Ce travail présente l'application de la méthode EF-modale à l'étude de la propagation acoustique dans de quartiers, considères comme des réseaux périodiques ouverts. L'idée principale est de transformer le domaine original ouvert en un guide d'ondes équivalent, en remplaçant les ouvertures par de PML (perfectly matched layers). Ensuite, le processus se divise en deux étapes. La première est obtenir les modes périodiques transverses du guide par une méthode éléments finis (EF). Après, ces modes sont utilisés dans une formulation multimodale de la propagation dans la direction longitudinale

FELIX, Simon

MOLERON, Miguel

PAGNEUX, Vincent

PICAUT, Judicaël

RICHOUX, Olivier

I-Revues

20eme Congres Francais de Mecanique Besancon, 29 aou^t au 2 septembre 2011
Application de la methode EF-modale a l'etude de
reseaux periodiques ouverts
Miguel Molerona, Simon Felixa, Vincent Pagneuxa, Olivier Richouxa, Judicael Picautb
a. LAUM, UMR CNRS 6613, Avenue Olivier Messiaen, 72085 LE MANS
b. IFSTTAR, Route de Bouaye. 44341 BOUGUENAIS
Resume :
Ce travail presente l'application de la methode EF-modale a l'etude de la propagation acoustique dans
des quartiers, consideres comme des reseaux periodiques ouverts. L'idee principale est de transformer
le domaine original ouvert en un guide d'ondes equivalent, en remplacant les ouvertures par de PML
(perfectly matched layers). Ensuite, le processus se divise en deux etapes. La premiere est obtenir les
modes periodiques transverses du guide par une methode elements nis (EF). Apres, ces modes sont
utilises dans une formulation multimodale de la propagation dans la direction longitudinale.
Abstract :
This work presents the application of the modal-FE method to the study of open periodic lattices,
wich can be regarded as regular distributions of buildings. The main idea is to turn the original open
domain on an equivalent closed waveguide, closing the openings with perfectly matched layers (PML).
Following the process is divided into two steps. First, the eigenmodes of the transverse cross-sections
are computed using the nite elements (FE) method. Secondly, this modes are introduced into a modal
formulation to describe the sound propagation along the waveguide.
Mots clefs : reseaux periodiques ouverts ; theoreme de Bloch-Floquet ; propagation
multimodale
1 Introduction
La methode EF-modale fu^t presentee la premiere fois dans [9] pour l'etude de la propagation acoustique
dans des rues irregulieres. L'idee principale de la methode est de transformer le domaine original ouvert
en un guide d'ondes ferme equivalent. Pour cela, les ouvertures du guide sont remplacees par des PML
et la procedure se divise en deux etapes principales. Dans un premier temps, les modes propres dans
les coordonnees transversales sont obtenus numeriquement par la methode des elements nis (EF).
Ensuite, ces modes sont introduits dans un formalisme multimodal decrivant la propagation du son le
long du guide [7, 5]. Le fait de resoudre le probleme transverse par EF permet de traiter des domaines
de propagation a geometrie et conditions aux limites complexes, ce qui rend cette methode adaptee
pour des nombreuses applications dans le domaine de l'acoustique urbaine. Par exemple, des travaux
precedents [9, 10] ont montre la possibilite de modeliser des conditions meteorologiques variables dans
la rue, des facades irregulieres ou des materiaux avec dierentes impedances acoustiques aux facades.
Plus recemment, des eorts ont ete focalises en vue d'adapter la methode a un echelle plus grande, an
de prendre en compte non seulement les phenomenes ayant lieu dans la rue, mais aussi l'inuence de
l'environnement entourant. Comme une premiere etude a ce sujet, la reference [6] presente l'extension
de la methode a la modelisation d'intersections entre rues perpendiculaires. Cette etude montra que
cela peut e^tre realise en ajoutant une PML additionnelle, remplacant l'ouverture vers la rue adja-
cente. Avec le me^me but, nous presentons dans cette communication l'application de la methode a
l'etude de reseaux periodiques ouverts, qui peuvent e^tre consideres comme de distributions regulieres
1
20eme Congres Francais de Mecanique Besancon, 29 aou^t au 2 septembre 2011
de ba^timents ou quartiers. Comme nous le montrons, cela est possible gra^ce a l'implementation de
conditions aux limites periodiques lors du calcul par EF des modes transverses. Nous presentons deux
types de problemes : un reseau ni, ou nous nous interessons a obtenir le champ de pression dans le
domaine, et un reseau inni ou l'objectif est de trouver les nombres d'ondes de Bloch, caracterisant la
propagation acoustique dans le milieu.
2 Le reseau ni
Nous voulons etudier la propagation acoustique dans le domaine represente sur la gure 1.a. Il
s'agit d'une serie de rangees de ba^timents rectangulaires disposees sur un sol. Les ba^timents sont
periodiquement distribuees selon y, avec periode Dy. 
 represente le domaine et  N ses frontieres (sol
et ba^timents). Toutes les frontieres sont consideres comme etant parfaitement reechissantes. Nous
supposons une excitation sous la forme d'une onde plane, avec un angle d'incidence  par rapport a
l'axe x. Ensuite, le domaine est fermee dans la partie superieure avec une PML. En outre, le theoreme
de Bloch-Floquet [3] applique dans la direction y impose la condition suivante sur le champ de pression :
p(x; y +mDy; z) = e
|k sin()mDyp(x; y; z); m 2 Z : (1)
θ
y
xz
S1
S2 Ωe
ΓG
PML
L(1)
L(i)
L(Ns)
ΓD
Dy
b)
Ω
ΓN
. . .
Dy
. . .
a)
ly
h
lx
≡
Figure 1 { a) Reseau constitue d'un nombre ni de rangees suivant y. b) guide d'ondes equivalent.
D'apres l'equation (1), 
 peut se reduire au domaine equivalent ferme 
e montre sur la gure 1.b, qui
peut e^tre considere comme un guide d'ondes a section transversale constante par morceaux, delimite
par les frontieres  G et  D dans les parties laterales, et par la PML dans la partie superieure. Pour
simplier la representation, nous avons considere seulement deux sections transversales dierents,
appelees S1 et S2 sur la gure 1. Le probleme a resoudre dans ce nouveau domaine s'ecrit
8
>>>>><
>>>>>:

@2
@x2
+
@2
@y2
+
1

@
@z

1

@
@z

+ k2

p(x; y; z) = 0;8(x; y; z) 2 
e;
@np(x; y; z) = 0;8(x; y; z) 2  N ;
p(x; y 2  D; z) = yp(x; y 2  G; z);
@np(x; y 2  G; z) =  y@np(x; y 2  G; z);
(2)
ou k est le nombre d'onde, @n designe la derivee normale sortante par rapport aux frontieres, y =
exp(|k sin()Dy) est le dephasage impose par le theoreme de Bloch-Floquet (1), et  est le coecient
de la PML, qui est deni par
 =
(
Ae| ; dans la PML ;
1; ailleurs ,
(3)
avec RefgImfg > 0. Le probleme peut maintenant e^tre traite de la me^me maniere que ceux presentes
dans [9, 6]. Dans chaque segment droit i du guide (i = 1; 2; :::; Ns, avecNs le nombre total de segments),
le probleme transverse est discretise suivant une methode EF (voir annexe A) et le probleme (2) prend
la forme matricielle suivante :
~P 00(x) +
 
k2   M   1b K b

~P (x) = ~0; (4)
2
20eme Congres Francais de Mecanique Besancon, 29 aou^t au 2 septembre 2011
ou la n-ieme composante de ~P (x) est la valeur de p(x; y; z) au nud n a la coordonnee x : Pn(x) =
p(x; yn; zn); avec n = 1; 2; :::; N , N etant le nombre total de nuds. Le symbole
00 represente la derivee
seconde par rapport a x, et Kb et Mb sont les matrices de raideur et masse, respectivement, issues de
la forme variationnelle des operateurs dierentiels transversaux. La dierence principale par rapport
aux travaux precedents est que, dans ce cas, ces matrices doivent e^tre modiees pour satisfaire la
condition de periodicite suivant y (cette procedure est detaille dans l'annexe A). La solution generale
de l'equation (4) peut e^tre exprimee en fonction des vecteurs propres ~n et valeurs propres n de la
matrice M 1b Kb :
~P (i)(x) = 

D(x)~C1 +D(L
(i)   x)~C2

; (5)
ou  est une matrice contenant les vecteurs propres ; D(x) est une matrice diagonale telle que Dnn =
exp(|kxnx), avec kxn = (k
2 2n)1=2 ; L(i) est la longueur du segment ; et les vecteurs ~C1 et ~C2 sont les
amplitudes modales des ondes progressives et regressives, respectivement, qui sont obtenues a partir
des conditions aux extremites du segment. Pour trouver ces coecients, nous utilisons la methode
multimodale utilisee dans [9, 6]. A chaque changement de section, nous ecrivons les equations de
continuite de pression et vitesse normale. Ensuite, nous imposons une condition de sortie sous la
forme d'une matrice d'impedance Z (ou admittance Y), denie par ~P = Z~U (ou ~U = Y ~P ), avec
~U = @x ~P . Apres, a partir des equations de continuite, la condition en sortie est ramenee, pas a pas,
jusqu'a l'entree. Finalement, a partir d'une condition source sous la forme d'un champ de pression
impose a entree (une onde plane dans ce cas), le champ peut e^tre calcule partout dans le guide.
3 Le reseau inni
Considerons maintenant un reseau periodique inni en x et y. L'application du theoreme de Bloch-
Floquet dans ces deux directions permet de reduire le domaine a une cellule elementaire du reseau,
representee sur la gure 2.a. L'objectif ici est trouver les nombres d'onde de Bloch dans la direction
longitudinale, kBx, permettant de caracteriser la propagation acoustique dans le milieu. Pour cela
nous utilisons la me^me procedure que Duclos et coll. dans [4], ou un probleme similaire ete traite,
consistant en un reseau 2D de cylindres. A partir de la methode multimodale, nous obtenons la
matrice de diusion de la cellule elementaire, reliant les ondes entrantes et sortantes de chaque co^te
de la cellule (voir gure 2.b) :

~Ca
~Cd

= S

~Cb
~Cc

: (6)
Compte tenu de la symetrie du probleme, cette matrice peut s'ecrire comme :
S =

R T
T R

; (7)
z
x
y
L(1)
lx
L(3)
h
ly/2
θ
x
y
z
......
.
.
.
.
.
.
~Cd
~Cc~Ca
~Cb... ...
Dy
Dx
PML
b)a)
Figure 2 { a) cellule elementaire du reseau periodique inni en x et y. b) ondes entrantes et sortantes
de chaque co^te de la cellule elementaire, vue du dessus.
3
20eme Congres Francais de Mecanique Besancon, 29 aou^t au 2 septembre 2011
ou T et R sont les matrices de transmission et reexion, respectivement. Maintenant, la periodicite
dans la direction x impose 
~Cc
~Cd

= x

~Ca
~Cb

; (8)
avec x = exp(|kBxDx). La relation (10) en combinaison avec la denition de la matrice de diusion
(8) conduit au probleme aux valeurs propres generalise suivant :
T R
[0] I

~Ca
~Cd

= x

I [0]
R T

~Ca
~Cd

; (9)
avec I la matrice identite. Finalement, l'obtention des valeurs propres x donne directement les
nombres d'ondes de Bloch kBx recherches.
Dans le cas de geometries fermees, les diagrammes de bandes sont tracees en gardant uniquement les
solutions propagatives (ie. en negligeant les solutions x telles que Im fkBxg 6= 0). Par contre, dans
notre cas, due a la presence de la PML, aucune des solutions trouves peut e^tre purement propagative.
Pour cette raison, une valeur limite  = jIm fkBxg j > 0 doit e^tre accepte an de tracer les diagrammes
de bandes pour ce type de domaine.
4 Resultats
Nous presentons maintenant quelques resultats obtenus avec les methodes decrites precedemment. Les
parametres geometriques arbitraires sont (lx; ly; h)=(0:5; 0:2; 0:5), L
(1) = L(3) = 0:25 et Dy = 0:5, Dx
etant la longueur caracteristique du probleme. Nous considerons une excitation du type onde plane
avec incidence normale,  = 0. La gure 3.a montre le diagramme de bandes du reseau inni pour trois
valeurs dierents de . On constate que le nombre de solutions  propagatives  se reduit a mesure que
 diminue. Nous montrons egalement deux exemples de la valeur absolue du champ de pression dans
un reseau ni, constitue de 6 rangees de ba^timents avec les me^mes dimensions que le cas precedent. Ils
illustrent deux eets typiques dans des reseaux periodiques. Dans le premier exemple, represente sur la
gure 3.b, la frequence d'excitation est comprise dans la petite bande interdite autour de kDx= = 4.
Nous voyons comme le champ de pression s'attenue le long de la coordonnee x. Dans le deuxieme cas
(gure 3.c) la frequence est situee dans une bande  propagative , kDx= = 3:54. Nous observons
donc un eet de resonance du reseau. Ces resultats sont interessants du point de vue de l'acoustique
urbaine, car on montre que ce type de comportements peuvent se manifester me^me dans le cas d'un
milieu ni (cas d'un quartier).
Conclusions
La methode EF-modale peut e^tre adaptee a l'etude de reseaux periodiques ouverts nis et innis.
Nous avons vu que, du fait du caractere evanescent des nombres d'onde de Bloch trouves, une valeur
limite de sa partie imaginaire doit e^tre acceptee an de tracer les diagrammes de bandes de ce type de
milieu. En outre, les resultats ont montre que des phenomenes typiques de reseau peuvent appara^tre
me^me pour des milieux constitues d'un nombre reduit de rangees. Cette methode represente donc un
outil permettant d'evaluer l'inuence de la morphologie d'un quartier dans la propagation acoustique.
Annexe A. Calcul des modes transverses par EF
Dans cette partie, nous nous interessons au calcul des modes propres des sections S1 et S2 representees
sur la gure 1.b. Pour chaque section, le probleme a resoudre vient donne par :8>>>>><>>>>>:

@2
@y2
+
1

@
@z

1

@
@z

+ 2

(y; z) = 0;8(y; z);
@n(y; z) = 0;8(y; z) 2  N ;
(y 2  D; z) = y(y 2  G; z);
@n(y 2  G; z) =  y@n(y 2  G; z);
(10)
4
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γ = 6.4 · 10−2 γ = 6.4 · 10−4γ = 6.4 · 10−3
10.80.60.40.20
0
1
2
3
4
5
|Re {kBx} |Dx/pi
k
D
x
/pi
a)
b)
c)
Figure 3 { a) Diagramme de bandes obtenu pour le reseau inni pour dierentes valeurs de . b)
champ de pression dans le plan horizontal a la hauteur z = 0:4 d'un reseau ni constitue de 6 rangees,
excite dans une bande interdite. c) me^me cas que b) mais excite dans une bande  propagative .
ou  est le nombre d'onde dans le plan. Le probleme est discretise suivant une methode EF standard,
avec des elements triangulaires lineaires (voir gure 4).  N represente des frontieres parfaitement
reechissantes, alors que  G et  D sont des frontieres periodiques. Le maillage est genere de facon a
ce que les nuds places sur les frontieres  D et  G soient symetriques par rapport a l'axe vertical. De
plus, par souci de simplicite, on impose un maillage identique dans la zone commune aux deux sections
transversales, S1 \ S2 [9]. Le champ est ensuite developpe sur la base des fonctions d'interpolation
 n(y; z) choisies (polyno^mes de Legendre du premier ordre dans notre cas) :
(y; z) =
NX
n=1
n n =
t ~ ~; (11)
et la forme discretisee du probleme (10) prend la forme 
K  2M ~ = ~u; (12)
ou K et M sont les matrices de masse et raideur, respectivement :
Kmn =
Z
S
1
2

@ m
@y
@ n
@y
+
@ m
@z
@ n
@z

dS; (13)
Mmn =
Z
S
 m ndS; (14)
et le term un de ~u est donne par :
un =
Z
 
@n nd ; (15)
avec   =  N [  G [  D. Il est facile de prouver que ces termes sont nuls pour tous les nuds sauf
pour ceux qui sont localises sur les frontieres periodiques.
An d'ecrire le probleme sous une forme plus compacte, nous pouvons denir la matriceD = K 2M.
Ensuite, le probleme est reordonne an de faire appara^tre d'abord les nuds appartenant a  G (indice
G), suivies par les nuds interieurs (I), et nalement ceux appartenant a la frontiere  D (D) [1]. Il
vient : 0@DGG DGI DGDDIG DII DID
DDG DDI DDD
1A0@~G~I
~D
1A =
0@~uG~0
~uD
1A : (16)
5
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Les deux dernieres conditions de (10) peuvent maintenant se traduire par les deux expressions vecto-
rielles suivantes : 
~D = y~G;
~uD =  y~uG: (17)
Par consequent, en appliquant les conditions (17) dans (16) et realisant quelques operations, nous
obtenons le probleme aux valeurs propres pour les inconnues ~G et ~I :
Db

~G
~I

=

~0
~0

; (18)
avec
Db =

DGG + yDGD + 
 1
y DDG +DDD DGI + 
 1
y DDI
DIG + yDID DII

= Kb   2Mb: (19)
Les valeurs propres m sont obtenues comme les valeurs de  qui satisfont detfDbg = 0 et les modes
propres sont les vecteurs propres associes ~n. Finalement, les valeurs des inconnues eliminees ~D
peuvent e^tre directement obtenues gra^ce a (18).
PML
S1
ΓG
ΓN
PML
ΓD
z
y
S2
Figure 4 { Exemple de maillage des sections transversales.  N represente des frontieres rigides, en
trait epais continu.  G et  D representent les frontieres periodiques, en trait discontinu.
References
[1] J.-F. Allard, O. Dazel, G. Gautier, J.-P Groby. Porous medium with corrugated surface. J. Acoust.
Soc. Am. 129 3 (2011).
[2] J.P. Berenger. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves. J. Comp.
Phys., 114 2 (1994) 185-200.
[3] L. Brillouin. Wave propagation in periodic structures. McGraw-Hill, New York, 1946.
[4] A. Duclos, D. Lafarge, V. Pagneux. Transmission of acoustic waves through 2D phononic crystal :
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[5] S. Felix, V. Pagneux. Sound propagation in rigid bends : A multimodal approach. J. Acoust. Soc.
Am., 110 3 (2001) 1329-1337.
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for the sound propagation modeling in urban canyons, Internoise 2010. Lisbon, Portugal, 2010
[7] V. Pagneux, N. Amir, J. Kergomard. A study of wave propagation in varying cross-section wave-
guides by modal decomposition. Part I : Theory and Validation. J. Acoust. Soc. Am., 100 4 (1996)
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[8] A. Pelat, S.Felix, V. Pagneux, On the use of leaky modes in open waveguides for the sound
propagation modeling in street canyons. J. Acoust. Soc. Am., 126 6 (2009) 2864-2872.
[9] A. Pelat, S. Felix, V. Pagneux. A coupled Modal-FE method for the wave propagation in irregular
open waveguides. J. Acoust. Soc. Am. 129. (2011, to appear)
[10] A. Pelat, S. Felix, V. Pagneux. Coupled Modal-Finite Element method of the sound propagation
in a non uniform street canyon. Euronoise 2009. Edinburgh, Scotland. 2009.
6


Application de la méthode EF-modale à l'étude de réseaux périodiques ouverts

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46431/1/cfm2011_935.pdf

Application de la méthode EF-modale à l'étude de réseaux périodiques ouverts

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