Des essais de fluage de contact et de recouvrance des empreintes ont été réalisés pour analyser la "cicatrisation" d'une surface de PMMA sollicitée en microindentation par une bille rigide. Les résultats sont analysés avec des simulations numériques. L'identification du comportement viscoélastique du PMMA est obtenue à partir d'essais de relaxation. Les résultats permettent d'analyser les champs de déformation sous le contact lors de la phase de fluage. Ceux-ci montrent que la localisation du niveau maximal de déformation est prépondérante dans le caractère cicatrisant d'une empreinte

CHATEL, Thibaud

FAVIER, Damien

GAUTHIER, Christian

LE HOUEROU, Vincent

PELLETIER, Hervé

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  
1 
Analyse numérique du fluage et de la recouvrance d’un 
contact viscoélastique  
T. CHATEL, C. GAUTHIER, H. PELLETIER, V. LE HOUEROU, D. FAVIER  
CNRS Institut Charles Sadron, UPR22, 23 rue du Loess, BP 84047, F-67034 Strasbourg Cedex 2, FRANCE 
Résumé :  
Des essais de fluage de contact et de recouvrance des empreintes ont été réalisés pour analyser la 
"cicatrisation" d’une surface de PMMA sollicitée en microindentation par une bille rigide. Les résultats sont 
analysés grâce à des simulations numériques. L’identification du comportement viscoélastique du PMMA est 
obtenue à partir d’essais de relaxation. Les résultats permettent d’analyser les champs de déformation sous 
le contact lors de la phase de fluage. Ceux-ci montrent que la localisation du niveau maximal de 
déformation est prépondérante dans le caractère cicatrisant d’une empreinte. 
Abstract: 
Creep of the contact and recovery of residual imprint tests have been made to analyze the "self-healing" of a 
PMMA surface during a spherical microindentation. The results are analyzed with numerical simulations. 
Identification of the viscoelastic behavior of PMMA is obtained from relaxation tests. The results permit to 
analyze strain fields under the contact during the creep phase. Strain fields could indicate that the onset of  
permanent imprint is probably correlated to the location at the interface sphere / surface of yield strain. 
Mots clefs : analyse numérique, indentation, viscoélasticité, polymère 
1 Introduction 
De précédents résultats expérimentaux  ont montrés les difficultés de l'analyse mécanique lors d’un essai de 
fluage et de recouvrance par microindentation [1]. Ces résultats ont pu être obtenu à l’aide d’un dispositif de 
vision in-situ qui permettait de suivre l’évolution de contact lors de la phase de fluage puis l’évolution de 
l’empreinte résiduelle au cours de la phase de recouvrance. La Figure 1 présente deux images typiques de 
l’aire de contact, dont l’analyse géométrique a permis de ne pas être modèle dépendant. L'étude de la 
recouvrance des empreintes résiduelles permet d'améliorer la compréhension des mécanismes mais la 
prédiction globale du comportement viscoélastique d’un contact sur surface de polymère reste incomplète. 
L'analyse numérique est un outil qui permet d'obtenir plus d'informations sur l'évolution des champs de 
déformations et des champs de contrainte [2-4] dès lors qu’une identification  
 
Figure 1 : (a) Aire réelle de contact lors de la phase de fluage (à tfluage = 156 s) et (b) empreinte résiduelle lors de la 
phase de recouvrance (à 0.8 s après le retrait de la pointe en contact) 
2 Identification du comportement viscoélastique  
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2 
Les résultats des simulations numériques à suivre sont tributaires de la loi de comportement identifiée et 
mise en œuvre dans le code. 
2.1 Loi de comportement utilisée 
La loi de comportement viscoélastique utilisée dans le cadre de l'analyse numérique d'un contact 
essentiellement viscoélastique est celle décrite par un modèle de Maxwell. L'outil numérique à disposition 
propose l'écriture du modèle de Maxwell à partir de la description du module déviatorique et du module de 
compressibilité. Pour un essai de relaxation, l'écriture du modèle de Maxwell généralisé s'écrit :  
 ∑
=
∞ 



−+=
N
i i
i
tGGtG
1
exp)( τ
 ( 1 ) 
 ∑
=
∞ 



−+=
N
i i
i
tKKtK
1
exp)( τ
 ( 2 ) 
où iG  et iK  correspondent aux paramètres de lissage et ∞G  et ∞K  correspondent aux modules 
déviatoriques et de compressibilité relaxés. La relaxation du module de compressibilité est choisie ici pour 
plus de commodité. En effet, la prise en compte de la relaxation du coefficient de Poisson est possible mais 
reste une donnée délicate à obtenir lors des essais expérimentaux. Le coefficient de Poisson est donc 
considéré constant et égal à 0.35. Le mode d’identification retenu nécessite donc de réaliser des essais de 
relaxation pour différentes déformations vraies appliquées. 
2.2 Essais de relaxation et identifications 
Plusieurs essais de relaxation uniaxial en compression ont été réalisés pour différentes déformations vraies 
appliquées et égales à 0.75%, 1.4%, 2.4% et 4%. Ces valeurs sont choisies car elles sont comparables aux 
déformations moyennes de contact imposées lors des essais. Le module de relaxation obtenu peut être 
décomposé en un module déviatorique et un module de compressibilité. La Figure 2(a) présente l'évolution 
du module déviatorique ( VG ) en fonction du temps pour différentes déformations vraies appliquées et une 
température de 30 °C. Les courbes correspondant à l’évolution du module de compressibilité ne sont pas 
présentées ici. On observe que le module diminue avec le temps et que la diminution observée est d'autant 
plus importante que la déformation vraie appliquée est grande. Chacune de ces courbes est représentative du 
comportement viscoélastique du PMMA pour une sollicitation donnée différente.  
 
Figure 2 : Essai de relaxation – (a) Evolution du module déviatorique ( VG ) en fonction du temps et (b) 
évolution des paramètres identifiés en fonction des temps caractéristiques pour différentes déformations 
vraies appliquées ( T = 30 °C ) 
Le lissage des points expérimentaux obtenus est réalisé à l'aide des équations ( 1 ) et ( 2 ). Ce lissage 
nécessite de fixer le nombre de temps caractéristiques. Les différents lissages réalisés montrent qu'il est 
nécessaire de choisir un nombre de temps caractéristiques au moins égal au nombre de décades explorées 
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lors des essais expérimentaux. Dans notre cas, le nombre de décades couvertes par les mesures 
expérimentales est de 7, ce qui impose un nombre de temps caractéristiques égal à 8 pour un lissage de 
bonne qualité. Le nombre de paramètres importants de l'équation de lissage permet de fixer les valeurs des 
temps caractéristiques de la manière suivante :  
]10;10;10;10;10;10;10;10[ 65432101 ssssssssi −=τ
 
La Figure 2(b) présente l'évolution des paramètres d'identification en fonction des temps caractéristiques 
pour les différentes déformations vraies appliquées. Par commodité, les valeurs de 
∞
G  ont été placées pour 
un temps caractéristique égal à 1012 s. Les résultats obtenus montrent que les paramètres identifiés diminuent 
avec le temps. Compte tenu de l'allure des courbes, il semble difficile de décrire un comportement 
viscoélastique général s'affranchissant de la déformation appliquée lors des essais. L’identification utilisée 
sera donc choisie pour que la valeur de la déformation vraie appliquée se rapproche le plus de la déformation 
moyenne de contact initial défini par Tabor et égale à Ra02.0 .  
3 Moyens numériques mis en œuvre 
3.1 Modèles numériques utilisés  
Le logiciel de simulation numérique utilisé est MSC Software MARC® et deux modèles numériques 
axisymétriques ont été développés dans le cadre de cette étude. Le premier est utilisé pour simuler les essais 
uniaxiaux réalisés dans le cadre de l’identification du comportement viscoélastique. Le second est utilisé 
pour simuler les essais de microindentation réalisés. L'une des spécificités de ces modèles numériques est 
que le pilotage de chaque simulation réalisée est identique au pilotage obtenu lors des essais expérimentaux. 
Les tables de déplacement (essai de relaxation) et de force (essai de microindentation) sont intégrées au 
modèle numérique correspondant. Ainsi, les simulations intègrent l'existence d'un "overshoot" lors de 
l'application de la charge ainsi qu'une éventuelle dérive des capteurs avec le temps. Le rapport Ra0 , 
rapport entre le rayon de contact et le rayon de la bille (représentatif de la déformation imposée, définie par 
Tabor [5]),  ainsi que la pression moyenne de contact ( mp ) à Ft  = 0.5 s  sont également identiques aux 
valeurs relevées expérimentalement. Les conditions aux limites relatives aux simulations numériques 
réalisées sont garanties identiques aux conditions expérimentales. 
3.2 Paramètre d’analyse 
3.2.1 Phase de fluage 
A partir de la connaissance du rayon de l'indenteur utilisé et de la mesure du rayon de contact, il est possible 
de définir une déformation représentative de contact Rta )( . Pour une comparaison plus globale des essais 
réalisés, la déformation moyenne de contact est normée de la manière suivante :  
 
Ra
Rta
0
)(
 ( 3 ) 
où )(ta  est le rayon de contact évoluant avec le temps de fluage, R  le rayon de l’indenteur valant 400 µm et 
0a  le rayon de contact à Ft  = 0.5 s. Comme pour les essais expérimentaux, l'analyse numérique permet de 
s'affranchir de la part de déflexion élastique (ou viscoélastique) au bord du contact. 
3.2.2 Phase de recouvrance 
Lors de la phase de recouvrance, la mesure du rayon de l’empreinte résiduelle n’est pas le seul paramètre 
d’analyse possible. Le rayon de la cavité sphérique de l’empreinte résiduelle varie également avec le temps 
comme le rayon de courbure de l’empreinte en recouvrance. La déformation représentative normée devient :  
 
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4 
 
Ra
tRta
t0
)()(
 ( 4 ) 
où )(tR est le rayon de courbure de l’empreinte résiduelle et 
0t
a  le rayon du contact réel à la fin de la phase 
de fluage. Les modèles numériques utilisés, la gestion du pilotage mis en place et le post traitement proposé 
permettent de se rapprocher au maximum des conditions expérimentales. L'identification du comportement 
viscoélastique du polymère étudié est la difficulté majeure à résoudre pour essayer de corréler les résultats 
expérimentaux et les résultats obtenus numériquement. 
 
4 Simulation numérique d'un contact viscoélastique 
4.1  Phase de fluage d'un contact sphère / plan 
La Figure 3(a) présente l'évolution de la déformation représentative ( 3 ) en fonction du temps de fluage pour 
différents temps d'application de charge et une déformation moyenne de contact initial égale à 4%. Les 
résultats expérimentaux sont également confrontés à l'analyse numérique d'un contact viscoélastique dont le 
comportement est identifié à partir de l'essai de relaxation dont la déformation vraie appliquée est égale à 4% 
( 4id ). 
 
Figure 3 : Phase de fluage pour un contact sphère / plan – Comparaison entre l'analyse numérique et les 
résultats expérimentaux – (a) Evolution de la déformation représentative et (b) évolution de la pression 
moyenne de contact en fonction du temps de fluage pour différents temps de maintien en charge 
( < 0ε > = 4%  , R  = 400 µm ,T  = 30 °C, id4) 
On observe une bonne corrélation entre les résultats obtenus par analyse numérique et les résultats 
expérimentaux. Néanmoins, la déformation représentative correspondant au temps d'application de charge de 
105 s est sous-estimée par rapport aux résultats obtenus expérimentalement. La Figure 3(b) présente 
l'évolution de la pression moyenne de contact en fonction du temps de fluage pour différents temps 
d'application de charge et une déformation moyenne de contact égale à 4%. Les résultats expérimentaux sont 
confrontés à l'analyse numérique d'un contact viscoélastique pour un comportement identifié à partir de 
l'essai de relaxation dont la déformation vraie appliquée est égale à 4% ( 4id ) Les résultats obtenus par 
analyse numérique sont en bonne adéquation avec les résultats expérimentaux. Néanmoins, les pressions 
moyennes de contact surestiment sensiblement les valeurs expérimentales. 
4.2  Phase de recouvrance des empreintes résiduelles 
La Figure 4 présente l'évolution de la déformation représentative ( 4 ) en fonction du temps de recouvrance 
des empreintes résiduelles pour différents temps d'application de charge. Les résultats expérimentaux sont 
confrontés à l'analyse numérique du retour viscoélastique de l'empreinte résiduelle. L'identification du 
20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  
5 
comportement viscoélastique est réalisée à partir de l'essai de relaxation dont la déformation vraie appliquée 
est égale à 4% ( 4id ).Les résultats numériques suivent plus ou moins bien les résultats obtenus 
expérimentalement. Pour un temps d'application de charge égal à 10 s, la simulation numérique décrit la 
bonne tendance du résultat obtenu expérimentalement, à savoir une cicatrisation totale et très rapide de 
l'empreinte résiduelle. Pour un temps d'application de charge égal à 103 s, la cicatrisation complète de 
l'empreinte résiduelle est également simulée. En effet, il est possible de considérer l’empreinte résiduelle 
obtenue expérimentalement comme complètement cicatrisée. Par contre, pour un temps d'application de 
charge égal à 105 s, la simulation numérique ne prévoit pas le comportement non linéaire du PMMA et la 
déformation permanente observée. 
 
Figure 4 : Phase de recouvrance de l'empreinte résiduelle – Comparaison entre l'analyse numérique et les 
résultats expérimentaux - Evolution de la déformation représentative en fonction du temps de recouvrance 
pour différents temps de maintien en charge ( < 0ε > = 4%  , R  = 400 µm ,T  = 30 °C ,id4) 
4.3  Etude des champs de contraintes et de déformations 
Les champs de contraintes, non présentés ici montrent que, dès la phase de chargement terminée, la 
contrainte équivalente de von Mises admet un maximum égal à 235 MPa à Ft  égal à 0.5 s. Cette valeur est 
bien supérieure à la contrainte d'écoulement plastique du PMMA (∼130 MPa). Néanmoins des cicatrisations 
pouvant être considérés comme complètes sont observées pour les temps d'application de charge les plus 
courts. Or, pour ces niveaux de contrainte, de la plasticité est présente dans le volume déformé. Les résultats 
expérimentaux semblent montrer qu'il y a lieu de dissocier, l'apparition de plasticité dans un volume situé 
sous la surface, de la plasticité développée dans un volume à la surface. La Figure 5 présente les champs de 
déformations ( 11ε ) lors d'un contact sphère / plan pour deux temps de maintien en charge ( Ft  = 0.5 s et 
Ft = 0t ), un temps de recouvrance ( Rt = 0t /10), une déformation moyenne initiale égale à 4% et une 
température de 30 °C. L'identification correspond à une déformation vraie imposée égale à 4% ( 4id ). 
L’analyse de ses champs de déformation est un bon indicateur de l’évolution du matériau avec le temps. A 
Ft  = 0.5 s, la valeur maximale atteinte est égale à 8%. Le champ de déformation correspondant à un temps 
de maintien en fluage égale à 103 s admet un maximum égal à 10%, néanmoins les courbes correspondant au 
temps de maintien en charge les plus faibles, présenté Figure 4, admettent une cicatrisation considérée 
comme complète. Le champ de déformation correspondant au temps de maintien en fluage le plus long 
admet un maximum égal à 14.6% et une déformation à la surface du matériau égale à 10%. La recouvrance 
obtenue pour cet essai n'est pas complète et une déformation permanente est obtenue. De la plasticité s'est 
développé dans le volume sollicité. Cette plasticité confinée dans un volume sous le contact freine le retour 
viscoélastique comme le montre la courbe correspondant à un temps de maintien en charge égal à 103 s. En 
première approche, compte tenu des résultats présentés Figure 4 il semble que c'est à partir d'une 
déformation supérieure à 10% et développée à la surface du contact que l'empreinte résiduelle admet une 
déformation permanente. 
20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  
6 
 
 
Figure 5 : Champs de déformations 11  pour deux temps de maintien en charge à Ft  = 0.5 s et Ft = 0t  et 
différents temps de maintien en charge ( < 0ε > = 4% , R  = 400 µm ,T  = 30 °C , id4) 
5 Conclusion  
Les modèles numériques développés permettent une première description du comportement viscoélastique 
du PMMA lors d'un essai de microindentation en fluage et recouvrance. Les particularités de ces modèles 
permettent de modéliser les essais expérimentaux de la manière la plus proche possible des conditions 
expérimentales. L'identification du comportement viscoélastique à partir des essais de relaxation permet 
d'obtenir des résultats intéressants dans le domaine de la description d'un comportement viscoélastique 
linéaire. Les résultats numériques des essais de microindentation mettent à jour plusieurs points importants 
concernant l'apparition de plasticité dans le contact. Malgré des déformations importantes relevées dans le 
volume sollicité et la forte probabilité de la présence d'un volume plastifié sous le contact, une cicatrisation 
considérée comme complète peut être observée. Il apparaît que lorsque la déformation atteint une valeur de 
l'ordre de 10% à la surface du contact, la cicatrisation n'est plus réalisée complètement. Cet aspect rend 
difficile la prise en compte de la viscoplasticité dans les modèles développés. Il semble qu’un critère 
d'apparition de la plasticité en fonction de la déformation doit être choisi. Ce type de critère est abordé dans 
quelques études [6, 7] et est une des perspectives de ce travail. 
References  
[1] Chatel, T., et al., Creep of the contact with a spherical tip and recovery of the imprint on amorphous 
polymer surfaces. Soumis à Journal of Physics D-Applied Physics, 2011. 
[2] Dooling, P.J., C.P. Buckley, and S. Hinduja, The onset of nonlinear viscoelasticity in multiaxial creep of 
glassy polymers: A constitutive model and its application to PMMA. Polymer Engineering and Science, 
1998. 38(6): p. 892-904. 
[3] Cheng, L., et al., Flat-punch indentation of viscoelastic material. Journal of Polymer Science Part B-
Polymer Physics, 2000. 38(1): p. 10-22. 
[4] Pelletier, H., et al., Viscoelastic and elastic-plastic behaviors of amorphous polymeric surfaces during 
scratch. Tribology International, 2008. 41(11): p. 975-984. 
[5] Tabor, D., The hardness of solids. Rev Phys Technol, 1970: p. 145-179. 
[6] Kameda, J., Y. Yokoyama, and T.R. Allen, Strain-controlling mechanical behavior in noncrystalline 
materials I: Onset of plastic deformation. Materials Science and Engineering a-Structural Materials 
Properties Microstructure and Processing, 2007. 448(1-2): p. 235-241. 
[7] Marano, C. and M. Rink, Shear yielding threshold and viscoelasticity in an amorphous glassy polymer: A 
study on a styrene-acrylonitrile copolymer. Polymer, 2001. 42(5): p. 2113-2119. 


Analyse numérique du fluage et de la recouvrance d'un contact viscoélastique

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46631/1/cfm2011_812.pdf

Analyse numérique du fluage et de la recouvrance d'un contact viscoélastique

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