La détection de défauts par des méthodes non destructives est devenue un facteur majeur d'intérêt dans de nombreux domaines industriels, pour des raisons économiques et de fiabilité des systèmes. L'étude proposée s'intéresse plus particulièrement à l'influence de fissures sur les caractéristiques dynamiques d'une structure intelligente, instrumentée d'actionneurs et de capteurs piézoélectriques reliés par une boucle de contrôle des vibrations et repose sur une modélisation par éléments finis de la structure fissurée

CHOMETTE, Baptiste

FERNANDES, Amâncio

I-Revues

20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Influence de de´fauts sur la dynamique d’une structure
intelligente
B. Chomettea, A. Fernandesa
a. Institut Jean Le Rond d’Alembert, UPMC Paris 6, 75252 PARIS Cedex 05
Re´sume´ :
La de´tection de de´fauts par des me´thodes non destructives est devenue un facteur majeur d’inte´reˆt dans
de nombreux domaines industriels, pour des raisons e´conomiques et de fiabilite´ des syste`mes. L’e´tude
propose´e s’inte´resse plus particulie`rement a` l’influence de fissures sur les caracte´ristiques dynamiques
d’une structure intelligente, instrumente´e d’actionneurs et de capteurs pie´zoe´lectriques relie´s par une
boucle de controˆle des vibrations et repose sur une mode´lisation par e´le´ments finis de la structure
fissure´e.
Abstract :
Damage detection using non destructive methods is a major factor of interest in industries for economic
reasons and to increase system security. The proposed study focusses on the influence of cracks on
smart-structures with piezoelectric actuators and sensors linked by a control loop. The study is based
on a finite element model of the cracked structure.
Mots clefs : Fissures ; Controˆle ; Composants Pie´zoe´lectriques
1 Introduction
Les me´thodes non destructives de de´tection de de´fauts peuvent s’appuyer sur la variation des fre´quences
propres induites par la fissure [1] ou sur la variation de l’amplitude des modes propres ou de la fonction
de re´ponse fre´quentielle [2]. Un e´tat de l’art des principales me´thodes de de´tection est propose´ par
Montalvao [3]. Les mate´riaux pie´zoe´lectriques sont couramment utilise´s comme actionneurs ou cap-
teurs pour de´tecter les de´fauts et controˆler la dynamique des structures endommage´es. Park et al [4]
introduisent une me´thode base´e sur l’utilisation de transducteurs pie´zoe´lectriques. Chomette et al [5]
proposent une strate´gie modale de controˆle des vibrations utilisant des transducteurs pie´zoe´lectriques
pour limiter l’endommagement de cartes e´lectroniques embarque´es. De nombreuses approches peu-
vent eˆtre utilise´es pour mode´liser un de´faut, plus particulie`rement une fissure : une variation locale
de raideur [7], [8] ou des approches plus complexes a` 2 ou 3 dimensions. La mode´lisation des e´le´ments
pie´zoe´lectriques utilise classiquement des e´le´ments 3D mais une approche de type 2D ou 1D est plus
efficace dans le cas des plaques et des poutres. Sadilek et Zemeik [9] proposent en 2010 un mode`le
d’e´le´ments pie´zoe´lectriques de type poutre de´die´ a` la de´tection et l’identification de de´fauts. Peu de
recherches portent sur la de´tection de de´fauts applique´e a` des structures controˆle´es. Les performances
et la stabilite´ d’un controˆleur sont ne´anmoins tre`s sensibles aux modifications de structures [5]. L’e´tude
propose´e s’inte´resse a` l’influence de fissures sur les caracte´ristiques dynamiques d’une structure instru-
mente´e d’actionneurs et de capteurs pie´zoe´lectriques relie´s par une boucle de controˆle des vibrations
et repose sur une mode´lisation par e´le´ments finis de la structure fissure´e.
1
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
2 Mode`le e´le´ments finis de la structure intelligente fissure´e
2.1 Mode`le e´le´ments finis de la fissure
Christides et Barr [10] ont introduit la variation de raideur induite par une fissure, sur une poutre de
section rectangulaire sous forme exponentielle
EI (x) =
EI0
1 +Cexp (−2α|x − xj |/ep)
, (1)
ou` C = (I0 − Icj) /Icj , I0 et Ic e´tant les moments quadratiques des sections non fissure´es et fissure´es,
tels que
I0 =
le3p
12
, Ic =
l (ep − ec)
3
12
, (2)
ou` l et ep de´signent la largeur et l’e´paisseur de la poutre et ec la profondeur de la fissure. E est le
module d’Young de la poutre, xj l’abscisse de la fissure et α une constante issue d’expe´riences [10] et
e´value´e a` 0.667. La raideur de la zone influence´e par la fissure peut s’exprimer sous forme simplifie´e
dans le repe`re local lie´ a` l’e´le´ment (voir figure 1) en fonction de l’indice k de l’e´le´ment conside´re´ et de
l’abscisse xe sur l’e´le´ment
EI− (xe, k) = EI0 −
E (I0 − Ic)
lc
(
xe + (k − 1) le − xc1
)
, (3)
EI+ (xe, k) = EIc +
E (I0 − Ic)
lc
(
xe + (k − 1) le
)
, (4)
ou` + et − de´signent les zones a` gauche et a` droite de la fissure, lc la demi longueur de la zone influence´e
par la fissure de´limite´e par les abscisses xc1 et xc2. La variation de raideur pour un e´le´ment k situe´ a`
gauche et a` droite de la fissure est repre´sente´e sur la figure 1.
Figure 1 – Discre´tisation par e´le´ments finis de la zone influence´e par la fissure.
La matrice de raideur d’un e´le´ment k influence´ par la fissure est obtenue a` partir des fonctions de
forme Ne et de la raideur de l’e´le´ment
K−e,crack =
∫ le
0
EI− (xe, k)N
′′
e (xe)N
′′
e (xe) dxe (5)
K+e,crack =
∫ le
0
EI+ (xe, k)N
′′
e (xe)N
′′
e (xe) dxe (6)
La matrice de raideur de l’e´le´ment fissure´K−e,crack peut e´galement s’exprimer en fonction de la matrice
de raideur de l’e´le´ment non fissure´ Ke a` laquelle est soustraite la raideur induite par la fissure Kc
−
e
Ke,crack = Ke −Kce. (7)
2
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Ce mode`le suppose que la zone soumise a` l’influence de la fissure est libre d’effort. Il sera ne´anmoins
utilise´ ici avec des e´le´ments pie´zoe´lectriques pre´sents dans cette zone pour avoir une premie`re ide´e de
l’influence de la fissure sur les parame`tres des e´le´ments pie´zoe´lectriques.
2.2 Mode`le incluant les e´le´ments pie´zoe´lectriques
Le mode`le e´le´ments finis de la structure fissure´e comportant des e´le´ments pie´zoe´lectriques s’e´crit{
Muuu¨+ (K
cc
uu −Kcrack)u+Kuφφ = F
Kφuu+Kφφφ = Q
, (8)
ou` Muu est la matrice de masse, K
cc
uu la matrice de raideur de la structure saine avec les e´le´ments
pie´zoe´lectriques en court-circuit, Kcrack la matrice de raideur induite par la fissure, Kuφ la matrice de
couplage e´lectrome´canique, Kφφ la matrice die´lectrique, u le vecteur des degre´s de liberte´ me´caniques,
φ le vecteur des degre´s de liberte´ e´lectriques, F le vecteur force et Q le vecteur des charges e´lectriques.
Le mode`le est en contraintes planes et de type poutre (e´le´ments de type Euler Bernoulli). L’efficacite´
des transducteurs pie´zoe´lectriques est caracte´rise´e par le coefficient de couplage e´lectrome´canique
modal
κ2k =
f2co,k − f
2
cc,k
f2co,k
, (9)
ou` fco,k et fcc,k de´signent les fre´quences propres du k
ie`me mode de la structure avec les e´le´ments
pie´zoe´lectriques en circuit ouvert et en court-circuit. Les performances d’un syste`me de controˆle
de´pendent fortement de ce parame`tre. Une erreur sur sa valeur peut limiter les performances ou
de´stabiliser le syste`me controˆle´. L’objectif de cette e´tude est de mettre en e´vidence nume´riquement
les variations du coefficient de couplage en fonction de la profondeur de la fissure et de la position de
l’e´le´ment pie´zoe´lectrique et ses re´percutions sur le controˆleur.
3 Controˆle modal
Le syste`me line´aire est re´pre´sente´ sous sa formulation d’e´tat{
x˙ = Ax+Bu+GW
Y = Cx
, (10)
ou` u est la commande du syste`me, W est la perturbation exte´rieure et Y la sortie du syste`me. Le
vecteur d’e´tat x, la matrice de la dynamique du syste`me A, les matrices actionneur B et capteur C
ainsi que la matrice de perturbation G sont de´finies par
A =
(
0n,n Idn,n
−diag (ωi) −diag (2ξiωi)
)
,B =
(
0n,1
Πa
)
,G =
(
0n,1
Πf
)
,C =
(
Πc 01,n
)
,x =
(
q
q˙
)
, (11)
ou` ωi et ξi sont les pulsations propres et le facteur d’amortissement modal de la structure, Id la
matrice identite´, q le vecteur des de´placements modaux, Πf le vecteur modal de la perturbation, Πa
et Πc les vecteurs de couplage e´lectrome´canique actionneur et capteur. Si les formes modales de la
structure sont suppose´es identiques avec les e´le´ments pie´zoe´lectriques en court-circuit et en circuit
ouvert, le vecteur de couplage e´lectrome´canique peut s’e´crire pour le kie`me mode
(
Πa,ck
)2
=
(
κa,ck
)2
Ca,cp
(
ω2cck
)2
1−
(
κa,ck
)2 , (12)
ou` κa,ck et C
a,c
p sont respectivement le coefficient de couplage e´lectrome´canique et la capacite´ de l’ac-
tionneur ou du capteur, ωcck la pulsation propre avec les e´le´ments pie´zoe´lectriques en court-circuit.
L’algorithme de controˆle utilise´ est de type Line´aire Quadratique Gaussien (LQG). La fonction de
transfert du syste`me en boucle ouverte peut s’e´crire
HBO (jω) =
Y
W
= Cs (jωId−As)
−1
Gs, (13)
3
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
ou` ω est la pulsation propre. (As,Bs,Cs,Gs) est le mode`le d’e´tat repre´sentant la structure dans les
simulations nume´riques et de´termine´ a` partir des parame`tres modaux de´duits du mode`le e´le´ments
finis. La fonction de transfert du syste`me controˆle´ peut s’e´crire
HBF (jω) =
Y
W
= Cs
(
jωId−
(
As −BsK
(
jωId−
(
Am −BmK− LCm
))−1
LCs
))−1
Gs, (14)
ou` (Am,Bm,Cm) est le mode`le d’e´tat utilise´ par l’observateur pour estimer le vecteur d’e´tat, K et L
sont les matrices des gains du controˆleur et de l’observateur obtenues a` partir du crite`re quadratique
LQG.
4 Re´sultats nume´riques
Le syste`me e´tudie´, de type poutre encastre´e/libre, comporte quatre fissures et est instrumente´ d’un
actionneur et d’un capteur pie´zoe´lectrique colocalise´ (syste`me repre´sente´ sur la figure 2).
Figure 2 – Poutre multi-fissure´e ”intelligente” instrumente´e d’actionneurs et de capteurs
pie´zoe´lectriques relie´s par une boucle de controˆle.
La poutre est excite´e par une force exte´rieure W constante applique´e en bout de poutre. L’e´tude
s’inte´resse plus particulie`rement a` l’influence de la fissure sur les caracte´ristiques de couplage e´lectro-
me´canique lorsque le couple actionneur/capteur est e´loigne´ de la fissure ou dans la zone influence´e
par la fissure, c’est a` dire a` raideur variable en fonction de l’abscisse sur la poutre. Le mode`le re´alise´
inte`gre donc la variation de raideur induite par la fissure ainsi que les e´le´ments pie´zoe´lectriques. Les
variations des fre´quences propres de la poutre avec les composants pie´zoe´lectriques en court-circuit
et en circuit ouvert ainsi que celle du coefficient de couplage e´lectrome´canique sont pre´sente´es sur les
figures 3(a) et 3(b). La pre´sence de fissures se traduit par une diminution de la raideur du syste`me et
donc par une diminution des fre´quences propres f . Le coefficient de couplage κ est particulie`rement
sensible aux fissures lorsque les deux composants pie´zoe´lectriques sont proches des zones fissure´es. La
perte de raideur de la structure se traduit par une forte augmentation du couplage e´lectrome´canique
qui accroˆıt l’efficacite´ des actionneurs et la sensibilite´ des capteurs. On note e´galement une le´ge`re
variation moins localise´e. Dans le cas d’un syste`me non colocalise´, la raideur me´canique induite par
les e´le´ments pie´zoe´lectriques e´tant plus faible, le coefficient de couplage e´lectrome´canique devrait eˆtre
plus sensible a` la pre´sence de fissure, mais d’une valeur plus faible.
Ces variations des caracte´ristiques me´caniques et de couplage se traduisent par une modification des
performances du controˆleur applique´ (voir figure 4). Suivant la position du couple actionneur/capteur,
la pre´sence de fissures peut ainsi induire soit une diminution totale des performances du controˆleur
(mode 3 sur les figures 4(a) et 4(b)) soit une amplification du niveau de certains modes (mode 4 sur
la figure 4(a) ou mode 5 sur la figure 4(b)).
4
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
0 50 100
55
60
65
Position du patch
f [
Hz
]
mode 1
0 50 100
350
400
450
Position du patch
f [
Hz
]
mode 2
0 50 100
900
1000
1100
1200
Position du patch
f [
Hz
]
mode 3
0 50 100
1800
1900
2000
2100
2200
Position du patch
f [
Hz
]
mode 4
0 50 100
2500
3000
3500
4000
Position du patch
f [
Hz
]
mode 5
0 50 100
5100
5200
5300
5400
Position du patch
f [
Hz
]
mode 6
(a) Fre´quences en circuit ouvert et en court-circuit (— :
circuit ouvert, - - : circuit ferme´).
0 50 100
0
5
10
15
Position du patch
k 
[%
]
mode 1
0 50 100
0
2
4
6
8
10
Position du patch
k 
[%
]
mode 2
0 50 100
0
2
4
6
8
10
Position du patch
k 
[%
]
mode 3
0 50 100
0
5
10
15
Position du patch
k 
[%
]
mode 4
0 50 100
0
2
4
6
8
10
Position du patch
k 
[%
]
mode 5
0 50 100
2
4
6
8
Position du patch
k 
[%
]
mode 6
(b) Coefficient de couplage e´lectrome´canique.
Figure 3 – Variables modales en fonction de la position du patch pie´zoe´lectrique et de la profondeur
de la fissure µ =
ec
ep
pour les 6 premiers modes ( : µ = 0,  : µ = 1/8,  : µ = 1/4,  : µ = 3/8,  :
µ = 1/2).
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
−180
−170
−160
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
Frequency [Hz]
M
od
ul
e 
FB
O
  F
BF
1/4
0
1/2FBO
FBF
(a) Patch pie´zoe´lectrique hors de la zone influence´e par la
fissure.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
−180
−170
−160
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
Frequency [Hz]
M
od
ul
e 
FB
O
 F
BF FBF
FB0
0
1/4
1/2
(b) Patch pie´zoe´lectrique sur la zone influence´e par la
premie`re fissure.
Figure 4 – Fonctions de transfert du syste`me en boucle ouverte (FBO :—) non controˆle´ et en boucle
ferme´e (FBF : - -) controˆle´, pour µ = 0, µ = 1/4 et µ = 1/2, controˆle des six premiers modes.
5
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
5 Conclusions
La pre´sence d’une fissure sur une structure se traduit classiquement par une diminution des fre´quences
propres et une variation quasiment ne´gligeable des formes modales. L’e´tude re´alise´e de´montre que la
fissure peut se traduire e´galement par une variation des parame`tres de couplage e´lectrome´canique
modaux dans le cas d’une structure instrumente´e de composants pie´zoe´lectriques. Cette variation
peut avoir des conse´quences importantes sur la dynamique des structures controˆle´es et induire soit
une variation des performances du controˆleur soit la divergence du syste`me en boucle ferme´e. Cette
premie`re e´tude souligne la possibilite´ d’identifier des de´fauts sur une structure controˆle´e en utilisant
la variation des performances du controˆleur et montre la ne´cessite´ de re´actualiser le controˆleur dans
le cas d’une variation des parame`tres modaux induite par une ou plusieurs fissures.
La pre´sence de fissures permet e´galement d’optimiser le rapport de raideur entre les composants
pie´zoe´lectriques et la structure, ce qui se traduit par une augmentation du coefficient de couplage
e´lectrome´canique. Dans le cas ou` elle n’endommage pas la structure, une le´ge`re fissuration localise´e
permettrait d’accroˆıtre le couplage sur certains modes.
Re´fe´rences
[1] Salawu O.S. 1997 Detection of structural damage through changes in frequency : a review. Engi-
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of Mechanical Science 26 639-648
6


Influence de défauts sur la dynamique d'une structure intelligente

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46300/1/cfm2011_355.pdf

Influence de défauts sur la dynamique d'une structure intelligente

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