Dans le contexte des structures déployables de type mètre ruban, un modèle de poutre à section fortement déformable est développé. Dérivé d'un modèle de coque, il utilise une cinématique originale pour décrire avec peu de paramètres les changements de forme de la section. Le modèle permet de simuler   en grands déplacements et en dynamique   l'apparition de pliages localisés dus à un aplatissement de la section ainsi que des scénarios complexes de pliage et de déploiement. Une comparaison avec un modèle coque Abaqus est réalisée afin de valider le modèle

BOURGEOIS, Stéphane

COCHELIN, Bruno

GUINOT, François

HOCHARD, Christian

PICAULT, Elia

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.National audienceOn s'intéresse à la modélisation de mètres rubans, qui ont la particularité de développer des pliages localisés dus à un aplatissement par flambage de la section. Suivant les scénarios de chargement, les zones de pliages peuvent se déplacer le long du ruban, se dupliquer ou disparaître. S'appuyant sur un modèle original de poutre à section fortement déformable à quatre paramètres cinématiques, on étudie les différents modes d'instabilités (nombre et localisation des pliages) de ces structures soumises à des sollicitations de compression et de flexion dans le plan

Guinot, François

Bourgeois, Stéphane

Cochelin, Bruno

Hochard, Christian

Picault, Elia

HAL AMU

Un modèle de poutre à section fortement déformable pour l'étude du déploiement de mètres rubans

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
Un modèle de poutre à section fortement déformable
pour l’étude du déploiement de mètres rubans.
F. Guinotd, S. Bourgeoisa,b, B. Cochelina,b,
C. Hocharda,c, E. Picaulta
a. LMA, Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique, UPR CNRS 7051, Marseille, France.
b. Ecole Centrale Marseille, France.
c. Université de Provence, Marseille, France.
d. Thales Alenia Space, Cannes La Bocca, France.
Résumé :
Dans le contexte des structures déployables, on s’intéresse à la modélisation de poutres élastiques à
parois minces type mètres rubans. Dérivé d’un modèle de coque, un modèle de poutre à section mince
fortement déformable est développé. Ce modèle utilise une cinématique originale pour décrire avec peu
de paramètres les changements de forme de la section. Il permet de simuler, en grands déplacements
et en dynamique, l’apparition de pliages localisés ainsi que des scénarios complexes de pliage et de
déploiement.
Abstract :
In the framework of deployable structures, we are interested in the modeling of thin-walled elastic beams
like tape-springs. Derived from a shell model, a rod model with highly deformable thin-walled cross-section
is developed. This model uses an original kinematics to describe with few parameters the cross-section
changes. It permits to simulate, in the framework of large displacements and dynamics, the formation
of localized folds as well as complex scenarios of folding and deployment.
Mots clefs : poutre ; mètres rubans ; dynamique.
1 Introduction
Un défi majeur des concepteurs de satellites est de réaliser des systèmes aussi compacts que possible
pour optimiser le volume occupé lors du stockage et du lancement. Les systèmes déployables sont une
des possibilités envisagées pour répondre à cette problématique, et en particulier les structures souples
qui sont une alternative intéressante aux structures rigides articulées. En effet, elles offrent une meilleure
compacité (pliage, enroulement...) et sont capables de se déployer de façon autonome.
Dans ce contexte, Thales Alenia Space réfléchit à de nouveaux concepts à base de mètres rubans. Un
mètre ruban déployé est assimilable à une poutre droite à paroi mince de section ouverte circulaire. Si
on sollicite cette structure en flexion ou compression, son comportement est d’abord analogue à celui
d’une poutre avant l’apparition de pliages localisés ([7]) due à un aplatissement de la section engendrant
une forte diminution du moment d’inertie et une concentration de la déformation de flexion.
Il y a deux approches principales pour modéliser le comportement dynamique des mètres rubans. La
première ne tient pas compte des spécificités géométriques du ruban, qui est modélisé par une coque
en éléments finis ([8], [10], [5]). Les résultats obtenus sont précis mais les modèles lourds et les calculs
souvent difficiles à piloter. La deuxième consiste à modéliser le ruban par un système de barres de
longueur variable reliées par des ressorts spiraux de raideur non-linéaire qui modélisent les zones de
pliage ([7]). Ce modèle simplifié permet de simuler des scénarios complexes avec très peu de degrés de
libertés mais requiert l’introduction ab initio des zones de pliage.
1
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
Une approche intermédiaire consiste à modéliser le mètre ruban par une poutre à section fortement
déformable. Plusieurs méthodes permettent d’introduire la déformation de la section dans les modèles
de poutre classiques : introduction de degrés de libertés supplémentaires ([9], [2], [6]) ou introduction
d’une discrétisation par éléments finis dans la section ([11]).
Le modèle proposé, développé dans le cadre de la thèse de F. Guinot ([4]), s’inscrit dans cette logique. Le
modèle de poutre est établi à partir d’un modèle de coque en grands déplacements, grandes rotations et
en dynamique, grâce à l’introduction d’hypothèses cinématiques et sthéniques sur le comportement dans
la section. Outre les hypothèses classiques de poutres, l’originalité du modèle repose sur l’introduction
d’une cinématique de type Elastica pour décrire la section fortement déformée avec peu de paramètres.
On introduit ces hypothèses dans la formulation des énergies du modèle de coque, puis on intègre dans
la section pour obtenir le modèle de poutre. Le modèle est implémenté dans COMSOL sous forme
variationnelle à l’aide du principe d’Hamilton. Quelques exemples de résultats sont présentés.
2 Description cinématique et hypothèses
On considère un mètre ruban décrit par une poutre dont la ligne centrale (ou ligne moyenne) est
initialement droite et la section de courbure circulaire (Figure 1). Le repère fixe (O, e1, e2, e3) est défini
tel que l’axe (O, e1) contienne la ligne moyenne et que le plan (O, e1, e3) soit le plan de symétrie.
Figure 1 – Description du mètre ruban.
On introduit le système de coordonnées curvilignes (s1, s2) ∈ [0, L] × [−a/2, a/2] pour décrire la
géométrie du mètre ruban, où L est la longueur initiale du ruban et a la longueur de la "courbe section".
Dans la configuration déformée, la position du point matériel est : OM = OG+GM.
On se restreint à l’étude des mouvements plans : la ligne moyenne se déforme dans le plan (0, e1, e3)
et la section reste symétrique par rapport à ce plan. Ainsi, la position de la section est donnée par :
OG = (s1 + u1 (s1, t)) e1 + u3 (s1, t) e3 où u1 (s1, t) et u3 (s1, t) sont les translations de la section.
La cinématique repose sur les hypothèses suivantes :
(i) la section est contenue dans un plan après déformation,
(ii) la section reste orthogonale au vecteur tangent à la déformée de la ligne moyenne,
(iii) la "courbe section" est considérée inextensible.
Les deux premières hypothèses sont classiques et correspondent à une cinématique d’Euler-Bernoulli.
L’hypothèse (i) permet d’introduire un repère (G, er1, e
r
2, e
r
3) tournant d’un angle θ (s1, t) autour de e2,
où er1 est un vecteur unitaire orthogonal au plan de la section dans la configuration déformée, e
r
2 = e2
et er3 = e
r
1 × e
r
2. L’hypothèse (ii) implique que le vecteur e
r
1 soit colinéaire au vecteur naturel tangent
à la ligne moyenne a1.
Dans le repère local (G, er2, e
r
3), les coordonnées du point M sont notées y (s1, s2, t) et z (s1, s2, t), et
l’hypothèse (iii) conduit à la relation suivante (X,i désigne la dérivée partielle de X par rapport à si) :
(GM),2 · (GM),2 − (G0M0),2 · (G0M0),2 = (y,2)
2 + (z,2)
2
− 1 = 0 (1)
En introduisant l’angle β (s1, s2, t) entre la tangente à la courbe section et le vecteur er2 (voir Figure 1), on
obtient y,2 = cos (β) et z,2 = sin (β). Concernant l’hypothèse (iii), on suppose que le phénomène majeur
à prendre en compte dans la mécanique du ruban est la variation de l’inertie en flexion de la section
2
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
(l’aplatissement de la section concentre la déformation de flexion et permet de créer un pliage localisé).
On admet alors que les déformations transversales sont négligeables et que l’hypothèse d’inextensibilité
est suffisante pour décrire l’allure générale de la courbe section. On peut donc s’inspirer du modèle
Elastica ([1],[3]) et utiliser le seul paramètre cinématique β (s1, s2, t) pour décrire le comportement de
la "courbe section", inextensible, en grands déplacements et grandes rotations. De plus, on suppose
que les sections restent circulaires avec un rayon dépendant de s1 et de t, et on introduit βe (s1, t) =
β
(
s1, s2 = a2 , t
)
. On a alors :
β (s1, s2, t) = 2
s2
a
βe (s1, t) . (2)
Les expressions de y,2 et z,2 permettent ensuite de remonter aux coordonnées locales y et z :
y (s1, s2, t) =
∫ s2
0
cosβ (s1, ξ, t) dξ =
a
2 βe
sin
(
2 βe
s2
a
)
,
z (s1, s2, t) =
∫ s2
0
sin β (s1, ξ, t) dξ =
a
2 βe
(
1− cos
(
2 βe
s2
a
))
.
(3)
Finalement, la cinématique est entièrement décrite par quatre paramètres cinématiques attachés à la
ligne moyenne (dépendant uniquement de l’abscisse s1 et du temps t) : les deux translations u1 et u3,
l’angle de rotation de la section θ et l’angle d’ouverture de la section βe. La démarche, ici présentée pour
une forme de section et une cinématique de déformation simples, est généralisable à des formes et/ou
cinématiques plus complexes en adoptant une discrétisation adaptée (Ritz, éléments finis) de l’angle
β (s1, s2, t) dans le sens de la coordonnée transversale s2.
3 Mesure des déformations et énergie de déformation
Le ruban étant au départ assimilé à une coque mince, l’énergie de déformation est calculée à partir
des déformations de membrane et de flexion exprimées à l’aide du tenseur de Green-Lagrange et des
paramètres cinématique u1, u3, θ et β. En hypothèse de déformations de membranes faibles, on obtient :
e11 = er + z kr + es,
k11 = −kr cosβ + ks11,
k22 = ks22,
k12 = ks12.
où
{
er = u1,1 + 12
(
u1,1
2 + u3,12
)
,
kr = θ,1,
et


es = 1
2
(
y,1)2 + z,12
)
,
ks
11
= z,11 cosβ − y,11 sin β,
ks
22
= β,2 − β0,2,
ks12 = β,1.
(4)
L’expression 4 fait apparaître des déformations (exposant r) induites par la cinématique globale de poutre
(déformations classiques de tension er et de flexion kr en grands déplacements et grandes rotations) et
des déformations (exposant s) induites par l’évolution de la section, es et ksαβ, qui ne dépendent que de
l’angle β, et constituent l’originalité du modèle.
L’énergie de déformation élastique d’une coque est classiquement donnée par :
Ue (u1, u3, θ, β) =
∫ L
0
∫ a/2
−a/2
1
2
(eαβ Nαβ + kαβ Mαβ) ds2 ds1. (5)
où Nαβ et Mαβ sont respectivement les contraintes de membrane et les moments de flexion. Comme la
largeur a de la section est petite devant la longueur L du ruban, on utilise les hypothèses classiques de
la théorie des poutres supposant que N22 = N12 = 0. La coque est supposée élastique orthotrope sans
couplage membrane-flexion. Ainsi, la loi de comportement peut s’écrire de la manière suivante :
N11 = Ae11, M11 = D1 k11 +D3 k22, M22 = D3 k11 +D2 k22, M12 = D4 (2 k12) , (6)
où A, D1, D2, D3 et D4 sont les constantes d’élasticité.
3
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
Finalement, l’énergie de déformation peut être décomposée en Ue = U re + U
s
e + U
rs
e , avec :

U re =
∫ L
0
1
2
(
Aa er
2
+
(
A z2 +D1 cos2 (β)
)
kr
2
+ 2A z er kr
)
ds1
U se =
∫ L
0
1
2
(
A e¯s2 +D1 ks
2
11
+D2 ks
2
22
+ 2D3 ks11 k
s
22
+ 4D4 ks
2
12
)
ds1
U rse =
∫ L
0
(
Aer es + Akr z es − kr
(
D1 cos (β) ks11 +D3 cos (β) k
s
22
))
ds1
(7)
où la notation X introduit des quantités intégrées suivant s2 : X (s1, t) =
∫ a/2
−a/2
X (s1, s2, t) ds2.
Dans le cas traité ici, toutes ces intégrales peuvent être calculées analytiquement. On obtient ainsi une
expression explicite de la densité d’énergie de déformation en fonction des paramètres cinématiques
et des caractéristiques géométriques. Le terme U re correspond à l’énergie de déformation classique de
poutre avec un couplage tension-flexion, la ligne moyenne ne passant pas par le barycentre de la section.
Le terme U se ne dépend que de la variable β et représente l’énergie de déformation induite uniquement
par le changement de forme de la section. Le terme U rse est lié au couplage entre la déformation globale
de poutre et le changement de forme de la section.
4 Énergie cinétique
Partant de l’énergie cinétique du modèle de coque dans laquelle on néglige la contribution de l’inertie
de rotation, en introduisant la cinématique choisie, on obtient par la même démarche :
T (u1, u3, θ, β) = T r + T s + T rs avec


T r =
∫ L
0
1
2
(
ρs a
(
u˙21 + u˙
2
3
)
+ ρs z2 θ˙2
)
ds1
T s =
∫ L
0
1
2
ρs
(
y˙2 + z˙2
)
ds1
T rs =
∫ L
0
ρs
(
−u˙1
˙̂
(z sin (θ)) + u˙3
˙̂
(z cos (θ))
)
ds1
(8)
où la notation X˙ désigne la dérivée temporelle de la grandeur X.
5 Implémentation numérique
On utilise le logiciel de calcul par éléments finis COMSOL pour résoudre le modèle linéique à quatre
degrés de libertés (u1, u3, θ, βe). Ce logiciel permet d’utiliser directement les expressions des énergies
potentielle et cinétique sur la base de l’équivalence du principe d’Hamilton avec la formulation faible
du problème d’élastodynamique. Un multiplicateur de Lagrange (cinquième degré de liberté) impose
sous forme faible la relation entre les composantes de translation u1 et u3 et la rotation θ. Seul un petit
travail préalable est nécessaire sur l’énergie cinétique (intégration par partie en temps) pour introduire
la forme faible, le logiciel effectuant lui-même la différentiation analytique des énergies. L’utilisation du
modèle nécessite ensuite la discrétisation par éléments finis de la ligne moyenne.
6 Applications numériques
Les caractéristiques géométriques et matérielles du ruban étudié sont présentées dans la Table 1.
Longueur Largeur Épaisseur Angle Module de Coefficient Masse
L a h initial βe
0
Young E de Poisson ν volumique ρ
1170 mm 60 mm 0.15 mm 0.6 rad 210 000 MPa 0.3 7800 kg.m−3
Table 1 – Caractéristiques du mètre ruban
Dans les figures qui suivent, les déformées tridimensionnelles sont reconstruites à partir de la solution
du modèle unidimensionnel de poutre et de la cinématique retenue (§3). Les essais présentés sont des
4
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
essais dynamiques mettant en jeu des phénomènes très rapides (phénomènes oscillatoires, déploiement,
déroulement, effets d’inertie...). D’autres exemples sont disponibles dans la thèse de F. Guinot ([4]).
6.1 Affaissement sous gravité
0 50 100 150 200 250 300 350 400
t (s)
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
(m
m
)
1
2
3
4
(a)
0
50
100
150
200
250
300
(b)
0 50 100 150 200 250 300 350 400
t (s)
U
e
(m
J
)
2
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
0 50 100 150 200 250 300 350 400
t (s)
T
(m
J
)
t (s)
0 10 20 30 40 50
0
2
1
T
(m
J
)
0
200
400
U
e
(m
J
)
(c) (d)
2
1
1
2
3
4
Figure 2 – Essai dynamique d’aplatissement sous gravité. Évolution de la flèche (a), de l’énergie de
déformation et de l’énergie cinétique (b) à (d) au cours du temps.
Ce premier exemple (voir Figure 2) illustre la capacité du modèle à rendre compte de l’affaissement du
ruban sous son propre poids. Le ruban est soumis à la gravité (application d’un chargement uniformé-
ment réparti de direction appropriée) et est encastré à une extrémité. L’extrémité encastrée est alors
aplatie par un pilotage de l’angle d’ouverture de la section βe. Au début de l’essai le ruban se redresse
légèrement et l’énergie de déformation atteint un maximum local en 1 , avant de diminuer lorsque le
ruban commence à chuter. La chute du ruban se poursuit jusqu’à la position 2 où la zone de pliage est
maximale et la vitesse nulle (de même que l’énergie cinétique). Puis le ruban finit par osciller autour de
sa position d’équilibre ( 3 et 4 ) qui correspond à la déflexion observée lors d’un essai statique.
6.2 Déploiement d’un ruban plié
Figure 3 – Déploiement d’un ruban partiellement plié.
Ce second essai met en évidence l’influence des effets d’inertie sur le déploiement. Le ruban, soumis
à la gravité, est encastré à une extrémité tandis que l’autre est repliée sur une petite longueur (voir
Figure 3). L’extrémité pliée est relâché instantanément sans vitesse initiale. Durant la première phase
de déploiement, le pli descend le long du ruban tandis que l’extrémité libre se redresse progressivement.
Lorsque le ruban est complétement déployé, les effets d’inertie provoquent la formation d’un nouveau
pli de courbure inverse au niveau de la zone de pliage avant qu’elle ait totalement disparu. Ce nouveau
pli va aussi se déplacer le long du ruban avant qu’il retrouve sa position non-déformée. On observe
également la présence d’efforts de compression dans les deux bras du ruban au cours du déploiement.
5
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
6.3 Déploiement d’un ruban enroulé
3
1
2
4
5
Figure 4 – Déploiement d’un ruban partiellement enroulé.
Ce dernier essai illustre un des modes de déroulement d’un mètre ruban. Dans le cas présenté (voir
Figure 4), le ruban est partiellement enroulé avec un rayon d’enroulement égal au rayon de courbure
de la section. Lorsque le bras libre est relaché, la portion enroulée conserve un rayon constant durant
toute la phase de déploiement (voir [7]) ce qui n’est pas le cas pour un rayon d’enroulement différent.
7 Conclusion
Nous avons proposé un modèle de poutre à section fortement déformable pour le comportement statique
et dynamique des mètres rubans. Ce modèle permet de simuler des scénarios complexes de pliage et
de déploiement avec quatre paramètres cinématiques. Partant d’un modèle de coque, une cinématique
originale basée sur une hypothèse d’inextensibilité de la courbe section est introduite. Après intégration,
on obtient les énergies potentielle et cinétique associées au modèle de poutre. La résolution numérique
est mise en œuvre dans le logiciel COMSOL en utilisant la différentiation automatique de la fonctionnelle
de Hamilton. Sa généralisation au cas hors plan devrait permettre de traiter le déploiement et la stabilité
de structures plus complexes, composées d’un assemblage de mètres rubans.
Références
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walled beam formulation including cross-section deformation Comput. Meths. Appl. Mech. Engrg.
199 1627-1643
[3] V.G.A. Goss 2009 The History of the Planar Elastica : Insights into Mechanics and Scientific Method
Science & Education 18 1057-1082
[4] F. Guinot 2011 Déploiement régulé de structures spatiales : vers un modèle unidimensionnel de
mètre ruban composite Thèse de doctorat Université de Provence, Marseille.
[5] S. Hoffait, O. Bruls, D. Granville, F. Cugnon, G. Kerschen 2009 Dynamic analysis of the self-locking
phenomenon in tape-spring hinges Acta Astronautica 66 1125-1132
[6] P.M. Pimenta, E.M.B. Campello 2003 A fully nonlinear multi-parameter rod model incorporating
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and Structures 1 119-140
[7] K. Seffen, S. Pellegrino 1999 Deployment dynamics of tape springs Proceedings of the Royal Society
A 455 1003-1048
[8] K. Seffen, Z. You,S. Pellegrino 2000 Folding and deployment of curved tape springs International
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[9] B.Z. Vlassov 1962 Pièces longues en voiles minces Eyrolles, Paris.
[10] S.J.I. Walker, G.S. Aglietti 2007 A study of tape spring fold curvature for space deployable struc-
tures Proc. of the Institution of Mech. Engrs., Part G (J. of Aerospace Engrg.), G3 221 313-325
[11] M. Zivkovic, M. Kojic, R. Slavkovic, N. Grujovic 2001 A general beam finite element with
deformable cross-section Comput. Meths. Appl. Mech. Engrg. 190 2651-2680
6


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