Le travail proposé ici consiste à coupler un modèle d'endommagement de type Gurson au critère de localisation de Rice. Ce couplage permet de décrire l'évolution de l'endommagement jusqu'à apparition des premières bandes de localisation. L'effet Bauschinger et l'anisotropie de la matrice sont est pris en compte dans l'étude. Enfin, nous étudions l'effet des différents paramètres du modèle (anisotropie, écrouissage, pré-déformation, etc.) et du critère de localisation (présence des termes convectifs) sur la limite de formabilité des tôles

ABED-MERAIM, Farid

BALAN T.

CHALAL H.

MANSOURI, Lotfi

I-Revues

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ème
 Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  1 
Prédiction de la localisation par une approche 
d’endommagement micromécanique couplée à une analyse de 
bifurcation : application à la mise en forme des tôles 
L. Z. MANSOURI, H. CHALAL, F. ABED-MERAIM, T. BALAN 
LEM3, UMR CNRS 7239, Arts et Métiers ParisTech, 4 rue Augustin Fresnel, 57078 Metz Cedex 3, France 
Résumé :  
Le phénomène de localisation des déformations plastiques, qui apparait lors d’opérations de mise en forme 
des tôles, représente l’une des principales causes de rebut des pièces produites dans l’industrie. Plusieurs 
critères d’instabilités ont été développés dans la littérature afin de prédire le moment d’apparition de ce 
phénomène. Le travail proposé ici consiste à coupler un modèle d’endommagement de type Gurson au 
critère de localisation de Rice. L’implantation est réalisée sous forme d’une routine utilisateur (UMAT) dans 
Abaqus/std via un schéma d’intégration explicite de type Runge-Kutta. Enfin, l’efficacité de la modélisation 
utilisée, pour la prédire les limites de formage des tôles est explorée.  
Abstract : 
The strain localization phenomenon that may occur during sheet metal forming represents a major cause of 
defective parts produced in the industry. Several instability criteria have been developed in the literature to 
predict the occurrence of these instabilities. The proposed work aims to couple a Gurson-type model to the 
Rice localization criterion. The implementation of the modeling is achieved via a user subroutine (UMAT) in 
Abaqus/std using a Runge-Kutta explicit integration scheme. Finally, we show the effectiveness of the 
proposed coupling for the prediction of the formability of stretched metal sheets. 
Mots clefs : endommagement, localisation, mise en forme, C.L.F. 
1 Introduction  
Les instabilités matérielles qui apparaissent sous forme de bandes de cisaillement, représentent l’un des 
principaux phénomènes qui limitent la formabilité des tôles lors d’opérations de mise en forme. Par 
conséquent, il est important de se munir d’outils numériques fiables et validés afin de prédire l’apparition de  
ces instabilités plastiques. L’apparition de la localisation sous forme de bandes de cisaillement est souvent 
due à des concentrations de déformation à des endroits du matériau où l’endommagement s’est bien 
développé. Ainsi, la prise en compte de ce phénomène dans la modélisation est un pré-requis indispensable 
pour une meilleure prédiction de la localisation. Deux grandes familles de modèles d’endommagement ont 
été développées dans la littérature. La première, dite approche de l’endommagement continu de Lemaitre [1] 
est basée sur l’introduction d’une variable d’endommagement scalaire, ou tensorielle, traduisant la densité 
surfacique des défauts. La deuxième famille de mécanique de l’endommagement est basée sur une approche 
micromécanique physique prenant en compte l’effet de la pression hydrostatique sur le comportement. Dans 
ce travail, on s’intéresse à la deuxième famille de comportement, et plus exactement, le comportement 
proposé par le modèle de Gurson-Tvergaard-Needleman (GTN) [2-4]. Ensuite, ce modèle de comportement 
sera couplé au critère de localisation de Rice [5] afin de prédire l’apparition des premières bandes de 
cisaillement. Cette approche a déjà été utilisée dans la littérature (Besson et al. [6], Sanchez et al. [7]), afin 
de décrire la rupture ductile dans le cas de structures planes ou de révolution. Cependant, l’originalité de ce 
présent travail est d’aborder l’analyse de la limite de formage d’un matériau ductile utilisant l’approche 
micromécanique de l’endommagement de Gurson et le critère d’instabilité plastique de Rice. 
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  2 
2 Modèle d’endommagement retenu 
Le modèle d’endommagement proposé initialement par Gurson [2] puis étendu plus tard par d’autres auteurs  
Tvergaard [3], Tvergaard et Needleman [4] est l’un des modèles d’endommagement les plus utilisés pour la 
prédiction de la rupture dans les matériaux ductiles. Ce modèle a montré son efficacité, notamment pour la 
prédiction de la rupture en tronc de cône. Le critère de plasticité macroscopique proposé par Gurson est 
donné par la relation suivante :  
 
2
* *22
1 32
3
2 -1- 0
2
eq mqq f ch q f
    
(1) 
où Σeq et Σm  représentent, respectivement, la contrainte équivalente macroscopique (au sens de von Mises) 
et la contrainte moyenne macroscopique. σ  représente la limite d’écoulement de la matrice, dont l’évolution 
est décrite par une loi d’écrouissage de Swift, donnée par la relation suivante : 
0( )
p nσ k ε ε       (2) 
où k , 0ε  et n représentent les paramètres de la loi d’écrouissage de Swift et 
p
 la déformation plastique 
équivalente au niveau de la matrice. Les paramètres q1, q2 et q3 ont été introduits par Tvergaard [3] afin de 
prendre en compte l’effet d’interaction entre les cavités et f* représente la porosité effective. Afin d’établir 
une équivalence entre la dissipation plastique du V.E.R.
1
 et celle de la sphère creuse, on utilise le lemme de 
Hill-Mandel  qui permet d’écrire la relation suivante : 
 1 :p pf D
       
(3) 
où f représente la fraction volumique de vide, Σ  le tenseur de contrainte de Cauchy macroscopique et pD le 
taux de déformation plastique définit par la loi de normalité suivante : 
pD V
      
(4)
 
tel que λ  représente le multiplicateur plastique et Σ
Φ
V
Σ
 la direction d’écoulement. En injectant 
l’équation (4) dans l’équation (3), on obtient le taux de contrainte équivalente donné par la relation suivante :  
1
p
p
d
H
fd
V
     
(5) 
Avant coalescence, l’évolution de la porosité est principalement due à deux phénomènes : nucléation et 
croissance. Il est donc possible d’écrire le taux de porosité sous la forme suivante :   
n gf f f        
(6) 
où nf  et gf  représentent, respectivement, le taux de porosité dû au phénomène de nucléation et de 
croissance. Dans ce travail, on considère que la nucléation est pilotée en déformation ; dans ce cas la loi 
d’évolution de nf  est donnée par la relation suivante [8] :  
 
2
1
exp
22
p
pN N
n
NN
f
f
ss
                                          
(7) 
où le paramètre Nf  
représente la fraction volumique des inclusions susceptibles d’entrer en phase de 
nucléation. N  et Ns  représentent, respectivement, la valeur de la déformation plastique équivalente pour 
                                                     
1 V.E.R. : cavités et inclusions distribuées de façon aléatoire et entourée par une matrice. 
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  3 
laquelle la moitié des inclusions ont germiné et l’écart type sur N . Le taux de porosité dû à la croissance est 
déduit à partir de la loi de conservation de la masse comme suit : 
 1 ( )pgf f tr D
       
(8) 
L’entrée en régime de coalescence est détectée en utilisant le critère phénoménologique introduit par 
Tvergaard et Needleman [4] par le biais de la porosité effective tel que : 
*
cr GTN crf f f f
                  
(9) 
avec 
1
1                si  
1
 si
cr
GTN cr
cr
R cr
f f
q f
f f
f f                     
(10)    
où crf  représente la porosité critique et Rf  la porosité à la de rupture. Lorsque crf f  le matériau entre en 
phase de coalescence, ce qui se traduit par une perte accélérée de ses propriétés mécaniques. 
3 Critère de localisation de Rice  
Afin de déterminer l’expression du module tangent élasto-plastique dans le cas du modèle GTN, nous 
appliquons la condition de cohérence qui est donnée par la relation suivante : 
V Σ *
*: 0
f
V V f
      
(11) 
tel que 
Φ
σV
σ
 et * *
Φ
f
V
f
. Les différents termes intervenant dans l’équation (11) sont donnés par les 
relations suivantes : 
*
1 2
22
3 3
: sh :
2
mq q f qV I
    
(12) 
2
*
1 2 22
2 :1 3
3 sh
2 1
eq m
mV q q f q H
f
V
    
(13) 
*
* * *
1 2 3
3
2 ch 2
2
m
f
V f q q q f f
     
(14) 
Introduisons la loi hypo-élastique qui s’apparente dans le repère matériau (co-rotationnel) à une simple 
dérivée matérielle :  
: :e epC D V C D
     
(15) 
où eC  représente le tenseur des modules d’élasticité et D le tenseur taux de déformation. En remplaçant les 
termes donnés par les équations (12) à (15) dans la condition de cohérence, on obtient l’expression du 
multiplicateur plastique qui est donnée par la relation suivante : 
: :e
H
V C D
       
(16) 
avec 
*
: :
: : 1
1 1
e
GTN nf
H V H V A f
f f
V V
V C V V I:
   
(17) 
En injectant l’expression du multiplicateur plastique donnée par la relation (16) dans la relation (15) on peut 
obtenir l’expression du module tangent élasto-plastique :   
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  4 
: :e e
ep e
H
C V V C
C C
     
(18) 
où 0  pour une charge ou décharge élastique et 1 dans le cas de charge élasto-plastique stricte.  
 
Outre le modèle de comportement, nous devons aussi nous doter d’un critère d’instabilités matérielles 
permettant de détecter le moment d’apparition des bandes de localisation. Le critère que nous avons retenu 
dans ce travail est le critère de Rice [5], basé sur la singularité du tenseur acoustique. Ce critère peut être 
utilisé sur des structures 3D, et fournit l’orientation des premières bandes de cisaillement. La condition de 
localisation qui découle de la condition de compatibilité d’Hadamard et de la condition d’équilibre statique 
est donnée par la relation suivante : 
det det 0Q Ln n       (19) 
où Q  représente le tenseur acoustique, n la normale à la bande de localisation et L le module tangent qui 
relie la contrainte nominale au gradient des vitesses. Son expression est donnée par la relation suivante : 
1 2 3
epL=C +L L L       (20) 
où L1, L2 L3 sont des tenseurs d’ordre quatre qui s’écrivent [9] : 
1
2
3
1
2
1
2
ijkl ij kl
ijkl ik lj il kj
ijkl ik lj il jk
L
L
L
     (21) 
L’implantation du modèle décrit plus haut est réalisée sous forme d’une routine utilisateur UMAT dans 
Abaqus/std, via un schéma d’intégration explicite de type Runge-Kutta. Ces schémas offrent un bon 
compromis entre simplicité de mise en œuvre et temps de calculs. Concernant le critère de Rice, ce dernier 
est testé pour chaque incrément de chargement à partir du moment où l’on entre en plasticité.     
4 Résultats et discussion  
Dans ce qui précède, nous avons décrit le couplage du modèle d’endommagement de Gurson avec le critère 
de localisation de Rice. On se propose dans cette partie de donner quelques résultats obtenus grâce à ce 
couplage, notamment pour la prédiction de la formabilité des tôles. Le matériau que nous avons choisi 
d’étudier dans ce travail est un acier doux, du fait de son utilisation très répandue dans l’industrie. Les 
paramètres relatifs au matériau ont été tirés de la littérature (Brunet et al. [10]) et sont donnés dans les 
tableaux suivants :   
Tableau 1 : Propriétés mécanique et paramètres d’écrouissage. 
Matériau E (MPa) ν  k (MPa) 
0ε  n 
Acier doux 198000 0,3 551,1 9,54 10
-3
 0,297 
 
Tableau 2 : Paramètres du modèle d’endommagement. 
Matériau f0 sN Nε  fN fcr fR q1 q2 q3 
Acier doux 0,001 0,1 0,21 0,039 0,0301 0,1574 1,5 1 2,15 
 
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  5 
La figure 1-a représente l’évolution de la contrainte en fonction de la déformation jusqu’au point de 
localisation pour trois différents trajets de déformation, à savoir traction uniaxiale (TU), traction plane (TP) 
et traction équibiaxiale (TE). Dans le cas de la TP, la localisation se produit très tôt dès que la courbe 
Σ ε commence à saturer, alors qu’en TE, la localisation se produit pour des valeurs de contraintes très 
faibles, à la fin de coalescence. Par ailleurs la localisation a lieu quand le minimum du déterminant du 
tenseur acoustique s’annule (voir équation (19)). En pratique, cette condition n’est pas détectée précisément  
lors d’un calcul numérique où, l’on passe d’une valeur de mindet Q  positive vers une valeur négative (voir 
figure 1-b) au cours d’un incrément. D’autre part, le minimum de det( )Q  est obtenu en faisant balayer la 
normale à la bande de localisation dans un espace 3D (l’extrémité du vecteur n parcourt ainsi une demi-
sphère). 
 
(a)      (b) 
Figure 1 : Courbe macroscopique contrainte-déformation (à gauche), et évolution du minimum du déterminant du tenseur acoustique 
en fonction de la déformation (à droite). TU = traction uniaxiale ; TP = traction plane ; TE = traction équibiaxiale. 
La figure 2 représente trois courbes limites de formage (C.L.F.) obtenues grâce au modèle présenté plus haut. 
On observe sur cette figure que dans le cas d’une pré-déformation en TU, la C.L.F. se translate vers la 
gauche et remonte par rapport à l’axe des déformations majeures, alors que dans le cas d’une pré-
déformation en TE, cette dernière se  translate vers la droite et descend par rapport au même axe. Ces 
résultats sont en bon accord avec les observations expérimentales [10]. D’autre part, la C.L.F. obtenue (sans 
pré-déformation) atteint des valeurs en déformations relativement élevées dans le cas d’un trajet de 
déformation en TU alors que dans le cas de la TE, la déformation à localisation est relativement faible.   
 
Figure 2 : Courbe limite de formage pour un acier doux, effet de la pré-déformation. 
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  6 
5 Conclusion 
Dans ce travail, nous avons proposé un couplage entre un modèle d’endommagement de type GTN et le 
critère de localisation de Rice basé sur une perte d’ellipticité se traduisant par la singularité du tenseur 
acoustique. Ce couplage a permis entre autres de tracer des courbes limites de formage pour un acier doux en 
reprenant des paramètres existant dans la littérature. L’effet de la pré-déformation sur la formabilité des tôles 
semble être en bon accord avec les résultats de la littérature. Dans la modélisation proposée dans ce travail, 
le comportement du matériau en phase de coalescence est décrit de façon purement phénoménologique via le 
modèle de Tvergaard et Needleman. Par ailleurs, la détection de localisation par le critère de Rice se fait le 
plus souvent en phase d’adoucissement. Il nous semble intéressant de proposer une modélisation plus fine 
pendant cette phase, qui soit basée sur des approches ayant une connotation micromécanique. L'objectif 
global étant de proposer un outil numérique de détection de la localisation qui soit rigoureusement fondé (i.e. 
modélisation faisant appel à un minimum de paramètres ajustables).  
References 
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[2] Gurson, A. (1977). Continuum theory of ductile rupture by void nucleation and growth : Part I- yield 
criteria and flow rules for porous ductile media. J. Eng. Mat. and Tech. 99, 2-15. 
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[4] Tvergaard, V., Needleman, A. (1984). Analysis of the cup-cone fracture in a round tensile bar. Acta 
Metall, 32:57. 
[5] Rice, J. R. (1976). The localization of plastic deformation. Theorical and applied mechanics. Koiter ed.,  
207-227. 
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specimens. Int. J. Sol. Struct., 8259-8284. 
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[8] Chu, C. C., Needleman, A. (1980). Void nucleation effects in biaxially stretched sheets. J. Eng. Mat. 
Tech., 102:249. 
[9] Haddag, B. (2007). Contribution à la modélisation de la mise en forme des tôles métalliques : Application 
au retour élastique et à la localisation. Thèse de doctorat, École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers. 
[10] Brunet, M., Mguil, S., Morestin, F. (1998). Analytical and experimental studies of necking in sheet 
metal forming processes. J. Mat. Proces. Tech., 40-46. 
 
 


Prédiction de la localisation par une approche d'endommagement micromécanique couplée à une analyse de bifurcation : application à la mise en forme des tôles

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46735/1/cfm2011_721.pdf

Prédiction de la localisation par une approche d'endommagement micromécanique couplée à une analyse de bifurcation : application à la mise en forme des tôles

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