La dimension de la dynamique effective d'un écoulement impactant peut-être considérablement réduite par les conditions aux limites et les oscillations auto induites qu'elles engendrent, la signature spectrale étant associée à des structures spatiales remarquables. Une méthode de décomposition (DMD) utilisant l'opérateur de Koopman, permet d'extraire directement les propriétés de la dynamique de l'écoulement non-linéairement saturée. Nous appliquons la DMD pour mettre en évidence la contribution spectrale des structures longitudinales et transversales de l'écoulement de cavité

DOUAY, Christelle

FAURE, Thierry

GUENIAT, Florimond

LUSSEYRAN, François

PASTUR, Luc

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
Signature fréquentielle des structures cohérentes -
Décomposition en Modes Dynamiques
Application à un écoulement en cavité ouverte
F. Gueniata,b, Ch. Douaya,c, F. Lusseyrana, L. Pastura,b, Th. Faurea,c
a. LIMSI-CNRS BP 133, F-91403 Orsay Cedex
b. Université Paris-Sud 11, F-91405 Orsay Cedex
c. Université Pierre & Marie Curie, 4 place Jussieu, F-75005 Paris
Résumé :
La dimension eﬀective de la dynamique d’un écoulement impactant peut-être considérablement
réduite par les conditions aux limites et les oscillations auto induites qu’elles engendrent. Dans
ce cas la signature spectrale de ces oscillations est associée à des structures spatiales remar-
quables que l’on souhaite identiﬁer. La méthode de décomposition en modes dynamique[2, 3]
(DMD) utilisant l’opérateur de Koopman[1], permet justement d’extraire directement les ca-
ractéristiques des modes de Fourier d’un écoulement qui est établi et donc non-linéairement
saturé. Nous appliquons la DMD pour mettre en évidence la contribution spectrale des struc-
tures longitudinales et transversales de l’écoulement en cavité ouverte.
Abstract :
The actual number of freedom degrees of an impinging ﬂow can be strongly reduced by the boun-
dary conditions and the self sustained oscillations they induce. In that case, power spectrum
properties are related with remarkable spatial coherent structures, that one wishes to identify.
The Dynamic mode decomposition[2, 3] (DMD) based on the Koopman operator[1], indeed di-
rectly gets the properties of Fourier modes from an established ﬂow, ﬂow therefore nonlinearly
saturated. We apply DMD to reveal the spectral signature of the longitudinal and spanwise
spatial structures in an open cavity ﬂow.
Mots clefs : Écoulement en cavité ouverte, modes dynamiques, modes de Fou-
rier
1 Introduction
Lorsqu’on cherche à comprendre les mécanismes responsables des oscillations spontanées pre-
nant naissance dans les écoulements impactant, il est utile d’identiﬁer la relation entre la
signature temps-fréquence de ces oscillations et les structures spatialement cohérentes qui les
engendrent. La recherche des champs solutions des équations de Navier-Stokes linéarisées au-
tour d’un état de base stationnaire (modes globaux) permet bien d’établir une relation entre
un mode spatial et une fréquence. Mais cette démarche nécessite de connaître l’opérateur
d’évolution et ne concerne donc que les approches numériques calculées pour un état pas trop
loin du seuil d’instabilité. Pourtant un écoulement du type de celui engendré par une cavité
1
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ouverte en souﬄerie est généralement établi autour de grandes ﬂuctuations, car les transitoires
sont rapidement oubliés et les modes nonlinéaires développés jusqu’à la saturation. Récem-
ment, Schmid [2, 3] et Rowley [4] ont proposé d’appliquer une méthode de décomposition,
basée sur l’hypothèse de l’existence d’un opérateur d’évolution [1], permettant en pratique
d’extraire directement les informations de la dynamique (non-linéaire) de l’écoulement en ré-
gime permanent instationnaire.
Nous appliquons la DMD pour mettre en évidence la contribution spectrale des structures
longitudinales et transversales de l’écoulement de cavité.
2 Décomposition en modes dynamiques
On considère l’ensemble des données, V N−10 , constitué des N premières réalisations du champ
de vitesse ﬂuctuant, et l’on suppose l’existence d’un opérateur d’évolution, A, tel que :
V N−10 = {u0,u1, . . . ,uN−1} = {u0, Au0, . . . , AuN−2} , (1)
les indices correspondants aux diﬀérents temps t0, t1, . . . , tN−1 de la mesure. L’opérateur A
décrit ainsi l’évolution temporelle de l’observable u, qui résulte d’un processus non-linéaire,
l’écoulement étant supposé décrit par les équations de Navier-Stokes. Les fonctions propres
φi de A, associées aux valeurs propres λi, Aφi = λiφi, sont caractéristiques de la dynamique
temporelle du champ u. La famille des {φi} est de dimension inﬁnie et l’on suppose qu’elle
forme une base pour décrire toute réalisation du champ de vitesse :
u(r, t) =
∑
i≥1
φi(t)αi(r), (2)
αi étant la projection de u sur la base des {φi}. Les αi sont déﬁnis comme les modes dyna-
miques. On remarque encore, d’après l’équation (1), que la relation (2) peut se réécrire, par
récurrence sur le temps :
u(r, tk) =
∑
i≥1
λk−1i φi(r)(t0)αi(r). (3)
La détermination des (φi,αi) repose sur l’hypothèse que le champ uN peut s’écrire comme la
combinaison linéaire des réalisations contenues dans V N−10 :
uN = c0u0 + c1u1 + . . .+ cN−1uN−1, (4)
En remarquant, d’après (1), que AV N−10 = V
N
1 , il résulte de l’hypothèse (4) que l’on peut
introduire une matrice C, dite matrice compagnon, telle que AV N−10 = V
N−1
0 C+R, et R une
matrice résidu, qui tend vers zéro lorsque la condition (4) est strictement vériﬁée. La matrice C
est de dimension N×N et les cj sont déterminés, d’après l’égalité (4), en minimisant la norme
du vecteur diﬀérence
(
uN −
∑N−1
j=1 cjuj
)
. Les opérateurs A et C étant similaires si le résidu R
est nul, ils partagent les mêmes valeurs propres et leurs vecteurs propres, respectivement αj et
vj , sont liés par la relation αj  V N−10 vj. Il est donc possible de déterminer, empiriquement
à partir de l’ensemble V N−10 , les fonctions propres {φi} de A, et d’écrire :
u˜k =
N∑
i=1
λk−1i φi(t0)αi(r). (5)
L’ensemble des conditions initiales {φi(t0)} est déterminée en projetant u0 sur les {αi}.
2
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(a) (b)
Figure 1 – Schéma de (a) la veine d’essais, (b) de la cavité.
(a) (b)
Figure 2 – Visualisation instantanée de l’écoulement réalisée avec de la fumée de spectacle, pour L/H = 1.5,
S/H = 6 et un nombre de Reynolds ReH typique de notre étude. (a) En vue de face dans un plan (x, y), (b)
en vue de dessus dans un plan (x, z) situé en y/H = −0.3 à l’intérieur de la cavité. On y distingue notamment
la couche cisaillée et la recirculation intra-cavitaire (a), et une coupe des structures de Taylor-Görtler (b).
3 Conditions expérimentales
Une couche de cisaillement se développe entre la cavité et l’écoulement extérieur, convective-
ment instable(Fig. 2a). L’interaction de la couche cisaillée avec le coin aval de la cavité conduit
à des oscillations auto-entretenues de l’écoulement, qui se traduisent par des raies caractéris-
tiques dans le spectre (Fig. 3 b). La courbure induite par la recirculation intra-cavitaire, que
l’on peut apercevoir sur la Fig. 2a, est responsable, sur une certaine plage des paramètres de
contrôle , du développement d’instabilités centrifuges. Dans le régime non-linéaire saturé, cela
donne naissance à des structures de vorticité, toriques, contra-rotatives, du type Taylor-Görtler
[5] (ﬁgure 2 b). Le champ de vitesse est obtenu par velocimétrie par images de particules, à
l’aide d’un algorithme de ﬂot optique par programmation dynamique orthogonale, donnant
deux ou trois composantes de la vitesse dans le plan considéré. La relation entre fréquences et
structures spatiales longitudinales ou transversales est obtenue à partir de l’analyse de deux
séries de mesures : l’une dans un plan longitudinal {x, y, z = 0.42H} voisin du plan de symé-
trie [6], l’autre dans un plan transversal {z, x, y = −0.3H}. Les paramètres déﬁnissant les 2
bases de données sont précisés dans les paragraphes correspondants 4.1 et 4.2 .
4 Application de la DMD à l’écoulement de cavité
4.1 Application aux champs de vitesse dans le plan longitudinal
Pour les mesures dans le plan longitudinal, le rapport de forme de la cavité, rapport de sa
longueur L = 100 mm sur sa hauteur H = 50 mm, vaut L/H = 2. La vitesse incidente est
3
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U = 1.9 m/s, correspondant à un nombre de Reynolds ReL = UL/νair = 12700. Le calcul des
champs de vitesse a été réalisé à partir d’un enregistrement de 8192 images (512x400)prises
avec un ensemble laser-caméra rapide. La fréquence d’échantillonnage des champs de vitesse
résultants est de 250Hz.
(a) (b)
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
 
Real part of the EigenValues
Im
ag
in
ar
y 
pa
rt 
of
 th
e 
Ei
ge
nV
al
ue
s
 
 
0 10 20 30 40 50 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Frequency (Hz)
N
or
m
al
iz
ed
 a
m
pl
itu
de
Figure 3 – Décomposition en modes dynamiques : (a) valeurs propres de l’opérateur, qui se distribuent sur le
cercle unité en régime permanent. Les niveaux de gris traduisent l’amplitude, au sens de la norme L2, du mode
dynamique associé (blanc pour les plus énergétiques). (b) Comparaison des spectres de puissance obtenus par
analyse de Fourier (trait plein) ou par décomposition en modes dynamiques (pointillés).
Dans le régime permanent, les valeurs propres λk de l’analyse de Koopman sont sur le cercle
unité, comme on peut le voir sur la Fig. 3a ; on peut donc les écrire sous la forme λk =
exp(iωkΔt) et identiﬁer fk = ωk/2π à une fréquence de Fourier (temporelle). On compose
ainsi un spectre en aﬀectant, à chaque canal de fréquence fk ± δfk/2, l’amplitude, au sens de
la norme L2, du mode dynamique αk qui lui est associé. On obtient le spectre de la Fig. 3b
(trait pointillé), qui tend vers le spectre de Fourier de l’écoulement (en trait plein).
(a) (b)
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
 
x/L
y/
H
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
 
x/L
y/
H
(c) (d)
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
 
x/L
y/
H
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
 
x/L
y/
H
Figure 4 – Modes dynamiques
αk associés aux fréquences (a)
fk = 19.6 Hz, (b) fk = 26.4 Hz,
correspondant à des structures
de la couche cisaillée, et (c) fk =
0.5 Hz, (d) fk = 7.1 Hz, as-
sociées à des structures intra-
cavitaires. Le champ de vecteur
représente la partie réelle de
αk = αk,xex +αk,yey . L’échelle
de gris encode le champ de vor-
ticité.
Les structures spatiales αk, associées aux fréquences fk les plus piquées du spectre, sont
présentées sur la Fig. 4. Comme on s’y attend, les structures associées aux fréquences les plus
élevées et énergétiques du spectre, sont associées à des modes de la couche cisaillée (ﬁgures
4 a et b). Les basses fréquences sont quant à elles associées à des structures intra-cavitaires,
4
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comme le révèlent les ﬁgures 4 c et d.
4.2 Application aux champs de vitesse dans le plan transversal
Pour ces mesures dans le plan transversal, la cavité est de longueur L = 75 mm, profondeur
H = 50 mm et envergure S = 300 mm (Fig. 1) de rapport L/H = 1.5. La vitesse de l’écou-
lement extérieur à la couche limite vaut U = 0.69 m·s−1 pour un nombre de Reynolds basé
sur la profondeur de ReH = UH/ν = 2300. La fréquence principale des oscillations est ici
f  3.7 Hz.
Les spectres d’amplitude de la Fig. 5 représentent l’amplitude des modes dynamiques αk(r),
(a) (b)
Figure 5 – Spectre d’amplitude ob-
tenu par décomposition en modes
dynamiques. L’amplitude des ca-
naux fréquentiels est donnée par la
norme L2 des modes dynamiques αk
pour les ensembles de mesure (a)
{ux}, (b) {uz}.
moyennée sur la grille spatiale, en fonction de la fréquence fk = lnλk2iπΔt . Les spectres obtenus,
selon que les modes sont déterminés sur ux ou uz, exhibent les trois mêmes pics principaux, à
f1 = 0.13 Hz (pic repéré par un cercle ouvert), f2 = 0.22 Hz (pic repéré par un cercle plein) et
f3 = 0.005 Hz, avec des amplitudes relatives diﬀérentes et un spectre plus bruité pour uz. Un
petit pic à la fréquence f4 = 1.33 Hz est également visible dans les spectres, qui correspond
au repliement de la fréquence d’oscillation de la couche de mélange, détectée aux alentours de
3.7 Hz (la fréquence de Nyquist vaut 2.5 Hz).
Les parties réelles et imaginaires des modes dynamiques principaux, α1 associé à f1 et α2
associé à f2, sont représentés sur la Fig. 6. Ils captent la dérive latérale des tourbillons de
Taylor-Görtler (à gauche pour α1, à droite pour α2). En eﬀet, on peut voir que la partie
imaginaire du mode est essentiellement une quadrature de phase de sa partie réelle, de sorte
que, multipliée par le coeﬃcient temporel φ1(t) = e2iπf1t, la dynamique résultante est une
onde progressive gauche. De façon analogue, le mode α2 capte une dérive à droite. La dis-
tribution du champ de vitesse fait clairement apparaître des structures tourbillonnaires sur
les parties hautes et basses de l’image (donc près des bords amont et aval), où se trouvent
les tourbillons de Taylor-Görtler. L’amplitude du mode α1 (respectivement α2) va croissante
(resp. décroissante) depuis le bord droit jusque vers le bord gauche de la zone d’étude, il y
a donc une séparation spatiale des fréquences f1 et f2 liées chacune à une dérive gauche ou
droite, avec un recouvrement autour de zc.
5 Conclusions
La décomposition en modes dynamiques nécessite des données résolues en temps. C’est pour-
quoi les données expérimentales utilisées, pour chacun des deux cas présentés dans cette étude,
correspondent à des enregistrements réalisés pour 2 conﬁgurations diﬀérentes avec une applica-
tions métrologiques diﬀérentes. La cause en est, d’une part, l’écart d’environ une décade entre
5
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
(z−z
c
)/S
x/
L
−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
(a) (α1)
(z−z
c
)/S
x/
L
−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
(b) (α1)
(z−z
c
)/S
x/
L
−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
(c) (α2)
(z−z
c
)/S
x/
L
−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
(d) (α2)
Figure 6 – Parties
rélles et imaginaires
des modes dyna-
miques α1, associé
à f1 = 0.13 Hz
(pic repéré par un
cercle ouvert sur la
Fig. 5), et α2, associé
à f2 = 0.22 Hz (pic
associé au cercle plein).
Ces modes captent
la dérive latérale des
tourbillons de Taylor-
Görtler, à gauche pour
α1, à droite pour α2.
Les vecteurs repré-
sentent la partie réelle
du champ de vitesse
(αz, αx), l’échelle de
couleur encode la
partie réelle du champ
αk · ex.
les fréquences caractéristiques de la couche de mélange (autour de 30Hz) et celle des instabili-
tés intra-cavitaires (autour de 3Hz)et d’autre part au caractère essentiellement bidimensionnel
de la couche de mélange et intrinsèquement tridimensionnel des instabilités centrifuges dans la
cavité. D’où l’usage au paragraphe 4.1 d’une PIV-2C à grande cadence et pour le paragraphe
4.2 d’une PIV-stéréoscopique à 5Hz de fréquence de répétition. Dans ce travail nous avons ainsi
montré que la DMD extrait très eﬃcacement les modes spatiaux associés aux deux fréquences
de la couche de mélange, tout en séparant la contribution des deux fréquences principales en
intermittence, ce que la POD ne permet pas dans ce cas. Dans le plan transverse nous avons
pu identiﬁer les structures de type Görttler et pour la première fois repérer, avec certitudes,
les très bases fréquences correspondantes.
Références
[1] B.O. Koopman, Hamiltonian systems and transformations in Hilbert space, Proceedings of the National
Academy of Sciences 17, pp 315-318 (1931).
[2] P.J. Schmid & J. Sesterhenn, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, in
61st annual meeting of the APS division of fluid dynamics, APS, San Antonio, Texas, USA (2008).
[3] P.J. Schmid, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data, Journal of Fluid Mecha-
nics 656, pp. 6-28 (2010).
[4] C. W. Rowley, I. Mezić, S. Bagheri, P. Schlatter & D. S. Henningson, Spectral analysis of
nonlinear flows, Journal of Fluid Mechanics 641, pp. 115-127 (2009).
[5] T. Faure, L. Pastur, F. Lusseyran, Y. Fraigneau & D. Bisch, Three-dimensional centrifugal in-
stabilities development inside a parallelepipedic open cavity of various shape, Experiments in Fluids 47, pp.
395-410 (2009).
[6] J. Basley, L. R. Pastur, F. Lusseyran, T. M. Faure, N. Delprat, Experimental investigation of
global structures in an incompressible cavity flow using time-resolved PIV, Experiments in Fluids (2010)
http ://www.springerlink.com/content/m64283717837p427/fulltext.pdf
6


Signature fréquentielle des structures cohérentes-décomposition en modes dynamiques : application à un écoulement en cavité ouverte

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46542/1/cfm2011_363.pdf

Signature fréquentielle des structures cohérentes-décomposition en modes dynamiques : application à un écoulement en cavité ouverte

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