Kischka, Peter

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  Jena Research Papers in Business and Economics   Einige Anmerkungen zur  Verwendung des Erwartungswertes Peter Kischka 01/2008     Jenaer Schriften zur Wirtschaftswissenschaft    Working and Discussion Paper Series  School of Economics and Business Administration Friedrich-Schiller-University Jena  ISSN 1864-3108  Publisher:  Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Friedrich-Schiller-Universität Jena Carl-Zeiß-Str. 3, D-07743 Jena www.jbe.uni-jena.de Editor:Prof. Dr. Hans-Walter Lorenzh.w.lorenz@wiwi.uni-jena.deProf. Dr. Armin Schollarmin.scholl@wiwi.uni-jena.de  www.jbe.uni-jena.de Einige Anmerkungen zur Verwendung des Erwartungswertes        Peter Kischka      Friedrich-Schiller-Universität Jena Lehrstuhl für Wirtschafts- und Sozialstatistik Carl-Zeiß-Str. 3, 07743 Jena E-Mail: p.kischka@wiwi.uni-jena.de     Abstract    Der Erwartungswert spielt in den Wirtschaftswissenschaften bei vielen Problemen, in denen stochastische Einflüsse berücksichtigt werden, eine zentrale Rolle. Dies kann unmittelbar der Fall sein, indem der Erwartungswert einer monetären Zielgröße optimiert wird, dies kann z. B. auch im Zusammenhang mit einem Risikomaß (mean-deviation-rules) oder auch in Form des Erwartungsnutzens, d. h. des Erwartungswerts des Nutzens, der Fall sein. In dieser Arbeit werden teilweise bekannte Einwendungen gegen die Verwendung des Erwartungswerts beschrieben und Möglichkeiten aufgezeigt, diesen Rechnung zu tragen. Im Rahmen eines in der Betriebswirtschaftslehre weit verbreiteten Entscheidungsszenarios (Newsvendor-Modell) werden weitere grundlegende Einwendungen gegen die Verwendung des Erwartungswerts aufgezeigt.       Keywords: Erwartungswert, Gesetz der großen Zahlen, Newsvendor-Modell         Übersicht  In Abschnitt 1 werden der Erwartungswert kurz vorgestellt und anschließend vier Anwendungen des Erwartungswerts beschrieben. Das Newsvendor-Modell dient zur Il-lustration. Abschnitt 2 enthält einige Anmerkungen zur Anwendung des Erwartungswerts als Entscheidungskriterium, falls einmalige oder zahlreiche Konsequenzen mit dieser Entschei-dung verknüpft sind. Im letzteren Fall kann ein Gesetz der großen Zahlen eine hinreichende Begründung für den Einsatz eines Erwartungswerts sein, im ersteren müssen zusätzliche An-nahmen über die Verteilung vorliegen. Abschnitt 3 zeigt am Beispiel des Newsvendor-Mo-dells eine nicht plausible Implikation des Erwartungswertkriteriums bzw. der dualen Nutzentheorie; begründet ist dies durch die Tatsache, dass die optimale Entscheidung nur von einem einzigen Wert der Verteilungsfunktion abhängig ist. Im nachfolgenden Abschnitt wird eine allgemeine Klasse von Entscheidungsproblemen definiert, die die gleiche Struktur wie das Newsvendor-Modell aufweisen und daher auch der gleichen Kritik ausgesetzt sind. Abschnitt 5 enthält Schlussfolgerungen und mögliche Alternativen.  1. Sei X eine auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Ε, P) definierte Zufallsvariable. Ist F die Verteilungsfunktion von X, so kann der Erwartungswert berechnet werden als    (1a) E(X) xdF(x).+∞−∞= ∫ Die bekannten Definitionen für diskrete und stetige Zufallsvariablen    (1b) i iiE(X) x P(X x ), E(X) xf (x)dx+∞−∞= = =∑ ∫ sind Spezialfälle von (1a).  Insbesondere die Darstellungen (1b) machen deutlich, dass der Erwartungswert ein gewich-teter Mittelwert der möglichen Realisationen von X ist.  Wir betrachten im Folgenden ein allgemeines Entscheidungsproblem: Sei A die Menge der möglichen Entscheidungen und sei X eine Zufallsvariable, die die stochastischen Einflüsse auf die Konsequenzen einer Entscheidung a A∈  enthält; sei g(  die Zufallsvariable, die die Konsequenzen beschreibt. a,X) Beispiel:  Wir betrachten das bekannte Newsvendor-Modell (vgl. z. B. Hopp/Spearman pp 46). Sei X die Nachfrage nach dem Produkt, p der Verkaufspreis, c der Einkaufspreis und z der Abver-kaufspreis. Der Profit bei der Entscheidung (= Bestellmenge) a ist die Zufallsvariable    (2) g(a,X) p  min (a,X) ca z max (a X,0)(p c)a (p z)(a X)+= ⋅ − + −= − − − −  1Dabei ist  mit einer maximal möglichen Nachfrage b.  A [0,b]= Ziel ist die Wahl einer besten Entscheidung a A∈ , d. h. einer Entscheidung, die „möglichst große Werte“ von  als Konsequenz nach sich zieht. Diese Zielsetzung erfordert die Transformation der Zufallsvariablen  in eine Größe, die optimiert werden kann. g(a,X)g(a,X) Eine Möglichkeit besteht darin, die unterschiedlichen Zufallsvariablen , , mittels ihres Erwartungswertes zu vergleichen. Ist  die Verteilungsfunktion von , so gilt: g(a,X) a A∈aF g(a,X)   (3) aE(g(a,X)) zdF (z) g(a, x)dF(x)+∞ +∞−∞ −∞= =∫ ∫ und das Entscheidungsproblem lautet:   . (4) a Amax E(g(a, X))∈ Die Schreibweise unterstellt, dass eine optimale Entscheidung existiert:    (5) *a :  arg max E(g(a,X)).= Analog können beste Entscheidungen im Rahmen anderer Kriterien definiert werden, z. B.:  Erwartungswert-Varianz-Kriterium    (6) a Amax [E(g(a, X)) h Var(g(a, X))]∈− mit einer Konstanten h > 0;  Erwartungsnutzenkriterium    (7) a A a Amax EU(g(a,X)) max U(g(a, x))dF(x)+∞∈ ∈ −∞= ∫ mit einer Nutzenfunktion U;  Duale Nutzentheorie    (8) a Amax g(a, x))d(q F)(x)+∞∈ −∞∫ o mit einer transformierten Verteilungsfunktion . q Fo  2Die Ansätze (4), (8) beruhen auf den Erwartungswerten der Zufallsvariablen , (7) auf dem Erwartungswert der Zufallsvariablen , (6) auf Erwartungswert und Varianz von . g(a,X)U(g(a,X))g(a,X) 2. Betrachten wir zunächst den Ansatz (4) und gehen wir von der Situation einer Entscheidung für ein einmaliges Ereignis aus. Im Rahmen des Newsvendor-Modells bedeutet dies, dass sich die Bestellmenge auf eine einzige Verkaufsperiode bezieht. Aus (3) ergibt sich, dass die Ver-wendung des Erwartungswertes als Entscheidungskriterium dann sinnvoll verwendet werden kann, wenn die Verteilung von g(  sich um ihren Erwartungswert konzentriert. Wenn man davon ausgehen kann, dass die Realisation der Zufallsvariablen g(  mit großer Wahrscheinlichkeit für alle a nahe bei  liegen wird, so ist die Maximierung des Erwartungswerts nahe liegend. Im Allgemeinen ist jedoch der Erwartungswert als gewichtetes Mittel der Realisationen von X möglicherweise weit von jeder möglichen Realisation entfernt. a,X)a,X)E(g(a,X)) Im Ansatz (6) wird versucht, die mögliche Diskrepanz zwischen Erwartungswert und den Realisationen der Zufallsvariablen mittels der Varianz in die Entscheidungsfindung mit ein-zubeziehen. Der weit verbreitete Ansatz (6) hat jedoch fundamentale Nachteile; so können leicht Beispiele konstruiert werden, in denen strikt dominierte Entscheidungen Lösungen von (6) sind (vgl. z. B. Müller/Stoyan, S. 274).  Für die Ansätze (7) und (8) gelten grundsätzlich die gleichen Einwände wie für den Ansatz (4). Liegen die Realisationen von  nah bei , so ist die Verwendung des erwarteten Nutzens nahe liegend. Im anderen Fall lassen sich Beispiele konstruieren, die einem intuitiven Verständnis widersprechen. Das gleiche gilt für den Ansatz (8).  U(g(a,X)) EU(g(a,X)) Anders stellt sich die Situation dar, wenn die Entscheidung a nicht nur eine Realisation von X betrifft, sondern mit der Entscheidung wiederholte Realisationen von X und damit von  g(a,X)  verbunden sind; im Rahmen des Newsvendor-Modells bedeutet dies, dass sich die Bestellmenge auf eine Anzahl von Verkaufsperioden bezieht oder – regional betrachtet – in verschiedenen Regionen mit identischer Nachfrage, die Bestellmenge a realisiert wird.   3nnSind  unabhängige, identisch wie X verteilte Zufallsvariablen, so sind auch  unabhängig und identisch verteilt. Um den Wert einer Entscheidung a zu messen, ist es nahe liegend, den Mittelwert der Zufallsvariablen  zu betrachten. Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass dieses intuitiv nahe liegende Vorgehen die Verwen-dung des Erwartungswertes rechtfertigt. Betrachten wir wieder zunächst den Ansatz (4). Für große n gilt (vgl. z. B. Rohatgi/Saleh, S. 274, 281): 1X ,...,X1g(a,X ),...,g(a,X )ig(a,X ) nii 11 g(a, X ) E(g(a, X))n =≈∑ , (9)  d. h. die Zufallsvariable auf der linken Seite konvergiert für wachsendes n gegen den Erwar-tungswert . Bewertet man also die Konsequenz einer Entscheidung a durch den Mittelwert der n sich ergebenden Realisationen , so ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen  die richtige Zielgröße (für große n). E(g(a,X))1g(a, x ),...,g(a, x )ng(a,X) Man beachte jedoch, dass die Gültigkeit von (9) die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen  voraussetzt (in der schwachen Form des Gesetzes der großen Zahl muss nur die Unkorreliert-heit vorausgesetzt werden); beschreiben, wie in obigem Beispiel, die  die Nachfragen in aufeinander folgenden Perioden oder in unterschiedlichen Regionen , so ist diese Unabhän-gigkeitsforderung häufig eine starke Annahme. iXiX Auch für die Ansätze (7) und (8) ist unter analogen Annahmen der Erwartungswert die rich-tige Zielgröße. So gilt im Erwartungsnutzenansatz für große n  nii 11 U(g(a, X )) EU(g(a, X))n =≈∑ , (10)  d. h. der Mittelwert der sich ergebenden Nutzen  (1iU(g(a, x )) i n)≤ ≤  ist ungefähr gleich dem erwarteten Nutzen.  3. Die nachfolgenden Überlegungen stellen den Erwartungswert als Lösungskonzept aus völlig anderen Gründen in Frage. Für viele ökonomische Fragestellungen ist die Lösung (4) von der Form    (11) F(a*) .= γ Dabei ist γ ein exogener, modellparameterabhängiger Wert. Existiert die Inverse von F an der Stelle γ, so ist die optimale Entscheidung gegeben durch 1a* F ( )−= γ . Der „stochastische Charakter“ der Zufallsvariablen X bzw. ihrer Verteilungsfunktion F wird nur über einen speziellen Wert genutzt, alle Verteilungsfunktionen G mit  führen zur selben Entscheidung a*.  1 1F ( ) G ( )− −γ = γ Betrachten wir zunächst die im Beispiel beschriebene Situation im Newsvendor-Modell. Die optimale Lösung in den Lehrbüchern beruht auf der Anwendung des Erwartungswertkriteriums (4) auf die Zufallsvariablen (2). Es gilt:   a0E(g(a, X)) (p c)a (p z) E((a X) )(p c)a (p z) F(x)dx+= − − − −= − − − ∫  (12)  Der erwartete Gewinn (12) ist eine konkave Funktion von a und die Optimalitätsbedingung 1. Ordnung liefert unter der Annahme, dass die Inverse existiert, die Lösung   1 p ca* Fp z− ⎛ ⎞−= ⎜ −⎝ ⎠⎟  (13) (vgl. z. B. Hopp/Spearman, S. 67).   4Diese Lehrbuchlösung beinhaltet also, dass für alle Nachfragefunktionen mit einer Verteilungsfunktion G mit   1 1p c p cF Gp z p z− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠   dieselbe Bestellmenge a* optimal ist.  Betrachten wir etwa die folgende Situation         F G 5           Es gilt:  1 G(x) 1 F(x) für alle x a *− > − ≠ , d. h. für alle x a *≠  ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage größer als x ist, unter G größer als unter F.  Geht ein Manager zunächst von F aus und bestellt gemäß Lehrbuch die Menge a* und wird ihm anschließend mitgeteilt, die Nachfrage sei statt durch F nun durch G beschrieben, so gilt:   1 p ca* Gp z− ⎛ ⎞−= ⎜ ⎟−⎝ ⎠   Intuitiv nahe liegend, aber im Widerspruch zur Lehrbuchlösung, ist eine Erhöhung der Bestellmenge beim Übergang von F zu G; anders ausgedrückt: Findet eine solche Erhöhung bei der Beurteilung der durch F und G beschriebenen Situationen statt, so wird nicht nach dem Erwartungswertkriterium (4) vorgegangen. Da das Kriterium (8) sich von (4) nur durch die Transformation q unterscheidet, gelten obige Einwendungen auch hierfür. Natürlich gilt für die erwarteten Gewinne:    F GE (g(a*,X)) E (g(a*,X))<  1 p cp z−−  x a* Im Falle der Entscheidungskriterien (6) und (7) ergeben sich i. a. unterschiedliche Lösungen, je nachdem, ob die Verteilungsfunktion F oder G zugrunde gelegt werden.  4. Die im vorigen Abschnitt beschriebene, der Intuition widersprechende Situation im Newsvendor-Modell ergibt sich in allen Entscheidungsproblemen, die die nachfolgend beschriebene Struktur aufweisen.  O. B. d. A. sei F stetig mit einer Dichte f; es gelte F(0) 0=  und F(M) 1=  für ein , sowie  für . Weiter sei die Funktion g(  als Funktion von x (d. h. bei festem a) für  differenzierbar. M 0>f (a) 0> 0 a M< < a, x)x a≠ Unter diesen technischen Annahmen sind die folgenden Bedingungen hinreichend dafür, dass die Lösung von (3) die Form (11) besitzt; es gelte:  a) g(a, x) 0 für x ax∂ =∂ >  (14a) b) g(a, x) 0 für x ax∂ = β > <∂  (14b) c)  (14c) g(a,a) a mit 0= α⋅ α >d) β > α  (14d)  Mit Hilfe partieller Integration ergibt sich für jedes a    E(g(a,X)) g(a, x)dF(x)+∞−∞= =∫  M0g(a, x) f (x)dx= ∫ M0g(a,M)F(M) g(a,0)F(0) g(a, x) F(x)dxx∂= − − ∂∫    a0g(a,a) F(x)dx (vgl.14a,b)= − β⋅∫  a0a F(x) dx (vgl. 14c)= α ⋅ −β⋅ ∫ Daraus ergibt sich    d E(g(a, X)) F(a)da= α −β   22d E(g(a, X)) f (a) 0 (vgl. 14b)da= −β <     6Wegen 14d ist a* mit   F(a*) α= β   die Lösung von (3).  Im Newsvendor-Modell gilt: p z, p c.β = − α = −   5. Kritik an der Verwendung von Erwartungswerten ist natürlich nicht neu; schon 1972 wurde von manchen der Erwartungswert als Beurteilungskriterium „endgültig zu den Akten gelegt“ (Mellwig (1972)), da Kompensationseffekte in den Erwartungswert eingehen, die bei einma-ligen Konsequenzen keine Rolle spielen können. Wie in Abschnitt 2 beschrieben, ist dieser Einwand grundsätzlich relevant, kann jedoch unter den dort beschriebenen Annahmen (Kon-zentration der Verteilung um den Erwartungswert, zahlreiche Konsequenzen einer Entschei-dung) partiell entkräftet werden.  Schwieriger erscheint die in Abschnitt 3 im Rahmen des Newsvendor-Modells geschilderte Problematik, die aus der Maximierung des erwarteten Gewinns folgt. Das „Versagen“ des Erwartungswertkriteriums beim Vergleich der durch F bzw. G gegebenen optimalen Bestel-lungen widerspricht der Intuition und wohl auch dem Verhalten der Entscheidungsträger.  Im Rahmen der Erwartungsnutzentheorie (und auch anderer entscheidungstheoretischer An-sätze) besteht die in Abschnitt 3 beschriebene Problematik i. a. nicht, da die gesamte Vertei-lung bei der Entscheidungsfindung berücksichtigt wird. Für den Anwender besteht dann na-türlich die Schwierigkeit, seine zugrunde liegende Nutzenfunktion zu spezifizieren. Andere, pragmatisch begründete Vorgehensweisen, die nicht zu Lösungen der Form (11) bzw. (13) führen, sind möglich, z. B. die Verwendung eines relativen Regret-Kriteriums (Vgl. Scholl, S. 102 ff.)      Literatur  Hopp, W. J., Spearman, M. L.: Factory Physics, McGraw Hill, 2001 Mellwig, W.: Flexibilität als Aspekt unternehmerischen Handelns, ZfbF, 1972 Müller, A., Stoyan, D.: Comparison Methods for Stochastic Models and Risk, Wiley, 2002 Rohatgi, V. K., Ehsanes Saleh, A. K.: An Introduction to Probability and Statistics,  Wiley,2001 Scholl, A.: Robuste Planung und Optimierung, Physica, 2001     7

2008,1: Einige Anmerkungen zur Verwendung des Erwartungswertes

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2008,1: Einige Anmerkungen zur Verwendung des Erwartungswertes

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