Un processus de calcul des différentes contributions des flexibilités (denture, roue, arbre et pression de contact) est proposé. Ce processus est basé sur la théorie de Hertz pour la pression de contact et sur la méthode des éléments finis pour le reste des contributions. Ledit processus est utilisé pour l'étude progressive de l'effet de la contribution sur la raideur d'engrènement. Les résultats montrent qu'il n'est pas toujours possible de réduire la raideur d'engrènement à la contribution de la flexibilité de denture uniquement, dans le modèle à paramètres concentrés

BOUDI, Mustapha

JERRAR, Hicham

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  
1 
Modélisation du comportement dynamique des engrenages:  
Évaluation et prise en compte des flexibilités dans les modèles à 
paramètres concentrés. 
H. JERRAR, M. BOUDI  
Université Mohammed V, Ecole Mohammadia d’Ingénieurs (EMI) de Rabat 
Département génie mécanique, équipe de recherche TURBOMACH 
 BP N° : 765, avenue Ibn Sina Agdal, Rabat (Maroc). Courriel: jerrarhicham@gmail.com  
Résumé : 
Un processus de calcul des différentes contributions des flexibilités (denture, fondation de la denture, roue, 
arbre et pression de contact) est proposé. Ce processus est basé sur la théorie de Hertz pour la pression de 
contact et sur l‘exploitation des champs des déplacements donnés par la méthode des éléments finis pour le 
reste des contributions. Ensuite, ledit processus est utilisé pour l'étude progressive de l'effet des 
contributions sur la raideur d'engrènement. Les résultats montrent qu'il n'est pas toujours possible de 
réduire la raideur d'engrènement à la contribution de la flexibilité de denture uniquement, dans les 
modélisations d’engrenages à paramètres concentrés. 
Abstract: 
A workflow of determining different contributions of compliances (tooth, tooth foundation, wheel, shaft and 
pressure contact) is proposed. This workflow is based on Hertz theory for the pressure contact, and on the 
exploitation of the displacements fields given by the three-dimensional finite elements method, for the rest of 
contributions. After that, the workflow is used to study the progressive compliance contributions effect. The 
results show that it is not always possible to consider the effect of tooth mesh stiffness only, in gears 
concentric parameters modeling.    
 
Mots clefs: raideur d’engrènement, erreur de transmission, modélisations d’engrenages à 
paramètres concentrés, méthodes des éléments finis tridimensionnels, pression de Hertz.  
1. Introduction 
Dans la littérature, plusieurs modèles ont été élaborés pour s’approcher le maximum possible des 
conditions réelles afin de prédire le comportement dynamique des engrenages. Historiquement, les modèles 
se basent sur une modélisation masse-ressort et à paramètres concentrés (figure 1), considérant l’engrenage : 
deux cylindres rigides reliés par une raideur d’engrènement. Plusieurs de ces modèles privilégient les effets 
torsionnels et négligeaient ceux flexionnels afin d’obtenir des modèles à un seul degré de liberté par roue, 
nous citons les plus récentes : [1] et [2]. D’autres études, mais ce n’est que récemment, se basent sur des 
paramètres distribués pour tenir compte du couplage de différentes contributions des flexibilités [3]. 
Le présent travail vise à évaluer l’effet de la prise en compte des contributions de flexibilités (denture, 
fondation de la denture, corps de la roue, arbre et pression de contact) sur la raideur d’engrènement et sur 
l’erreur de transmission quasi-statique sous charge, pour décider sur la possibilité de réduire ou ne pas 
réduire la raideur d’engrènement à l’unique contribution de la déformation élastique de la denture dans les 
modèles à paramètres concentrés. 
La première partie est consacrée à la proposition et la description d’un processus de calcul des 
différentes contributions des flexibilités (denture, fondation de la denture, corps de la roue, arbre et pression 
de contact). La déformation due à la pression de contact est calculée par la théorie de Hertz tandis que le 
reste des flexibilités sont déterminées à partir des champs des déplacements donnés par la méthode des 
éléments finis tridimensionnels (MEF-3D), pour laquelle nous utilisons le logiciel commercial CATIA 
V5R19. La deuxième partie quant à elle, est une application dudit processus progressivement à un cas 
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d’engrenage d’inversion de sens pour analyser l’effet des contributions sur la raideur d'engrènement et 
l’erreur de transmission quasi-statique sous charge.  
 
FIG. 1 – Modèle à paramètres concentrés d’après [1]. 
2. Processus de calcul des différentes contributions des flexibilités: 
Ledit processus se compose de trois étapes principales (figure 2): 
• La construction géométrique et modélisation 3D du couple « pignon + roue avec arbres », 
• La détermination de la raideur du couple de dents conjuguées en prise à partir du rapprochement 
normal au contact tenant compte de la contribution: 
- des flexibilités (denture, fondation de la denture, corps de la roue et arbre) par la MEF-3D. 
- et de l’écrasement dû à la pression de contact par la théorie de Hertz. 
• Enfin, le calcul de la raideur d’engrènement et de l’erreur  de transmission quasi-statique sous charge. 
Afin de déterminer l’écrasement induit par la pression de contact, nous utiliserons la formulation 
tridimensionnelle de Lundberg [6], équation (1):  
 











++
−
=
Ha
b
Eb
F log)2log(
2
112
2
pi
νδ  (1) 
Avec F/b: charge par unité de longueur, E : module d’élasticité, ν: coefficient de poisson, 
et  
E
r
b
F
a
H
pi
ν 218 −= : est la demi largeur du contact hertzien (figure 3) et 
21
21
rr
rr
r
+
= : le rayon de 
courbure équivalent au point de contact considéré, rm étant celui de la roue dentée m (m=1,2). Le rayon de 
courbure évolue le long du contact (figure 5–d). 
3. Effet des contributions des flexibilités sur la raideur d’engrènement et sur 
l’erreur de transmission quasi-statique sous charge: 
La raideur équivalente totale d’un couple de dents en prise, est donnée par [7], équation (2): 
 
tvecfeq KKKKK
11111
+++=  (2) 
Avec : Kf  est la raideur de flexion des dents, Kec est la raideur à l’écrasement, Kv est la raideur des voiles des 
corps des roues et Kt la raideur à la torsion des lignes d’arbres. Certains auteurs, par exemple [2], considèrent 
1/Kec, 1/Kv et 1/Kt suffisamment petites pour être négligées et réduisent la raideur équivalente à l’unique 
raideur de flexion des dents.  
Nous nous proposons d’appliquer le processus de la figure 2, progressivement pour mettre en évidence la 
contribution de chaque flexibilité, et offrir ainsi une méthodologie permettant de décider sur les contributions 
à négliger et celles à considérer. 
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3 
 
 
FIG. 2 – Processus de calcul des différentes contributions des flexibilités (denture, fondation de la denture, 
corps de la roue, arbre et pression de contact) à l’aide de la MEF-3D  et la théorie de Hertz 
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FIG. 3 – Demi espace élastique soumis à une distribution hertzienne pour la formule de Lundberg, d’après [1] 
L’engrenage, objet de l’application du processus, est issu de la littérature [8]. Mais pour pouvoir l’appliquer 
progressivement, il y a lieu de réaliser la construction tridimensionnelle d’une dent isolée, puis la roue dentée 
sans arbres et enfin la roue dentée avec arbre (figure 4) : 
a.   b.   c.  
FIG. 4 – Modélisations tridimensionnelles pour application du processus (figure 2) progressivement : 
4–a: dent isolée encastrée à sa base, 4–b: roue sans arbre, 4–c: roue avec arbre (continuité matière). 
Les caractéristiques de l’engrenage étudié sont: Nombre de dents Z = 28; Largeur de denture L= 6,250mm; 
Module M= 3,175mm; Angle de pression   α =  20°,   Angle  d’hélice   β = 0°;  Coefficient  de creux hf/M= 
1,4 ; Coefficient de saillie ha/M=1; Rayon de raccordement en pied de dent Rc= 0,635mm;  Diamètre 
intérieur Φint = 24 mm (figure 5–a). La construction géométrique de la dent et la préparation des points 
appartenant au profil de la dent en développante de cercle sont présentées à la figure 5–b. Ces  points  sont 
utilisés par la fonction  extrusion,  pour  générer  les  lignes  de   contact présentées à la figure  5–c. Le 
matériau est de l’acier et l’effort statique Fs=1615 N appliqué perpendiculairement au profil à chaque ligne 
de contact, au fur et à mesure de façon à simuler l’évolution du contact entre deux dents conjuguées. 
a. b.  c.   d.  
FIG. 5 –a: Détails géométriques (en mm) de la roue dentée. –b: Construction géométrique 2D de la dent et 
des points du profil de la dent en développante de cercle. –c: lignes de contact et application de Fs. 
–d : rayons de courbure aux lignes de contact considérées pour le calcul par la formulation de Lundberg. 
Les résultats de l’application progressive (En utilisant à chaque fois, la méthode des éléments finis 
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tridimensionnels linéaires uniformes MEFLU-3D de taille L/23) du processus sont présentés à la figure 6: la 
pression de contact, suivie de la dent isolée encastrée à sa base, puis la roue dentée sans arbre encastrée à son 
diamètre intérieur (pour tenir compte de la flexibilité de la dent, sa fondation et le corps de la roue), et enfin 
la roue dentée avec son arbre encastrée au niveau des portées de roulements.  
Nous constatons que le fait de prendre en compte les différentes contributions agit de façon importante sur 
les valeurs de la flexibilité du couple de dents conjuguées en prise, et par conséquent sur la raideur 
d’engrènement et l’erreur de transmission quasi-statique sous charge. Et que la seule contribution qui peut 
être négligée ici, est celle de l’écrasement par la pression de contact. En effet, la moyenne de la flexibilité de 
l’écrasement est de 0,005835, soit  0,055 % de la moyenne de flexibilité de la dent isolée et 0,0155 % de 
celle de la roue avec arbre (contenant toutes les contributions flexionnelles). A noter que la moyenne trouvée 
pour la flexibilité adimensionnée de la dent isolée est égale à 10,55 , et que les normes [9] permettent de 
trouver une moyenne adimensionnée pour la même contribution égale à 12,14 , qui sont deux valeurs de 
même ordre de grandeur. Et que toutes les flexibilités (par conséquent, toutes les raideurs) de l’engrenage 
étudié, retrouvent la forme parabolique qui en est une propriété [9]. 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 0,5 1 1,5 2
S
Flexibilité écrasement
Flexibilité dent isolée
Flexibilité roue sans arbre
Flexibilité roue avec arbre
 
FIG. 6 – Flexibilités adimensionnées du couple de dents selon les contributions prises en compte. 
En inversant la flexibilité adimensionnée (du couple de dents) tenant compte de la contribution de 
l’écrasement, la denture, sa fondation, le corps de la roue et l’arbre, nous obtenons la raideur Keq,1,2 
permettant de déterminer à l’aide du processus de la figure 2 :  la raideur d’engrènement de la dent isolée est 
donnée à la figure 7–a, et celle de la roue avec arbre (toute contribution prise en compte) est donnée par la 
figure 7–b. Quant à l’erreur de transmission quasi-statique sous charge : celle de la dent isolée est présentée à 
la figure 8–a et celle de  la roue avec arbre est présentée à la figure 8–b. 
 
  
 
 
  
 
FIG. 7 – a : Raideur d’engrènement de la flexion de la dent isolée. 
              – b : Celle de la roue avec arbre (toute contribution incluse). 
 
 
Flexibilité écrasement
0,0058
0,00581
0,00582
0,00583
0,00584
0,00585
0,00586
0,00587
0,00588
0,00589
0 0,5 1 1,5
S a. 
Raideur adimensionnée de la dent isolé 
b. 
Raideur adimensionnée de la roue avec arbre 
S 
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6 
 
a.   b.  
FIG. 8  – a : Erreur de transmission quasi-statique sous charge de la dent isolée. 
– b : Celle de la roue avec arbre (toute contribution incluse). 
Le fait d’avoir réduit la raideur d’engrènement à l’unique contribution de la flexion de la dent (figure 7-a) 
donne une raideur minimale de 0,1139/0,0286 = 4 fois plus supérieur que si nous avons considéré toutes les 
contributions (figure 7-b), ce qui peut induire en erreur les simulations du comportement dynamiques des 
engrenages et donner l’impression qu’on est à l’abri de phénomènes destructifs: Car les valeurs élevées de 
raideur d’engrènement permettent [10], de supprimer les sauts d’amplitudes des résonances super 
harmoniques et changent la nature de la résonance principale passant du « type hard » au « type soft ». Et 
particulièrement, l’augmentation de la partie de raideur exprimant le contact entre une seule paire de dents 
(partie de la raideur d’engrènement minimale),  permet de diminuer les mouvements à double impact et de 
diminuer l'amplitude de la réponse fréquentielle. 
De même, l’erreur de transmission quasi-statique sous charge, en ne considérant que la contribution de la 
flexion de la denture (figure 8-a), donne une erreur maximale de 45,06µm/11,14µm = 4 fois plus inférieur 
que si nous avons considéré toute les contributions (figure 8-b), alors que nous avons intérêt à avoir une 
erreur de transmission la plus faible possible, ce qui donnera une fausse évaluation de la précision de 
l’engrenage à concevoir et donnera une sous-évaluation du coefficient de chargement dynamique, étant 
donnée sa relation de proportionnalité avec l’erreur de transmission quasi-statique sous charge, [5]. 
4. Conclusion : 
Un processus de détermination de la raideur d’engrènement équivalente et de l’erreur de transmission quasi-
statique sous charge est proposé. Ce processus permet de prendre en considération toutes les contributions 
des flexibilités, à savoir : l’écrasement engendré par la pression de contact, la flexion de la denture, la 
fondation de la denture, le voile du corps de la roue et l’arbre. La théorie de Hertz est utilisée pour 
déterminer l’écrasement, tandis que la méthode des éléments finis tridimensionnels linéaires uniformes est 
utilisée pour les autres contributions. En plus, ledit processus offre un outil de décision sur les contributions à 
prendre en considération et celles à négliger dans les models à paramètres concentrés, et ceci par la prise en 
compte progressive des différentes contributions. L’application à un cas d’engrenage simple étage 
cylindrique droit à développante de cercle a permis de dégager les résultats suivants: 
-La MEFLU-3D a permis de retrouver la forme parabolique des raideurs pour toutes les contributions. 
-La prise en compte progressive des différentes contributions agit considérablement sur les résultats obtenus, 
et que la seule contribution qui peut être négligée dans le cas étudié est la flexibilité de l’écrasement. 
-La réduction de la raideur à l’unique contribution de la flexion de la denture, a produit une augmentation de 
la valeur de la raideur d’engrènement de 4 fois, et la diminution de la valeur de l’erreur de transmission 
quasi-statique sous charge de  4 fois, par rapport aux valeurs obtenues si toutes les contributions sont 
incluses. 
Une fois la décision est prise concernant les contributions à prendre en considération, les précisions des 
Etqs/ch de la dent isolée Etqs/ch de la roue avec arbre 
S S 
µm µm 
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valeurs de la raideur d’engrènement et de l’erreur de transmission quasi-statique sous charge, peuvent être 
améliorées par les approches proposées par [11]. 
Références: 
[1] Sika G., « Dynamique des transmissions en régime transitoire », thèse de doctorat 2008, INSA de Lyon. 
[2] Chaari & al., « Simulation numérique du comportement dynamique d’une transmission par engrenages en 
présence de défauts de denture » Mécanique & Industries 6, 625-633, 2006. 
[3] Bettaieb M., « Modélisation du comportement mécanique d’engrenages. Couplages entre engrènement et 
éléments de structures flexibles », thèse de doctorat 2006, INSA de Lyon. 
[4] Bard C., « Modélisation du comportement dynamique des transmission par engrenages », thèse de 
doctorat 1995, INSA de Lyon. 
[5] Lin & al., « Profile Modification to minimize spur gear dynamic loading » NASA Technical 
Memorandum 89901. The Design Engineering Technical Conference, 1988. 
[6] Lundberg G., « Elastiche berührung zweier halbraüne (Elastic contact of two half spaces) »,  
Forschung auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, 1939, Vol.10, N°:5, P.201-211. 
[7] Velex P., « Contribution à l’analyse du comportement dynamique des engrenages à axes parallèles », 
thèse de doctorat 1984, INSA de Lyon. 
[8] Karra et al. « Modélisation bidimensionnelle par éléments finis d’un engrenage droit: étude de la raideur 
d’engrènement et des contraintes au pied de la dent» TCSME, Vol 33, N° 2, 2009. 
[9] Spinnler G.   « Conception   des   machines :   principes   et   applications,   Tome 1:   Statique  »  2002. 
[10] Aissaoui H., « Vibrations non linéaires d’un système d’engrenage droit avec une rigidité d’engrènement 
variable et un jeu de denture» thèse de doctorat 2006, à l’EMI. 
[11] Jerrar H. & Boudi M., “Modélisation du comportement dynamique des engrenages: étude de la raideur 
d’engrènement et de l’erreur de transmission quasi-statique sous charge par la méthode des éléments finis 
tridimensionnels », 20ème Congrès Français de Mécanique, N° 699, 2011. 


Modélisation du comportement dynamique des engrenages : évaluation et prise en compte des flexibilités dans les modèles à paramètres concentrés

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46323/1/cfm2011_723.pdf

Modélisation du comportement dynamique des engrenages : évaluation et prise en compte des flexibilités dans les modèles à paramètres concentrés

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