On s'intéresse au comportement d'une fissure dans un milieu tridimensionnel dont le comportement est décrit par un modèle élastique non local tel que celui proposé par Erigen. On sait que pour ce type de comportement, les contraintes en pointe de fissure sont finies. Nous étudions la possibilité de prendre avantage de ce fait pour s'affranchir de l'utilisation des facteurs d'intensité de contrainte dans la prédiction du développement de la fissure

KOUITAT NJIWA R.

NIANE N.T.

SCHWARTZ, Martin

I-Revues

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 Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  1 
Etude de l’angle de propagation d’une fissure carrée dans un milieu 
tridimensionnel à comportement élastique non-local 
M. SCHWARTZ
a,b
, N.T. NIANE
b
, R. KOUITAT NJIWA
a
 
a. Institut Jean Lamour, Ecole des Mines de Nancy, Parc de Saurupt, 54042 NANCY 
b. PSA Peugeot Citroen, Centre Technique La Garenne Colombes, 18 rue des Fauvelles, 92250 LA 
GARENNE COLOMBES 
 
 
Résumé :  
On s’intéresse au cas d’une fissure dans un milieu tridimensionnel dont le comportement est décrit par un 
modèle élastique non-local tel que celui développé par Eringen. Pour ce type de comportement, les 
contraintes en pointe de fissure sont finies. Nous étudions la possibilité de prendre avantage de ce fait pour 
s’affranchir de l’utilisation des facteurs d’intensité de contrainte dans la prédiction de l’angle de 
propagation de la fissure. 
Abstract : 
We consider the case of a crack in a three-dimensional environment whose behavior is described by a non-
local elastic model such as that developed by Eringen. For this type of behavior, stresses at the crack tip are 
finite. We study the possibility of taking advantage of this fact to avoid the use of stress intensity factors for 
the prediction of crack propagation angle.  
Mots clefs : Fissure tridimensionnelle, Elasticité non-locale, Eléments de frontière, Angle de 
propagation 
1 Introduction 
Dans le cadre de la théorie classique (locale) de l’élasticité, le champ de contraintes prédit sur le front d’une 
fissure est infini. Ce résultat est physiquement inacceptable et oblige d'avoir recours aux facteurs d'intensité 
de contrainte. Il traduit l'incapacité de cette description locale du comportement à traiter des problèmes 
élastiques en présence de singularités géométriques aigues. Comme l'a souligné Eringen, cette incapacité est 
due aux limitations de la théorie classique.  
L’utilisation d’une théorie non-locale, qui tient compte des interactions à plus longue distance, permet une 
description plus fine du comportement élastique au voisinage de la fissure. Dans le cas de la théorie non-
locale forte (Kroner [5], Krumhanls [6], Kunin [7]), la contrainte en un point dépend de la déformation dans 
tout le domaine étudié. De nombreuses études ont montré qu'avec une telle description du comportement, les 
contraintes sont finies sur le front de fissure (Eringen [3], Gao J. [4], Zhao Minghao et Al [10]). Il convient 
alors de revisiter les critères classiques permettant de suivre l'évolution d'une fissure dans un milieu élastique.  
Dans ce travail, nous adoptons l’approche non-locale de l’élasticité proposée par Eringen [3] et nous 
étudions la direction probable de propagation d'une fissure contenue dans un milieu infini. Nous montrons 
que le critère de contrainte tangentielle maximale introduit par Erdogan et Sih [2] conduit à des angles 
probables de propagation conformes aux observations expérimentales rencontrées dans la littérature.  
 
 
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  2 
2. Equations d’équilibre et relation de comportement 
On considère un domaine Ω élastique homogène et isotrope contenant une fissure. Dans le cas statique et en 
l’absence de forces volumiques, les équations d’équilibre et de comportement de l’approche non-locale 
proposée par Eringen [3] s’écrivent:  
0, =jijt                 (1) 
( ) ( ) ( ) ( )∫=
Ω
σ ''', xdVxxxgxt ijij               (2) 
Dans la relation (2) le tenseur ijσ peut être assimilé au tenseur de contrainte local défini par : 
( ) ( )xCx klijklij εσ =                 (3) 
( ) ( ) ( )( ) 2,, xuxux kllkkl +=ε               (4) 
Où tij, εkl et uk représentent respectivement le tenseur de contrainte non-local, le tenseur des déformations et 
le champ de déplacement. Cijkl symbolise le tenseur d’élasticité isotrope.  
La fonction d'atténuation g(x,x’) est continue, positive, décroissante avec la distance euclidienne r = ||x-x’|| 
et quasiment nulle pour r > R. R définit alors le rayon du domaine d’influence Ω inf de la fonction g(x,x’). 
Dans ce travail, nous avons adopté l'expression ci-après (Eringen [3], Povstenko [8]) : 
( ) ( ) ( )223 'exp1', lxxlxxg −−= pi              (5) 
L’expression de g(x,x’) fait intervenir un paramètre l homogène à une longueur, appelé « longueur interne 
caractéristique ». Pour une valeur de l donnée, le rayon R du domaine d'influence est déterminé grâce à la 
condition de normalisation : 
( ) ( ) ( ) ( ) 1'','',
inf
=≈ ∫∫
ΩΩ
xdVxxgxdVxxg  
Il convient de noter que lorsque la longueur interne tend vers zéro, on retrouve le modèle classique.  
Enfin, dans le cas d’un milieu infini, la fonction g(x,x’) présente comme particularité supplémentaire d’être 
fonction de Green de l’équation différentielle de la chaleur : 
 ( ) ( ) ( ) ( )''''2 xxxxgLxxxxg
t
−=−⇔−=−




 ∇−∂
∂ δδ  
Où le paramètre t s’exprime en fonction de la longueur interne caractéristique : 4/2lt = . L’opérateur L, 
appliqué aux équations (1) et (2), permet de relier le tenseur de contrainte non-local au tenseur de contrainte 
local, et de retrouver l’équation d’équilibre classique : 
( ) ijij xLt σ=                  (6) 
( )( ) ( )( ) 0,,, === jijjijjij xtLxtL σ                              (7) 
A partir de la solution de l'équation classique (7), les contraintes non-locales sont calculées en post-
traitement.  
Pour résoudre l'équation (7), nous avons adopté la méthode des éléments de frontière. Elle est bien adaptée à 
la résolution de problèmes de fissuration et sa formulation mathématique du problème peut être consultée 
dans de nombreux ouvrages (e.g. Bonnet, Brebbia, Aliabadi). 
 
 
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  3 
3   Résultats  
Nous nous limitons au cas d’une fissure carrée, centrée dans un parallélépipède rectangle (assimilable à un 
milieu infini) et soumis à une contrainte de traction unidirectionnelle σ0. La fissure de côté 2c peut être 
inclinée par rapport à la direction y d'un angle β.  
 
FIG. 1 –  Représentation schématique de la fissure dans le domaine Ω et en 2D dans le plan Oyz 
Le centre de la fissure est situé à l’origine O du repère global Oxyz. En chaque point F du front de fissure on 
peut définir un repère local Fx1x2x3 . Dans l'étude présentée ici, on se limite au cas où F est le point milieu du 
front supérieur de la fissure. Les vecteurs directeurs des axes Fx1 et Fx3 sont respectivement normal et 
tangent au front au point F. Le vecteur directeur de l’axe Fx2 est normal au plan de la fissure au point F.  Le 
repère Fx1x2x3 est orthonormé direct. Enfin, on note r et θ les coordonnées polaires définies dans le plan 
Fx1x2.  
3.1 Profils de contrainte non-locale 
On considère tout d’abord le cas d’une fissure non-inclinée (β = 0). L’évolution de la composante σzz du 
tenseur de contrainte classique est comparée à celle de tzz le long de l’axe Fx1 (Figure 2.a). La contrainte est 
normalisée par le chargement σ0 et son évolution est représentée en fonction de r/l où r représente la distance 
au front de la fissure et l correspond à la longueur caractéristique.  
Contrairement au cas classique, la contrainte est finie au niveau du front. Elle croit ensuite vers un maximum 
(r/l ≈ 0.67) puis décroit pour retrouver l'évolution classique pour un rapport r/l de l'ordre de 5. Plus la taille 
de la fissure est importante comparée à la longueur caractéristique, plus le niveau de contrainte est important 
comme on peut le constater sur la Figure 2.b (c/l = 150, 30, 15 et 7.5). 
 
y 
z 
O β = inclinaison de la fissure 
Fissure 
F 
θ 
r 
x1 
x2 
2c 
s0 
s0 
x 
z 
y 
Fissure 
O 
β F 
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FIG. 2 – (a) Variation de σzz (contrainte classique) et tzz (contrainte non-locale) en fonction de la distance au 
front de fissure ; (b) Influence de la longueur caractéristique l sur l’évolution de tzz 
De manière remarquable, la position du maximum de contrainte se situe invariablement autour de r/l ≈ 0.67 
et ne dépend pas de la taille de la fissure.  
3.2 Angle de propagation 
Penchons nous maintenant sur la direction probable de propagation d'une fissure. Nous considérons toujours 
le cas de la fissure carrée mais différentes valeurs de l’angle d’inclinaison β (voir Figure 1). La fissure est 
donc sollicitée en mode mixte. Le critère de bifurcation formulé par Erdogan et Sih [2] prédit la propagation 
de la fissure dans la direction où la contrainte circonférentielle σθθ est maximale.  
La composante classique σθθ peut s’exprimer en fonction de l’angle polaire θ (voir Figure 1) et des 
composantes σ11, σ22, σ12 du tenseur de contrainte dans le repère Fx1x2 : 
( ) ( ) ( ) 22212112 cos2sinsin σθσθσθσθθ +−=             (8) 
De la même façon, on peut définir la contrainte non-locale tθθ des composantes t11, t22, t12 : 
( ) ( ) ( ) 22212112 cos2sinsin tttt θθθθθ +−=              (9) 
Dans l’approche classique, les expressions asymptotiques des composantes σ11, σ22, σ12 sont singulières 
lorsque r tend vers 0 (sur la pointe de fissure). La relation (8) est généralement exprimée en terme des 
facteurs d'intensité de contraintes. Cette relation conduit à des résultats très proches de ceux prédits par le 
critère du minimum de densité d'énergie de Sih [9]. Rappelons que la densité d'énergie a pour expression  
( ) ( ) ( )223213212113333222211233222211 1
2
1
σσσ
ν
σσσσσσ
ν
σσσ ++
+
+++−++=
EEE
Wel                          (10) 
Les contours de la contrainte tθθ sont représentées sur les figures 3 pour différentes valeurs d'angle 
d'inclinaison β (0°, 15°, 30°, 45°) et pour c/l = 15. La contrainte tθθ est normalisée par σ0. Il apparaît 
clairement que quelque soit la valeur de β, cette contrainte est maximale dans une direction qui tend à 
ramener le plan de la fissure perpendiculaire à la direction de sollicitation. Nous avons désigné cette 
direction par θp. 
Fort de ce constat, nous avons recherché l'influence du rapport c/l sur cette direction. Cette direction 
probable de propagation est à comparer à celles issues du traitement classique et basées sur les facteurs 
d'intensité de contraintes. Pour mémoire, ces derniers sont représentés sur la Figure 4.b en fonction de 
l'inclinaison de la fissure.  
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
r / l
t zz
 
/ s
0
c / l = 150 
c / l = 30
c / l = 15
c / l = 7.5
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
r / l
s
zz
 
/ s
0 
, 
t zz
 
/ s
0
Contrainte locale 
Contrainte non-locale tzz
(a) (b) 
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FIG. 3 – Variation de tθθ dans le plan Fx1x2 pour une inclinaison β de : (a) 0° ; (b) 15° ; (c) 30° ; (d) 45° 
L’évolution de l’angle θp en fonction de l’inclinaison β de la fissure et pour différentes valeurs du rapport c/l 
est représentée sur la Figure 4.a. Les angles prédits par le critère de Sih et Erdogan [2] et le critère Sih [9], 
sont fournis à titre de comparaison.  
Quel que soit le cadre, classique ou non-local, l’angle de propagation prédit, initialement nul (pour β = 0°), 
décroit lorsque β augmente. L’évolution de l’angle propagation en fonction de β est toutefois différente 
suivant l’approche employée. Pour les valeurs intermédiaires de β (entre 0 et 45°), la théorie non-locale 
fournit des angles de propagations sensiblement inférieurs à ceux prévus par la théorie classique, et très 
proches, en valeur absolue, de l’angle d’inclinaison β. Autrement dit, l’approche non-locale prévoit une 
propagation de la fissure dans la direction perpendiculaire à la direction d’application de l’effort de traction. 
On note que pour les valeurs de c/l considérées, les angles de propagation prédits par la théorie non locale 
sont très proches les uns des autres. Ces résultats méritent d'être confirmés pour d'autres géométries de 
fissure et notamment elliptiques. 
 
y
z
0.12 0.14 0.16 0.18
0.04
0.06
0.08
0.1
Cont. Circonf.
2.2041
1.8207
1.4372
1.0538
0.6703
0.2869
-0.0966
-0.4800
y
z
0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
0
0.02
0.04
0.06
Cont. Circonf.
2.2469
1.8745
1.5021
1.1297
0.7572
0.3848
0.0124
-0.3600
y
z
0.14 0.16 0.18 0.2
-0.02
0
0.02
Cont. Circonf.
2.2962
1.9210
1.5459
1.1707
0.7955
0.4203
0.0452
-0.3300
y
z
0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
0.08
0.1
0.12
0.14
Cont. Circonf.
2.0241
1.6807
1.3372
0.9938
0.6503
0.3069
-0.0366
-0.3800
β = 0° β = 15° 
β = 45° β = 30° 
x2 
x1 
F
 
F
 
x2 
x2 
x2 
x1 
x1 x1 
F
 
F
 
θP θP 
θP 
θP 
(a) (b) 
(c) (d) 
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  6 
 
FIG. 4 – (a) Evolution de l’angle de propagation en fonction de l’angle d’inclinaison pour plusieurs valeurs 
de la longueur interne caractéristique (l = 5, 10, 20 microns) ; (b) Evolution des facteurs d’intensité de 
contrainte au point F en fonction de l’inclinaison 
4. Conclusion 
Dans ce travail, l’approche non-locale de Eringen est employée pour lever la singularité du champ de 
contrainte classique au voisinage du front d’une fissure carrée dans un milieu 3D élastique linéaire. Nous 
avons montré qu'avec une telle description du comportement du matériau, l'angle de propagation d'une 
fissure est relativement bien décrit par le critère de la contrainte tangentielle maximale. Ces résultats 
préliminaires sont en cours d'extension à d'autres géométries de fissure et aux milieux bornés.  
References 
[1] Bonnet, Equations intégrales et éléments de frontière, 1995 
[2] Erdogan F., Sih G.C., On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear, J Basic 
Engng, 1963 
[3] Eringen A.C., Nonlocal Continuum Field Theories, 2001 
[4] Gao J., On the study of a penny-shaped crack in non-local elasticity, Acta Mechanica Solida Sinica, 1989 
[5] Kroner E., Elasticity theory of materials with long-range cohesive forces, International Journal of Solids 
and Structures, 3, 731-742, 1967 
[6] Krumhanls J.A., Generalized continuum field representation for lattice vibrations, In : Wallis, R.F., (Ed.), 
Lattice Dynamics, Proc. of Int. Conference, 1963 
[7] Kunin I.A., The theory of elastic media with microstructure and the theory of dislocations, In : Kroner 
(Ed.), Mechanics of Generalized Continua, Proc. IUTAM Symposium, 1967 
[8] Povstenko Y.Z., Kubik I., Concentrated ring loading in a nonlocal elastic medium, Int J of Engng Science, 
2005 
[9] Sih G.C., Some basic problems in fracture mechanics and new concepts, Engng Fract Mech, 1973  
[10] Zhao Minghao, Cheng Changjun, Liu Yuanjie, Liu Guoning, Zhang Shishuan, The method of analysis 
of crack problem in three-dimensional non-local elasticity, Applied Mathematics and Mechanics, 1999 
-60
-55
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Angle d'inclinaison de la fissure  (°)
A
n
gl
e 
de
 
pr
o
pa
ga
tio
n
 
(°)
Crit. Densite (Sih)
Crit. Cont. (Erdogan & Sih)
Cont. NonLocale - c / l = 30
Cont. NonLocale - c / l = 15
Cont. NonLocale - c / l = 7.5
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Angle d'inclinaison (°)
KI
, 
KI
I, 
KI
II 
(M
Pa
.
m
m
1/
2 )
KI
KII
KIII
(a) (b) 


Etude de l'angle de propagation d'une fissure carrée dans un milieu tridimensionnel à comportement élastique non local

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46731/1/cfm2011_685.pdf

Etude de l'angle de propagation d'une fissure carrée dans un milieu tridimensionnel à comportement élastique non local

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