En este trabajo resumimos una estructura explícita de cálculo numérico para resolver el formalismo de David Bohm de la Mecánica Cuántica. El programa fue desarrollado en Fortran 77 para correr en equipos PC de capacidad estándar. Mostramos numéricamente la existencia de la inestabilidad cuántica en el potencial de David. Bohm cuando los estados estacionarios son ligeramente perturbados. Para los estados perturbados el espacio de las fases asociado a la partícula virtual presenta aspecto caótico.Eje: Workshop sobre Aspectos Teoricos de la Inteligencia ArtificialRed de Universidades con Carreras en Informática (RedUNCI

Betan, Rodolfo M.

Lara, Luis P.

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Proceedings                                                                                                              CACIC’97 Workshop sobre Aspectos  Teóricos de Inteligencia Artificial. Teoría.                                     UNLP   Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         1  Inestabilidad Cuántica en el Potencial de David Bohm Rodolfo M. Id Betan1 , Luis Lara2Junio 6, 1997  En este trabajo resumimos una estructura explícita de cálculo numérico para resolver el formalismo de David Bohm de la Mecánica Cuántica. El programa fue desarrollado en Fortran 77 para correr en equipos PC de capacidad estándar. Mostramos numéricamente la existencia de la inestabilidad cuántica en el potencial de David. Bohm cuando los estados estacionarios son ligeramente perturbados. Para los estados perturbados el espacio de las fases asociado a la partícula virtual presenta aspecto caótico. Introducción Dada la ecuación de Schrödinger ( ) ( ) ( )it mr t V r r t⋅ ⋅ = −⋅⋅∇ + ⋅∂ψ∂ψ ψ222, , ,  función de onda en forma polares: ( ) ( )( )ψ r t R r t eiS r tt, , ,,= ⋅⋅ ⋅  separando la pare real de la imaginaria, se obtienen las siguientes dos ecuaciones: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )∂∂S r ttS r tmV rmR r tR r t, , ,,,+∇⋅+ −⋅⋅∇=22 22 20  ( 0-1 ) ( ) ( ) ( )∂∂R r ttR r tS r tm22 0,,,,+ ∇ ⋅ ⋅∇ =  ( 0-2 ) definiendo el último término de la ( 0-1 ) como potencial cuántico: ( ) ( )( )Q r tmR r tR r t,,,,= −⋅⋅∇2 22 se escribe ( 0-1 ) de la siguiente forma:                                                            1 Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura. U.N.R. 2 Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura. U.N.R. Proceedings                                                                                                              CACIC’97 Workshop sobre Aspectos  Teóricos de Inteligencia Artificial. Teoría.                                     UNLP   Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         2  ( ) ( )( ) ( ) ( )∂∂S r ttS r tmV r Q r t, ,, ,+∇⋅+ + =220  ( 0-3 ) a la cual se la llama ecuación de Hamilton Jacobi Cuántica, por analogía con la ecuación clásica. A partir de ( 0-3 ) puede interpretarse que ( 0-2 ) expresa la conservación de la probabilidad, donde la densidad de probabilidad está dada por P=R2ddtLqLqjj∂∂∂∂•− = 0, de un ensamble de partículas que satisface la ecuación de Hamilton Jacobi Cuántica; y donde cada una de las partículas se desplaza con una trayectoria definida por:  Adimensionalización Se adimensionaliza la ecuación de Schrödinger unidimensional con el fin de construir una ley de escala y simplificar las ecuaciones: x xL=~0 donde x es la variable espacial adimesional y L0t t m L= = ⋅ ⋅~ττ00022;  una longitud característica; mientras que la coordenada temporal queda definida por la siguiente adimensionalización: , donde t es la variable temporal adimensional; de la misma manera quedan las otras variable: U VVVm L= =⋅ ⋅002022; ,  donde U es la altura de la barrera adimensional. ε =EV0,  donde ε es la energía promedio de la partícula del sistema. ψ ψ= ⋅~ ,L0  ψ es la función de onda adimensional. Utilizando estas nuevas variables se escribe la ecuación de Schrödinger unidimensional de la siguiente forma: Proceedings                                                                                                              CACIC’97 Workshop sobre Aspectos  Teóricos de Inteligencia Artificial. Teoría.                                     UNLP   Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         3  ( ) ( ) ( ) ( )itx txx t u x x t⋅ = − + ⋅∂∂ψ∂∂ψ ψ, , , ,22  ( 0-4 ) mientras el potencial cuántico en variables adimensional queda expresado de la siguiente manera: ( ) ( )( )Q x tR r tR x tx,,,.= − ⋅122∂∂ Resolución Numérica Se resolvió la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo aproximando la derivada espacial con una interpolación de Lagrange con tres puntos, generándose un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en la variable temporal. El sistema se integra mediante el método de Runge Kutta de cuarto orden .  La estrategia seguida fue la siguiente: • Se escribió la función de onda en forma binómica ( ) ( ) ( )ψ x t u x t i v x t, , ,= + ⋅  • En la ecuación de Schrödinger se separa parte real e imaginaria obteniendo dos ecuaciones: ∂∂∂∂utHvvtHu== − ( 0-1 ) donde H es el Hamiltoniano del sistema: ( )HxV x= − +∂∂22  ( 0-2 ) El dominio espacio temporal se discretiza en la parte espacial con paso fijo, entonces los nodos son x x j djj min= + *  donde dj es el paso, con j=0, 1, 2, ... ,n; y los extremos de la caja son xmin  y xmax . Para cada punto xj  definimos las funciones de una variable uj  y vj   de esta forma la ecuación de Schrödinger se aproxima por un sistema de n+1 ecuaciones diferenciales ordinarias: Proceedings                                                                                                              CACIC’97 Workshop sobre Aspectos  Teóricos de Inteligencia Artificial. Teoría.                                     UNLP   Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         4  ∂∂∂∂utv v vdjvtu u udjjj j jjj j j= −− ⋅ += −− ⋅ ++ −+ −1 121 1222 Las condiciones de borde son umin  =vmin  =0  y umax  =vmax Como condición inicial se debe establecer la ley de  =0 , por tratarse de una barrera de potencial infinita. ( )ψ x t, = 0 . ψj = ( uj , vj  )t=0;  ψ(xj  , 0)ψ(xmax , t)ψ(xmin , t)j    A medida que se integra la ecuación de Schrödinger, se calcula el potencial cuántico según el formalismo de David Bohm  ( ) ( )( )Q x tR x tR x t,,,= −∇2 donde Q(x,t) es el potencial cuántico adimensional y R(x,t) es el módulo de la función de onda. ( )ψ x t,  Al evaluar el potencial es necesario calcular la derivada segunda de la función R(x,t), para esto se utiliza un polinomio de interpolación de Lagrange de grado cuatro, en base y factorizando para minimizar errores de cálculo el, potencial Q(x,t) se calcula como: QdjRRRRRRRRjjjjjjjjj=⋅ ⋅ + +− ⋅ ++ − + −11230 1622 2 1 1  Para determinar las trayectorias de las partículas virtuales, utilizando las ecuaciones de Lagrange se obtiene: ( )p p U U tdjjijij j ti++= − − ⋅11∆ Donde p es el momento canónicamente conjugado a x , el subíndice en p corresponde a la posición espacial y el supraíndice al grado de avance en el tiempo. x x p tjijiji+ = + ⋅1 ∆  Uj  representa el potencial total, que es la suma del potencial cuántico más el potencial físico. Los índices conservan los mismos sentidos que en p. Proceedings                                                                                                              CACIC’97 Workshop sobre Aspectos  Teóricos de Inteligencia Artificial. Teoría.                                     UNLP   Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         5  Nuevamente a medida que se obtiene la función de onda se determina la trayectoria para cada condición inicial; en donde el algoritmo para cada valor discreto de tiempo va determinando en que posición del plano de la fases se encuentra la partícula. Solución estacionaria y validación Las trayectorias en el plano de las fases correspondientes a estados estacionarios de una partícula en una caja son rectas. Además de la estimación analítica de los errores de truncamiento y redondeo se utiliza la solución estacionaria como elemento de control numérico. En las figs 1 y 2 se muestran el potencial cuántico antes y después de filtrarse el ruido de cálculo mediante la técnica de promedio móvil de cinco puntos. En esta validación se observa una robustez en la estructura de calculo.  -0.4-0.20.00.20.40.020.040.060.080.109.829.849.869.889.909.92Amplitud potencial totalTiempoEspacio  Potencial Total sin suavizar - Fig. 1 -0.4-0.20.00.20.40.020.040.060.080.109.829.849.869.889.909.92Amplitud potencial totalTiempoEspacio  Potencial Total suavizado - Fig. 2 Las evaluaciones de la densidad de probabilidad muestran un menor error debido a que requieren menos operaciones aritméticas que el potencial cuántico, como se observa en la figura 3 para la densidad de probabilidad de la función de onda. Proceedings                                                                                                              CACIC’97 Workshop sobre Aspectos  Teóricos de Inteligencia Artificial. Teoría.                                     UNLP   Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         6  -0.4-0.20.00.20.4 0.000.020.040.060.080.100.250.500.75Módulo de la Función de OndaTiempoEspacio Fig. 3 por otro lado, también como elemento de control, se determinó numéricamente la trayectoria de las partículas virtuales en el espacio de la fases obteniéndose una muy buena aproximación a la solución analítica -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4-1.0-0.50.00.51.0Diagrama de fase para el estado estacionarioN=1 de una partícula en una caja VelocidadEspacio Fig. 4 La figura 5 muestra el valor medio del potencial cuántico calculado en forma numérica para el algoritmo sin aplicar el criterio de promedio móviles, mientras que la figura 5 muestra la desviación standard media para esta misma situación. 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1010.08010.08210.08410.08610.088Estado inicial estacionario sin suavisar el potencialValor medio de la funcion de ondaTiempo  Fig. 5  Proceedings                                                                                                              CACIC’97 Workshop sobre Aspectos  Teóricos de Inteligencia Artificial. Teoría.                                     UNLP   Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         7  0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.03180.03200.03220.03240.03260.03280.03300.03320.03340.0336Estado inicial estacionario sin suavisar el potencialDesviacion standardTiempo  Fig. 6 Comparando las dos últimas gráficas con las correspondientes al algoritmo utilizando técnica de suavizado (figs. 7 y 8) en la misma escala de tiempo se observa la disminución de la cota de error. 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1010.08010.08210.08410.08610.088Estado inicial estacionario sin suavisar el potencialValor medio de la funcion de ondaTiempo Fig. 7  0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.03200.03250.03300.0335 Estado inicial estacionario sin suavisar el potencialDesviacion standardTiempo  Fig. 8 Perturbación e Inestabilidad En esta sección describimos los resultados de un conjunto de experimentos numéricos, que están orientados a mostrar que pequeñas perturbaciones sobre la Proceedings                                                                                                              CACIC’97 Workshop sobre Aspectos  Teóricos de Inteligencia Artificial. Teoría.                                     UNLP   Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         8  condición inicial correspondiente a soluciones estacionarias, conduce a fuertes cambios en el potencial cuántico. Para generar la solución no estacionaria fijamos como condición inicial ( ) ( ) ( ) ( )ψ π π εx t x x x, cos . .= = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ +02 0 5 0 5  donde ε es el coeficiente perturbativo, mientras x es la variable espacial y t es la variable temporal; mientras que para los bordes se toma la siguiente condición ( ) ( )ψ ψx x t x x tmin max= == =, , 0  donde x min es el valor mínimo de la variable espacial y x maxLa figura 9 muestra el potencial total perturbado en función de la coordenada espacial y temporal, ésta muestra la aparición de fluctuaciones que van cambiando con el tiempo dando una apariencia de caoticidad  el es máximo valor que puede tomar esta variable. -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.0000.0050.0100.0150.0209.79.89.910.010.110.210.3Potencial CuánticoTiempoEspacio  Fig. 9 Con el fin de ilustrar los resultados de esta figura se representan la densidad de probabilidad, el valor medio del potencial cuántico como función del tiempo y la desviación standard. La densidad parece no haber sido afectada por la perturbación, pero tal observación es errónea por el hecho que el potencial cuántico está definido a partir de ésta haciendo el cociente de su Laplaciano con ella misma Proceedings                                                                                                              CACIC’97 Workshop sobre Aspectos  Teóricos de Inteligencia Artificial. Teoría.                                     UNLP   Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         9  -0.4-0.20.00.20.40.00000.00250.00500.00750.01000.250.500.75Módulo de la función de ondaTiempoEspacio Fig. 10 Para cada valor de tiempo analizamos el valor medio y la dispersión del potencial cuántico. La figura 11 representa el valor medio del potencial cuántico observándose que el mismo fluctúa alrededor del valor correspondiente a la solución estacionaria. 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1010.0010.0510.1010.1510.20Estado inicial definido por un estado estacionarioperturbado por una parábola cuya amplitud es delorden de 10-2 de la amplitud del estado estacionarioValor Medio del Potencial TotalTiempo Adimensional Fig. 11 La figura 12 muestra la desviación para este potencial como función del tiempo. 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100.0300.0350.0400.0450.0500.0550.060Estado inicial definido por un estado estacionarioperturbado por una parábola cuya amplitud es delorden de 10-2 de la amplitud del estado estacionarioDesviación Cuadrática Media del Potencial Tiempo Adimensional Fig. 12 Proceedings                                                                                                              CACIC’97 Workshop sobre Aspectos  Teóricos de Inteligencia Artificial. Teoría.                                     UNLP   Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         10  La representación del potencial es realizada después de filtrar el ruido numérico propio del cálculo. La ligera perturbación da lugar a valles que oscilan en el tiempo, estos valles son tomados como trayectoria para las partículas de menor energía. Este comportamiento casi caótico del potencial se refleja dramáticamente en el espacio de las fases, figura 13. En el estado, estacionario la trayectoria es una recta siendo ahora un movimiento altamente desordenado. -0.3002 -0.3001 -0.3000 -0.2999 -0.2998 -0.2997 -0.2996 -0.2995-0.015-0.010-0.0050.0000.0050.0100.015Diagrama de fase para el estado estacionario perturbadoVelocidadEspacio Fig. 13 Conclusiones Hemos desarrollado una estructura y algoritmo de cálculo para ser corrido en PC, el cual da resultados altamente satisfactorios en función de las diferentes validaciones con respecto a soluciones analíticas. Para la caja encontramos que una partición de 50 elementos es suficiente para la precisión buscada. Los errores relativos en la función de onda está por debajo de 10-6A través de los experimentos numéricos hemos mostrado, que el potencial cuántico correspondiente a soluciones estacionarias es inestable frente a pequeñas perturbaciones.  sobre los rangos de tiempo experimentados. Si bien la integración en el tiempo se podría resolver analíticamente por tratarse de un sistema EDO lineal y obtener soluciones cuasianalíticas, nuestra experiencia de cálculo nos indica que es más exacta el camino numérico que hemos emprendido. Si bien somos conscientes que un conjunto de experimentos numéricos no constituyen una demostración, los resultados numéricos validan nuestra tesis y abre las puertas para un camino más teórico. Por otro lado, dada la complejidad matemática del problema creemos que analíticamente resultaría muy difícil llegar a tal conclusión y más aun visualizar la forma del potencial. Bibliografía C. Dewdney, B. Hilley, Found Phys. 12,27-48, 1982 F. Merayo . Programación en Fortran 77 (Paraninfo, Madrid, 1990) M. Abramowitz , I. Stegun (Dover Publications, New York, 1972) D. Bohm, B. Hilley, The Undivided Universe. (Routledge, London, 1993). A. Bohm  Quantum Mechanics (Springer, New York, 1979). Proceedings                                                                                                              CACIC’97 Workshop sobre Aspectos  Teóricos de Inteligencia Artificial. Teoría.                                     UNLP   Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         11  E. Nelson . Dynamical Theories of Brownian Motion (Princeton University Press,  Princeton, 1967). R. Id Betan et al. , Interpretación Ontológica de la Inestabilidad Cuántica (U.N.R., Tesina, 1996). C. Philippidis, C. Dewdnei, Nuovo Cimento, 52B, 15-28, 1979.  

Inestabilidad cuántica en el potencial de David Bohm

SEDICI - Repositorio de la UNLP

Proceedings                                                                                                              CACIC’97 
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Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         1 
 
Inestabilidad Cuántica en el Potencial de David Bohm 
Rodolfo M. Id Betan1 , Luis Lara2
Junio 6, 1997 
 
En este trabajo resumimos una estructura explícita de cálculo 
numérico para resolver el formalismo de David Bohm de la Mecánica 
Cuántica. El programa fue desarrollado en Fortran 77 para correr en 
equipos PC de capacidad estándar. Mostramos numéricamente la 
existencia de la inestabilidad cuántica en el potencial de David. Bohm 
cuando los estados estacionarios son ligeramente perturbados. Para los 
estados perturbados el espacio de las fases asociado a la partícula 
virtual presenta aspecto caótico. 
Introducción 
Dada la ecuación de Schrödinger 
( ) ( ) ( )i
t m
r t V r r t⋅ ⋅ = −
⋅
⋅∇ + ⋅
∂ψ
∂
ψ ψ
2
2
2
, , ,  
función de onda en forma polares: 
( ) ( )
( )
ψ r t R r t e
i
S r t
t
, , ,
,
= ⋅
⋅ ⋅
  
separando la pare real de la imaginaria, se obtienen las siguientes dos ecuaciones: 
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
∂
∂
S r t
t
S r t
m
V r
m
R r t
R r t
, , ,
,
,+
∇
⋅
+ −
⋅
⋅
∇
=
2
2 2
2 2
0  
( 0-1 ) 
( ) ( ) ( )∂
∂
R r t
t
R r t
S r t
m
2
2 0
,
,
,
,+ ∇ ⋅ ⋅
∇




 =  
( 0-2 ) 
definiendo el último término de la ( 0-1 ) como potencial cuántico: 
( ) ( )( )
Q r t
m
R r t
R r t
,
,
,
,= −
⋅
⋅
∇2 2
2
 
se escribe ( 0-1 ) de la siguiente forma:  
                                                          
1 Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura. U.N.R. 
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Workshop sobre Aspectos  Teóricos de Inteligencia Artificial. Teoría.                                     UNLP 
  
Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         2 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )∂
∂
S r t
t
S r t
m
V r Q r t
, ,
, ,+
∇
⋅
+ + =
2
2
0  
( 0-3 ) 
a la cual se la llama ecuación de Hamilton Jacobi Cuántica, por analogía con la 
ecuación clásica. 
A partir de ( 0-3 ) puede interpretarse que ( 0-2 ) expresa la conservación de la 
probabilidad, donde la densidad de probabilidad está dada por P=R2
d
dt
L
q
L
q
j
j
∂
∂
∂
∂•
− = 0
, de un ensamble 
de partículas que satisface la ecuación de Hamilton Jacobi Cuántica; y donde cada 
una de las partículas se desplaza con una trayectoria definida por: 
 
Adimensionalización 
Se adimensionaliza la ecuación de Schrödinger unidimensional con el fin de construir 
una ley de escala y simplificar las ecuaciones: 
x x
L
=
~
0
 
donde x es la variable espacial adimesional y L0
t t m L= = ⋅ ⋅
~
τ
τ
0
0
0
22
;

  una longitud característica; mientras 
que la coordenada temporal queda definida por la siguiente adimensionalización: 
, 
donde t es la variable temporal adimensional; de la misma manera quedan las otras 
variable: 
U V
V
V
m L
= =
⋅ ⋅0
0
2
0
22
; ,  
donde U es la altura de la barrera adimensional. 
ε =
E
V0
,  
donde ε es la energía promedio de la partícula del sistema. 
ψ ψ= ⋅~ ,L0  
ψ es la función de onda adimensional. 
Utilizando estas nuevas variables se escribe la ecuación de Schrödinger 
unidimensional de la siguiente forma: 
Proceedings                                                                                                              CACIC’97 
Workshop sobre Aspectos  Teóricos de Inteligencia Artificial. Teoría.                                     UNLP 
  
Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         3 
 
( ) ( ) ( ) ( )i
t
x t
x
x t u x x t⋅ = − + ⋅∂
∂
ψ
∂
∂
ψ ψ, , , ,
2
2  
( 0-4 ) 
mientras el potencial cuántico en variables adimensional queda expresado de la 
siguiente manera: 
( ) ( )
( )
Q x t
R r t
R x t
x
,
,
,
.= − ⋅1
2
2
∂
∂
 
Resolución Numérica 
Se resolvió la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo aproximando la 
derivada espacial con una interpolación de Lagrange con tres puntos, generándose un 
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en la variable temporal. El sistema se 
integra mediante el método de Runge Kutta de cuarto orden .  
La estrategia seguida fue la siguiente: 
• Se escribió la función de onda en forma binómica 
( ) ( ) ( )ψ x t u x t i v x t, , ,= + ⋅  
• En la ecuación de Schrödinger se separa parte real e imaginaria obteniendo dos 
ecuaciones: 
∂
∂
∂
∂
u
t
Hv
v
t
Hu
=
= −
 
( 0-1 ) 
donde H es el Hamiltoniano del sistema: 
( )H
x
V x= − +∂
∂
2
2  
( 0-2 ) 
El dominio espacio temporal se discretiza en la parte espacial con paso fijo, entonces 
los nodos son x x j djj min= + *  donde dj es el paso, con j=0, 1, 2, ... ,n; y los 
extremos de la caja son xmin  y xmax . 
Para cada punto xj  definimos las funciones de una variable uj  y vj   de esta forma la 
ecuación de Schrödinger se aproxima por un sistema de n+1 ecuaciones diferenciales 
ordinarias: 
Proceedings                                                                                                              CACIC’97 
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∂
∂
∂
∂
u
t
v v v
dj
v
t
u u u
dj
j
j j j
j
j j j
= −
− ⋅ +





= −
− ⋅ +





+ −
+ −
1 1
2
1 1
2
2
2
 
Las condiciones de borde son umin  =vmin  =0  y umax  =vmax 
Como condición inicial se debe establecer la ley de 
 =0 , por tratarse de una 
barrera de potencial infinita. 
( )ψ x t, = 0 . 
ψj = ( uj , vj  )
t=0;  ψ(xj  , 0)
ψ(xmax , t)
ψ(xmin , t)
j  
 
 
A medida que se integra la ecuación de Schrödinger, se calcula el potencial cuántico 
según el formalismo de David Bohm  
( ) ( )( )
Q x t
R x t
R x t
,
,
,
= −
∇2
 
donde Q(x,t) es el potencial cuántico adimensional y R(x,t) es el módulo de la función 
de onda. ( )ψ x t,  
Al evaluar el potencial es necesario calcular la derivada segunda de la función R(x,t), 
para esto se utiliza un polinomio de interpolación de Lagrange de grado cuatro, en 
base y factorizando para minimizar errores de cálculo el, potencial Q(x,t) se calcula 
como: 
Q
dj
R
R
R
R
R
R
R
Rj
j
j
j
j
j
j
j
j
=
⋅





 ⋅ + +














− ⋅ +














+ − + −1
12
30 162
2 2 1 1  
Para determinar las trayectorias de las partículas virtuales, utilizando las ecuaciones 
de Lagrange se obtiene: 
( )p p U U tdjj
i
j
i
j j ti
+
+= − − ⋅
1
1
∆
 
Donde p es el momento canónicamente conjugado a x , el subíndice en p corresponde 
a la posición espacial y el supraíndice al grado de avance en el tiempo. 
x x p tj
i
j
i
j
i+ = + ⋅1 ∆  
Uj  representa el potencial total, que es la suma del potencial cuántico más el 
potencial físico. Los índices conservan los mismos sentidos que en p. 
Proceedings                                                                                                              CACIC’97 
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Nuevamente a medida que se obtiene la función de onda se determina la trayectoria 
para cada condición inicial; en donde el algoritmo para cada valor discreto de tiempo 
va determinando en que posición del plano de la fases se encuentra la partícula. 
Solución estacionaria y validación 
Las trayectorias en el plano de las fases correspondientes a estados estacionarios de 
una partícula en una caja son rectas. 
Además de la estimación analítica de los errores de truncamiento y redondeo se utiliza 
la solución estacionaria como elemento de control numérico. 
En las figs 1 y 2 se muestran el potencial cuántico antes y después de filtrarse el ruido 
de cálculo mediante la técnica de promedio móvil de cinco puntos. 
En esta validación se observa una robustez en la estructura de calculo. 
 
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
9.82
9.84
9.86
9.88
9.90
9.92
Am
pli
tu
d 
po
te
nc
ial
 to
ta
l
Tie
mp
o
Espacio  
Potencial Total sin suavizar - Fig. 1 
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
9.82
9.84
9.86
9.88
9.90
9.92
Am
pli
tu
d 
po
te
nc
ial
 to
ta
l
Tie
mp
o
Espacio  
Potencial Total suavizado - Fig. 2 
Las evaluaciones de la densidad de probabilidad muestran un menor error debido a 
que requieren menos operaciones aritméticas que el potencial cuántico, como se 
observa en la figura 3 para la densidad de probabilidad de la función de onda. 
Proceedings                                                                                                              CACIC’97 
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-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4 0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.25
0.50
0.75
M
ód
ulo
 d
e 
la 
Fu
nc
ión
 d
e 
O
nd
a
Tie
mp
o
Espacio
 
Fig. 3 
por otro lado, también como elemento de control, se determinó numéricamente la 
trayectoria de las partículas virtuales en el espacio de la fases obteniéndose una muy 
buena aproximación a la solución analítica 
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Diagrama de fase para el estado estacionario
N=1 de una partícula en una caja 
Ve
lo
cid
ad
Espacio
 
Fig. 4 
La figura 5 muestra el valor medio del potencial cuántico calculado en forma numérica 
para el algoritmo sin aplicar el criterio de promedio móviles, mientras que la figura 5 
muestra la desviación standard media para esta misma situación. 
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
10.080
10.082
10.084
10.086
10.088
Estado inicial estacionario sin suavisar el potencial
Va
lor
 m
ed
io 
de
 la
 fu
nc
ion
 d
e 
on
da
Tiempo  
Fig. 5 
 
Proceedings                                                                                                              CACIC’97 
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0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.0318
0.0320
0.0322
0.0324
0.0326
0.0328
0.0330
0.0332
0.0334
0.0336
Estado inicial estacionario sin suavisar el potencial
D
es
via
ci
on
 s
ta
nd
ar
d
Tiempo  
Fig. 6 
Comparando las dos últimas gráficas con las correspondientes al algoritmo utilizando 
técnica de suavizado (figs. 7 y 8) en la misma escala de tiempo se observa la 
disminución de la cota de error. 
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
10.080
10.082
10.084
10.086
10.088
Estado inicial estacionario sin suavisar el potencial
Va
lor
 m
ed
io
 d
e 
la 
fu
nc
io
n 
de
 o
nd
a
Tiempo
 
Fig. 7 
 
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.0320
0.0325
0.0330
0.0335 Estado inicial estacionario sin suavisar el potencial
D
es
via
ci
on
 s
ta
nd
ar
d
Tiempo  
Fig. 8 
Perturbación e Inestabilidad 
En esta sección describimos los resultados de un conjunto de experimentos 
numéricos, que están orientados a mostrar que pequeñas perturbaciones sobre la 
Proceedings                                                                                                              CACIC’97 
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condición inicial correspondiente a soluciones estacionarias, conduce a fuertes 
cambios en el potencial cuántico. 
Para generar la solución no estacionaria fijamos como condición inicial 
( ) ( ) ( ) ( )ψ π π εx t x x x, cos . .= = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ +0
2 0 5 0 5  
donde ε es el coeficiente perturbativo, mientras x es la variable espacial y t es la 
variable temporal; mientras que para los bordes se toma la siguiente condición 
( ) ( )ψ ψx x t x x tmin max= == =, , 0  
donde x min es el valor mínimo de la variable espacial y x max
La figura 9 muestra el potencial total perturbado en función de la coordenada espacial 
y temporal, ésta muestra la aparición de fluctuaciones que van cambiando con el 
tiempo dando una apariencia de caoticidad 
 el es máximo valor que 
puede tomar esta variable. 
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
9.7
9.8
9.9
10.0
10.1
10.2
10.3
Potencial Cuántico
Ti
em
po
Espacio  
Fig. 9 
Con el fin de ilustrar los resultados de esta figura se representan la densidad de 
probabilidad, el valor medio del potencial cuántico como función del tiempo y la 
desviación standard. 
La densidad parece no haber sido afectada por la perturbación, pero tal observación 
es errónea por el hecho que el potencial cuántico está definido a partir de ésta 
haciendo el cociente de su Laplaciano con ella misma 
Proceedings                                                                                                              CACIC’97 
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-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.0000
0.0025
0.0050
0.0075
0.0100
0.25
0.50
0.75
M
ód
ul
o 
de
 la
 fu
nc
ió
n 
de
 o
nd
a
Tiem
poEspacio
 
Fig. 10 
Para cada valor de tiempo analizamos el valor medio y la dispersión del potencial 
cuántico. 
La figura 11 representa el valor medio del potencial cuántico observándose que el 
mismo fluctúa alrededor del valor correspondiente a la solución estacionaria. 
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
10.00
10.05
10.10
10.15
10.20
Estado inicial definido por un estado estacionario
perturbado por una parábola cuya amplitud es del
orden de 10-2 de la amplitud del estado estacionario
Va
lo
r M
ed
io
 d
el
 P
ot
en
cia
l T
ot
al
Tiempo Adimensional
 
Fig. 11 
La figura 12 muestra la desviación para este potencial como función del tiempo. 
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.030
0.035
0.040
0.045
0.050
0.055
0.060
Estado inicial definido por un estado estacionario
perturbado por una parábola cuya amplitud es del
orden de 10-2 de la amplitud del estado estacionario
De
sv
ia
ció
n 
Cu
ad
rá
tic
a 
M
ed
ia
 d
el
 P
ot
en
cia
l 
Tiempo Adimensional
 
Fig. 12 
Proceedings                                                                                                              CACIC’97 
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La representación del potencial es realizada después de filtrar el ruido numérico propio 
del cálculo. La ligera perturbación da lugar a valles que oscilan en el tiempo, estos 
valles son tomados como trayectoria para las partículas de menor energía. 
Este comportamiento casi caótico del potencial se refleja dramáticamente en el 
espacio de las fases, figura 13. En el estado, estacionario la trayectoria es una recta 
siendo ahora un movimiento altamente desordenado. 
-0.3002 -0.3001 -0.3000 -0.2999 -0.2998 -0.2997 -0.2996 -0.2995
-0.015
-0.010
-0.005
0.000
0.005
0.010
0.015
Diagrama de fase para el 
estado estacionario perturbado
Ve
lo
cid
ad
Espacio
 
Fig. 13 
Conclusiones 
Hemos desarrollado una estructura y algoritmo de cálculo para ser corrido en PC, el 
cual da resultados altamente satisfactorios en función de las diferentes validaciones 
con respecto a soluciones analíticas. Para la caja encontramos que una partición de 
50 elementos es suficiente para la precisión buscada. Los errores relativos en la 
función de onda está por debajo de 10-6
A través de los experimentos numéricos hemos mostrado, que el potencial cuántico 
correspondiente a soluciones estacionarias es inestable frente a pequeñas 
perturbaciones. 
 sobre los rangos de tiempo experimentados. 
Si bien la integración en el tiempo se podría resolver analíticamente por tratarse de un 
sistema EDO lineal y obtener soluciones cuasianalíticas, nuestra experiencia de 
cálculo nos indica que es más exacta el camino numérico que hemos emprendido. 
Si bien somos conscientes que un conjunto de experimentos numéricos no constituyen 
una demostración, los resultados numéricos validan nuestra tesis y abre las puertas 
para un camino más teórico. Por otro lado, dada la complejidad matemática del 
problema creemos que analíticamente resultaría muy difícil llegar a tal conclusión y 
más aun visualizar la forma del potencial. 
Bibliografía 
C. Dewdney, B. Hilley, Found Phys. 12,27-48, 1982 
F. Merayo . Programación en Fortran 77 (Paraninfo, Madrid, 1990) 
M. Abramowitz , I. Stegun (Dover Publications, New York, 1972) 
D. Bohm, B. Hilley, The Undivided Universe. (Routledge, London, 1993). 
A. Bohm  Quantum Mechanics (Springer, New York, 1979). 
Proceedings                                                                                                              CACIC’97 
Workshop sobre Aspectos  Teóricos de Inteligencia Artificial. Teoría.                                     UNLP 
  
Departamento de Informática - Facultad de Ciencias Exactas                                                         11 
 
E. Nelson . Dynamical Theories of Brownian Motion (Princeton University Press,  
Princeton, 1967). 
R. Id Betan et al. , Interpretación Ontológica de la Inestabilidad Cuántica (U.N.R., 
Tesina, 1996). 
C. Philippidis, C. Dewdnei, Nuovo Cimento, 52B, 15-28, 1979. 
 


Spanish

http://sedici.unlp.edu.ar/bitstream/handle/10915/23995/Documento_completo.pdf?sequence=1

Inestabilidad cuántica en el potencial de David Bohm

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