On étudie analytiquement et numériquement le transfert d'énergie dans un système à deux degrés de liberté soumis à des sollicitations libres ou forcées. Les non linéarités du système consistent en une fonction linéaire par morceaux qui permet d'envisager une conception commode de l'absorbeur. L'analyse de la dynamique du système comporte une étude de stabilité et une étude analytique et numérique du système pendant sa phase de relaxation. On étudie en particulier la réponse fortement modulée et les bifurcations qui commandent le transfert et les échanges d'énergie

ETCHEVARRIA, Emilie

LAMARQUE, Claude-Henri

TURE-SAVADKOOHI, Alireza

I-Revues

20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Dynamique transitoire dans un syste`me me´canique
comportant des fonctions line´aires par morceaux
C.-H. Lamarquea, A. Ture Savadkoohia, E. Etcheverriaa
a. DGCB, Universite´ de Lyon, Ecole Nationale des Travaux Publics de l’Etat, CNRS FRE 3237, rue
Maurice Audin, 69518 Vaulx-en-Velin CEDEX (FRANCE)
Re´sume´ :
On e´tudie analytiquement et nume´riquement le comportement dynamique transitoire dans un syste`me
a` deux degre´s de liberte´ soumis a` des sollicitations libres ou force´es. Les non line´arite´s du syste`me
sont donne´es par des fonctions line´aires par morceaux qui permettent d’envisager une conception com-
mode de transfert d’e´nergie. L’analyse de la dynamique du syste`me comporte une e´tude de stabilite´ et
une e´tude analytique et nume´rique du syste`me pendant sa phase de relaxation. On e´tudie en particu-
lier la re´ponse fortement module´e et les bifurcations qui commandent les comportements dynamiques
transitoires successifs.
Abstract :
Transient dynamical behavior and energy transfer are studied analytically and numerically for two-
degrees-of-freedom systems for free or forced response. Nonlinear terms of the system are given by a
piecewise linear function so that design for energy transfer could be easy. Analysis of the dynamical
behavior of the system includes stability study and analytical/numerical study of the system during
its relaxation phase. The strongly modulated response is especially investigated with bifurcations that
govern successive transient dynamical behaviors.
Mots clefs : Dynamique non line´aire, line´arite´ par morceaux, comportement transi-
toire.
1 Introduction
Dans le cadre du controˆle passif, de nombreux travaux [1-7] ont conside´re´ des syste`mes dynamiques
couple´s non line´aires a` deux degre´s de liberte´, l’un de ces degre´s de liberte´, de masse faible devant la
masse de l’autre, devant servir a` controˆler passivement la dynamique de ce dernier. Les non line´arite´s
intervenant dans le syste`me couple´ ont e´te´ d’abord introduite comme e´le´ment cle´ pour obtenir le
controˆle passif. Elles ont e´te´ choisies re´gulie`res et plus particulie`rement polynomiales (sans termes
affines), puis dans des travaux plus re´cents d’autres types de non line´arite´s ont e´te´ introduites. Ici
nous conside´rons des non line´arite´s porte´es par des fonctions line´aires par morceaux, pour lesquelles
les comportements dynamiques restent a` approfondir. Nous ne proposons qu’une partie de l’e´tude du
syste`me force´ dans ce papier par ne´cessaire concision.
2 Le syste`me conside´re´
On e´tudie le syste`me me´canique a` deux degre´s de liberte´s couple´s l’un de masse unite´ l’autre de masse
² tre`s petite devant 1, couple´ une fonction line´aire par morceaux F , et par un amortissement ²λ de´fini
par le syste`me d’e´quations :{
y¨1 + ²λ(y˙1 − y˙2) + y1 + ²F (y1 − y2) = ²f0 sin(ωt),
²y¨2 + ²λ(y˙2 − y˙1) + ²F (y2 − y1) = 0, (1)
1
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avec ω = 1 + σ² et la fonction line´aire par morceaux F (z) de´finie par :
F (z) =

0 if −a ≤ z ≤ a,
c(z − a) if z ≥ a,
c(z + a) if z ≤ −a.
(2)
Nous explorons le syste`me (1) au voisinage de la re´sonance 1 : 1. En utilisant le changement de variables
v = y1+ ²y2, w = y1− y2 puis la complexification de Manevitch (ϕ1eiωt = v˙+ iωv, ϕ2eiωt = w˙+ iωw),
nous obtenons, a` partir des e´quations (1), le syste`me moyenne´ suivant :
ϕ˙1 = − i2²f0 +
i
2ω(1 + ²)
(ϕ1 + ²ϕ2)− i2ωϕ1,
ϕ˙2 = − i2²f0 +
i
2ω(1 + ²)
(ϕ1 + ²ϕ2)− λ(1 + ²)2 ϕ2 −
i
2
ωϕ2 +
i(1 + ²)
2
G(|ϕ2|2)ϕ2.
(3)
La fonction G(|ϕ2|2) vaut [4] :
G(|ϕ2|2) =

0 if |ϕ2| < a,
1
pi
(
2c arccos (
a
|ϕ2|)−
2ac
√|ϕ2|2 − a2
|ϕ2|2
)
if |ϕ2| ≥ a. (4)
2.1 Etude multi-e´chelle du syste`me et approche asymptotique
Introduisons les e´chelles de temps rapides (t = τ0) et lentes ( τ1 = ²τ0, τ2 = ²2τ0, ...). A l’ordre ²0, le
syste`me (3) conduit a` :
∂ϕ1
∂τ0
= 0⇒ ϕ1 = ϕ1(τ1), (5)
∂ϕ2
∂τ0
+
i
(
1−G(|ϕ2|2)
)
+ λ
2
ϕ2 =
i
2
ϕ1, (6)
de sorte que les points fixes Φ du syste`me pilotant le comportement asymptotique de ϕ2 a` τ0 infini
sont donne´s par
i
(
1−G(|Φ|2)
)
+ λ
2
Φ =
i
2
ϕ1,
(7)
En posant ϕ1 = N1eiδ1 et Φ = N2eiδ2 , l’e´quation (7) devient simplement :
N1 = N2
√
λ2 + (1−G(N22 ))2. (8)
La varie´te´ invariante correspondante est illustre´e en Fig. 1 et comporte des zones stables et instables
obtenue par l’e´tude du syste`me line´arise´. A l’ordre ²1, la premie`re e´quation du syste`me (3) s’e´crit :
∂ϕ1
∂τ1
= − i
2
f0 − i2((2σ + 1)ϕ1 − Φ) (9)
En remplac¸ant ϕ1 from Eq. (7) dans le syste`me (9), en posant Φ = N2(τ1)eiδ2(τ1) et en se´parant parties
re´elle et imaginaire, nous obtenons :
∂N2
∂τ1
=
f1(N2, δ2)
g(N2)
,
∂δ2
∂τ1
=
f2(N2, δ2)
g(N2)
, (10)
avec
f1(N2, δ2) = f0 sin(δ2)
(
G(N22 )− 1
)
− λN2 + λf0 cos(δ2), (11)
f2(N2, δ2) = −1−G(N
2
2 )− 2N22G′(N22 )
N2
f0 cos(δ2)− λ
N2
f0 sin(δ2)−
λ2(1 + 2σ) +
(
1−G(N22 )− 2N22G′(N22 )
)(
− 2σ + 2σG(N22 ) +G(N22 )
)
,
(12)
2
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g(N2) = 2
(
1 + λ2 − 2G(N22 )− 2N22G′(N22 ) +G2(N22 ) + 2N22G(N22 )G′(N22 )
)
. (13)
Le re´gime stationnaire du syste`me a` l’e´chelle de temps τ1 est obtenu via l’e´quation ?? :
f0 = N2
√
λ2(1 + 2σ)2 +
(
(1 + 2σ)G(N22 )− 2σ
)2
. (14)
La relation entre f0 et N2 est pre´sente´e en Fig. 2.
0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
N2
N
1
 
 
a=1
c=1.5
λ=0.2
Stable Unstable Stable
Figure 1 – Varie´te´ invariante a` l’e´chelle de
temps τ0 et ses zones stables et instables.
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
6
7
8
N2
f 0
 a=1
c=1.5
λ=0.2
 σ=1
 
 
Figure 2 – f0 versus N2
2.2 Exemples nume´riques
N1 et N2 sont de´finis a` partir du syste`me d’e´quations original par :
N exact1 =
√
ω2(y1 + ²y2)2 + (y˙1 + ²y˙2)2, N exact2 =
√
ω2(y1 − y2)2 + (y˙1 − y˙2)2. (15)
et nous choisissons les conditions initiales y1(0) = 1.5, y˙1(0) = 0, y2(0) = 0, y˙2(0) = 0. Le comportement
du syste`me est de´crit en Fig. 3. Le comportement transitoire est capture´ par la varie´te´ invariante en
temps τ0 assez long a` une modulation pre`s, avant d’eˆtre attire´ par un invariant en e´chelle de temps
plus longue (cf. Fig. 4).
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2
N1
N
2
 
 
Numerical result
Analytical result
a=1
c=1.5
λ=0.2
σ=5
fo=3
ε=0.01
Figure 3 – Re´sultats analytiques et nume´riques : N1-N2 durant la vibration force´e
3
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0 50 100 150 200−5
0
5
t (Sec)
D
is
pl
ac
em
en
t
(a)
 
 
y1
y2
a=1
c=1.5
λ=0.2
σ=5
fo=3
ε=0.01
0 1000 2000 3000 4000−5
0
5
t (Sec)
D
is
pl
ac
em
en
t
(b)
 
 
y1
y2
a=1
c=1.5
λ=0.2
σ=5
fo=3
ε=0.01
Figure 4 – De´placement des 2 oscillateurs durant la vibration force´e : (a) re´gime transitoire a` l’e´chelle
τ0 ; (b) re´gime stationnaire a` l’e´chelle τ1.
3 Re´ponse module´e et roˆles des bifurcations
La re´ponse quasi-pe´riodique d’un oscillateur line´aire couple´ a` un puits d’e´nergie non line´aire (NES)
cubique a e´te´ e´tudie´e en [5, 6] et en [7] en ce qui concerne la re´ponse fortement module´e. Cette dernie`re
n’est pas relative aux seuls points fixes du syste`me moyenne´ mais aussi a` l’occurence de bifurcations
(points selles) dans le syste`me. Nous e´tudions ici le comportement du syste`me non re´gulier durant la
phase de re´ponse fortement module´e. Les parame`tres sont fixe´s : ² = 0.01, σ = 1, ω = 1.01 et proches
de la re´sonance 1 : 1.
La Fig. 5 montre le comportement quasi-pe´riodique en temps τ1 long module´e autour de la varie´te´
invariante en τ0 et les Fig. 6 et 7 illustrent les phe´nome`nes de battements des deux degre´s de liberte´
associe´s.
Figure 5 – Re´sultats analytiques et nume´riques de t = 0 a` t = 8000 s.
4
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Figure 6 – Battement du syste`me maˆıtre. Figure 7 – Battement du NES non re´gulier.
3.1 Conditions ne´cessaires pour la relaxation
Le syste`me peut relaxer si le flot bifurque au voisinage des plis de la varie´te´ invariante τ0. Le crite`re
de relaxation est satisfait dans l’e´quation (10) si :
f1(N2, δ2) = f2(N2, δ2) = 0, (16)
ce qui est e´quivalent a` re´soudre un syste`me du type :
α
[
cos(δ2)
sin(δ2)
]
=
[
β1
β2
]
, α =
[
α11 α12
α21 α22
]
, (17)
ou` les α11, α12, α21, α22 s’obtiennent au vu de (11) et (12).
Le syste`me (17) posse`de deux sortes de solutions. La premie`re existe lorsque le de´terminant de la
matrice α est non nul, i.e. α11α22 − α12α21 = −2f
2
0
N22
g(N2) 6= 0. Comme g(N2) 6= 0, ces solutions
correspondent aux points fixes ordinaires. La seconde sorte est associe´e a` la nullite´ du de´terminant de
α. Ceci correspond a` g(N2) = 0 ; la singularite´ et le point d’e´quilibre co¨ıncident et il y a deux solutions
N2 = N21 ou N2 = N22. De´finissons pour k = 1, 2, γ0k tel que
cos(γ0k) =
λ√
λ2 +
(
1−G(N22k)
)2 .
De la premie`re e´quation du syste`me (17) nous de´duisons qu’il existe des paires de singularite´s de ce
type a` condition que, pour k = 1, 2 :
cos(γ0k − δ2k) = λN2k
f0
√
λ2 +
(
1−G(N22k)
)2 , (18)
i.e. les paires (N2k, δ2k) pour k = 1, 2 existent si :
f0 ≥ f0(k,critical) =
λN2k√
λ2 +
(
1−G(N22k)
)2 , (19)
A titre d’exemple, la Fig. 8 illustre l’apparition d’une telle singularite´ sur la branche infe´rieure en N2,
avec un grossissement de la situation en Fig. 9. Le point selle et le noeud correspondent respectivement
a` δ21−Saddle = −1.41 et δ21−Node = −1.28. Ces figures montrent la possibilite´ que les lignes de courant
entre singularite´s changent de direction pour terminer sur N21 expliquant un scenario de relaxation.
5
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Figure 8 – Portrait de phase pour le syste`me
force´ avec f0(1critical) = 0.279 < f0 = 0.28 <
f0(2critical) = 2.97 (a = 1, c = 1.5, λ = 0.2,
σ = 2, ² = 0.01) : vue ge´ne´rale.
Figure 9 – De´tail de la zone ”Zoom” du por-
trait de phase de la Fig. 8.
4 Conclusions
L’e´tude analytique et nume´rique d’un syste`me a` 2 degre´s de liberte´ avec non line´arite´s affines par
morceaux et forc¸age sinusoidal a e´te´ mene´e a` la re´sonance 1 : 1 mettant en e´vidence des re´gimes
successifs lie´s aux e´chelles de temps caracte´ristiques et aux bifurcations du syste`me. L’e´tude sera utile
pour approcher des phe´nome`nes de localisation et de transferts d’e´nergie.
Re´fe´rences
[1] Gourdon E., Alexander N. A., Taylor C. A., Lamarque C.-H., Pernot S., (2007), Nonlinear energy
pumping under transient forcing with strongly nonlinear coupling : theoretical and experimental
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[2] Vaurigaud B., Ture Savadkoohi A., Lamarque C.-H., (2011), Targeted energy transfer with parallel
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10.1007/s11071-011-9949-x.
[3] Ture Savadkoohi A., Vaurigaud B., Lamarque C.-H., (2011), Targeted energy transfer with
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[4] Gendelman O.V., (2008), Targeted energy transfer in systems with non-polynomial nonlinearity,
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[5] Gendelman O. V., Gourdon E., Lamarque C. -H, (2006), Quasiperiodic energy pumping in coupled
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[7] Starosvetsky Y, Gendelman O. V.,(2008) Strongly modulated response in forced 2DOF oscillatory
system with essential mass and potential asymmetry. Physica D, 237 : 1719-1733.
6


Dynamique transitoire dans un système mécanique  comportant des fonctions linéaires par morceaux

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46297/1/cfm2011_297.pdf

Dynamique transitoire dans un système mécanique comportant des fonctions linéaires par morceaux

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