758      9.6026      24.154  737. 1      16.877      7.2844      9.5924      24.161  738. 1      16.876      7.2930      9.5830      24.169  739. 1      16.876      7.3015      9.5742      24.177  740. 1      16.876      7.3099      9.5658      24.186Fig. 8 : Comportamiento acumulativo en las predicciones   Tabla 2 :   Pronósticos para radiación 10 días hacia adelante      Los estadísticos detallados en la tabla 1, nos permiten avalar los modelos (6) y (7) como válidos, pero preferimos (7) dado queresulta más cómodo su uso desde el punto de vista de las aplicaciones. Este modelo queda expresado en una forma muy similar alas expresiones de correlación del análisis estadístico tradicional. En consecuencia, tomamos como modelo de correlación entrelas variables bajo estudio a  (trabajando con una confiabilidad del 95%):log y1t  = [log 3.43 + h1t /2 ]+ 0.946 log y2t + log ε 1t  ,  ε 1t  ~ IID(0, 1);  h 1t = 0.955 h 1t-1 + η 1t    ,   η 1t ~ NID(0 , 0.05)(9)CONCLUSIÓN.Mediante el empleo del tratamiento estructural de series de tiempo, se consiguió determinar un modelo que permite correlacionaruna serie de valores de radiación diaria con otra de valores de temperatura promedio diaria, con una bondad de ajuste muy buena.Esto permite realizar estimaciones de una variable a partir de valores de la otra, a corto plazo y con una confiabilidad muy alta(95%). Un futuro trabajo procurará correlacionar estas variables con los otras tales como por ejemplo,  vientos.y precipitaciones.REFERENCIAS.            Abril J. C. (1999). Análisis Estadístico de Series de Tiempo Basado en Modelos de Espacio de Estado. E.U.D.E.B.A. 1999     Aguiar R. y  Collares Pereira M. (1992). Tag : A time dependent, autorregressive, gaussian model for generating synthetichourly radiation, Solar Energy, 49, 3, 167-174.     Avila Blas O. J. (1997). Análisis Espectral de Series de Temperatura de Superficie. Revista FACENA, Univ. Nac. Nordeste, 13,79-99.     Avila Blas, O., Abril, J.C. y Lesino, G. (1999). Análisis Estadístico Estructural de Series de Radiación Diaria, Avances enEnergías Renovables y Medio Ambiente, Vol. 3, Nº 2, pp. 11.17-11.20.           Harvey A. C. y  Shepard  N. (1993). Estructural Time Series Models. En Handbook of Statistics, Elsevier Sciencie PublishersB.V (Editores), Vol. 11, pp. 261-302.           Koopman S. J., Harvey  A. C.,  Doornik  J. A. y Shepard  N. (1995). STAMP 5.0, Structural Time Series Analyser, Modellerand Predictor. 1a. edición. Chapman and Hall, London.      ABSTRACT      Following a research line that began in 1998, in this paper a statistical bivariate correlation between diary average radiation antemperature study is done by using the structural analysis methodology, introduced by actual contemporary statisticians. Acorrelation model between the two variables is presented to generated syntethic diary radiation values from diary temperaturevalues, being able to make forecasting with a high confidential level (95%).

Radiación y temperatura diarias: un modelo de correlación estructural

SEDICI - Repositorio de la UNLP

RADIACION  Y TEMPERATURA DIARIAS: UN MODELO DE CORRELACION ESTRUCTURAL
O. J. Avila Blas1, J. C. Abril2, G. Lesino3
Av. Bolivia 5150 - 4400 Salta
Tel. : (0387) 4255385, (0381) 4364093
Email :  oblas@unsa.edu.ar, jabril@herrera.unt.edu.ar, lesino@unsa.edu.ar
RESUMEN
Continuando una línea de investigación iniciada en 1998, en el presente trabajo se realiza un estudio estadístico bivariado de
series de radiación promedio y temperatura promedio diarias empleando la metodología del análisis estructural, introducidos por
estadísticos comtemporáneos. Se presenta un modelo de correlación entre ambas series para poder generar sintéticamente valores
de radiación diarios a partir de valores de temperaturas diarias, efectuando pronósticos con una alta confiabilidad (95%).
Palabras clave : Radiación, Temperatura, Correlación, Análisis Estructural.
.
INTRODUCCION.
Para el diseño de sistemas solares, se han desarrollado programas computacionales de simulación de diferentes niveles de
sofisticación. Existen programas aproximados, que en realidad son herramientas de prediseño, mediante los cuales se predice la
producción y la eficiencia con un error entre el 10 y el 20%. La mejora en el ajuste de los programas más precisos proviene de una
mejor descripción física de los procesos involucrados, lo que obliga a mejorar también la calidad de los datos meteorológicos con
que dichos programas se ejecutan. Dado que son cálculos predictivos, es obvio que no se cuenta con el dato climático real.
Para la simulación de los sistemas solares son necesarias varias variables meteorológicas, tales como radiación solar, temperatura
ambiente y vientos, muchas veces en promedios horarios. Estas variables están correlacionadas entre sí y en el tiempo.
En los últimos años se han propuesto métodos estadísticos de generación de series de algunas variables de interés : temperatura de
superficie (Avila Blas, 1997), radiación horaria (Aguiar y Collares Pereira, 1992), utilizando modelos basados en el tratamiento
de Box y Jenkins, es decir, modelos ARIMA(p,d,q) y también modelos estructurales de radiación diaria (  Avila Blas et al, 1999).
No se conocen hasta el momento trabajos de modelado multivariado de series de tiempo con la metodología del enfoque
estructural introducido por estadísticos contemperáneos (Harvey y Shepard, 1993 ; Abril, 1997). La idea central de este trabajo en
iniciar este tipo de estudio, al caso de una serie de valores de radiación promedio diaria y otra de valores de temperatura promedio
diaria, las que corresponden a mediciones realizadas entre los años 1981 y 1996 en Salta Capital. Los datos fueron brindados por
el Servicio Meteorológico Nacional con sede en el Aeropuerto Salta.
ANALISIS ESTADISTICO ESTRUCTURAL BIVARIADO
La representación matemática de las ecuaciones que describen un modelo estructural multivariado, tienen un esquema similar al
de una ecuación unidimensional, con la particularidad de que el vector de observaciones {y t } tiene dimensión T x 1, donde T es
la cantidad de observaciones de la serie a tratar.  La representación matemática de un modelo de espacio de estado relaciona al
vector de disturbios {εt} con el vector de observaciones {y t } a través de un proceso de Markov {α t } y tiene la forma
                                                   y t = Z t  α t + G t εt,            εt ~ N(0, H t)
                                                   α t = T t  α t-1 + H t η t ,     η t ~ N(0, Q t) ;   α 0 ~ N(a0 , P0 ) ,     t=1,…,T
(1)
donde  α t es el vector de estado de orden mx1, et es un vector de disturbios de orden kx1 y las matrices del sistema Z t, T t, G t, y
Ht tienen dimensiones Nxm, mxm, Nxk y mxk respectivamente. Los disturbios son ruido blanco mutuamente no correlacionados
con medio cero y varianza Ht. Cuando se supone normalidad, los disturbios son independientes entre sí. Las matrices G t y H t
pueden interpretarse como matrices de selección, lo que le brinda generalidad al modelo. Las cuatro matrices son fijas y si en ellas
hubiere elementos desconocidos, se incorporan al vector Ψ de hiperparámetros, el que es estimado por máxima verosimilitud.
Los estadísticos de prueba usados para la bondad de ajuste son : el BS (de Bowman y Shenton) que emplea estimadores de la
asimetría y de la kurtosis de los datos ;  el Q (de Box-Ljong) para la autocorrelación seriel y el de DW (de Durbin y Watson), los
que junto con otros estadísticos adicionales, califican según sus valores, al modelo como adecuado para  ajustar a los datos
observados.
                                                          
1 Probabilidades y Estadística, Depto. de Matemática, Fac. Cs. Exactas - UNSa
2 INIE, Instituto UNT - CONICET
3 INENCO, Instituto UNSa - CONICET
Recordemos que la idea básica de los modelos estructurales de series de tiempo es que ellos pueden ser puestos como modelos de
regresión en donde las variables explicativas son funciones del tiempo, con coeficientes que pueden cambiar a través del tiempo.
La estimación actual de los coeficientes ó filtrada, se logra poniendo al modelo en forma de espacio de estado y aplicándole luego
el denominado Filtro de Kalman. Se emplean algoritmos específicos para hacer predicciones y  para los suavizados. Esto último
significa computar el mejor de los los estimadores en todos los puntos de la muestra usando al conjunto de observaciones. La
magnitud por la cual los parámetros pueden variar está gobernada por los llamados hiperparámetros. Estos pueden ser estimados
por el método de máxima verosimilitud, construyendo la función específica a optimizar.
Cuando se trata de datos diarios, los modelos estructurales pueden ser extendidos de tal forma de permitir el manejo de los
mismos introduciendo un componente diario. Este se modela en la misma forma que un componente estacional y puede
permitírsele que varíe en el tiempo. Otros componentes como la tendencia y la estacionalidad anual pueden ser introducidos como
lo explicado en el modelo general.  La falta de normalidad en los datos, que es el caso de nuestro serie, requiere de un tratamiento
más particular que implica el uso de una función de verosimilitud que se maximiza por métodos iterativos, dado que las
ecuaciones normales asociadas no son lineales. En este sentido se puede intentar tratar a los datos como provenientes de una
familia exponencial ; o bien, cuando los datos tienen una distribución de “colas pesadas”, se puede emplear combinaciones de
distribuciones normales con la t de Student.
Las series originales tratadas aquí constan de N=5842 valores diarios cada una. Pero, dada la ventaja del tratamiento estructural,
podemos trabajar con una serie sustancialemente más pequeña, por ejemplo tomando el par de años 1982 y 1983 ;  en particular
los T=360 primeros valores, a fin de poder compararlos con los datos predichos por la serie modelada. En estos años se observa la
presencia de datos ``outliers” o extremos, los que fueron tratados con la incorporación de variable explicativas, previo al proceso
de análisis de correlación estructural.
El modelo estructural para la serie de radiación diaria (Rad) obtenida anteriormente (Avila Blas et al., 1999) correponde al de un
modelo de varianza o volatilidad estocástica (SV), cuya estructura viene dada por:
y1t = σ 1t ε 1t  =3.43 ε 1t exp(h 1t /2) ,  ε 1t  ~ IID(0, 1),    t=1,…,730 ;   donde   h 1t = 0.955 h 1t-1 + η 1t    ,   η 1t ~ NID(0 , 0.05)
(2)
El término σ =3.43 es un factor de escala, φ=0.995 es un parámetro y η t  es un término de disturbio que se considera no
correlacionado con  ε t.
En una primera etapa del presente trabajo se consiguió un modelo análogo al establecido por la ecuación (2) para ajustar los datos
de la serie correspondiente a los valores de temperatura promedio diaria (Tprom). El mismo responde a la ecuación :
y2t = σ 2t ε 2t  =3.82 ε 2t exp(h 2t /2) , ε 2t ~ IID(0, 1),    t=1,…,730 ;   donde   h 2t = 0.974 h 2t-1 + η 2t    ,   η 2t ~ NID(0 , 0.04)
(3)
Nótese que las distribuciones empíricas de las variables de estudio, no son gaussianas y presentan una fuerte asimetría por la
izquierda. En cada gráfico, cuando no se indiquen unidades, es porque la variable es adimensional.
Las similaridades así halladas pueden corroborarse observando las representaciones gráficas de las series a las que se le aplicó la
transformación de volatilidad (SV), en las figuras 1 y 3, con sus respectivas densidades en las figuras 2 y 4
   Figura 1: Serie SV de temperatura diaria (ºC), (eje x en días)  Figura 2 : densidad SV de temperatura diaria, (eje x en ºC)
 Figura 3: Serie SV de radiación diaria(MJ/m2), (eje x en días) Figura 4 : densidad SV de radiación diaria,(eje x en
MJ/m2)
La figura 5 corresponde al diagrama de dispersión de las variables estudiadas, el cual muestra una clara correlación entre las
mismas. Esto dió sentido a la búsqueda de un modelo estructural de correlación entre dichas variables, que permita poder
presentar a una de ellas en función de la otra.
        Figura 5 : Diagrama de dispersión entre temperatura  y radiación diarias
(eje x en ºC, eje y en MJ/m2)
ANALISIS ESTADISTICO DE CORRELACION ENTRE LAS SERIES.
El nexo a través de las diferentes series se realiza mediante las correlaciones de los disturbios que influyen sobre las componentes.
En un modelo de factores comunes, algunas, o posiblemente todas, las matrices de covarianza serán de rango reducido. Estos
factores comunes son de considerable importancia para el modelado multivariado. Las únicas partes que no aparecen en los
modelos univariados son las denominadas matrices de factores y covarianzas, las que son de radical importancia en el contexto de
los factores comunes.
En la búsqueda de un modelo de correlación se propusieron diferentes descomposiciones de las variables de estudio, escribiendo
a las variables de estudio como la suma de componentes de diversa índole como ser : nivel, tendencia, autorregresión, ciclos e
irregular o ruido blanco.
Para poder determinar el modelo óptimo se tuvieron en cuenta las siguientes consideraciones estadísticas teóricas.
En en el análisis multivariado, las matrices de covarianzas de los disturbios son calculadas cuando se realiza el proceso de
estimación de los hiperparámetros. A continuación se muestra esta matriz, para el análisis bivariado de las series bajo estudio.
Notemos que la matriz de covarianza viene dada por la parte triangular superior, correspondiendo los valors de la diagonal
principal, a las varianzas de los términos de disturbios en cada serie.
Los elementos indicados en itálicas son los correlaciones estimadas. Se observa que la correlación es mucho más grande para los
disturbios en los niveles que para la componente irregular, esto significa que tiene sentido establecer la siguiente relación entre las
variables bajo estudio, a partir de los respectivos modelos de volatilidad estocática (SV), ecuaciones (2) y (3)
                                                              y1t* = [µ 1t + y2t*] + ε t *= µ t + y1t*
(4)
y aplicando la función exponencial miembro a miembro obtenemos la siguiente expresión linealizada :
                                                             y1t = C. exp{ h1t / 2 }. y2t . ε 1t *
( 5)
donde C es una constante relacionada a la componente de nivel de la primera variable.
A partir de la ecuación ( 5)  se siguieron dos caminos para establecer el modelo de correlación más apropiado :
1)  sustituyendo y2t  por su forma de volatilidad estocástica y aplicando nuevamente logaritmos miembro a miembro, se obtiene la
siguiente ecuación :
                                             y1t* = log y1t  = [log K + (h1t +h2t)/2] + ε 1t *= µ t + ε 1t *
(6)
en la que K es el producto de las constantes a y c en los modelos (SV),  y la expresión entre corchetes representa la componente
de nivel. Esta componente queda escrita en función de las caminatas aleatorias h1t y h2t , y en consecuencia el modelo no presenta
variables explicativas observadas ; es decir no aparece en forma explícita la variable y2t .
2)  dejando en forma explícita la variable y2t , y aplicando logaritmos miembro a miembro, se consigue escribir la siguiente
ecuación :
                                       y1t* = log y1t  = [log 3.43 + h1t /2 ]+ β log y2t + log ε 1t = µ 1t + β y2t*+ε 1t *
(7)
El parámetro β constituye una ponderación sobre la variable independiente y2t* y cuya estimación se consigue en el proceso de
suavizado y filtrado de Kalman. El valor obtenido en este caso es β=0.946.
Además, si simbolizamos con (θ)E al estimador de un parámetro genérico θ, se puede constatar que el estimador (log c)E satisface
la relación
                                                                              (log a)E ≅ (log K)E - (log c)E
(8)
Los resultados estadísticos complementarios más importantes asociados al modelo óptimo se muestran en la siguiente tabla.
 y = Level + AR(1) + 1 Cycle(s) + Irregular
 y_1 : SVRad
 y_2 : SVTprom
 Estimation
Resúmen de estadísticos
                  SVRad    SVTprom
 Std.Error        1.730      1.235
 Normality        32.00      204.3
 H(239)           1.052      1.442
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=∧÷÷
ø
ö
çç
è
æ
−
−
= åå 371.0673.0
464.1
87.039.0
063.0 ** 0.936.099
ηt
 Modelo con 15 hiperparámetros ( 0 restricciones).
Estimación paramétrica muetral     1. 1 -  720. 1. (T =  720).
 Núcleo de Log-verosimilitud -1.759383.
 Convergencia muy fuerte en   96 iteraciones.
 r( 1)        0.0051294   0.015436
 r(25)         0.016204   0.034973
 DW               1.972      1.962
 Q(25,20)         13.58      30.29
Desviaciones estándar estimadas
 Componente         SVRad (razón q)       SVTprom (razón q)
 Irr              1.3400 ( 1.0000)      0.160066 ( 1.0000)
 Cy2            0.889928 ( 0.6641)        1.0575 ( 6.6064)
 Ar1            0.129650 ( 0.0968)      0.322609 ( 2.0155)
Parámetros estimados de la componente ciclo
       Matriz de covarianza
       1.202    0.40239
     0.57486      1.698
 El coeficiente rho es  0.5841867.
Coeficientes estimados de la componente autorregresiva
       matriz de coeficientes para VAR(1)
     0.98225  -0.011537
  -0.0087582    0.94630
matriz asociada a Ar1
       1.000     0.0000
     0.70297      1.000
Matriz estimada para la covarianza de los disturbios.
  el triángulo superior derecho muestra correlaciones
        disturbios de Irr
       1.796   -0.98410
    -0.21108   0.025621
      distrubios de  Cy2
     0.79197    0.40239
     0.37867      1.118
       disturbios de  Ar1
    0.016809    0.28251
    0.011816    0.10408
    Tabla 1 : Resultados estadísticos obtenidos en las etapas de suavizado, filtrado y aplicación del filtro de Kalman
La bondad del ajuste del modelo de correlación puede observarse en las siguientes figuras y tabla :
   Fig.6 :Predicciones de radiación 10 días hacia adelante
             (eje y en MJ/m2), (eje x en días)
Fig.7 : Comportamiento residual en las predicciones de
radiación
           (eje x en días)
 Período     Pronóstico    R.m.s.e.      - Rmse      + Rmse
  721. 1      15.953      6.3286      9.6246      22.282
  722. 1      16.355      6.9550      9.4001      23.310
  723. 1      16.550      7.1094      9.4404      23.659
  724. 1      16.665      7.1605      9.5041      23.825
  725. 1      16.744      7.1826      9.5617      23.927
  726. 1      16.803      7.1951      9.6080      23.998
  727. 1      16.845      7.2040      9.6411      24.049
  728. 1      16.873      7.2117      9.6610      24.084
  729. 1      16.888      7.2191      9.6694      24.108
  730. 1      16.895      7.2265      9.6687      24.122
  731. 1      16.896      7.2341      9.6618      24.130
  732. 1      16.893      7.2420      9.6511      24.135
  733. 1      16.889      7.2502      9.6387      24.139
  734. 1      16.885      7.2587      9.6260      24.143
  735. 1      16.881      7.2672      9.6138      24.148
  736. 1      16.878      7.2758      9.6026      24.154
  737. 1      16.877      7.2844      9.5924      24.161
  738. 1      16.876      7.2930      9.5830      24.169
  739. 1      16.876      7.3015      9.5742      24.177
  740. 1      16.876      7.3099      9.5658      24.186
Fig. 8 : Comportamiento acumulativo en las predicciones   Tabla 2 :   Pronósticos para radiación 10 días hacia adelante
      Los estadísticos detallados en la tabla 1, nos permiten avalar los modelos (6) y (7) como válidos, pero preferimos (7) dado que
resulta más cómodo su uso desde el punto de vista de las aplicaciones. Este modelo queda expresado en una forma muy similar a
las expresiones de correlación del análisis estadístico tradicional. En consecuencia, tomamos como modelo de correlación entre
las variables bajo estudio a  (trabajando con una confiabilidad del 95%):
log y1t  = [log 3.43 + h1t /2 ]+ 0.946 log y2t + log ε 1t  ,  ε 1t  ~ IID(0, 1);  h 1t = 0.955 h 1t-1 + η 1t    ,   η 1t ~ NID(0 , 0.05)
(9)
CONCLUSIÓN.
Mediante el empleo del tratamiento estructural de series de tiempo, se consiguió determinar un modelo que permite correlacionar
una serie de valores de radiación diaria con otra de valores de temperatura promedio diaria, con una bondad de ajuste muy buena.
Esto permite realizar estimaciones de una variable a partir de valores de la otra, a corto plazo y con una confiabilidad muy alta
(95%). Un futuro trabajo procurará correlacionar estas variables con los otras tales como por ejemplo,  vientos.y precipitaciones.
REFERENCIAS.
            Abril J. C. (1999). Análisis Estadístico de Series de Tiempo Basado en Modelos de Espacio de Estado. E.U.D.E.B.A. 1999
     Aguiar R. y  Collares Pereira M. (1992). Tag : A time dependent, autorregressive, gaussian model for generating synthetic
hourly radiation, Solar Energy, 49, 3, 167-174.
     Avila Blas O. J. (1997). Análisis Espectral de Series de Temperatura de Superficie. Revista FACENA, Univ. Nac. Nordeste, 13,
79-99.
     Avila Blas, O., Abril, J.C. y Lesino, G. (1999). Análisis Estadístico Estructural de Series de Radiación Diaria, Avances en
Energías Renovables y Medio Ambiente, Vol. 3, Nº 2, pp. 11.17-11.20.
           Harvey A. C. y  Shepard  N. (1993). Estructural Time Series Models. En Handbook of Statistics, Elsevier Sciencie Publishers
B.V (Editores), Vol. 11, pp. 261-302.
           Koopman S. J., Harvey  A. C.,  Doornik  J. A. y Shepard  N. (1995). STAMP 5.0, Structural Time Series Analyser, Modeller
and Predictor. 1a. edición. Chapman and Hall, London.
      ABSTRACT
      Following a research line that began in 1998, in this paper a statistical bivariate correlation between diary average radiation an
temperature study is done by using the structural analysis methodology, introduced by actual contemporary statisticians. A
correlation model between the two variables is presented to generated syntethic diary radiation values from diary temperature
values, being able to make forecasting with a high confidential level (95%).



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http://sedici.unlp.edu.ar/bitstream/handle/10915/79409/Documento_completo.pdf?sequence=1

Radiación y temperatura diarias: un modelo de correlación estructural

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