L'utilisation de mesure de champs pour l'identification de paramètres matériaux est une voie prometteuse. En effet, la réalisation, certes délicate, de tests mécaniques dans des conditions non homogènes (i.e., où les contraintes, et/ou la température ne sont pas uniformes dans la ZOI) conjugués à l'utilisation de mesure de champs donne accès à une base de données souvent très riche. Cela est particulièrement le cas lorsque l'hétérogénéité est « bien maîtrisée ». On propose, ici, une stratégie d'identification de propriétés à la fatigue polycyclique à partir de mesure de champs de température

CALLOCH S.

DOUDARD, Cédric

MUNIER R.

WEBER B.

I-Revues

Apport des mesures de champs de tempe´rature pour
l’identification de proprie´te´s en fatigue polycyclique
C. Doudarda, R. Muniera,b, S. Callocha, B. Webera
a. Laboratoire Brestois de Me´canique et des Syste`mes (LBMS EA4325), ENSTA Bretagne / UBO /
ENIB, 2 rue Franc¸ois Verny, F-29806 Brest Cedex 9
b. ArcelorMittal Maizie`res Research & Development, BP 30320, F-57283 Maizie`res-les-Metz Cedex
Re´sume´ :
L’utilisation de mesure de champs pour l’identification de parame`tres mate´riaux est une voie pro-
metteuse. En effet, la re´alisation, certes de´licate, de tests me´caniques dans des conditions non ho-
moge`nes (i.e., ou` les contraintes, et/ou la tempe´rature ne sont pas uniformes dans la ZOI) conjugue´s
a` l’utilisation de mesure de champs donne acce`s a` une base de donne´es souvent tre`s riche. Cela
est particulie`rement le cas lorsque l’he´te´roge´ne´ite´ est ‘bien maˆıtrise´e’. On propose, ici, une strate´gie
d’identification de proprie´te´s a` la fatigue polycyclique a` partir de mesure de champs de tempe´rature.
Abstract :
Using kinematical and thermal full-field measurements for identification of mechanical parameters has
become a very promising area of experimental mechanics. It may provide very rich experimental data
when applied to tests conducted under non-homogeneous conditions (i.e., for which strain and stress
or temperature are not uniform in the zone of interest of the specimen). The purpose of this work is to
extend the use of non-conventional tests and full-field measurements to the identification of the fatigue
properties of a dual-phase steel.
Mots clefs : Essai d’auto-e´chauffement ; Mesure infrarouge ; Corre´lation d’image
1 Introduction
La mesure et l’analyse de champs cine´matiques et thermiques sont de plus en plus utilise´es en
me´canique des solides. Le but de ce travail est d’e´tendre l’utilisation de ces mesures a` l’identification
des proprie´te´s en fatigue d’un acier dual-phase. On s’inte´resserera plus spe´cialement, ici, a` l’influence
d’une pre´-de´formation plastique sur la limite d’endurance moyenne [1]. C’est particulie`rement impor-
tant dans le contexte de la fatigue de pie`ces obtenues par emboutissage. Durant cette ope´ration, la
toˆle est se´ve`rement de´forme´e ce qui induit des variations d’e´paisseur, mais aussi des e´volutions des
proprie´te´s me´caniques (e.g., limite d’e´lasticite´, limite de fatigue, ...). Afin d’illustrer ce dernier point,
les courbes de Wo¨hler d’un acier dual-phase dans deux e´tats diffe´rents (i.e., vierge et pre´-de´forme´ a`
20%) sont repre´sente´es sur la figure 1. La figure 2b montre la courbe de traction monotone de cet acier.
On observe une augmentation non ne´gligeable de la limite d’endurance, ce qui est rarement pris en
compte en bureau d’e´tudes, principalement a` cause du temps prohibitif ne´cessaire a` la caracte´risation
de cet effet par des me´thodes classiques.
Dans le but de re´duire le temps de caracte´risation des proprie´te´s en fatigue, plusieurs e´quipes ont pro-
pose´ des me´thodes d’estimation rapide de ces proprie´te´s, base´es sur des mesures d’auto-e´chauffement
sous chargements cylciques [1, 2, 3, 4]. L’approche sur e´prouvette conventionnelle (i.e., a` section
constante) consiste a` mesurer l’e´le´vation de la tempe´rature moyenne de l’e´prouvette θ˜ = T − T0 (ou`
T est la tempe´rature moyenne de l’e´prouvette et T0 la tempe´rature moyenne de l’environnement).
On observe ge´ne´ralement une stabilisation de cette e´le´vation au bout d’un certain nombre de cycle.
1
200
250
300
350
400
450
10
4
10
5
10
6
10
7
unbroken
material: dual-phase steel
Σ
m
= 0, ε
p
= 0%
S
tr
es
s 
A
m
p
li
tu
d
e,
 Σ
0
(M
P
a)
Number of cycles to failure, N
-a-            
200
250
300
350
400
450
10
4
10
5
10
6
10
7
unbroken
S
tr
es
s 
A
m
p
li
tu
d
e,
 Σ
0
(M
P
a)
material: dual-phase steel
Σ
m
= 0, ε
p
= 20%
Number of cycles to failure, N
-b-  
Figure 1 – Effet d’une pre´-de´formation plastique sur la courbe S-N d’un acier dual-phase : a) e´tat
vierge ; b) e´tat pre´-de´forme´ de 20%
L’e´volution de l’augmentation de la tempe´rature stabilise´e de l’e´prouvette en fonction de l’amplitude
des contraintes est repre´sente´e sur la figure 2a. Une augmentation significative de cette e´le´vation est
obtenue pour une amplitude des contraintes proche de la limite d’endurance. Re´cemment, un mode`le
[4] permettant de relier ces effets thermiques aux proprie´te´s a` la fatigue a e´te´ propose´.
Au cours de pre´ce´dents travaux [1], une courbe d’auto-e´chauffement par niveau de pre´-de´formation
a e´te´ de´termine´e (i.e., une e´prouvette par niveau). Ces re´sultats ont permis de quantifier l’influence
d’une pre´-de´formation plastique sur la limite d’endurance moyenne : une e´volution line´aire de pente
β a e´te´ obtenue pour une gamme comprise entre 10% et 20%. Ici, une me´thode alternative base´e sur
l’utilisation d’une e´prouvette non conventionnelle et d’une strate´gie nume´rique associe´e est propose´e
pour identifier cette influence. La de´marche conside´re´e pour de´finir la ge´ome´trie de l’e´prouvette est
tout d’abord pre´sente´e. Le but est d’obtenir un champ de pre´-de´formation he´te´roge`ne (ici, a` gradient
constant) a` l’issue d’un chargement monotone. Puis un essai d’auto-e´chauffement sous chargement
cyclique est re´alise´ sur l’e´prouvette non conventionnelle pre´-de´forme´e. Le champ thermique est mesure´
en utilisant une came´ra IR et est analyse´ en utilisant une strate´gie ade´quate afin d’identifier l’influence
d’une pre´-de´formation plastique sur les proprie´te´s a` la fatigue.
0
1
2
3
4
0 50 100 150 200 250 300 350
S
te
ad
y
 s
ta
te
 t
em
p
e
ra
tu
re
 e
le
v
at
io
n
, 
θ
 (
K
)
Stress amplitude, Σ
0
(MPa)
Σ  =250 MPa8
material: dual-phase steel DP600
Σ
m
= 0, f
r
 = 10Hz
∼
(a)
 
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 5 10 15 20 25 30
S
tr
es
s,
 σ
 (
M
P
a)
Logarithmic strain, ε (%)
material: dual phase steel DP600
(b)
Figure 2 – a) Identification empirique de la limite d’endurance moyenne a` partir de mesures d’auto-
e´chauffement [1] ; b) Courbe de traction monotone de l’acier e´tudie´
2
2 Pre´-de´formation pre´liminaire de l’e´prouvette non-conventionnelle
2.1 Design de l’e´prouvette non-conventionnelle
Une approche analytique est adopte´e pour de´finir le profil de l’e´prouvette non-conventionnelle conside´re´e.
Comme l’e´prouvette est pre´leve´e dans une toˆle d’e´paisseur constante, seule la largeur, 2b0, est un pa-
rame`tre libre (i.e., de´pendant de l’abscisse x1). L’hypothe`se de l’incompressibilite´ plastique de l’acier
durant la pre´-de´formation est conside´re´e, de sorte que le ratio entre la section initiale, S0(x1) =
2e0b0(x1), et la section pre´-de´forme´e, S(x1), est donne´ par
S0 (x1)
S (x1)
= 1 +
du
dx1
(x1) , (1)
ou` du
dx1
est le gradient du de´placement 1D, u(x1). La contrainte vraie, σ(x1), s’e´crit alors
σ (x1) =
F
S (x1)
=
F
2e0b0 (x1)
(
1 +
du
dx1
(x1)
)
, (2)
ou` F est le chargement maximum atteint au cours de la pre´-charge. Comme σ(x1) de´pend du niveau
de de´formation plastique, εp(x1), atteint pour l’abscisse x1, la demi-largeur est donne´e par
b0 (x1) =
F
2e0σ (εp (x1))
exp (εp (x1)) , (3)
ou` εp(x1) la de´formation plastique logarithmique. Afin d’obtenir un gradient constant,K, la de´formation
plastique est relie´e au de´placement, u(x1), par
εp (x1) = ln
(
1 +
du
dx1
(x1)
)
:= K (x1 + u (x1)) . (4)
En conside´rant la condition aux limites suivante u(x1 = 0) = 0, on obtient
u (x1) = −x1 −
1
K
ln (1−Kx1) , et εp (x1) = ln
(
1
1−Kx1
)
. (5)
La valeur de K est choisie afin d’atteindre une de´formation plastique maximale de 17% au centre
de l’e´prouvette. Sur la Figure 3, la ge´ome´trie de l’e´prouvette est repre´sente´e. On notera que le plan
(x1 = 30mm) est un plan de syme´trie.
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 10 20 30 40 50 60
W
id
th
 o
f 
th
e 
"s
p
e
ci
m
e
n
",
 2
b
 (
m
m
)
Abscissa, x
1
 (mm)
4.8
4.9
5
5.1
5.2
20 25 30 35 40
Figure 3 – Ge´ome´trie de la zone d’e´tude de l’e´prouvette non-conventionnelle propose´e
3
2.2 Identification du gradient de de´formation plastique, Kid
La pre´-de´formation plastique est re´alise´e sur une machine d’essai servo-hydraulique. Durant cet essai,
des images successives de l’e´prouvette pre´alablement recouverte d’un mouchetis sont prises. Ainsi,
le champ de de´placement est de´termine´ par une technique de corre´lation d’images [5]. La Figure 4a
montre le champ de de´placement expe´rimental, uexp(x1, y), de la zone d’e´tude de l’e´prouvette a` la fin
de la pre´-de´formation et apre`s retour a` chargement nul. On observe que ce champ est constant par
bande. La valeur de Kid (i.e., le gradient du champ de pre´-de´formation plastique 1D) est obtenue par
minimisation de l’e´cart quadratique entre le champ identifie´ et son expression the´orique donne´e par
l’e´quation 5. Les Figures 4b-d montrent diffe´rents champs a` la fin du test. La Figure 4b montre le
champ de de´placement identifie´, uid(x1). Une carte repre´sentant l’erreur, Erroru, de´finie par
ErrorU =
uexp(x1, y)− uid(x1)
uexp(x1, y)
, (6)
est repre´sente´e sur la Figure 4c. L’erreur maximale est infe´rieure a` 3.5%. Finalement le champ de
pre´-de´formation plastique obtenu est montre´ sur la Figure 4d.
Displacement, u
  exp
 (mm) Displacement, u
   id
   (mm) Plastic pre-strain,  ε
   p
  (%)
a b c d
Error, Error 
           u
    (%)
Figure 4 – Champs cine´matiques : a) champ de´placement obtenu avec DIC ; b) champ de de´placement
identifie´ ; c) carte d’erreur du champ de de´placement ; d) champ de pre´-de´formation plastique calcule´
3 Essai d’auto-e´chauffement sur l’e´prouvette pre´lablement pre´-de´forme´e
3.1 Re´sultat experimental
L’essai d’auto-e´chauffement consiste a` appliquer un chargement cyclique a` amplitude constante durant
6000 cycles (i.e., le temps ne´cessaire pour atteindre un e´quilibre thermique). La fre´quence de sollicita-
tion, fr, vaut 30Hz. Au cours de cet essai, le champ de tempe´rature est mesure´ a` l’aide d’une came´ra
infrarouge. Afin de ne conside´rer que l’e´le´vation de tempe´rature, θ(M), on conside´re la diffe´rence entre
la tempe´rature T (M) et sa mesure intiale au meˆme point M, Tt=0(M). La Figure 5a montre le champ
d’e´le´vation de tempe´rature stabilise´, θexp(x1, y). On observe que le champ de tempe´rature est constant
par bande de sorte que l’e´quation de conduction de chaleur 1D est conside´re´e dans la suite de ce
papier.
3.2 Principe de rs´olution de l’e´quation de la chaleur 1D
L’e´quation de la chaleur 1D peut s’e´crire sous la forme suivante, en conside´rant la loi de Fourier comme
loi de diffusion de la chaleur [6] et en ne´gligeant les pertes par e´changes avec l’air,
ρc
∂θ
∂t
(x1, t)− λ
′
∂2θ (x1, t)
∂x2
1
− λ′
∂θ (x1, t)
∂x1
∂S(x1)
∂x1
1
S(x1)
= St (x1, t) (7)
4
avec λ′ le ccoefficient de conductivite´ thermique du milieu (suppose´e isotrope), S(x1) la section
de l’e´prouvette non conventionnelle pre´alablement pre´-de´forme´e, ρ la masse volumique, c la cha-
leur spe´cifique, St(x1, t) le champ de terme source 1D et θ(x1) le champ de tempe´rature 1D. La
de´termination d’un champ de source thermique a` partir d’un champ de tempe´rature mesure´ reste
un proble`me difficile, notamment a` cause du ratio entre le bruit de mesure et le signal, et les effets
re´gularisant de la diffusion de la chaleur. Ainsi des me´thodes de re´gularisation sont souvent requises
pour traiter ce proble`me [8, 7]. Ici, une autre approche est propose´e. Elle est base´e sur la de´termination
d’un champ de tempe´rature the´orique obtenu a` partir d’un champ de source a` priori connu qui est
donne´ par
St(x1) = δfr
(Σ0(x1))
m+2
(1 + βεp(x1))
m , (8)
ou` δ est un parame´tre mate´riau, fr est la fre´quence du chargement, Σ0(x1) et εp(x1) sont l’amplitude
des contraintes et les de´formations plastiques, respectivement, m est un parame´tre mate´riau (pour cet
acier, m = 12.5 est identifie´ a` partir d’un essai classique d’auto-e´chauffement [1]) et β est le parame´tre
mate´riau qui caracte´rise l’influence d’une pre´-de´formation plastique conside´re´e comme e´tant line´aire.
Le principal but de l’e´tude est donc d’identifier ce dernier parame`tre a` partir de la mesure d’auto-
e´chauffement sur l’e´prouvette non conventionnelle pre´-de´forme´e. A` partir de l’expression analytique du
terme source, une expression analytique du champ de tempe´rature est obtenue en re´solvant l’e´quation
de la chaleur sur une base particulie`re [6], a` savoir, la base propre inde´pendamment des conditions
aux limites, comple´te´e avec un polynoˆme du second ordre. La premie`re partie de la base sert a` de´crire
les fluctuations locales, alors que la seconde de´crit les fluctuations de fac¸on globale. On conside`re donc
l’e´volution de la tempe´rature stabilie´e suivante
θ(x1) = ax
2
1 + bx1 + c+
∑
k>0
θ′akcos (ωkx1) + θ
′
bksin (ωkx1) , (9)
ou` a, b, c sont trois parame´tres, k est le nombre de composantes de la base propre, θ′ak et θ
′
bk sont les
harmoniques du champ de tempe´rature avec ωk =
2kpi
L
, L repre´sentant la longueur de la zone d’e´tude
de l’e´prouvette. L’e´quation de la chaleur 1D projette´e sur cette base s’e´crit alors

 St0Stak
Stbk

 = λ′

 −2(1 + g0) ωk
hbk
2L
−ωk
hak
2L
−2gak Ak Bk
−2gbk Ck Dk



 aθ′ak
θ′bk

 , (10)
avec St0 la valeur moyenne du terme source, Stak et Stbk ses harmoniques successifs. Les termes Ak,
Bk, Ck et Dk de l’e´quation pre´ce´dente sont de´finis par
Ak = ω
2
k +
∑
j>0
ωj
2L
(hbj−k + hbj+k − hbk−j), Bk = −
∑
j>0
ωj
2L
(haj−k + haj+k − hak−j),
Ck =
∑
j>0
ωj
2L
(haj−k − haj+k + hak−j) et Dk = ω
2
k −
∑
j>0
ωj
2L
(−hbj−k + hbj+k − hbk−j)
(11)
avec gk et hk les harmoniques successifs des fonctions de´finies par
h(x1) =
∂S(x1)
∂x1
L
S(x1)
et g(x1) =
∂S(x1)
∂x1
x1
S(x1)
. (12)
3.3 Identification du parame`tre β
La valeur de β, qui caracte´rise l’influence d’une pre´-de´formation plastique sur la limite de fatigue
moyenne, est obtenue par minimisation de l’e´cart quadratique entre le champ de tempe´rature expe´rimen-
tal et celui calcule´ en re´solvant le syste`me line´aire pre´ce´dent (i.e., β = 1.32). Il est important de noter
que la valeur ainsi obtenue est tre`s proche de celle identifie´e a` partir d’essais classiques sur e´prouvette
5
a` section droite (i.e., β = 1.33). Le champ de tempe´rature identifie´ θid(x1) est repre´sente´ sur la Figure
5b. Une carte d’erreur, Errorθ, de´finie par
Errorθ =
θexp(x1, y)− θcal(x1)
θexp(x1, y)
, (13)
est montre´e sur la Figure 5c. L’erreur maximale est infe´rieure a` 3%. Finalement, La Figure 5d montre
le champ de source obtenu.
Experimental temperature, θ  (K) Calculated temperature, θ  (K) Temperature error, Εrror
       θ
    (%) Thermal sources, S  (.10
6
 W.m
-3
)
a c
Figure 5 – Champs thermiques : a) champ de tempe´rature obtenu par came´ra IR ; b) champ de
tempe´rature identifie´ ; c) carte d’erreur du champ thermique ; d) champ de source thermique identifie´
4 Conclusions
Dans ce papier, une nouvelle me´thodologie, combinant l’utilisation de mesure de champ thermique
et cine´matique, a e´te´ propose´e pour identifier l’influence d’une large gamme de pre´-de´formation sur
les proprie´te´s en fatigue d’un acier dual-phase. Ainsi on peut extraire, a` partir d’un nombre re´duit
d’essais sous conditions he´te´roge`nes associe´s a` des moyens de mesure de champs, des informations
riches permettant d’aider a` la mode´lisation.
Re´fe´rences
[1] Munier, R., Doudard, C., Calloch, S., Weber, B. 2010 Towards a faster determination of high
cycle fatigue properties taking into account the influence of a plastic pre-strain from self-heating
measurements. Procedia Eng. 2 [1] 1741-1750
[2] Luong, M.P. 1998 Fatigue limit evaluation of metals using an infrared thermographic technique.
Mech. Mater. 28 155-163
[3] La Rosa, G., Risitano, A. 2000 Thermographic Methodology for Rapid Determination of the Fa-
tigue Limit of Materials and Mechanical Components. Int. J. Fat. 22 [1] 65-73
[4] Doudard, C., Calloch, S., Cugy, P., Galtier, A., Hild, F. 2005 A probabilistic two-scale model for
high-cycle fatigue life predictions. Fat. Fract. Eng. Mat. Struct. 28 279-288.
[5] Chevalier L., Calloch S., Hild F., Marco Y. 2001 Digital image correlation used to analyse the
multiaxial behavior of rubberlike materials. Eur. J. Mech. A Solid 20 [2] 168-187
[6] Doudard, C., Calloch, S., Hild, F., Roux, S. 2010 Identification of heat source fields from infra-red
thermography : Determination of ’self-heating’ in a dual-phase steel by using a dog bone sample.
Mech. Mat. 42 [1] 55-62
[7] Connesson, N., Maquin, F., Pierron, F. 2010 Experimental energy balance during the first cycles
of cyclically loaded specimens under the conventional yield stress. Exp. Mech. online first
[8] Chrysochoos, A., Louche, H. 2000 An infrared image processing to analyse the calorific effects
accompanying strain localisation. Int. J. Eng. Sc. 38 1759-1788
6


Apport des mesures de champs de température pour l'identification de propriétés en fatigue polycyclique

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46485/1/cfm2011_977.pdf

Apport des mesures de champs de température pour l'identification de propriétés en fatigue polycyclique

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