Mestrado em MatemáticaNeste trabalho o objectivo principal é fazer um estudo das
estruturas de incidência mais tradicionais na geometria
finita: o plano afim, o plano projectivo e ainda uma
abordagem ao espaço afim e ao espaço projectivo.
Os conceitos introdutórios serão apresentados no primeiro
capítulo.
No segundo capítulo exibimos alguns resultados que
caracterizam o plano afim e projectivo. Mostramos que todo
o plano afim se pode obter de um plano projectivo e
reciprocamente. Mostramos também que a existência de
um plano afim (projectivo) de ordem n equivale à existência
de um conjunto completo de quadrados latinos de ordem n.
Estudamos alguns tipos de colineações do plano afim e
projectivo, dando no plano projectivo uma maior
importância às (C,l)-colineações, visto que a partir destas
podemos construir algumas configurações, nomeadamente
a configuração de Desargues. Mostramos que todo o plano
projectivo finito admite várias configurações de Desargues
mas, no entanto, nem todo o plano projectivo finito é um
plano de Desargues. Finalmente fazemos uma abordagem
ao plano de Möbius, no sentido de dar mais um exemplo de
uma estrutura de incidência.
No terceiro capítulo abordamos o plano projectivo e afim
em termos algébricos. Introduzimos coordenadas nestas
estruturas de incidência por dois processos diferentes.
Mostramos que a partir de um corpo finito podemos obter
um plano projectivo (afim) finito de Desargues e
reciprocamente. Mostramos ainda que todo o plano
projectivo de Pappus é um plano de Desargues, sendo o
recíproco verdadeiro só no caso finito.
No quarto capítulo fazemos um pequeno estudo do espaço
projectivo e afim, que será visto como um espaço projectivo
sem um hiperplano. Mostramos que, sendo S um espaço
projectivo de dimensão d ? 3, S é um espaço projectivo de
Desargues e todo o plano do espaço afim S\H, onde H é
um hiperplano de S, é um plano de Desargues.The main aim of this work is to study more traditional incidence
structures in finite geometry: the affine plane, the projective
plane, and the affine and projective spaces.
The introductory concepts will be presented in the first chapter.
In the second chapter, some results that characterize the
affine plane and the projective plane will be shown. It will be
demonstrated that every affine plane can be obtained from
a projective plane and vice-versa. It will also be demonstrated
that the existence of an affine (projective) plane of
order n is equivalent to the existence of a complete set of
latin squares of order n. Several types of collineations of
affine and projective planes will be studied, with a higher
importance given in the projective plane to (C, l)-collineations,
since they generate some configurations, for instance
Desargues configuration. It will also be demonstrated that
every finite projective plane allows several Desargues configurations,
but not all finite projective planes are Desarguesian
planes. Finally, the Möbius plane is analysed, to show
yet another example of an incidence structure.
In the third chapter, the projective and affine plane is analysed
in algebraic terms. Coordinates are introduced in
these incidences structure through two different processes.
It will be shown that starting from a finite field it is possible
to obtain a finite Desarguesian projective (affine) plane and
vice-versa, and that every Pappian projective plane is a Desarguesian
plane, while the opposite is true only in the finite
case.
In the fourth chapter, we will give a small study of the projective
and affine space that will be considered as a projective
space less a hyperplane. It will be demonstrated that
being S a projective space with dimension d ? 3, S is a Desarguesian
projective space and that every plane of an affine
space S\H, where H is a hyperplane of S, is a Desarguesian
plane