L'objectif est d'identifier les paramètres d'une loi de comportement d'un AMF-NiTi. Le modèle est phénoménologique à trois variables internes (Chemisky-Patoor, 2009) et tient compte de la transformation martensitique et du maclage. Une analyse de sensibilité du comportement thermomécanique aux paramètres du modèle a été effectuée. Elle a permis de comprendre l'influence des paramètres et de cerner leurs domaines d'intervention. Sur la base de cette analyse, les paramètres du comportement superélastique sont identifiés à partir d'essais en chargement combiné couplés à une méthode inverse

BOURGEOIS, Nadine

ECHCHORFI, Rachid

MERAGHNI, Fodil

PATOOR, Etienne

I-Revues

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 Congrès Français de Mécanique                                                       Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
1 
 
Identification de paramètres de comportement d’un alliage à 
mémoire de forme  
R. ECHCHORFI 
a
, N. BOURGEOIS 
b
, F. MERAGHNI
 a
, E.PATOOR 
a
  
a
LEM3-UMR 7239 CNRS, Arts et Métiers ParisTech, 4 Rue Augustin Fresnel 57078 METZ,  
b
LEM3-UMR 7239 CNRS, Université Paul Verlaine Metz, Ile du Saulcy. 57045 METZ,  
Résumé :  
L’objectif de ce travail est d’identifier les paramètres d’une loi de comportement d’un alliage à 
mémoire de forme NiTi. Le modèle utilisé est un modèle phénoménologique à trois variables internes 
développé par Chemisky-Patoor (2009). Il tient compte à la fois de la transformation martensitique et 
du maclage. Dans un premier temps, une analyse de sensibilité du comportement thermomécanique du 
NiTi aux paramètres du modèle a été effectuée. Elle a permis de comprendre l’influence des différents 
paramètres sur le comportement et de cerner leurs domaines d’intervention. Sur la base de cette 
analyse de sensibilité, les paramètres du comportement superélastique seront ensuite identifiés à 
partir d’essais en chargement uniaxial à deux températures différentes en utilisant une méthode 
d’identification inverse. 
Abstract: 
The aim of the work is to identify the constitutive law parameters of a NiTi shape memory alloy. The 
model is a phenomenological model with three internal variables recently developed by Chemisky-
Patoor (2009). It may capture both austenite-martensite transformation and twinning. Firstly, a 
sensitivity analysis of the thermomechanical behavior of NiTi to the model parameters was performed. 
It helped to understand the influence of various parameters on the behavior and to identify their 
domains of intervention. Based on this sensitivity analysis, the parameters of superelastic behavior 
will then be identified from uniaxial tests at two different temperatures using an inverse identification 
method 
Mots clefs : alliages à mémoire de forme, NiTi, transformation martensitique, éléments finis, 
loi de comportement, modèle, analyse de sensibilité.  
1. Introduction  
Parmi les matériaux métalliques, les Alliages à Mémoire de Forme (AMF) sont des alliages possédant 
plusieurs propriétés particulières : la capacité de retrouver la forme initiale et d’y retourner après une 
déformation, la possibilité d’alterner entre deux formes préalablement mémorisées lorsque sa 
température varie autour d’une température critique. À cette propriété originale s’ajoutent d’autres 
propriétés mécaniques telles que la superélasticité permettant des allongements, sans déformation 
permanente, supérieurs à ceux des métaux conventionnels. Ces propriétés des alliages à mémoire de 
forme sont liées à l’existence d’une transformation de phase à l’état solide appelée transformation 
martensitique. Cette transformation gère à la fois les hétérogénéités à l’échelle locale [1] et le 
comportement macroscopique des AMF [2-3]. Par conséquent, le comportement du matériau dépend 
très fortement de son état microstructural : fraction volumique et orientation des variantes de 
martensite formées.  
Le modèle utilisé dans cette étude prend en compte, non seulement la transformation martensitique 
mais aussi le mécanisme d’accommodation des macles [4], très important dans les NiTi. L’objectif du 
travail est d’analyser la sensibilité du comportement thermomécanique aux paramètres du modèle et 
d’étudier leur effet sur les observables accessibles à travers des essais thermomécaniques. En effet, 
l’analyse de sensibilité permet de comprendre le rôle de chacun des paramètres de la loi de 
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comportement, et de déterminer les limites des domaines de leur intervention au cours de sollicitations 
thermomécaniques simples. 
2. Modélisation phénoménologique du comportement thermomécanique  
Le modèle utilisé est fondé sur les travaux de Peultier et al. [5, 6, 7]. Il a été modifié et étendu par 
Chemisky [4]. Ce modèle est de type macroscopique phénoménologique, il considère une relation 
directe entre les variables internes et la déformation macroscopique de transformation. Ces variables 
internes sont une moyenne du champ des variables caractéristiques de l’évolution de la microstructure 
du matériau (fraction volumique des variantes, déformations locales de transformation et 
d’accomodation des macles). Cette approche convient parfaitement lorsque les modèles rhéologiques 
sont exploités dans les calculs de structures. Le faible nombre de variables internes implique un temps 
de calcul sensiblement moins élevé que pour des modèles plus complexes. 
Dans ce modèle les constantes élastiques et thermiques sont supposées identiques dans les phases 
martensitique et austénitique, et le champ de température uniforme. La décomposition de la 
déformation totale du VER    peut s’écrire ainsi :  
 
La déformation macroscopique notée  résulte du mécanisme d’accommodation des macles. Ce 
mécanisme de déformation s’ajoute au mécanisme de transformation de phase, mais ne se produit que 
lorsque la déformation de transformation  est faible. Ces déformations sont complémentaires, dans 
le sens ou lorsque l’une est observée, l’autre ne l’est pas ou seulement de façon marginale.  est la 
déformation thermique. 
Les variables internes considérées dans cette formulation sont donc : 
– la fraction volumique de martensite  f 
– la déformation moyenne de transformation de la martensite  avec    
– la déformation moyenne d’accommodation des macles   avec    
fFA  est la fraction volumique de martensite formée autoaccommodée. 
Les trois forces thermodynamiques  Ak  associées respectivement aux variables internes  Vk  (f, 
) sont définies à partir de l’expression de l’énergie libre de Gibbs   [4-5]: 
 
 la force motrice de transformation, liée à la variable f : 
 
B  représente la variation de l’entropie autour de  T0, Hf  correspond au pseudo - écrouissage 
de transformation, alors que  H
T 
 est le pseudo - écrouissage de réorientation.  T est la 
température de l’essai et  T0  la température d’équilibre de la transformation.  
 la force motrice d’orientation, liée à la déformation de transformation  : 
 
 
  est le déviateur des contraintes.  
 la force d’accommodation des macles, liée à la variable  
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3 
 
 
H
twin
  est le pseudo - écrouissage d’accommodation des macles. 
Ces trois forces motrices sont reliées ensuite aux processus dissipatifs pour permettre la 
description de l’évolution des variables internes.  
3. Analyse de sensibilité  
Pour effectuer l’analyse de sensibilité du modèle, un sous-programme UMAT d’implémentation de la 
loi de comportement dans le code de calcul par éléments finis Abaqus implicite est utilisé. Pour cette 
analyse, il est seulement nécessaire de simuler le comportement d’un Volume Elémentaire 
Représentatif (VER) du matériau, représenté ici par un cube de côté 1 mm. Entre les différents calculs, 
seules les conditions aux limites en déplacement et en température varient. 
 
FIG. 1 – Conditions aux limites. 
U, V et W  représentent respectivement les déplacements dans les directions 1, 2 et 3. 
Trois types de simulation ont été réalisés : 
 Simulation du comportement superélastique en traction ou compression simple à une 
température constante Tse supérieure à la température de transformation Af.  
 Essai de réorientation : refroidissement à partir d’une température initiale de 120°C jusqu’à 
une température Tr sensiblement inférieure à Ms puis chargement en traction. 
 Essai de traction - compression : cycle de charge décharge à la température constante  Tse.  
Pour tous les résultats présentés, les températures de transformation de l’alliage sont respectivement 
Ms = 20°
 
C et Af = 60°C. Rappelons que Ms est la température de début de transformation dans le 
sens austénite – martensite, et que Af est la température de fin de transformation austénite – 
martensite. Les températures d’essai choisies pour les essais simulés sont  Tse = 90°C  et  Tr = -60°C. 
Globalement, le modèle requiert seize paramètres liés au matériau. Pour treize de ces seize paramètres, 
cinq simulations différentes ont été menées. Les cinq valeurs du paramètre sont appelées 
respectivement : Pmin, Préf, Pmax, Val1, Val2 (voir tableau 1). Les valeurs intermédiaires Val1, Val2 
sont respectivement dans les intervalles [Pmin, Préf] et [Préf, Pmax].  
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4 
 
L’analyse de sensibilité a été menée sur un AMF NiTi dont les caractéristiques nominales sont 
présentées dans le tableau 1. Les paramètres matériau utilisés pour le comportement du NiTi et 
introduits dans le sous-programme UMAT sont : 
E  le module de Young en MPa, et   le coefficient de Poisson, 
  le coefficient de dilatation thermique en °C-1 , 
Ttracmax
  la déformation de transformation maximale en traction, 
TFAtrac
  la déformation de transformation maximale en traction à partir de martensite formée auto-
accommodée, 
Tcompmax
  la déformation de transformation maximale en compression, 
bd  la pente de transformation directe en traction dans le diagramme (σ, T) en MPa/°C, 
br  la pente de transformation inverse en traction dans le diagramme (σ, T) en MPa/°C, 
Ms  la température de début de transformation austénite → martensite en °C,  
Af  la température de fin de transformation austénite → martensite en °C,  
rf   le coefficient définissant l’amplitude des boucles internes (pour des chargements partiels), 
F
T
  la contrainte limite de début de réorientation en  MPa,  
H
f
  le pseudo - écrouissage de transformation en MPa,  
H
T
  le pseudo - écrouissage de réorientation en MPa,  
H
twin
  le pseudo - écrouissage d’accommodation des macles en MPa,  
H
s
  qui est associé au décalage des températures de retour austénitique de la martensite orientée et 
exprimé en MPa. 
 
  MIN   Val1  référence  Val2  MAX 
 
E 25 000  40 000 70 000 85 000 100 000 
 0,2 0,25  0,3 0,35 0,4 
 10
-6
 4,0 10-6 8,0 10-6 9,0 10-6 10-5 
Ttracmax
  0,01                        0,025 0,05 0,075 0,1 
TFAtrac 
 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 
Tcompmax
  0,008                             0,02 0,04 0,06 0,08 
b
d
  2 3,5 5 7,5 10 
b
r
  2,4 4,2 6 9 12 
Ms     20    
Af      60    
r
f
      0,6    
F
T
  10 50 100 500 1000 
H
f
  0,1 1 4 50 100 
H
T
  100 500 1 000 5 000 10 000 
H
twin
  10
2
 103 4,0 104 5,0 105 106 
H
s
  0,1 10 50 500 1 000 
Tableau 1 –Valeurs des paramètres matériau exploitées dans l’analyse de sensibilité   
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La figure 2 montre l’influence du paramètre Hf, appelé pseudo écrouissage de transformation, et qui 
représente la pente du plateau de transformation martensitique, sur une courbe contrainte-déformation 
en traction simple. 
 
 
FIG. 2 – Courbes de contrainte-déformation simulées pour un essai de charge-décharge en 
traction-compression séquentielle. Sensibilité au paramètre de pseudo-écrouissage de 
transformation Hf. 
 
FIG. 3 – Courbes de contrainte-déformation simulées pour un essai de réorientation à une 
température de -60°C. Sensibilité au paramètre de pseudo-écrouissage de réorientation H
T
.  
La figure 3 montre l’influence du paramètre H
T
, associé au pseudo écrouissage de réorientation. Ce 
paramètre agit directement sur la pente du plateau de réorientation et aussi sur le point de fin de 
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transformation lors d’un essai de traction à basse température (essai dit de réorientation). A cette 
température le matériau est martensitique. La martensite qui s’est formée lors du refroidissement du 
matériau, qui est au départ autoaccomodée (déformation moyenne nulle), s’oriente peu à peu sous 
l’effet de la sollicitation mécanique appliquée.  
Il est difficile de présenter dans cet article l’ensemble des courbes qui permettraient de visualiser 
individuellement l’influence de chaque paramètre. D’autre part, cette analyse n’est pas suffisante, car 
elle ne permet pas d’étudier les éventuelles dépendances entre les paramètres et donc de connaître par 
avance leur identifiabilité réelle. C’est uniquement le résultat final de cette analyse de courbes qui est 
donné rapidement. Les paramètres (E,
Ttracmax
 , bd, br, H
f
) interviennent dans la description du 
comportement superélastique. Ils sont identifiables à partir des courbes de charge-décharge avec 
transformation complète de l’AMF, en traction uniaxiale. Les alliages à mémoire de forme NiTi 
présente un comportement dissymétrique en traction et compression. Pour identifier le 
paramètre 
Tcompmax
 un essai de compression est nécessaire. Les paramètres (F
T
, H
T
, H
twin
, 
TFAtrac
) gèrent le comportement en réorientation, ils sont identifiables sur un essai de traction 
à basse température (sur martensite autoaccomodée). Le paramètre rf intervient sur le 
comportement du matériau lors de chargements partiels. Des chargements de ce type sont 
donc nécessaires pour identifier ce paramètre. Les températures de transformation sont mesurables 
par DSC (Diffential Scanning Calometry). 
4. Conclusion 
L’analyse de sensibilité a été effectuée en simulant d’une part des essais mécaniques monotones ou 
séquentiels à différentes températures, d’autre part des essais de refroidissement sans contrainte suivi 
d’un chargement en traction, pour étudier les effets de la réorientation de la martensite. Une analyse 
fine des effets des différents paramètres de la loi de comportement est effectuée. Cette analyse de 
sensibilité a permis de comprendre l’influence de chaque paramètre et de lui associer un sens 
physique. Les paramètres identifiables à partir d’essais simples sont hiérarchisés. Par exemple, les 
paramètres (E,
Ttracmax
 , bd, br, H
f
), associés au comportement superélastique, sont identifiables à 
partir de deux essais de traction uniaxiale à deux températures différentes. Un travail en cours a pour 
objectif de développer un algorithme d’identification inverse en vue de déterminer simultanément un 
grand nombre de paramètres à partir d’un nombre réduit d’essais.  
References  
[1] Merzouki T., Collard C., Bourgeois N., Ben Zineb T. et Meraghni F., Coupling between measured 
kinematic fields and multicrystal SMA finite element calculations, Mechanics of Materials, 42, 72-95, 
2010. 
[2] Patoor E. et Berveiller M., Les alliages à mémoire de forme. Hermès, 1990. 
[3] Patoor E. et Berveiller M., Technologie des alliages à mémoire de forme. Hermès, 1994. 
[4] Chemisky Y., Modélisation du comportement macroscopique des alliages à mémoire de forme - 
Application aux matériaux composites, Thèse de doctorat, Université Paul Verlaine de Metz, 2009. 
[5] Peultier, B., Alliages à mémoire de forme : modélisation et calcul de structures. Thèse de doctorat, 
Ecole Nationale Supérieure d’Arts et Métiers Centre de Metz, 2005. 
[6] Peultier, B., Ben  Zineb, T. et Patoor, E., Macroscopic constitutive law of shape memory alloy 
thermomechanical behaviour. Application to structure computation by FEM, Mechanics of Materials, 
38, 510–524, 2006. 
[7] Peultier, B., Ben Zineb, T. et Patoor, E., A simpliﬁed micromechanical constitutive law adapted to 
the design of shape memory applications by ﬁnite element methods, Mat. Science & Eng. A, 481-482, 
384–388, 2008. 
 


Identification de paramètres de comportement d'un alliage à mémoire de forme

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46845/1/cfm2011_1107.pdf

Identification de paramètres de comportement d'un alliage à mémoire de forme

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