Cette communication présente une méthode permettant d'identifier, à partir de mesures ultrasoniques in vivo, le modèle probabiliste du tenseur d'élasticité de l'os cortical. La macrostructure même de l'os cortical est complexe et aléatoire en présence de pathologies telles que l'ostéoporose. De tels matériaux sortent du cadre des hypothèses des théories classiques de la porosité. La réponse transitoire ultrasonique de l'os est simulée avec un modèle simplifié pour lequel le tenseur d'élasticité est modélisé par un champ stochastique construit en utilisant le principe du maximum d'entropie

DESCELIERS, Christophe

NAÏLI, Salah

SOIZE, Christian

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.National audienceThis paper presents a method to identify, with in vivo ultrasonic measurements, the probabilistic model for the elasticity tensor of cortical bone. The macrostructure of a cortical bone is complex and uncertain in case of osteoporosis. Such materials are outside the scope of the classical theories of porous materials. The transient response of ultrasonic bone is simulated with a simplified model for which the elasticity tensor is modeled by a stochastic field constructed using the maximum entropy principle

Desceliers, Christophe

Soize, Christian

Naili, S.

HAL - UPEC / UPEM

Identification du modèle probabiliste de l'os cortical en utilisant des mesures expérimentales ultrasonique in vivo

I-Revues

20eme Congres Francais de Mecanique Besancon, 29 aou^t au 2 septembre 2011
Identication du modele probabiliste de l'os cortical en
utilisant des mesures experimentales ultrasoniques in
vivo
C. Desceliersa, C. Soizea, N. Nailia
a. Universite Paris-Est, Modelisation et Simulation Multi Echelle, MSME UMR8208 CNRS
5 bd Descartes, 77454 Marne-la-Vallee
Resume :
Cette communication presente une methode permettant d'identier, a partir de mesures ultrasoniques
in vivo, le modele probabiliste du tenseur d'elasticite de l'os cortical. La macrostructure me^me de l'os
cortical est complexe et aleatoire en presence de pathologies telles que l'osteoporose. De tels materiaux
sortent du cadre des hypotheses des theories classiques des materiaux poreux. La reponse transitoire
ultrasonique de l'os est simulee avec un modele simplie pour lequel le tenseur d'elasticite est modelise
par un champ stochastique construit en utilisant le principe du maximum d'entropie.
Abstract :
This paper presents a method to identify, with in vivo ultrasonic measurements, the probabilistic model
for the elasticity tensor of cortical bone. The macrostructure of a cortical bone is complex and uncertain
in case of osteoporosis. Such materials are outside the scope of the classical theories of porous materials.
The transient response of ultrasonic bone is simulated with a simplied model for which the elasticity
tensor is modeled by a stochastic eld constructed using the maximum entropy principle.
Mots clefs : Probleme inverse stochastique ; mesures experimentales ; os cortical
1 Introduction
Les materiaux biomecaniques sont parmi les systemes mecaniques les plus complexes. La diculte
principale pour la modelisation de ces milieux est due a l'importante complexite de leur microstruc-
ture. Tel est le cas de l'os cortical qui est le materiau sur lequel porte cette communication. Celui-ci
presente la particularite que sa micro-structure peut subir d'importantes alterations a proximite de
son interface avec la moelle (osteoporose). On observe alors un gradient de porosite dans l'epaisseur,
mais, dans ce cas, il est tel que les theories classiques des materiaux poreux ne peuvent s'y appliquer.
Pour ces raisons, il n'y a souvent pas d'autres alternatives que de modeliser ces systemes en intro-
duisant un modele mecanique simplie qui correspond a une approximation relativement grossiere du
systeme reel. Neanmoins, la prevision fournie par ces modeles simplies peut e^tre amelioree en tenant
compte des incertitudes dues aux erreurs de modelisation, consequences des approximations intro-
duites. Ces incertitudes sont prises en compte en modelisant le tenseur d'elasticite du milieu "poreux"
par un champ aleatoire non homogene. Le modele probabiliste propose est adapte a l'identication
experimentale de ses parametres.
2 Model simplie
Un modele mecanique simplie a ete developpe pour modeliser un systeme biomecanique constitue
d'un gel de couplage, de la peau, de l'os cortical et de la moelle [5]. Ce modele simplie est compose
d'une couche semi-innie d'un solide elastique comprise entre deux autres couches semi-innies de
uide acoustique (voir g. 1). Soit R(O; e1; e2; e3) le referentiel Cartesien ou O est l'origine de l'espace
1
20eme Congres Francais de Mecanique Besancon, 29 aou^t au 2 septembre 2011
3
Figure 1 { Geometrie du systeme multicouche
et (e1; e2; e3) est une base orthonormee. Les coordonnees d'un point x de R3 sont notees (x1; x2; z). Les
epaisseurs des dierentes couches sont h1, h et h2. Un premier uide acoustique occupe le domaine

1, un second uide acoustique occupe le domaine 
2 et un solide elastique occupe le domaine 
. Soit
@
1 =  1 [ 1, @
 = 1 [ 2 et @
2 = 2 [  2 (voir Fig. 1) les bords respectifs de 
1, 
 and 
2 ou
 1;1;2 et  2 sont les surfaces planes denies par
 1 = fx1 2 R ; x2 2 R ; z = z1g ; 1 = fx1 2 R ; x2 2 R ; z = 0g
2 = fx1 2 R ; x2 2 R ; z = z3g ;  2 = fx1 2 R ; x2 2 R ; z = z2g
avec z1 = h1, z3 =  h and z2 =  (h+h2). Par consequence, les domaines 
1, 
 et 
2 sont non bornes
dans la direction longitudinale et ils sont bornes dans la direction transverse selon e3. Le domaine 
1
est soumis a une impulsion acoustique le long d'une ligne telle que
@Q1
@t
(x; t) = 1 F (t)0(x1   xS1 )0(z   zS) ;
avec F (t) = F1 sin(2fct)e
 4(t fc 1)2 ou fc = 1MHz est la frequence centrale et F1 = 100N ; 1 la masse
volumique du domaine 
1 ; 0 est la fonction de Dirac a l'origine et, x
S
1 et z
S sont les coordonnees ou
l'impulsion est appliquee. A l'instant initiale t = 0, le systeme mecanique est au repos. Soient (z)
et [C(z)], la masse volumique equivalente et le tenseur d'elasticite equivalent de la couche elastique
au point z dans 
1. Pour tout champ donne de matrice d'elasticite equivalente [C()], le champ de
deplacement u de la couche elastique 
 ainsi que les champs de pression p1 and p2 des deux domaines

1 et 
2 respectivement, sont calcules en utilisant un solveur ecace, rapide et hybride presente dans
[4].
3 Modele simplie pour le materiau poreux
Il est etabli que les os sont constitues de materiaux poreux. En ce qui concerne l'os cortical humain,
les tailles des pores ne sont pas negligeables par rapport a l'epaisseur de la couche d'os cortical. De
plus, on observe que les tailles des pores augmentent globalement le long de la direction transverse z.
En ce qui concerne l'osteoporose, la couche d'os cortical comporte des gradients de porosite qui sont
tels que, proche de la surface 2, l'os cortical est principalement rempli de uide. La theorie classique
des materiaux poreux [1] n'est alors plus adaptee a la modelisation de tels milieux poreux. On propose
donc un modele de matrice d'elasticite equivalente [C(z)] permettant de prendre en compte de tels
gradients sur les proprietes mecaniques. Pour tout z dans [a; 0], le materiau de la couche cortical est
suppose e^tre localement isotrope transverse et pour z dans [z3; b], la loi de comportement du milieu
poreux est degradee en une loi de comportement de uide acoustique. Ainsi, (1) pour tout z dans
[0; a], on a [C(z)] = [CS ] et (z) = S ; (2) pour tout z dans [z; b] on a [C(z)] = [CF ] et (z) = 2 ;
2
20eme Congres Francais de Mecanique Besancon, 29 aou^t au 2 septembre 2011
[CS ] est une matrice d'elasticite equivalente representant un milieu homogene transverse isotrope,
[CF ] une matrice d'elasticite "degradee" dont le materiau est un uide acoustique, S est la masse
volumique de l'os cortical en absence de porosite et 2 est la masse volumique du domaine 
2. Toutes
les composantes de [CS ] sont nulles, a l'exception des suivantes
[CS ]11 =
e2L(1  T )
(eL   eLT   2eT 2L)
; [CS ]22 =
eT (eL   eT 2L)
(1 + T )(eL   eLT   2eT 2L)
;
[CS ]12 =
eT eLL
(eL   eLT   2eT 2L)
; [CS ]23 =
eT (eLT + eT 
2
L)
(1 + T )(eL   eLT   2eT 2L)
;
[CS ]44 = gT ; [C
S ]55 = gL ;
avec [CS ]22 = [C
S ]33, [C
S ]12 = [C
S ]13 = [C
S ]21 = [C
S ]31, [C
S ]23 = [C
S ]32 et [C
S ]55 = [C
S ]66 et
ou eL et eT sont les modules d'Young longitudinaux et transverses, gL and gT sont les modules de
cisaillement longitudinaux et transverses et, L et T sont les coecients de Poisson longitudinaux et
transverses tels que gT = eT =2(1 + T ). Toutes les composantes de [C
F ] sont nulles a l'exception de
[CF ]11, [C
F ]12, [C
F ]13, [C
F ]21, [C
F ]22, [C
F ]23, [C
F ]31, [C
F ]32,[C
F ]33 qui sont toutes egales a 2 c
2
2. On
a
[C(z)] = (1  f(z)) [CS ] + f(z) [CF ] ; (z) = (1  f(z)) S + f(z) 2 ;
ou f(z) = 1 si z < b, f(z) = 0 si z > a et f(z) = c0 + c1 z + c2 z
2 + c3 z
3 si b  z  a avec
c0 = a
2 (a   3 b)=(a   b)3, c1 = 6 a b=(a   b)3, c2 =  3(a + b)=(a   b)3 et c3 = 2=(a   b)3. Ce modele
est construit de sorte que, pour z = a ou z = b,
@[C(z)]
@z
= 0 and
@(z)
@z
= 0 ;
[CF ] =
0BBBBBBB@
2 c
2
2 2 c
2
2 2 c
2
2 0 0 0
2 c
2
2 2 c
2
2 2 c
2
2 0 0 0
2 c
2
2 2 c
2
2 2 c
2
2 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1CCCCCCCA ;
4 Modele probabiliste de l'epaisseur et du champ de matrice d'elas-
ticite equivalente de l'os cortical
La modelisation de ces systemes biomecaniques est rendue extre^mement delicate a cause de la com-
plexite de sa micro-structure qui releve de la modelisation des milieux heterogenes aleatoires. Dans les
deux paragraphes precedents, un modele simplie a ete presente lequel introduit donc des incertitudes
due aux erreurs de modelisations. Neanmoins, la previsibilite de ce modele peut-e^tre ameliore en pre-
nant en compte ces incertitudes. Dans ce paragraphes, un modele probabiliste du champ de matrice
d'elasticite equivalente est construit en remplacant z 7! [C(z)] par un champ stochastique de matrices
z 7! [C(z)] dont le modele probabiliste a ete developpe dans [9, 10] en utilisant le principe du maximum
d'entropie [6, 7, 8] de sorte que (1) la matrice [C(z)] est une variable aleatoire du second ordre a valeur
dans l'ensemble des matrices denies-positives, symetriques reelles de taille (6  6) ; (2) la moyenne
de la matrice aleatoire [C(z)] est egale a la matrice d'elasticite equivalente [C(z)] du modele simplie
deterministe ; (3) la norme de l'inverse de la matrice [C(z)] est une variable aleatoire du second-ordre.
Dans ces conditions, il a ete montre que (voir [9, 10]), pour tout b < z < 0, [C(z)] = [L(z)]T [G(z)][L(z)]
et puisque pour z < b le milieu n'est plus aleatoire (les proprietes mecaniques y sont celles d'un uide
deterministe) alors, pour tout z < b, C(z)] = [C(z)]. La matrice [L(z)] est une matrice (6  6) trian-
gulaire superieure issue de la factorisation de Cholesky [C(z)] = [L(z)]T [L(z)]. Le modele probabiliste
du champ de matrices aleatoires z 7! [G(z)] est algebriquement deni par une transformation non-
lineaire de 21 champs stochastiques Uj j0(z) avec 1  j  j0  6 lesquels sont Gaussiens, homogenes,
3
20eme Congres Francais de Mecanique Besancon, 29 aou^t au 2 septembre 2011
centres et du second ordre. Une expression explicite de cette transformation est donnee dans [2, 3].
Les fonctions d'autocorrelation RUjj0 () = EfUjj0(z + )Ujj0(z)g des germes aleatoires Uj j0(z) sont
RUjj0 () = (2 `= )
2 sin2( =2 `). La longueur de la correlation spatiale ` est donc un parametre du
modele probabiliste du champ aleatoire z 7! [C(z)]. Le champ aleatoire z 7! [G(z)] depend aussi d'un
parametre supplementaire 0 <  < (7=11)1=2 qui est, dans notre cas, independant de z. Ce parametre
contro^le les uctuations statistiques de [G(z)] et [C(z)]. En Eet, on a
Efk[G(z)]k2F g = 6(2 + 1) ; C(z) =
p
7
 
1 +
(tr [C(z)])2
tr [C(z]2
!1=2
; (1)
ou C(z)
2 = Efk[C(z)]   [C(z)]k2F g=k[C(z)]k2F et ou k  k est la norme de Frobenius. Finalement, la
longeur de correlation spatiale `C du champ aleatoire z 7! [C(z)] s'ecrit
`C =
Z +1
0
jrc()j d ou rc() = trEf([C(z + )]  [C(z])([C(z)]  [C(z]])g
Efk[C(z)]  [C(z]k2F g
;
Ainsi, le champs de deplacement de la couche solide elastique et les champs de pressions des deux
uides acoustiques doivent e^tre aussi modelises par champs stochastiques notes U; P1 and P2.
5 Application
Dans un article recent [5], les composantes de la matrice [CS ] ont ete identiees en utilisant une base de
donnees constituee de mesures experimentales et construite en utilisant la methode de la transmission
axiale ultrasonique [2, 3]. La conguration experimentale est decrite sur Fig. 2. Une sonde faite de
nR = 11 recepteurs et 2 emetteurs a ete specialement concue. Un gel de couplage est applique entre
la peau d'un patient et la sonde. Chaque emetteur produit une impulsion acoustique ultrasonique
qui se propage dans le gel de couplage, la peau, les muscles, l'os cortical et la moelle. La methode de
Probe
transmitter receiver
Cortical layer of a long bone
soft tissue
coupling gel Transm
itter
Transmitter
Receivers
Bone
Figure 2 { Conguration experimentale
transmission axiale consiste a enregistrer les signaux acoustiques recus par les nR = 11 recepteurs de la
sonde. La contribution sur le premier signal enregistre est due a une onde guidee le long de l'interface
entre la peau et l'os cortical. La vitesse de cette onde guidee depend donc des proprietes mecaniques
dans un voisinage situe de part et d'autre de cette interface. Par traitement du signal, la vitesse de
cette onde est calculee experimentalement. La base de donnees experimentales ainsi construite permet
d'identier les composantes de la matrice [CS ] (voir [5]) et il fut obtenu que S = 1598:8 kg:m 3,
eL = 17:717 GPa, L = 0:3816, gL= 4:7950 GPa, eT = 9:8254 GPa, T = 0:4495 et C(0) = 0:1029. En
utilisant l'Eq. (1) on obtient  = 0:0575. Dans cette communication, on s'interesse a la propagation
des incertitudes dans le domaine domaine 
1, qui est quantiee en introduisant une variable aleatoire
Q denie par
Q =
Z T
0
nRX
k
jPmod(t; xk1)j2 dt ;
4
20eme Congres Francais de Mecanique Besancon, 29 aou^t au 2 septembre 2011
ou T est la duree du signal experimental et xk1, avec k = 1; : : : ; nR sont les positions des recepteurs
selon la direction e1. Soit pQ(a; b; `; q), la fonction de densite de probabilite de la variable aleatoire Q.
Sur Fig. 3, le graphe de z 7! C(z), avec a = 0; b =  z3 (trait n) et a = z3=2; b =  z3 (trait epais) et
a = 0; b = z3=2 (tirets ns) montre que le coecient de dispersion C(z) de la matrice aleatoire [C(z)]
decro^t lorsque la loi de comportement du materiau elastique de 
 progressivement est degradee en
la loi de comportement du uide contenu dans le domaine 
2, laquelle est deterministe. Sur Fig. 4, le
−4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0
x 10−3
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Figure 3 { Graphe de z 7! C(z) avec a = 0; b =  z3 (trait n) et a = z3=2; b =  z3 (trait epais) et
a = 0; b = z3=2 (tirets)
graphe de q 7! pQ(a; b; `; q) en echelle logarithmique avec a = 0, b = z3, ` = h=10 (trait epais), avec
a = z3=2, b = z3, ` = h=10 (trait n), avec a = 0, b = z3, ` = h=20 (tirets epais), et avec a = z3=2,
b = z3, ` = h=20 (tirets ns) montre que q 7! pQ(a; b; `; q) est sensible au parametre d'epaisseur a et
a la longueur de correlation spatiale `.
6 Conclusion
Nous avons construit un modele simplie pour simuler la reponse transitoire dynamique d'un systeme
multicouches soumis a une impulsion acoustique ultrasonique. Ce modele a ete utilise pour un materiau
biologique complexe : l'os cortical humain. Ce type de systeme biomecanique est reellement dicile
a modeliser en raison de sa micro-structure complexe et aleatoire. Pour un tel systeme, la micro-
structure peut elle-me^me e^tre endommagee dans le voisinage de l'interface entre l'os cortical et la
moelle (osteoporose). Un gradient de la porosite est alors observe dans l'epaisseur, mais, dans ce cas,
aucune theorie classique des materiaux poreux ne peut e^tre appliquee. C'est la raison pour laquelle nous
avons propose de modeliser les gradients des proprietes mecaniques en utilisant un modele de champ
de tenseur d'elasticite equivalent. A l'interieur de la couche solide elastique, le tenseur d'elasticite
correspondant a la loi de comportement d'un solide elastique tend vers un tenseur d'elasticite "degrade"
lequel correspond a la loi de comportement d'un uide acoustique. An d'ameliorer la previsibilite
de ce modele, les incertitudes dues aux erreurs de modelisations introduites sont prises en compte
avec une approche probabiliste des incertitudes. Pour cela, le champ tenseur d'elasticite equivalent
du modele simplie deterministe est remplace par un champ de tenseur d'elasticite stochastique. Ce
modele probabiliste permet d'etudier la propagation des incertitudes concernant le champ de tenseur
d'elasticite de la couche cortical sur le champ de pression a l'interieur du premier uide acoustique (la
peau et le gel de couplage). Ce modele probabiliste montre que l'energie totale du champ de pression
aleatoire est tres sensible aux gradients sur la moyenne et sur la longueur de correlation spatiale du
tenseur d'elasticite aleatoire de l'os cortical. Par consequent, des mesures experimentales utilisant la
5
20eme Congres Francais de Mecanique Besancon, 29 aou^t au 2 septembre 2011
1 2 3 4 5 6 7 8
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
 
 
Figure 4 { Graphe de q 7! pQ(a; b; `; q) en echelle logarithmique avec a = 0, b = z3, ` = h=10 (trait
epais), avec a = z3=2, b = z3, ` = h=10 (trait n), avec a = z3=2, b = z3, ` = h=20 (tirets ns) et avec
a = z3=2, b = z3, ` = h (tirets epais).
technique de la transmission axiale ultrasonique peut e^tre utilisee an d'identier les parametres du
modele probabiliste propose.
References
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6


Identification du modèle probabiliste de l'os cortical en utilisant des mesures expérimentales ultrasoniques in vivo

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46924/1/cfm2011_1031.pdf

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