Des milieux dont la taille du volume d'étude représentatif est de l'ordre du micron sont étudiés numériquement. Nous moyennons les solutions afin de déterminer des propriétés macroscopiques. On met en évidence que les propriétés effectives sont modifiées dans les milieux micro-poreux lorsque les conditions de glissement sont prises en compte. Les équations de conservation sont résolues pour différentes configurations géométriques (de 1D à 3D) et conditions de chauffage, puis les moyennes de phase sont calculées. Quelques géométries typiques sont considérées dans le cas d'écoulements d'air

BONNET, Guy

LAURIAT, Guy

VU, Thanh Long

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
 1
S’agissant de milieux micro poreux (c'est-à-dire de milieux dont la taille caractéristique des pores est de 
l’ordre du micron), les modélisations « macroscopiques » usuelles (homogénéisation, prises de moyennes…) 
doivent être modifiées. En ce qui concerne la partie dynamique, la façon la plus simple de procéder est de 
recalculer une perméabilité tenant compte du glissement dynamique afin de continuer à utiliser la loi de 
Darcy [1]. En considérant des motifs périodiques et en supposant l’écoulement périodique ou - plus 
exactement - établi, on peut en déduire de nouvelles valeurs de la perméabilité incluant les effets du 
glissement. La forme « macroscopique » de l’équation de l’énergie (ou de l’équation de l’énergie pour la 
phase fluide si la modélisation est basée sur un modèle hors équilibre thermique local), montre que la 
conductivité effective – c'est-à-dire la conductivité stagnante plus la conductivité due à la dispersion (< 
u’T’>) – dépend du couplage entre champs de vitesse et champs de température. Un certain nombre 
Etude numérique de l’effet de la vitesse de glissement sur la 
perméabilité et sur la conductivité de dispersion de milieux 
micro-poreux 
T.L. VU, G. LAURIAT, G. BONNET 
MSME, CNRS UMR 8208, Université Paris-Est, Marne la Vallée, 5 Bd Descartes, Champs-sur-Marne, 77452 
Marne-la Vallée cédex 2 
Résumé : 
Des écoulements forcés dans des milieux poreux dont la taille du volume d’étude représentatif est de l’ordre 
de quelques micromètres sont étudiés numériquement. Les champs de vitesse et de température 
d’écoulements d’air sont calculés à l’échelle locale en géométries 2D et 3D. On en déduit les propriétés 
macroscopiques à partir de moyennes spatiales. On montre que le glissement de vitesse influe fortement sur 
la perméabilité mais que son effet sur la conductivité thermique de dispersion est beaucoup plus faible. 
Abstract : 
A numerical study on forced convection in micro porous media is conducted. 2D as well as 3D flows and 
temperature fields are solved at the microscopic scale, and spatially averaged in order to determine 
permeabilities and thermal dispersion conductivities for various shapes of a representative elementary 
volume. It is shown that the gas slippage effect has a significant influence on permeability while it has a 
weak effect on thermal dispersion 
Mots clefs : convection forcée en milieux micro-poreux, perméabilité, conductivité de dispersion, 
glissement 
1 Introduction 
Les écoulements et les transferts convectifs de gaz dans des micro-conduites de diamètre hydraulique Dh tel 
que le nombre de Knudsen (Kn = libre parcours moyen/diamètre hydraulique) est compris entre Kn = 0,01 et 
Kn = 0,1 (soit Dh de l’ordre de quelques micromètres pour de l’air à pression atmosphérique) sont 
modélisables en s’appuyant sur les équations de la mécanique des milieux continus à condition de modifier 
les conditions aux limites afin de représenter les phénomènes de glissement, dynamique et /ou thermique. 
Introduits d’abord pour les écoulements de gaz raréfiés, par Maxwell en particulier, ces phénomènes font 
intervenir de nouveaux coefficients qui peuvent être déterminés expérimentalement ou théoriquement par 
différentes approches, telle que la dynamique moléculaire. 
Connaissant ces coefficients, toutes les modélisations des écoulements en conduite peuvent être 
reconsidérées. Un nombre considérable de travaux expérimentaux ou numériques portant sur la mécanique 
des fluides ou sur la convection thermique dans des micro-conduites a ainsi été publié au cours des dernières 
années, le cas des liquides étant beaucoup plus complexe. 
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
d’articles publiés au cours des vingt dernières années ont porté sur cette question ([2-8] par exemple) en 
considérant une maille élémentaire d’un milieu périodique. Le problème du glissement n’a cependant jamais 
été considéré. 
L’objectif de cette communication est de montrer l’effet du glissement dynamique sur la perméabilité et sur 
la conductivité de dispersion. Nous nous limitons au cas d’une conduite remplie par une structure périodique 
chauffée à flux constant. Nous ne faisons aucune hypothèse sur le caractère périodique des transferts de 
chaleur et de quantité de mouvement dans la direction principale de l’écoulement : les transferts sont simulés 
depuis l’entrée jusqu’à la sortie d’une conduite. Dans cette communication, nous nous intéressons plus 
particulièrement aux valeurs moyennes calculées dans un VER situé dans la zone d’écoulement 
dynamiquement et thermiquement établi. 
 2
2 Modélisation et résolution numérique 
 qN qN z
 
 0 
u0 u0
x 
 
 qS = -qN qS = qN 
 (a) (b) 
FIG. 1 - Domaine physique simulé (cas 2D) et conditions thermiques appliquées sur les surfaces de symétrie 
pour calculer les conductivités de dispersion longitudinale (a) et transverse (b). 
On considère un écoulement de convection forcée laminaire, incompressible et stationnaire d’air à travers un 
milieu poreux constitué par un motif régulier de cubes disposés en réseau en ligne. Les échanges radiatifs 
entre surfaces solides et la production de chaleur par dissipation visqueuse sont négligés. L’air entre dans la 
conduite avec un débit fixé (vitesse moyenne d’entrée imposée) et on suppose qu’il est possible d’imposer un 
gradient de température constant (ou un flux de chaleur) parallèlement ou perpendiculairement à la direction 
principale de l’écoulement (Fig. 1). Compte-tenu de la distance entre parois (inférieure à 100 µm), les 
nombres de Reynolds, Re, ou de Péclet, Pe = Re×Pr, basés sur la vitesse débitante sont faibles (Pe ≤ 10). Les 
équations décrivant l’écoulement et les transferts de chaleur s’écrivent à l’échelle «microscopique» : 
. 0∇ =u 
( ) 2f . pρ μ∇ = −∇ + ∇u u u 
( ) 2f pf f f f fC . T k T dans Vρ ∇ = ∇u 
2
s sk T 0 dans V∇ = s 
Aux interfaces fluide-solide, on écrit les conditions d’imperméabilité et de glissement pour les composantes 
normales et tangentielles des vitesses. On admet aussi la continuité des températures et des flux le long des 
surfaces de contact fluide-solide (Sfs). Soit : 
( )s fL . . . sur S= ⎡∇ − ∇ ⎤⎣ ⎦u u n n u n n s
fs
 
f sT T sur S= 
f f s s fk T . k T . sur S s∇ = ∇n n 
où Ls est la longueur de glissement qui s’exprime en fonction du coefficient d’accommodation dynamique αg 
et du libre parcours moyen λ par la relation Ls = (2 - αg)λ/αg. Pour de l’air à pression atmosphérique, λ ≈ 60 
nm et 0,8 ≤ αg ≤ 0,9 pour les couples gaz-solide usuels. Les conditions aux limites sur le bord du domaine 
d’intégration sont écrites : 
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 3
∀0 f s 0u u , v=0, w=0, T T T , en x=0, y,z = = = 
s sf fT TT Tu u 0, v=0, w=0, 0, en x=L, y,z
y z y y z z
∂ ∂∂ ∂∂ ∂= = = = = = ∀∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
N p
u v w 0 sur les surfaces solides + conditions de périodicité au bord du domaine fluide,
 q=q =q , en y,z=0,H x
= = =
∀ 
En se basant sur une modélisation à une seule équation d’énergie (<T> = <Tf>f = <Ts>s), la version 
« macroscopique » la plus simple des équations de conservation s’écrit : 
. 0∇ =u 
fK Pμ= ∇u 
( )f pf effC . T . K Tρ ∇ =∇ ∇u 
Le tenseur de conductivité effective se décompose comme suit : 
eeff tor disp
K k I K K= + + 
avec 
( )
fs f
f pff s
f pf ' ' ' '
e f s tor disp
S V
Ck k
CV Vk k 1 k , K T. dS, K T T d
T T
V
T
ρ
ρε ε
−
= + − = = − = −∇ ∇ ∇∫ ∫n u u 
où V est le volume de la maille élémentaire (Fig.2). 
 
z
z 
xy
x 
 
FIG. 2 - Mailles élémentaires 2D et 3D. 
Il est à noter que ces équations ne sont valables que pour un écoulement établi et que le glissement 
n’intervient pas dans l’équation de l’énergie en régime stationnaire. La somme e tork I K+ est la conductivité 
stagnante et les fluctuations T’ et u’ sont déduites des solutions locales et moyennées sur un VER (Fig.2), 
soient T’(x,y,z) = T(x,y,z) - <T(x)> et u’ = u - f. Pour calculer les composantes du gradient 
macroscopique de température∇ <T>, le sens du flux imposé en z = 0 est modifié (Fig. 1a pour la dispersion 
thermique longitudinale, (Kdisp)xx, et Fig. 1b pour la dispersion thermique transverse, (Kdisp)zz) [2, 3, 4 et 7]. 
Les expressions des composantes diagonales (i=x,y,z) du tenseur de dispersion thermique sont donc calculées 
à partir des relations : 
( ) ( )( )
f f
f pf f pf
f' '
disp i i iii
V Vi i
C C
V VK T u dV T T u
T T
u dV
ρ ρ
= − = − − −∇ ∇∫ ∫ 
 
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
 4
Les équations de conservation à l’échelle microscopique ont été résolues par la méthode des éléments finis 
implémentée dans le code commercialisé Comsol [9] en utilisant un maillage rectangulaire non-uniforme en 
géométries 2D comportant typiquement 5×104 éléments et avec un maillage tétraédrique comportant 6×104 
éléments en géométries 3D. 
Des comparaisons avec les solutions de Kuwahara et al. [4] et de Pedras et de Lemos [7], qui se rapportent à 
des géométries et à des paramètres très proches de ceux considérés dans cette étude, ont aussi été effectuées 
pour des nombres de Péclet dans l’intervalle 1 ≤ Pe ≤ 100 et pour ks/kf = 2 et 10. Il en résulte que les valeurs 
de la dispersion longitudinale sont en très bon accord avec [4, 7] qui donnent une dépendance de (Kdisp)xx en 
Pe2 mais que celles de la dispersion transverse ne sont en accord qu’avec celles de Pedras et de Lemos [7]. 
3. Résultats 
3.1 Etude de l’effet du glissement sur la perméabilité et la dispersion thermique 
en géométries 2D 
Les géométries étudiées sont du type de celle représentée sur la figure 1. La hauteur simulée est H = 10 µm 
et la longueur L ≈ 100 µm. Dans tous les cas considérés, le nombre de cellules élémentaires (VER) est de 10, 
soit une dimension de 10 µm×10 µm. On a fait varier la taille des côtés des blocs carrés (Fig. 2) de a =4,5 
μm à a =3 μm de sorte que la porosité augmente de ε = 0,19 et ε = 0,64. Le nombre de Knudsen, Kn =λ /(H-
2a), varie alors de Kn = 0,06 à Kn = 0,015. Dans ce domaine de Kn, des conditions de glissement doivent 
être appliquées. 
La perméabilité sans tenir compte du glissement étant alors comprise entre K = 8,68 10-15 m2 et K= 6,35 10-13 
m2 (Tableau 1). On en déduit que la longueur d’établissement du régime dynamique est très courte (de l’ordre 
de quelques √K). La perméabilité augmente évidemment sous l’effet du glissement : son augmentation est 
d’autant plus importante que le nombre de Knudsen est grand et que le coefficient d’accommodation est 
faible. 
 
 ε=0,19 (Kn=0,06) ε=0,36 (Kn=0,03) ε=0,51 (Kn=0,02) ε=0,64 (Kn=0,015) 
K (m2) 8,68×10-15 7,25×10-14 2,56×10-13 6,35×10-13 
Kg (αg=0,9) (m2) 1,24×10-14 8,74×10-14 2,89×10-13 6,95×10-13 
Kg (αg=0,8) (m2) 1,32×10-14 9,06×10-14 2,97×10-13 7,07×10-13 
 
Tableau 1 : Effet du glissement sur la perméabilité pour différentes porosités (ou de Kn) et pour deux valeurs 
 du coefficient d’accommodation. 
En régime thermique établi, la moyenne intrinsèque de la température du fluide et la moyenne de phase de la 
température varient linéairement (soit d<T(x)>f/dx = Cste et d<T(x)>/dx = Cste) et on a vérifié que la 
dispersion thermique est indépendante de la température d’entrée et de la valeur de la densité de flux 
appliquée sur les surfaces de périodicité. 
Les figures 3 et 4 représentent les variations des composantes longitudinale et transverse de la conductivité 
de dispersion en fonction du nombre de Péclet (pour ks/kf =10) et en fonction du rapport des conductivités 
(pour Pe =5) lorsque ε = 0,19 et ε = 0,64. Si des valeurs très supérieures de ks/kf peuvent être considérées, le 
nombre de Péclet doit rester inférieur à Pe ≈ 10 pour que l’hypothèse d’incompressibilité soit admissible. Les 
calculs ayant montré que la dispersion thermique est peu sensible à la valeur du coefficient d’accommodation, 
les résultats présentés sur ces deux figures correspondent à αg=0,9. 
On remarque que la dispersion longitudinale est très peu sensible aux effets de glissement (diminution 
maximale de 5% pour Kn = 0,06) alors que la dispersion transverse, dont la valeur est beaucoup plus faible, 
dépend beaucoup plus du glissement. Dans le domaine de variation des paramètres étudié, l’effet maximal du 
glissement sur (Kdisp)zz est obtenu pour Kn = 0,06 et ks/kf =10 : (Kdisp)zz = 4,34 10-6 kf sans glissement et 
(Kdisp)zz = 2,69 10-6 kf en tenant compte du glissement. Les figures 3 et 4 montrent aussi que la porosité a une 
influence beaucoup plus importante sur la conductivité de dispersion mais que son influence est peu modifiée 
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
sous l’effet du glissement. 
Il apparaît en définitive que le glissement n’a pas d’influence importante sur les composantes de la 
conductivité de dispersion. 
100 101
10−3
10−2
10−1
100
101
K d
isp
xx
/k
f
 
 
 Pe = fH/αf
L
s
=0
L
s
=7.469×10−8
ε=0.19
ε=0.64
100 101
10−8
10−6
10−4
10−2
Pe = fH/αf
K d
isp
zz
/k
f
 
 
L
s
=0
L
s
=7.469×10−8
ε=0.64
ε=0.19
 
FIG.3 - Effet du glissement sur les dispersions longitudinale et transverse en fonction du nombre de Péclet 
 (ks/kf=10, αg=0,9). 
 
100 101
10−2
10−1
100
k
s
/kf
K d
isp
xx
/k
f
 
 
L
s
=0
L
s
=7.469×10−8ε=0.19
ε=0.64
100 101
10−6
10−5
10−4
10−3
k
s
/kf
K d
isp
zz
/k
f
 
 
L
s
=0
L
s
=7.469×10−8
ε=0.64
ε=0.19
 
FIG.4 –Effet du glissement sur les dispersions longitudinale et transverse en fonction du rapport 
 de conductivité (Pe=5, αg=0,9). 
3.2 Etude de l’effet du glissement sur la perméabilité et la dispersion thermique 
en géométries 3D. 
 
 ε=0,271 (Kn=0,06) ε=0,784 (Kn=0,015) 
K (m2) 1,80×10-14 1,51×10-12 
Kg (αg=0,9) (m2) 2,61×10-14 1,68×10-12 
Kg (αg=0,8) (m2) 2,78×10-14 1,72×10-12 
Tableau 2 : Effet du glissement sur la perméabilité en géométrie 3D pour des espacements entre blocs carrés 
 de 1 μm et de 4 μm. 
Les valeurs de la perméabilité (Tableau 2) pour des configurations 3D qui correspondent à la première et à la 
dernière colonne du tableau 1 montrent que la perméabilité est approximativement doublée et que l’effet du 
 5
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
glissement est plus important qu’en géométries 2D. 
100 101
10−6
10−5
10−4
Pe = fH/αf
K d
isp
zz
/k
f
 
 
L
s
=0
L
s
=7.469×10−8
100 101
10−6
10−5
10−4
Pe = fH/αf
K d
isp
yy
/k
f
 
 
L
s
=0
L
s
=7.469×10−8
 
FIG.5 - Effet du glissement sur les dispersions transverses en fonction du nombre de Péclet 
 (ε= 0,271, ks/kf=10, αg=0,9). 
La figure 5 représente les variations des composantes transverses de la conductivité de dispersion en fonction 
du nombre de Péclet pour ks/kf =10 et un espacement entre blocs solides de 1 μm (ε = 0,271). L’effet du 
glissement sur la dispersion longitudinale est similaire à celui observé en géométrie 2D. Il est aussi plus 
important sur les composantes transverses dont les valeurs différent parce que les fluctuations des 
composantes de vitesse v’ et w’ sont sensiblement différentes. 
4 Conclusion 
A partir de simulations numériques à l’échelle locale d’écoulements d’air dans des milieux micro-poreux, on 
a déterminé la perméabilité et les composantes diagonales du tenseur de conductivité de dispersion en 
effectuant des moyennes spatiales dans un volume d’étude représentatif. Les résultats, obtenus pour des 
nombres de Péclet 1≤ Pe ≤ 10 et des rapports de conductivités thermiques 1≤ ks/kf ≤ 10, montrent que l’effet 
du glissement augmente lorsque la porosité diminue (ou lorsque le nombre de Knudsen augmente). La 
perméabilité est beaucoup plus sensible aux effets de glissement que la composante longitudinale de la 
conductivité de dispersion, les composantes transverses étant plus modifiées par le glissement mais beaucoup 
plus faibles que la conductivité du fluide, du moins pour les configurations géométriques. 
Références 
[1] Vu T. L., Perrot C., Lauriat G., Bonnet G., Etude numérique de l’effet de glissement sur la perméabilité 
de milieux poreux formés par des réseaux périodiques de micro spheres, journées JEMP, 2010. 
[2] Arquis E., Caltagirone J.P., Le Breton P., Détermination des propriétés de dispersion d’un milieu 
périodique à partir de l’analyse locale des transferts thermiques, CRAS, t 313, Série II, 1087-1092, 1991 
[3] Kuwahara F., Nakayama, A., Koyama, H., A numerical study of thermal dispersion in porous media, 
ASME J. Heat Transfer, 118,756-761, 1996 
[4] Kuwahara F., Nakayama, A., Numerical determination of thermal dispersion coefficients using a periodic 
porous structure, ASME J. Heat Transfer, 121, 160-163, 1999 
[5] Moyne C., Didierjean S., Amaral Souto H.P., da Silveira O.T., Thermal dispersion in porous media: one-
equation model, Int. J. Heat Mass Transfer, 43, 3853-3867, 2000 
[6] Testu A., Didierjean S., Maillet D., Moyne C., Metzger T., Niass T., Thermal dispersion for water or air 
flow through a bed of glass beads, Int. J. Heat Mass Transfer, 50, 1469-1484, 2007 
[7] Pedras M., de Lemos M., Thermal dispersion in porous media as a function of the solid-fluid conductivity 
ratio, Int. J. Heat Mass Transfer, 51, 5359-5367, 2008 
[8] Yang C., Nakayama, A., A synthesis of tortuosity and dispersion in effective thermal conductivity of 
porous media, Int. J. Heat Mass Transfer, 53, 3222-3230, 2010 
[9] Comsol multiphysics, User manual, version 3.5a, 2008 
 
 6

Etude numérique de l'effet de la vitesse de glissement sur la perméabilité et la conductivité de dispersion de milieux micro-poreux

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46590/1/cfm2011_370.pdf

Etude numérique de l'effet de la vitesse de glissement sur la perméabilité et la conductivité de dispersion de milieux micro-poreux

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