Modéliser la propagation acoustique dans une rue représente un coût numérique élevé. Pour réduire le temps de calcul, nous proposons d'effectuer une approximation one-way. Par le biais d'un changement de coordonnées appliqué à l'équation parabolique standard, il est possible de modéliser des guides d'ondes dont la géométrie varie continument. Le modèle obtenu est comparé avec une solution de référence ce qui permet de mettre en avant la bonne modélisation du champ de pression pour des irrégularités variant lentement devant la longueur d'onde

DOC, Jean-Baptiste

FELIX, Simon

LIHOREAU, Bertrand

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
Propagation du son dans des guides d’ondes irréguliers :
Approximation unidirectionnelle pour une application à
l’acoustique urbaine
Jean-Baptiste Doca, Bertrand Lihoreaua, Simon Félixa
a. LAUM, CNRS, avenue Olivier Messiaen, 72085 Le Mans, France.
Résumé :
Modéliser la propagation acoustique dans un guide d’onde irrégulier peut représenter un coût numérique
élevé. Pour réduire le temps de calcul, deux modèles unidirectionnels sont développés. Le premier, basé
sur une équation parabolique, permet de tenir compte des irrégularités du guide à travers un changement
de variables. Le second est basé sur un développement modal. Les modèles obtenus sont comparés à une
solution de référence. Lorsque les irrégularités sont modérées, les modèles unidirectionnels donnent des
résultats satisfaisants.
Abstract :
Modeling acoustic propagation in an irregular waveguide can lead to high computational cost. To reduce
the computation time, two "one-way" models are developed. The first, based on a parabolic equation,
takes into account the waveguide irregularities through a change of variables.The second is based on
a modal expansion. The models are compared to a reference solution. When irregularities are mode-
rate,unidirectional models give satisfactory results.
Mots clefs : Guide d’ondes, Approximation unidirectionnelle, Equations paraboliques
Introduction
Dans le domaine de l’acoustique, de nombreuses méthodes sont employées pour modéliser la propaga-
tion du son dans des guide d’ondes de géométrie complexe [1]. Lorsque la section de ce type de guide
d’ondes varie lentement, le taux d’ondes retours est très faible et la rétropropagation peut alors être
négligée. Dans ce cas, le champ de pression peut être approché en considérant uniquement les ondes se
propageant selon une direction privilégiée. Ce type d’approximation est couramment utilisé aussi bien
dans l’acoustique sous-marine que dans l’acoustique environnementale. Traditionnellement, la méthode
des équations paraboliques [2] est alors utilisée pour approximer l’équation d’ondes.
Le but de ce travail est de développer deux modèles basés sur une approximation unidirectionnelle de la
propagation du son dans des guides d’ondes irréguliers et de présenter les capacités de modélisation de
telles approches. La première méthode est basée sur l’utilisation des équations paraboliques adaptées
à la prise en compte de la variation de section du guide. La seconde méthode est basée sur une
approche multimodale adaptée à une approximation unidirectionnelle. Dans un premier temps, ces
deux méthodes vont être présentées ; dans un second temps une comparaison entre ces deux méthodes
sera effectuée pour une géométrie donnée.
1 Méthodes one-way
Cette partie présente deux modèles de propagation du son en guide d’ondes irréguliers issus d’une
approximation unidirectionnelle. Ces deux modèles ondulatoires sont basés sur l’équation de Helmholtz
en régime harmonique (k = 2pif
c0
) en dehors des sources. L’équation d’ondes s’écrit alors
(
∆+ k2
)
p = 0.
1
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
z z˜
x x˜
d d
ξ(x)
w(x) = d+ ξ(x)
Changement
de coordonnées
Figure 1 – Illustration du changement de coordonnées.
Cette partie présente deux méthodes d’approximation de l’équation de Helmholtz pour obtenir en une
équation d’ondes unidirectionnelle en guide d’ondes irréguliers.
1.1 Equation parabolique
L’équation parabolique consiste à approximer l’équation de Helmholtz en une équation différentielle
d’ordre un. Pour cela, l’équation de Helmholtz peut être développée sous la forme[(
∂
∂x
+ ikQ
)(
∂
∂x
− ikQ
)
+ ik
(
∂
∂x
Q−Q ∂
∂x
)]
p(x, z) = 0, (1)
avec Q = √1 + Lz le pseudo-opérateur transverse où Lz = 1k2 ∂
2
∂z2
. Si l’on fait l’hypothèse qui consiste
à négliger les ondes retours et leurs couplages avec les ondes aller, l’équation (1) peut être simplifiée :(
∂
∂x
− ikQ
)
p+(x, z) = 0. (2)
L’équation (2) est une solution exacte de la propagation du son en guide droit homogène, l’approxima-
tion unidirectionnelle n’apporte aucune source d’erreur dans ce cas.
Pour prendre en compte la variation de la section du guide d’ondes, nous opérons un changement de
coordonnées pour transformer un guide irrégulier homogène en un guide droit hétérogène. La figure 1
présente le type de géométrie étudiée : un guide d’onde avec sa paroi inférieure droite et sa paroi
supérieure irrégulière. w(x) représente la largeur locale du guide d’ondes qui varie autour d’une largeur
moyenne noté d. Le changement de coordonnées est défini par :

x˜ = x, (3a)
z˜ =
d
d+ ξ(x)
z =
d
w(x)
z. (3b)
Un nouveau gradient de pression peut être défini d’après les équations (3a) and (3b), il s’écrit

∂
∂x
=
∂
∂x˜
−
(
ξ′(x)
w(x)
z˜
)
∂
∂z˜
, (4a)
∂
∂z
=
d
w(x)
∂
∂z˜
. (4b)
En appliquant les équations (4a) et (4b) à l’équation d’onde unidirectionnelle (2), on obtient une
équation d’onde one-way pour les guides d’ondes irréguliers :[
∂
∂x
− ξ
′(x)
w(x)
z˜
∂
∂z˜
− ik
(
Q˜ − 1
)]
φ˜(x, z˜) = 0, (5)
où Q˜ =
√
1 + L˜z et L˜z = 1k2 d
2
w(x)2
∂2
∂z˜2
. Cette équation est écrite avec la variable enveloppe de pression
qui se définit par φ˜(x, z˜) = p˜(x, z˜)e−ik0x.
2
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
L’équation (5) a une forme similaire à celle présentée par Evans [3], à l’exception du changement de
coordonnées qui, dans notre cas, peut répercuter la variation de géométrie du guide au niveau de
l’évolution de la largeur transverse.
Entre les équations (2) et (5), on peut constater que deux nouveaux termes apparaissent :
– ξ
′(x)
w(x) z˜
∂
∂z˜
prend en compte le changement de courbure locale du guide,
– d
2
w(x)2 prend en compte l’élargissement du guide.
Si l’on considère des variations lentes de la géométrie du guide d’ondes, la fonction ξ(x) peut être
considérée constante sur un intervalle [x, x+∆x] et la solution de l’équation d’onde (5) peut s’écrire
φ˜(x+∆x, z˜) = e
ξ′(x)
w(x)
z˜∆x ∂
∂z˜ eik0∆x(Q˜−1)φ˜(x, z˜). (6)
Pour la résolution numérique de l’équation (6), l’opérateur Q est approximé par un développement
de Padé [4]. Des coefficients de Padé complexes [5] sont utilisés afin de faire décroître les modes
évanescents générés par le changement de section du guide d’ondes. De plus, l’opérateur exponentiel
est développé à l’ordre un. L’équation alors obtenue est discrétisée selon z˜ en utilisant les différences
finies. Un algorithme de propagation pas à pas est alors obtenu pour calculer le champ à n’importe
quelle distance pour un état initial donné.
1.2 Méthode multimodale
La méthode multimodale [6] consiste à projeter l’équation de Helmholtz sur une base de modes trans-
verses. Les modes transverses du guide d’ondes sont alors utilisés pour discrétiser le problème transverse
selon l’axe z. Pour cela, l’équation de Helmholtz peut être mise sous la forme
∂
∂x
(
p
q
)
=
(
0 1
−( ∂2
∂z2
+ k2) 0
)(
p
q
)
, (7)
avec q le gradient de pression longitudinale : q = ∂p
∂x
. p et q peuvent être définis :

p =
∞∑
n=0
Pn(x)gn(x, z) (8a)
q =
∞∑
n=0
Qn(x)gn(x, z), (8b)
avec les modes transverses gn(x, z), qui pour un guide d’onde irrégulier avec condition de Neumann
aux parois, s’écrivent
gn(x, z) =
√
2− δ0n
w(x)
cos
(
npi
w(x)
z
)
. (9)
Les modes transverses ainsi définis satisfont la relation d’orthogonalité
w(x)∫
0
gngmdz = δnm. La projec-
tion de l’équation (7) sur les modes transverses permet d’obtenir le système d’équations différentielles
∂
∂x
(
P
Q
)
=
( −F 1
−K2 F t
)
︸ ︷︷ ︸
[H]
(
P
Q
)
, (10)
où K est une matrice diagonale correspondant à la relation de dispersion Knm = knδnm avec kn =√
k2 −
(
npi
w(x)
)2
. F est une matrice avec des termes non-diagonaux qui, pour des conditions de Neumann
3
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
aux parois, s’exprime
Fnm =


0 n = 0 et m > 0, (11a)
−ξ′
2w
n = 0 et m = 0, (11b)
−ξ′
w
√
2(−1)n n > 0 et m = 0, (11c)
−ξ′
w
n = m 6= 0, (11d)
2ξ′
w
(−1)n+m
[
n2
m2 − n2
]
sinon. (11e)
La matrice d’admittance Y peut être définie comme Q = Y P . D’après l’équation (10), pour calculer
la pression à l’intérieur du guide d’ondes, cela revient à résoudre l’équation différentielle d’ordre un
∂P
∂x
= (Y − F )P. (12)
L’équation différentielle (12) est une forme de solution de l’équation de Helmholtz. Une approximation
unidirectionne de cette équation peut être obtenue en partant du principe qu’un champ de pression peut
être décomposé selon des composantes propagative P+ et rétro-propagative P−, cela revient à écrire
P = P++P−. Le gradient longitudinal de la pression peut alors s’écrireQ = iKP+−iKP−. En utilisant
la matrice d’admittance, le gradient de la pression peut également prendre la forme Q = Y (P+ +P−).
Donc, si l’on néglige les composantes retours du champ de pression (P− = 0), cela veut dire que la
matrice d’admittance prend la forme Ynm = iK.
Pour résoudre numériquement l’équation (12), nous choisissons d’utiliser une méthode de Magnus [7].
Cela revient à résoudre l’équation
P (x+∆x) =
[
E1 + E2 Y
(
x+ ∆x2
)]−1
P (x), (13)
avec
e−∆x[H(x+
∆x
2 )] =
[
E1 E2
E3 E4
]
. (14)
2 Evaluation des modèles one-way
Pour quantifier l’erreur apportée par l’approximation unidirectionnelle et comparer les hypothèses
formulées d’un modèle à l’autre, nous proposons dans cette partie une comparaison entre les modèles
one-way et une solution de référence.
2.1 Solution de référence
Nous choisissons comme solution de référence la méthode multimodale [7]. La matrice d’admittance
est alors obtenue en faisant le rapport des deux équations du système (10). En partant d’une condition
de rayonnement en sortie du guide (tube infini), il est possible de ramener l’impédance jusqu’à l’entrée
du guide en résolvant l’équation
Y (x−∆x) = [E3 + E4Y (x)] [E1 + E2Y (x)]−1 . (15)
z
x
T
a
Lx = 10mL
z
=
1m
Figure 2 – Exemple de géométrie étudiée.
4
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
1
0
103 70
(a) Solution de référence
1
0
103 70
(b) Méthode multimodale one-way
1
0
103 70
(c) Equation parabolique
Figure 3 – Cartographies du champ de pression pour les trois modèles.
replacements
1
0 0
10
(%)
103 70
(a) Erreur absolue (%) entre la solution de référence
et le multimodal one-way
1
0 0
10
(%)
103 70
(b) Erreur absolue (%) entre la solution de référence
et l’équation parabolique
Figure 4 – Erreur absolue des modèles one-way pour un guide d’ondes irrégulier.
2.2 Géométrie étudiée
La géométrie du guide d’ondes correspond à un élargissement ou à un rétrécissement local de la section
transverse. L’irrégularité est définie comme une période de fonction cosinus de période T et d’amplitude
a. La figure 2 présente le type de géométrie étudiée.
2.3 Comparaison du champ de pression
Pour évaluer les modèles one-way, nous allons comparer le champ de pression entre la solution de
référence et les deux modèles présentés dans la partie 1. La géométrie étudiée est celle présentée à
la figure 2 avec T = 4m et a = 0.1m. La longeur d’onde est fixée à λ = 0.58m, la condition initiale
consiste à imposer à 1 les coefficients de chacun des modes propagatifs.
La figure 3 présente les cartographies du module de la pression à l’intérieur du guide d’ondes pour la
solution de référence et des deux modèles one-way. On peut constater que le champ de pression est
correctement modélisé par les deux méthodes de propagation unidirectionnelle.
Si l’on définit une erreur absolue  = |pone-way−pref|/|max(pref)|, on peut tracer la figure 4 qui représente
les cartographies d’erreur pour chacun des modèles one-way. Avant l’irrégularité (x ∈ [0, 3]) l’erreur
absolue est pratiquement nulle, ce qui permet de valider l’approximation unidirectionnelle puisque pour
cette configuration il y très peu d’ondes retours.
La figure 4(a) nous renseigne sur le fait que l’erreur commise par le multimodal one-way dans la
zone de l’irrégularité (x ∈ [3, 7]) s’étend à la partie droite suivante (x ∈ [7, 10]). Cela n’est pas le
cas pour l’approche parabolique (figure 4(b)). L’erreur dans la zone de l’irrégularité provient d’un
mauvais couplage entre les modes du fait des différentes hypothèses formulées lors de l’approximation
unidirectionnelle.
2.4 Effet de l’amplitude de l’irrégularité
Pour observer l’effet de l’amplitude de l’irrégularité sur l’erreur commise par les modèles one-way, on
définit une erreur relative intégrant le champ transversalement et longitudinalement. Ainsi, tout un
champ de pression est ramené à une valeur correspondant à son erreur relative par rapport à la solution
de référence.
La figure 5 présente l’évolution de cette erreur relative en fonction de l’amplitude de l’irrégularité pour la
précédente configuration (λ = 0.58m et T = 4m). Pour de très petites amplitudes d’irrégularité, on peut
constater que le multimodal one-way tend vers le modèle de référence, alors que le modèle parabolique
conserve toujours une faible erreur du fait de l’approximation du pseudo-opérateur transerve Q. Plus
5
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
10
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
0 0.05 0.1 0.15 0.2
Multimodale one-way
Equation paraboliqueE
rr
eu
r
re
la
ti
ve
(%
)
Amplitude de l’irrégularité (m)
Figure 5 – Erreur relative des modèles one-way en fonction de l’amplitude de l’irrégularité.
l’amplitude de l’irrégularité augmente, plus l’erreur est importante puisque le taux d’ondes retours
dans ce cas augmente également. On constate également que l’écart entre les erreurs relatives des deux
modèles se creuse en défaveur du multimodal one-way. Pour a ' 0.18m, on se trouve à un passage à
la coupure à l’intérieur de l’irrégularité avec un nombre de modes propagatifs qui augmente du fait de
l’élargissement de la section du guide. Les deux modèles sont sensibles à cette coupure.
Conclusion
Les observations qui viennent d’être faites ne sont valables que pour la géométrie qui a été étudiée. Il
ressort tout de même de cette comparaison que le modèle basé sur les équations paraboliques paraît
mieux modéliser le champ de pression à l’intérieur d’un guide d’ondes irrégulier, avec une erreur dans
la zone de l’irrégularité qui n’est pas propagée dans la suite du guide. Il est évident que d’autres
paramètres comme la longueur d’ondes ou le nombre d’irrégularités successives ont un impact direct
sur les possibilités des modèles. Il pourrait être intéressant d’étendre l’étude à ces paramètres.
La principale perspective de ce travail est l’utilisation de l’équation parabolique pour une modélisation
à trois dimensions des guides d’ondes irréguliers. Ces derniers auront la particularité d’être ouverts
afin de représenter l’ouverture des rues sur le ciel, la prise en compte des irrégularités permettra de
considérer l’effet des façades d’immeubles sur la diffusion du son.
Remerciements
Les auteurs remercient le conseil régional des Pays de la Loire pour son soutien financier. Ce travail
a été également soutenu par l’Agence Nationale de la Recherche dans le cadre de l’ANR AcouVille
(ANR-09-JCJC-0009-01).
Références
[1] L. Campos : Some general properties of the exact acoustic fields in horns and baﬄes, J. Sound Vib.,
95(2) : 177-201, 1984.
[2] F. Tappert : The parabolic approximation method, Springer Berlin / Heidelberg, 1977.
[3] R.B. Evans : The flattened surface parabolic equation, J. Acoust. Soc. Am., 104(4) : 2167-2173,
1998.
[4] A. Bamberger, B. Engquist, L. Halpern, and P. Joly : Higher Order Paraxial Wave Equation
Approximations in Heterogeneous Media, J. Appl. Math., 48(1) : 129-154, 1988.
[5] Y.Y. Lu : A complex coefficient rational approximation of
√
(1 + x), Appl. Num. Math., 27(2) :
141 - 154, 1998.
[6] V. Pagneux, N. Amir and J. Kergomard : A study of wave propagation in varying cross-section
waveguides by modal decomposition. Part I. Theory and validation, J. Acoust. Soc. Am., 100(4) :
2034-2048, 1996.
[7] V. Pagneux : Multimodal admittance method in waveguides and singularity behavior at high fre-
quencies, J. Comp. Appl. Math., 234(6) : 1834 - 1841, 2010.
6


Propagation dans des guides d'ondes irréguliers : approximation unidirectionnelle pour une application à l'acoustique urbaine

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46430/1/cfm2011_934.pdf

Propagation dans des guides d'ondes irréguliers : approximation unidirectionnelle pour une application à l'acoustique urbaine

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues