Nous proposons une étude sur la résolution de problème de mécanique comprenant 3 dimensions d'espace et 1 de temps en utilisant la méthode des éléments finis espaces temps, qui consiste en une discrétisation de même nature sur l'espace et le temps. Il s'agit d'une extension de la méthode des éléments finis classiques. L'intérêt de cette méthode réside dans la facilité de remaillage, dans le temps ou dans l'espace. Elle a été appliqué en particulier pour résoudre des problèmes de contact frottant, avec maillage fin autour de la zone (mobile) de contact

DUMONT, Serge

JOURDAN, Franck

I-Revues

20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Ele´ments finis espace-temps 4D
S. Dumonta, F. Jourdanb
a. LAMFA, CNRS UMR 6140, Universite´ de Picardie Jules Verne, France,
serge.dumont@u-picardie.fr
b. LMGC, CNRS UMR 5508, Universite´ Montpellier 2, France, franck.jourdan@univ-montp2.fr
Re´sume´ :
Nous proposons une e´tude sur la re´solution de proble`me de me´canique comprenant 3 dimensions
d’espace plus 1 de temps en utilisant la me´thode des e´le´ments finis espaces temps, qui consiste en
une discre´tisation de meˆme nature sur l’espace et le temps. Il s’agit d’une extension de la me´thode des
e´le´ments finis classiques. L’inte´reˆt de cette me´thode re´side dans la facilite´ de remaillage, dans le temps
ou dans l’espace, puisque elle ne ne´cessite pas de reprojection du maillage grossier sur le maillage fin.
Elle a e´te´ applique´ en particulier pour re´soudre des proble`mes de contact frottant, avec maillage fin
autour de la zone (mobile) de contact.
Abstract :
We propose a study on solving mechanical problems with 3 spatial dimensions and 1 time dimension
using the Space Time Finite Element Method, which is a similar discretization on space and time.
This is an extension of classical finite element method. The advantage of this method is the ease of
remeshing in time or space, since it does not require reprojection of the coarse mesh on the fine mesh. It
has been applied in particular to solve frictional contact problems with a fine mesh around the (moving)
area of contact.
Mots clefs : Ele´ments finis, espace-temps 4D, e´lasto-dynamique.
1 Introduction
La STFEM (Space Time Finite Element Method) est une me´thode qui peut eˆtre conside´re´e comme une
extension de la me´thode des e´le´ments finis “classique” dans le sens ou` elle s’applique a` un proble`me aux
limites issu d’un proble`me d’e´volution. Actuellement, plusieurs approches existent. On peut citer par
exemple la me´thode a` grands incre´ments de temps (LATIN [9]), la me´thode de “Galerkin Discontinue”
[6], et la notre que l’on nommera “me´thode de Galerkin Semi-Discontinue”. Dans la plupart des
publications sur la me´thode de Galerkin Discontinue [5], les fonctions d’interpolation sont conside´re´es
comme e´tant le produit de fonctions d’espace et de temps. Nous verrons dans ce papier qu’une attention
particulie`re sera porte´e a` la non se´paration des variables espace et temps. La raison de ce choix est
motive´e par le fait que ce type d’interpolation est adapte´ au remaillage. Le remaillage espace-temps
que nous avons de´veloppe´ est fonde´ sur une me´thode de ge´ne´ration de maillages espace-temps non
structure´s. Nous proposons ici une me´thode de construction automatique inspire´e de ce qui se fait en
2D et 3D. Notre technique de remaillage a e´te´ applique´ a` un proble`me de charge mobile mode´lisant
des actions de contact, ou` la partie spaciale du maillage e´volue de fac¸on a` suivre la zone de contact.
Notons qu’un des inconve´nients de la STFEM telle qu’elle est de´finie dans les travaux de [3] et [7] est
la taille des syste`mes a` re´soudre. Utiliser un maillage stratifie´ tel que nous le faisons permet de ne pas
assembler la matrice totale du proble`me, mais seulement des sous-matrices. Ceci permet de re´duire
conside´rablement la taille des syste`mes a` re´soudre. La taille de ces syste`mes line´aires est exactement
la meˆme que celle obtenue dans le cas des approches couplant les me´thodes incre´mentales de type
diffe´rences finies en temps a` la me´thode d’e´le´ments finis en espace.
1
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2 Principes de la me´thode
L’objectif de cette e´tude e´tant d’appliquer une me´thode d’e´le´ments finis, le proble`me d’e´volution est
conside´re´ comme e´tant un proble`me aux limites sur le domaine espace-temps Ω × [0, T ]. Dans ce
proble`me aux limites, la condition sur la vitesse initiale (a` t = 0) et une e´ventuelle condition sur la
vitesse finale (a` t = T ), par exemple si le syste`me est arreˆte´ brutalement, sont conside´re´es comme des
conditions aux limites. Ces conditions peuvent mener a` des discontinuite´s de vitesse ou` du point de
vue dual a` des impulsions. De la meˆme manie`re que dans la me´thode de Galerkin discontinue [6] et
que dans la me´thode a` grands incre´ments de temps (LATIN) [9], [8], la formulation variationnelle est
e´tablie sur le domaine espace-temps Ω× [0, T ].
Dans cette approche, l’inconnue principale est le de´placement u et les de´formations sont suppose´es
petites. On note ε le tenseur des de´formations et a le tenseur de Hooke. La formulation variationnelle
en de´placements peut s’e´crire : Trouver le de´placement u ∈ Uad tel que∫ T
0
∫
Ω
(ρu¨v + aε(u) : ε(v)− fdv) dx dt =
∫ T
0
∫
∂1Ω
Fdv ds dt, ∀v ∈ U0ad (1)
ou` Uad est l’ensemble des de´placements suffisamment re´guliers, qui satisfont les conditions cine´matiques
et initiales, v est le de´placement virtuel et U0ad est l’ensemble des de´placements suffisamment re´guliers,
qui satisfont les conditions cine´matiques et initiales nulles.
Afin de tenir compte, dans la formulation variationnelle, de la condition sur la vitesse initiale, le travail
virtuel des quantite´s d’acce´le´rations est inte´gre´ par parties par rapport au temps. Ce qui donne
∫ T
0
∫
Ω
ρu¨v dx dt = −
∫ T
0
∫
Ω
ρu˙v˙ dx dt+
∫
Ω
[ρu˙T (x)v(x, T )− ρu˙0(x)v(x, 0)]dx (2)
ou` u˙T (x) est la vitesse au temps t = T . L’approximation propose´e dans cette e´tude est de type
Galerkin en temps et en espace. L’interpolation espace-temps est construite a` partir de polynoˆmes de
Lagrange. Les e´le´ments finis sont isoparame´triques.
ue2
ue3
ue1
Ee
2
t
1
3
x
Figure 1 – Ele´ment fini de re´fe´rence en 2D espace-temps de type simplex
Sur un e´le´ment fini espace-temps Ee (figure 1), le de´placement ve´rifie : u(x, t) =
ne∑
i=1
ϕei (x, t)u
e
i ou` ne
est le nombre de nœuds de l’e´le´ment Ee, ϕ
e
i sont les fonctions d’interpolation et u
e
i les de´placements
nodaux. La meˆme interpolation est utilise´e pour les de´placements virtuels v. La discre´tisation espace-
temps de la pre´ce´dente formulation variationnelle me`ne au syste`me line´aire suivant :
([M˜u] + [K˜u]){U} = {Fu}+ {Λ} (3)
ou` [M˜u] est la matrice relative aux efforts d’inertie, [K˜u] la matrice relative aux efforts inte´rieurs, {Fu}
le vecteur nodal relatif aux efforts exte´rieurs, {Λ} le vecteur nodal relatif aux conditions aux limites
en vitesses et {U} le vecteur nodal des de´placements.
Conside´rons un maillage espace-temps construit par couches successives d’e´le´ments dans le temps. On
pourra parler de maillage “stratifie´”. Si de plus, les nume´ros des nœuds qui ont les meˆmes coordonne´es
temporelles sont proches les uns des autres (figure 2), alors le membre de gauche du syste`me (3) se
met sous la forme
2
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6t
6t
t
x
5 6 7 8
9 1110 12
2 3 41
Figure 2 – Exemple d’un maillage 2D espace-temps
([M˜u] + [K˜u]){U} = [T ]{U} =

[T11] [T12] 0 0 0 0
[T21] [T22] [T23] 0 0 0
0 [T32] [T33] [T34] 0 0
. . . . . .
0 0 0 [Tn/n−1] [Tn/n] [Tn/n+1]
0 0 0 0 [Tn+1/n] [Tn+1/n+1]


{U0}
{U1}
.
.
.
{Un}
 (4)
Par exemple, pour le maillage espace-temps de la figure 2, on a
{U0} =

u1
u2
u3
u4
 , {U1} =

u5
u6
u7
u8
 et {U2} =

u9
u10
u11
u12

En utilisant ce type de nume´rotation, la matrice totale [T ] et les sous-matrices [Tij ] sont de type
bande.
Remarques . — Le fait de choisir une interpolation de Lagrange pour les de´placements implique que
les de´placements sont continus mais que les vitesses sont discontinues. Par conse´quent l’inte´gration par
parties (2) n’est pas exacte, il faut plutoˆt utiliser la formulation de la me´thode de Galerkin discontinue,
ce qui revient a` e´crire la de´rive´e de la vitesse au sens des distributions. Dans la suite nous conserverons
la formulation (2), sachant que l’erreur commise est du meˆme ordre que dans le cas d’e´le´ments finis
en espace classiques.
— Utiliser un maillage stratifie´ tel que nous l’avons de´fini, permet de ne pas assembler la matrice
totale [T ] , mais seulement les sous-matrices [Tij ]. Ceci re´duit d’autant la taille des syste`mes line´aires
a` re´soudre. La taille de ces syste`mes line´aires est exactement la meˆme que celle obtenue dans le cas
des approches couplant les me´thodes incre´mentales de type diffe´rences finies en temps a` la me´thode
d’e´le´ments finis en espace.
— Ensuite, il convient de pre´ciser que le vecteur nodal relatif aux conditions aux limites en vitesses
{Λ} est de la forme {Λ} = ({Λ0}, 0, ..., 0, {Λn})T et que {Λ0} est donne´ a` partir des conditions sur la
vitesse initiale, alors que {Λn} est inconnu. Par conse´quent, la re´solution du syste`me (3) est effectue´e
de la manie`re suivante :
le premier bloc d’e´quations dans (4), permet de calculer {U1}. Les lignes par bloc suivantes permettent
de calculer les de´placements {Ui} (2 ≤ i ≤ n) et le dernier syste`me d’e´quations issu du dernier bloc
de ligne permet d’obtenir {Λn}.
— Notons enfin que les matrices de re´solution [Ti/i+1] sont ge´ne´ralement non syme´triques, alors que
la matrice totale [T ] est syme´trique. Ainsi, pour l’algorithme pre´sente´ ci-dessus, il faut utiliser un
solveur non syme´trique.
3
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3 Maillage 4D et remaillage
Avant meˆme de pouvoir baˆtir une technique de remaillage, il faut eˆtre capable de construire un
maillage 4D. Construire un e´le´ment fini 4D ne pose pas de re´els proble`mes, si ce n’est des proble`mes
de repre´sentation (voir figure 3). Par contre, construire un maillage 4D, meˆme le plus e´le´mentaire, est
loin d’eˆtre trivial, excepte´ dans le cas de maillages re´guliers forme´s d’e´le´ments finis de type multiplex
(fonctions d’interpolations obtenues comme le produits de fonctions d’espace par des fonctions du
temps). Dans les autres cas, et c’est principalement ceux qui nous inte´ressent pour le remaillage, le
maillage reste une difficulte´. Cependant, cette technique ne ne´cessite pas de reprojection et permet de
conserver des syste`mes de taille identiques sur chaque intervalle de temps.
3.1 Ge´ne´ration de maillage 4D
Dans la figure 3 sont repre´sente´es des parties e´le´mentaires de maillages 2D, 3D et 4D avec la nume´ration
des nœuds. On note n0 le nombre total de nœuds a` l’instant t = 0 du maillage espace entier, et l’on
suppose qu’a` l’instant t = h le nombre de nœuds reste le meˆme. Pour le maillage 2D, les connectivite´es
t t
x
x
y
t
2D
3D
4D
j
n0+i
k
i
i j
n0+i n0+j
i
jk
n0+j
n0+k
l
n0+l
n0+k n0+j
n0+i
t=h
t=h
t=h
t=0 t=0
t=0
Figure 3 – Maillages espace-temps 2D, 3D et 4D
sont : i, j, n0 + i; j, n0 + i, n0 + j. Pour le maillage 3D, les connectivite´es sont :
i, j, k, n0 + i; j, k, n0 + i, n0 + j; k, n0 + i, n0 + j, n0 + k.
On propose alors la ge´ne´ralisation suivante des connectivite´es pour le maillage 4D :
i, j, k, l, n0 + i; j, k, l, n0 + i, n0 + j; k, l, n0 + i, n0 + j, n0 + k; l, n0 + i, n0 + j, n0 + k, n0 + l.
Nous avons ve´rifie´ que dans le cas ou` le quadruplet (i, j, k, l) e´tait range´ dans l’ordre croissant, le
maillage 4D ainsi constitue´ a` partir d’un maillage 3D quelconque e´tait correct (interfaces entre 2
e´le´ments 4D sont constitue´es de te´trae`dres communs, maillage complet de tout l’espace de calcul).
3.2 Techniques de remaillage
Dans ce paragraphe nous pre´sentons les techniques de remaillage espace-temps que nous avons de´velop-
pe´es. On peut trouver dans la litte´rature de nombreux articles sur le remaillage espace-temps [4, 5].
Ces derniers utilisent suivant la me´thode de Galerkin discontinue. Dans la plupart l’approche est
incre´mentale, c’est a` dire que le remaillage s’effectue a` des pas de temps donne´s. Le plus souvent, les
valeurs des inconnues du nouveau maillage sont obtenues par approximation ou interpolation de celles
de l’ancien maillage. De plus, l’interpolation utilise´e est de type multiplex. Dans l’article [2], nous
pre´sentons une technique d’adaptation de maillage incre´mentale qui ne ne´cessite pas de reprojections.
Elle a e´te´ couple´e a` des proble`mes de contact frottant (voir [1]). Par ailleurs, nous avons de´veloppe´
une technique de remaillage non incre´mentale, fonde´e sur des maillages espace-temps non structure´s.
Nous proposons ici une technique de remaillage particulie`re, bien adapte´e a` la STFEM. Il s’agit d’une
approche incre´mentale base´e sur la construction de maillages espace-temps capables de suivre une zone
de charge e´volutive. Cette technique de ge´ne´ration de maillage 4D permet de conserver les matrices
4
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Ti/i−1, Ti/i, Ti/i+1 identiques quelque soit i, ce qui entraine une re´duction du temps de calcul. La figure
4 en pre´sente une illustration en dimension 2 (espace) +1 (temps). Cette technique a pour ambition
d’eˆtre applique´e a` des proble`mes d’usure en calcul des structures. Le principe est de conserver le meˆme
nombre de noeuds, mais en les disposant de telle manie`re qu’ils soient suffisamment nombreux sous la
zone charge´e. Un exemple d’application est fourni dans le paragraphe suivant.
t
Figure 4 – Ge´ne´ration du maillage espace-temps, par rotation, de la surface charge´e
4 Re´sultats nume´riques
Notre me´thode de calcul par e´le´ments finis espace-temps 4D a e´te´ programme´e a` l’aide du logiciel
MATLAB. Nous avons constate´ que notre me´thode de ge´ne´ration de maillage 4D ne´cessitait d’avoir
un de´coupage en temps tre`s fin, du meˆme ordre que pour des me´thodes d’inte´gration explicites. C’est
de´ja` ce que nous avions constate´ en 2D et 3D dans [2] lorsque l’interpolation e´tait line´aire. Toutefois,
il a aussi e´te´ de´montre´ dans [1] que d’autres types d’interpolation (quadratique, non conforme, ...)
permettaient de retrouver la plupart des discre´tisations temporelles standards (explicite, implicite,
sche´ma de Newmark, ...). Cette e´tude n’a e´te´ mene´ pour l’instant qu’en dimension 1 d’espace, et il est
pre´vu de la poursuivre en dimension supe´rieure.
Par ailleurs, pour illustrer notre technique de remaillage, nous conside´rons l’exemple d’un disque de
frein soumis au serrage d’une plaquette sur une de ses faces (voir mode`le source figure 5) et bloque´
sur la face oppose´e. Le disque de hauteur 10mm, de rayon exte´rieur de 100mm, et de rayon inte´rieur
de 40mm est en acier de module de Young e´gal a` E =210.000 MPa, de coefficient de poisson e´gal a`
ν =0,3 et de masse volumique e´gale a` ρ =7800 kg/m3. Le maillage 3D contient 634 nœuds et 1752
e´le´ments.
Figure 5 – Maillage 3D source : Le maillage est raffine´ sous la zone de charge. Les dimensions sont
en mm
Le serrage est mode´lise´ par une zone de pression constante de 100 MPa. Cette zone est mobile et
parcours la circonfe´rence du disque avec une vitesse de rotation e´gale a` celle de la propagation d’onde
(V = 1pi
√
E
ρ ). Nous construisons un maillage 4D incre´mental, qui conserve le maillage 3D, mais en lui
imposant une rotation axiale lui permettant de garder sa zone la plus raffine´e sous la zone de charge,
comme sche´matise´ dans la figure 4. Les re´sultats des calculs pre´sente´s dans la figure 6 sont obtenus
pour un de´coupage en temps de 10−7s. Ils montrent que la zone raffine´e reste bien sous la zone de
serrage. Le maillage reste donc optimal a` chaque pas de temps, au contraire d’un maillage fixe. La
5
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re´partition des de´placements des nœuds, en norme, est similaire pour les deux positions de la charge.
Notons que les de´placements des nœuds ne peuvent pas eˆtre identiques a` cause des effets dynamiques.
Il est important de signaler qu’il s’agit de de´placements incre´mentaux et non de de´placements totaux.
Figure 6 – Isovaleurs des normes des de´placements, exprime´es en mm, a` t = 2.10−5s (vue de gauche)
et a` t = 4.10−5s (vue de droite). Remarquer le maillage qui suit la force applique´e, le disque e´tant fixe.
5 Conclusion
La me´thode de ge´ne´ration de maillage espace-temps 4D que nous avons pre´sente´e dans cet article a
permis de de´velopper une technique d’adaptation de maillage capable de suivre une zone de charge
mobile. Cette technique originale est baˆtie pour assurer un coup de calcul minimal et ne ne´cessite pas de
reprojection du maillage grossier sur le maillage fin. Cependant, pour montrer l’e´tendue des capacite´s
de cette me´thode, il faut aller beaucoup plus loin dans les applications me´caniques et proposer une
technique de remaillage 4D par approche frontale telle que pre´sente´ dans les articles [1] et [2].
Re´fe´rences
[1] Ade´la¨ıde L., Jourdan F. , Bohatier C. 2003 Frictional contact solver and mesh adaptation in
Space-Time Finite Element Method. European Journal of Mechanics A/solids. 22 633-647
[2] Ade´la¨ıde L., Jourdan F. , Bohatier C. 2003 Me´thode des e´le´ments finis espace-temps et remaillage.
Revue Europe´enne des e´le´ments finis. 12 427-459
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Lagrangian flows with free surfaces : computational issues. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.
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[10] Tezduyar T. E., Sathe S., Keedy R., Stein K. 2006 Space-time finite element techniques for
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6


Elements Finis Espace-Temps 4D

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46442/1/cfm2011_242.pdf

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