En ingénierie mécanique, la performance d'un système M est en général liée à la variabilité de sa réponse mécanique, Y=M(X) où X désigne les paramètres du modèle représentant le comportement du système. L'analyse de sensibilité permet d'identifier quels sont les paramètres Xi principalement responsable de la variabilité de Y. Pour des processus complexes, dont les paramètres sont dépendants, on propose de traiter le problème par une méthode basée sur l'analyse de la distribution probabiliste du résultat notée f(y). La méthode est appliquée à un exemple académique en thermomécanique

CANIOU, Yann

SUDRET, Bruno

I-Revues

20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Analyse de sensibilite´ globale pour des mode`les a`
parame`tres de´pendants
Y. Canioua, b, B. Sudreta, b
a. Clermont Universite´, IFMA, EA 3867, Laboratoire de Me´canique et Inge´nieries, BP 10448,
F-63000 Clermont-Ferrand
b. Phimeca Engineering, Centre d’Affaires du Ze´nith, 34 rue de Sarlie`ve, F-63800 Cournon
d’Auvergne
Re´sume´ :
En inge´nierie me´canique, la performance d’un syste`me est en ge´ne´ral lie´e a` la variabilite´ de sa re´ponse
me´canique Y = M (X), ou` X de´signe les parame`tres du mode`le M repre´sentant le comportement
du syste`me. L’analyse de sensibilite´ permet d’identifier quels sont les parame`tres Xi principalement
responsable de la variabilite´ de Y . La me´thode la plus re´pandue consiste a` de´composer la variance du
re´sultat, ce qui ne peut se faire que sous l’hypothe`se d’inde´pendance statistique des parame`tres d’entre´e
(de´composition de Sobol’). Pour des processus complexes, dont les parame`tres sont de´pendants, on
propose de traiter le proble`me par une me´thode base´e sur l’analyse de la distribution probabiliste du
re´sultat note´e fY (y). La me´thode est applique´e a` un exemple acade´mique en me´canique.
Abstract :
In mechanical engineering, the performance of a system is generally linked to the variability of its
mechanical response Y = M (X), where X denotes the input parameters of the system modelling
M. Global sensitivity analysis allows one to identify the parameters Xi that are mainly responsible of
the variability of Y . The most common methods consist in decomposing the variance of the reponse,
which is possible only under the assumption of statistical independence among the input parameters
(Sobol’ decomposition). For complex processes, whose parameters are dependent, the authors propose
to address the problem with a method based on the analysis of the complete model response distribution
denoted by fY (y). The method is finally applied to an academic mechanical example.
Mots clefs : Analyse de sensibilite´ globale, copules, mode`les imbrique´s
1 Introduction
Les progre`s effectue´s dans le domaine de la mode´lisation nume´rique autorisent aujourd’hui les indus-
triels a` traiter des proble`mes toujours plus complexes. Conside´rons un syste`me de´compose´ en plusieurs
sous-mode`les de fac¸on a` de´crire au mieux son comportement re´el. Chacun d’eux correspondant a` un
composant, une discipline ou une e´chelle de mode´lisation diffe´rente, ils interagissent entre eux, les
sorties des uns e´tant les entre´es des autres : on parle de mode`les multi-e´chelles ou mode`les imbrique´s.
Pour assurer le bon fonctionnement d’un tel syste`me en toutes conditions, il convient de conside´rer
la pre´sence d’ale´as dans les diffe´rents mode`les. La me´thodologie consiste a` mode´liser les parame`tres
incertains du syste`me par des variables ale´atoires. Les incertitudes sont alors propage´es a` travers tous
les e´tages de la mode´lisation jusqu’a` la (ou les) sortie(s) finale(s) du mode`le. L’analyse de sensibi-
lite´ consiste a` de´terminer quels parame`tres d’entre´e apportent le plus de variabilite´ a` la re´ponse du
syste`me. Plusieurs mode`les peuvent avoir une ou plusieurs entre´es communes, leurs sorties sont alors
statistiquement de´pendantes. Pour donner du sens a` l’analyse de sensibilite´ globale, on propose de
mode´liser cette de´pendance de fac¸on rigoureuse graˆce a` la the´orie des copules.
1
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L’analyse de sensibilite´ globale est couˆteuse en nombre de simulations sur les mode`les nume´riques. Il
est ne´cessaire de remplacer ces mode`les a` l’e´valuation nume´riquement one´reuse par un me´tamode`le,
c’est a` dire une repre´sentation de celui-ci construit a` partir d’un nombre re´duit d’appels au mode`le
re´el. Le de´veloppement par chaos polynomial permet de de´composer la re´ponse du mode`le sur une base
de polynoˆmes. On be´ne´ficie alors d’une approximation du mode`le re´el dont l’e´valuation est e´quivalente
a` celle d’une fonction mathe´matique analytique.
Apre`s avoir fixe´ le cadre mathe´matique de l’e´tude, une me´thodologie pour traiter ce type de proble`mes
est applique´e a` un exemple acade´mique : une poutre en mate´riau composite sous poids propre.
2 Ele´ments sur la mode´lisation nume´rique
Cette premie`re partie de´finit le cadre mathe´matique dans lequel s’applique la propagation des incer-
titudes a` travers les mode`les successifs ainsi que les outils nume´riques que sont l’analyse de sensibilite´
globale, le de´veloppement par chaos polynomial et la the´orie des copules.
2.1 L’analyse de sensibilite´ globale
On conside`re un mode`le M ayant pour parame`tres d’entre´e les composantes du vecteur ale´atoire
X = {X1, . . . , Xn}T dont la loi jointe est note´e fX (x). La re´ponse scalaire Y du syste`me est de´finie
par :
Y =M (X) (1)
On cherche a` caracte´riser quels parame`tres apportent le plus d’incertitudes a` la re´ponse du mode`le
en calculant des indices de sensibilite´. Les me´thodes d’analyse de sensibilite´ globale les plus courantes
utilisent la variance de la re´ponse V [Y ] comme grandeur d’inte´reˆt. On applique le principe de la
de´composition de Sobol’ [6] au mode`le M :
M(x) =M0 +
n∑
i=1
Mi (xi) +
n∑
16i<j6n
Mi,j (xi, xj) + . . .+M1,2, ... ,n (x1, x2, . . . , xn) (2)
Si les parame`tres d’entre´e du mode`le, i.e. les composantes de X = {X1, . . . , Xn}T, sont inde´pendants,
la variance de la re´ponse Y peut eˆtre de´compose´e comme suit :
V ≡ V [Y ] =
n∑
i=1
Vi +
n∑
16i<j6n
Vij + . . .+ V12...n (3)
ou` Vi = V [E [Y |Xi]]. On de´finit les indices de Sobol’ de premier ordre et totaux [6], [4] par :
S1i =
Vi
V
=
V [E [Y |Xi]]
V
et ST i = 1− V [E [Y |X∼i]]
V
(4)
ou` X∼i correspond au vecteur X pour lequel la ie`me composante a e´te´ supprime´e. S1i correspond a`
la part de variance de Y due au parame`tre Xi pris inde´pendamment des autres. De fac¸on a` prendre
en compte les interactions entre les parame`tres, on de´finit les indices totaux ST i qui repre´sentent
alors la part de variance de Y due a` Xi en conside´rant toutes ses interactions avec les parame`tres
Xj , j 6= i. Bien que cette approche soit tre`s utilise´e, elle pre´sente deux limitations : d’abord, on fait
l’hypothe`se que les parame`tres d’entre´e sont inde´pendants, ce qui n’est pas le cas lorsque les mode`les
sont imbrique´s. Enfin, on se concentre sur la variance de la re´ponse en ignorant les variations pouvant
apparaˆıtre sur le reste de la distribution de la re´ponse fY (y).
Une me´thode base´e sur l’analyse de la distribution de la re´ponse est introduite dans [1]. L’ide´e est de
quantifier de combien le parame`tre d’entre´e Xi modifie la distribution de la sortie Y lorsque celui-ci
est fixe´e a` la valeur xi en mesurant l’aire entre la densite´ de probabilite´ de la re´ponse fY (y) et sa
densite´ de probabilite´ conditionnelle fY |Xi (y). Cette variation, ou shift, est de´finie par :
s (xi) =
∫
DY
∣∣fY (y)− fY |Xi=xi(y)∣∣ dy (5)
2
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ou` DY est le domaine de variation de Y . Cette grandeur de´pend fortement de la valeur de la re´alisation
xi de Xi. On conside`re alors l’espe´rance du shift de´finie par :
E [s (Xi)] =
∫
DXi
[∫
DY
∣∣fY (y)− fY |Xi(y)∣∣ dy] fXi(xi) dxi = ∫
DXi
s(xi) fXi(xi) dxi (6)
L’indice de sensibilite´ δi est de´fini par (7) ou` le coefficient
1
2 est introduit dans un souci de normalisa-
tion.
δi =
1
2
E [s(Xi)] (7)
2.2 De´veloppement par chaos polynomial
Le calcul des indices de sensibilite´ ne´cessite un nombre e´leve´ d’appels au mode`le nume´rique M.
Pour limiter le nombre d’appels au mode`le re´el, on construit un me´tamode`le, i.e. une repre´sentation
approche´e de celui-ci. On s’inte´resse ici aux de´veloppements par chaos polynomial introduits dans [2]
et repris dans [7].
Soit Y la re´ponse d’un mode`le M avec pour parame`tres d’entre´e X = {X1, . . . , Xn}T. On propose
de de´composer Y sur une base de polynoˆmes ψα(X) comme suit :
Y =M(X) =
∑
α∈Nn
aαψα(X) (8)
ou` les aα sont des coefficients de´terministes inconnus qu’il faut de´terminer. Dans la litte´rature, on
fait re´fe´rence a` l’e´quation (8) comme de´veloppement par chaos polynomial. En pratique, on ne retient
qu’un nombre fini de polynoˆmes de fac¸on a` limiter le couˆt nume´rique. En ge´ne´ral, seuls les polynoˆmes
dont le degre´ total |α| = ∑ni=1 αi ne de´passe pas un scalaire p sont conserve´s. On note alors :
Y ≈Mp(X) =
∑
α∈An,p
aαψα(X) (9)
ou` An,p = {α ∈ Nn : |α| 6 p} et |α| = ∑ni=1 αi. On note e´galement P = cardAn,p. L’approximation
de la re´ponse ale´atoire Y du mode`le M se re´sume alors a` l’estimation d’un ensemble de coefficients
de´terministes. Cette taˆche peut eˆtre accomplie par l’interme´diaire de me´thodes non intrusives (me´thode
de projection, me´thode de re´gression).
2.3 La the´orie des copules
Dans le paragraphe 2.1, l’hypothe`se est faite que les composantes du vecteur ale´atoire des parame`tres
d’entre´e sont inde´pendantes pour simplifier la de´monstration. Cependant, on montre que cette hy-
pothe`se ne tient plus pour des mode`les imbrique´s. Le coefficent de corre´lation line´aire de Bravais-
Pearson ρ et le coefficient de corre´lation des rangs de Spearman ρS [5] sont des mesures de corre´lation
entre variables ale´atoires parfois utilise´es mais elles s’ave`rent peu pre´cises dans le cas ou la structure
de de´pendance est complexe. Le cadre rigoureux pour mode´liser la structure de de´pendance entre
variables ale´atoires est fourni par la the´orie des copules [3].
De fac¸on simplifie´e, une copule est une fonction de re´partition d’un vecteur dont les lois marginales
sont uniformes sur [0, 1]. Soit FX une fonction de re´partition de dimension n ayant pour marginales
FXi , i = 1, . . . , n. Il existe une copule C de dimension n telle que pour x ∈ R :
FX(x1, . . . , xn) = C(FX1(x1), . . . , FXn(xn)) (10)
Si les marginales sont continues, la copule C est unique et on a, quel que soit u ∈ [0, 1]n :
C(u) = FX(F
−1
X1
(u1), . . . , F
−1
Xn
(un)) (11)
3
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La densite´ de probabilite´ jointe est alors de´finie par :
fX(x) = c (FX1(x1), . . . , FXn(xn))
n∏
i=1
fXi(xi) avec c (u) =
∂C (u)
∂u1 . . . ∂un
(12)
Une copule peut eˆtre conside´re´e comme une fonction de de´pendance. En d’autres termes, elle corres-
pond a` ce qu’il reste de la loi jointe fX (x) lorsque l’effet des marginales a e´te´ supprime´.
On conside`re ici la copule gaussienne CΘ parame´tre´e par une matrice Θ telle que :
CΘ (u) = Φ
−1
ρ (Φ (u1) , . . . ,Φ (un)) et Θij = 2 sin
(pi
6
ρˆS,ij
)
(13)
ou` Φ est la fonction de re´partition de la loi normale, ρ est la matrice de corre´lation et ρS est la matrice
de corre´lation des rangs du vecteur ale´atoire des parame`tres d’entre´e X.
3 Me´thodologie applique´e
On propose d’utiliser les trois outils pre´sente´s a` la section 2 pour re´aliser une e´tude de sensibilite´
globale sur un exemple me´canique acade´mique : le calcul de la de´flection maximale d’une poutre en
mate´riau composite soumise a` son poids propre.
3.1 Description du proble`me
La structure d’inte´reˆt est pre´sente´e sur la figure 1.
  
q
L
b
h
E
f
, E
m
, ρ
f
, ρ
m
, f
  
=
=
=
M
1
b
h
ρ
m
ρ
f
f f
E
m
E
f
=
= L
I
q
E
hom
M
3
M
4
v
q
E
hom=
X
2
X
4
X
3
M
2
b
h
X
1
I
Figure 1 – She´ma et mode`le imbrique´ de la poutre en composite sous poids propre.
Le mate´riau constitutif de la poutre est compose´ d’une fraction f de fibres de carbone et d’une matrice
de re´sine e´poxyde de modules d’Young respectifs Ef et Em et de densite´s respectives ρf et ρm. Les
dimensions de la poutre sont L = 1m, b = 10cm et h = 1cm. Le moment d’inertie et le module d’Young
homoge´ne´ise´ de la poutre sont de´finis par :
I =M1 (b, h) = bh
3
12
et Ehom =M2 (Ef , Em, f) = Erf + Em(1− f) (14)
Le poids propre de la poutre est de´fini par :
q =M3 (b, h, ρf , ρm, f) = ρhomgbh avec ρhom = ρrf + ρm(1− f) (15)
Le mode`le imbrique´ correspondant est pre´sente´ sur la figure 1. La fle`che de la poutre vaut :
v =M4 (q, l, Ehom, I) = 5
384
ql4
EhomI
(16)
Les parame`tres de niveau 1 Er, Em, ρr, ρm, b et h sont mode´lise´s par des lois lognormales et f par
une loi Beta.
4
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3.2 Me´tamode`les, distributions et Copules
la premie`re e´tape consiste a` construire les chaos polynomiaux correspondant aux mode`les M1, M2,
M3 pour obtenir les re´ponses correspondantes I, q et Ehom, parame`tres de niveau 2. La taille du plan
d’expe´riences LHS est NDOE = 1000 et le degre´ d’expansion est p = 5. Les coefficients sont obtenus
par une me´thode de projection. Les distributions de I, q et Ehom sont approxime´es par des estimations
a` noyau gaussien a` partir d’e´chantillons de 106 re´alisations de chaque sortie.
(a) fq (q) (b) fEhom (Ehom) (c) fI (I) (d) fv (v)
Figure 2 – Estimations a` noyau des densite´s de probabilite´ des parame`tres de niveau 2 et 3
Comme le montre la figure 1, les parame`tres I, q et Ehom ont des parame`tres d’entre´e communs. On
teste l’appartenance des 2 copules C(q, I) et C(q, Ehom) a` la famille des copules gaussiennes avec un
test de Cramer-von Mises puis on estime leur parame`tre a` partir des estimations ρˆS(q, Ehom) = 0.34
et ρˆS(q, I) = 0.74 (figure 3). Conforme´ment a` l’e´quation (13), les parame`tres correspondant sont
θˆ (q, Ehom) = 0.35 et θˆ (q, I) = 0.75.
(a) Densite´ de la copule c(q, Ehom) (b) Densite´ de la copule c(q, I)
Figure 3 – Nuages de points des copules c(q, Ehom) et c(q, I).
Le vecteur ale´atoire des parame`tres d’entre´e de niveau 2 est construit avec les lois marginales de L,
I, q et Ehom et les copules de C(q, I) et C(q, Ehom). On note que par construction (figure 1), les
variables I et Ehom sont inde´pendantes. La re´ponse globale du syste`me, i.e. la de´flection de la poutre
a` mi-longueur v, est approxime´e en construisant le me´tamode`le M4 comme pre´ce´demment. Le plan
d’expe´riences de taille NDOE tient compte a` la fois des marginales et de la copule.
3.3 Analyse de sensibilite´
Le but est de calculer les indices de sensibilite´ globale de v aux parame`tres q, L, Ehom et I. Afin
de re´duire le nombre de simulations, l’espe´rance du shift est estime´e par la me´thode de quadrature
de Gauss. Un nombre nquad = 30 de points de quadrature permet d’en assurer la convergence. Pour
chaque re´alisation x
(k)
i , k ∈ {1, . . . , nquad} de la variable Xi, un e´chantillon de taille 106 est simule´
suivant la densite´ conditionnelle fY |Xi=x(k)i (y). Le shift entre la densite´ inconditionnelle fY (y) et la
densite´ conditionnelle est e´value´ par la me´thode des trape`zes. Le domaine de variation de la re´ponse v
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est alors discre´tiser en ntrap = 200 intervalles. Les re´sultats sont pre´sente´s dans le tableau 1. De fac¸on
a` appre´cier l’apport de la mode´lisation de la structure de de´pendance par une copule gaussienne,
le meˆme calcul est re´alise´ avec des copules inde´pendantes, c’est a` dire en ignorant la de´pendance
statistique des variables de niveau interme´diaire.
La premie`re observation est que les indices δ base´s sur l’entie`re distribution de v respectent le meˆme
ordre que les indices S1 et ST base´s sur la variance. La longueur L est le parame`tre qui apporte le
plus d’incertitudes a` v avec une contribution de 33% de la variance totale. Elle est suivie de Ehom
avec 28% puis de I avec 24% et enfin de q avec 15%. La seconde observation est que les indices δ
sont moins discriminant que les indices de Sobol’. En effet, l’e´cart entre les contributions respectives
de chaque parame`tre est plus faible lorsqu’on prend en compte l’entie`re densite´ de probabilite´ comme
grandeur d’inte´ret. Enfin, la comparaison montre qu’en ne prenant pas en compte la de´pendance entre
les parame`tres de niveau 2, on ne´glige la contribution des parame`tres corre´le´s. Ainsi, la contribution
de q qui est de 15% avec une copule gaussienne n’est plus que de 12% avec une copule inde´pendante.
Parame`tres S1 ST δi δg
q 0.07 0.08 0.09 0.11
L 0.36 0.37 0.24 0.23
Ehom 0.31 0.32 0.21 0.20
I 0.23 0.24 0.18 0.17
Table 1 – Indices de sensibilite´ avec une copule inde´pendante (S1, ST , δi) et gaussienne (δg)
4 Conclusions
Dans cet article, une me´thodologie est pre´sente´e pour re´aliser une e´tude de sensibilite´ globale pour des
mode`les multi-e´chelles et imbrique´s dont les parame`tres sont ale´atoires et de´pendants. Tout d’abord, un
indice de sensibilite´ base´ sur la variation de la distribution de la re´ponse du mode`le et tenant compte de
la de´pendance entre les parame`tres est pre´sente´. L’expansion sur un chaos polynomial est ensuite mise
en avant pour l’e´valuation du mode`le a` faible couˆt nume´rique. Puis, la the´orie des copules est introduite
pour fournir un cadre mathe´matique rigoureux a` la mode´lisation de la structure de de´pendance des
variables. Enfin, la me´thodologie est applique´e a` un exemple acade´mique, i.e. une poutre en mate´riau
composite soumise a` son poids propre pour laquelle la de´flection a` mi-longueur est observe´e. L’e´tude
montre qu’une mode´lisation peu rigoureuse de la structure de de´pendance des parame`tres conduit a`
une sous-estimation de la contribution des parame`tres les plus fortement de´pendants a` la variabilite´
de la re´ponse globale du syste`me. Cet aspect est a` prendre en conside´ration pour le dimensionnement
de structure complexes.
Re´fe´rences
[1] E. Borgonovo. A new uncertainty importance measure. Reliab. Eng. Sys. Safety, 92 :771–784,
2007.
[2] R.G Ghanem and P.D Spanos. Stochastic Finite Elements : A Spectral Approach. Springer Verlag,
1991. (Reedited by Dover Publications, 2003).
[3] R. B. Nelsen. An introduction to Copulas. Lecture Notes in Statistics. Springer, 1999.
[4] A. Saltelli, S. Tarantola, and F. Campolongo. Sensitivity analysis as an ingredient of modelling.
Statistical Science, 15 (4) :39–56, 2000.
[5] G. Saporta. Probabilite´s, analyse des donne´es et Statistiques. TECHNIP Editions, 2e edition, 2006.
[6] I.M. Sobol’. Sensitivity estimates for nonlinear mathematical models. Mat Model, 2 :112–8, 1993.
[7] C. Soize and R. Ghanem. Physical systems with random uncertainties : Chaos representations
with arbitrary probability measure. Society for Industrial and Applied Mathematics, 26(2) :395–
410, 2004.
6


Analyse de sensibilité globale pour des modèles à paramètres dépendants

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46922/1/cfm2011_903.pdf

Analyse de sensibilité globale pour des modèles à paramètres dépendants

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