Cette étude traite de la propagation des ondes de choc dans les liquides à bulles. Si la majorité des travaux sur le sujet fait l'hypothèse d'une répartition régulière des bulles, les liquides aérés comportent au contraire, naturellement, des zones avec des densités de bulles différentes. Un modèle décrivant le comportement d'un tel milieu diphasique, basé sur une technique d'homogénéisation, est proposé. D'après les résultats de cette modélisation, la structure de l'onde de choc se trouve affectée par les hétérogénéités locales de porosité

GRANDJEAN, Hervé

JACQUES, Nicolas

ZALESKI, Stéphane

I-Revues

20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Influence des he´te´roge´ne´ite´s de porosite´ sur la
propagation d’ondes de choc dans un liquide ae´re´
H. Grandjeana, N. Jacquesa, S. Zaleskib
a. ENSTA Bretagne, Laboratoire Brestois de Me´canique et des Syste`mes, 2 rue Franc¸ois Verny,
29200 BREST
b. Universite´ Pierre et Marie Curie, Institut Jean Le Rond d’Alembert, 5 place Jussieu,
75005 PARIS
Re´sume´ :
Cette e´tude traite de la propagation des ondes de choc dans des liquides comportant des amas de
bulles. La re´alisation de simulations nume´riques 3D permet d’appre´cier le roˆle joue´ par la dynamique
des clusters sur la structure de l’onde de choc. Une mode´lisation de ce milieu diphasique he´te´roge`ne,
base´e sur une technique d’homoge´ne´isation, est e´galement propose´e.
Abstract :
In this paper, we investigate the influence of bubble clusters in a liquid on the propagation of shock
waves, using 3D simulations. It is shown that the clusters dynamics deeply affect the structure of the
wave. A model for this heterogeneous diphasic medium is although proposed, based on an homogeniza-
tion technique.
Mots clefs : Milieux diphasiques - Clusters de bulles - Ondes de choc
1 Introduction
Les mode`les de milieux diphasiques, dans lesquels les e´quations de conservation macroscopiques sont
couple´es avec l’e´quation de la dynamique d’une bulle, ont e´te´ couramment utilise´s par le passe´, et
permettent de rendre compte d’effets qu’un simple mode`le barotrope ne peut pre´voir ([11], [12]).
Cependant, dans la plupart des e´tudes pre´ce´dentes, les bulles sont suppose´es toutes de meˆme taille
et re´parties re´gulie`rement. Or les liquides ae´re´s comportent naturellement, des zones avec des tailles
et des densite´s de bulles diffe´rentes. Re´cemment, Ando ([1]) a montre´ l’influence de la dispersion des
tailles de bulles sur la structure de l’onde de choc. Cette pre´sente e´tude vise quant a` elle a` mieux
comprendre l’effet d’une re´partition he´te´roge`ne des bulles sur la propagation d’une onde de choc.
Nous nous inte´ressons plus particulie`rement au cas ou` les bulles se concentrent dans des zones de
fortes porosite´s (clusters).
Nous pre´sentons d’abord la mode´lisation de´veloppe´e pour caracte´riser le comportement d’un fluide
ae´re´ homoge`ne (par ce terme, nous entendons un milieu dans lequel les bulles sont re´parties sur un
re´seau re´gulier). Ce mode`le est utilise´ pour e´tudier la propagation d’une onde de choc dans un fluide
contenant des clusters de bulles, au travers de simulations nume´riques tri-dimensionnelles. Un mode`le
homoge´ne´ise´ est ensuite sugge´re´ pour de´crire l’effet de la re´partition des bulles en clusters.
2 Mode´lisation d’un milieu diphasique liquide-bulles homoge`ne
L’objet du mode`le propose´ consiste a` remplacer le milieu diphasique liquide-bulles par un milieu
homoge`ne e´quivalent (MHE), dote´ d’une loi de comportement prenant en compte la dynamique des
bulles et les effets thermiques associe´s. Les techniques d’homoge´ne´isation sont classiques en me´canique
1
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
des solides : Johnson (1981) a ainsi utilise´ cette approche pour de´crire la rupture dynamique de
mate´riaux ductiles. Ici, le volume e´le´mentaire repre´sentatif (VER) du milieu diphasique est constitue´
d’une bulle de gaz inse´re´e dans une sphe`re liquide (fig. 1). Ce VER, de´nomme´ sphe`re creuse par la
suite, posse`de la meˆme porosite´ initiale que le milieu diphasique global. La pression applique´e sur la
surface externe de la sphe`re creuse, note´e P par la suite, est la pression macroscopique (ou pression
de chargement). Cette pression se de´compose en une pression de re´fe´rence (par exemple la pression
dans le fluide au repos a` t = 0), Pref, plus une pression relative, P˜ : P = Pref + P˜ .
P
P
pb
b
a
Fig. 1 – Identification du volume e´le´mentaire repre´sentatif du fluide diphasique homoge`ne : motif de
sphe`re creuse (VER n˚ 1)
Il est e´tabli dans [4] que la dynamique de la bulle au sein de ce VER suit l’e´quation suivante :
P = pb − ρL
[
aa¨(1− f 13 ) + 3
2
a˙2
(
1 − 4
3
f
1
3 +
1
3
f
4
3
)]
− 4µa˙
a
(1− f) − 2σ
a
(1)
ou` pb est la pression dans la bulle, a le rayon courant de la bulle, ρL est la masse volumique du liquide,
f la porosite´ du milieu, µ la viscosite´ dynamique du liquide, et σ le coefficient de tension de surface.
L’apport de l’e´quation (1) par rapport a` l’e´quation de Rayleigh-Plesset (obtenue en conside´rant f = 0)
re´side dans la pre´sence des termes faisant intervenir la porosite´ f , qui rendent compte de l’effet du
confinement d’une bulle sur sa dynamique.
Notons que dans une approche homoge´ne´ise´e, le milieu tout entier devrait ide´alement pouvoir eˆtre
reconstruit par juxtaposition de volumes e´le´mentaires repre´sentatifs. Si les bulles sont re´parties selon
un re´seau re´gulier, cela suppose donc de conside´rer un VER cubique. Il convient en conse´quence
d’apporter une correction au mode`le de sphe`re creuse, surtout dans le cas ou` les fractions volumiques
f en jeu dans l’e´quation 1 sont e´leve´es. Pour cela, Tvergaard ([10]) propose ainsi de remplacer la
fraction volumique re´elle f qui apparaˆıt dans l’e´quation 1 par une fraction volumique effective, qf ,
qui est celle ressentie par les bulles, du fait de leur proximite´ avec leurs plus proches voisines (figure
2). Le facteur q vaut, dans le cas d’un re´seau cubique centre´ : q = 6pi ([9]).
Par ailleurs, lors des cycles de contraction et d’expansion de la bulle, outre la dissipation e´nerge´tique
lie´e a` la viscosite´ du liquide, des effets de dissipation thermique interviennent, dont il est tenu compte
dans ce travail en utilisant la loi de Fourier et en mode´lisant le gradient de tempe´rature a` l’interface,
a` l’aide des mode`les de Drumheller (1982) et Preston (2007).
L’e´quation de´crivant le comportement thermodynamique du gaz au sein de la bulle a e´te´ e´tablie par
Prosperetti et al. (1988).
dpb
dt
=
−3γ
a
pb
da
dt
+
3(γ − 1)
a
kG
(
∂T
∂r
)
r=a
(2)
Le gradient de tempe´rature a` l’interface est mode´lise´ par (Drumheller, 1982) :(
∂T
∂r
)
r=a
= −βT
a
(Tb − TL) (3)
2
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
ab
d
Fig. 2 – Bulle dans des VER cubique (coˆte´ d, porosite´ f) et sphe´riques ((i) : rayon b, porosite´ f (ii) :
rayon d2 , porosite´ qf).
z
R1
d′
d′
Fig. 3 – Exemple de domaine conside´re´ pour les calculs 3D. Les clusters sont re´partis sur un re´seau
cubique centre´
ou` βT est un coefficient de transport de chaleur, dont le calcul est explicite´ dans [4].
La loi de comportement (e´quations 1-2) e´tablie pour le mate´riau diphasique a ensuite e´te´ couple´e aux
e´quations de conservation a` l’e´chelle macroscopique, et implante´e dans le module lagrangien du code
de calculs par e´le´ments finis ABAQUS/Explicit. Des simulations de propagation d’ondes de choc dans
un milieu a` bulles unidimensionnel ont e´te´ re´alise´es (Grandjean et al., [4]).
3 Simulations tri-dimensionnelles de la propagation d’une onde de
choc dans un milieu a` bulles
Des simulations de propagation d’ondes de choc dans un liquide pur contenant des clusters de bulles
ont e´te´ mene´es. Le domaine conside´re´ est un pave´ de dimension d′ × d′ × 62d′, ou` d′ = 9.6cm. Des
clusters sphe´riques (porosite´ initiale f0, rayon initial R01) de bulles (rayon initial a
0) sont dispose´s selon
un re´seau cubique centre´ (figure 3). La porosite´ moyenne initiale du milieu diphasique he´te´roge`ne, fm0 ,
est telle que fm0 = α0f0, ou` α0 est la fraction volumique initiale occupe´e par les clusters. Les particules
de fluide au sein des clusters suivent la loi de comportement du milieu diphasique homoge`ne e´tablie
pre´ce´demment (e´quations 1 et 2).
Un choc maintenu d’intensite´ constante est applique´. Le profil de pression macroscopique au sein
du milieu he´te´roge`ne est obtenu en re´alisant la moyenne du champ de pression dans chaque tranche
(perpendiculaire a` la direction z).
On a superpose´ sur la figure 4 le signal de pression obtenu par le biais de ces simulations 3D et le signal
obtenu dans le cas d’un milieu diphasique homoge`ne de porosite´ fm0 (cf. paragraphe 2). Cette figure
nous indique que la re´ponse du milieu he´te´roge`ne pre´sente une longueur d’onde qui est beaucoup plus
3
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
0.0E+00
2.0E+04
4.0E+04
6.0E+04
8.0E+04
1.0E+05
1.2E+05
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
z(m)
P (
P a
)
Présence de clusters (calculs 3D)
Milieu à bulles homogène
Fig. 4 – Effet de la pre´sence de clusters sur la structure d’une onde de choc dans un milieu a` bulles
- Rayon initial des bulles a0 = 2mm - Rayon initial des clusters R01 = 3.48cm - Porosite´ initiale dans
les clusters f0 = 5% - Porosite´ initiale moyenne fm0 = 1% - Fraction volumique initiale occupe´e par
les clusters α0 = 20%
grande que la longueur d’onde associe´e a` la pulsation des bulles : la structure de l’onde de choc est
donc fortement affecte´e par la pre´sence des he´te´roge´ne´ite´s de porosite´, et la longueur d’onde du signal
est de´sormais associe´e a` la pe´riode de pulsation du cluster dans son ensemble ([2]).
4 Mode`le homoge´ne´ise´ de´crivant la pre´sence des clusters
L’observation des simulations nume´riques semi-directes nous indique que c’est la pulsation des clus-
ters au sein du liquide qui gouverne la re´ponse du milieu diphasique he´te´roge`ne. Nous cherchons en
conse´quence a` baˆtir un nouveau mode`le homoge´ne´ise´, base´ sur la microstructure du milieu diphasique
he´te´roge`ne.
La figure 5 illustre la de´marche retenue : deux transitions d’e´chelles sont cette fois utilise´es : le premier
niveau d’homoge´ne´isation consiste a` remplacer chaque cluster de bulles par un milieu diphasique
homoge`ne, dont le comportement est de´crit par le mode`le de´taille´ au pagraphe 2. Le deuxie`me niveau
d’homoge´ne´isation consiste a` remplacer le milieu diphasique he´te´roge`ne ”liquide pur - clusters” par un
MHE. Le VER n˚ 2 identifie´ pour cette deuxie`me homoge´ne´isation est une sphe`re composite, compose´e
d’une couronne de liquide pur et d’une partie centrale poreuse. La loi de comportement de ce milieu
e´quivalent est e´tablie ci-apre`s : la pression macroscopique P2 appplique´e sur la surface externe du VER
n˚ 2 est relie´e a` la pression P1 a` la surface du cluster de bulles, par une e´quation similaire a` celle de la
sphe`re creuse (cf equation 1).
P2 − P1 = −ρL
[
R1R¨1
(
1 − (qα) 13
)
+
3
2
R˙21
(
1 − 4
3
(qα)
1
3 +
1
3
(qα)
4
3
)]
(4)
(Les contraintes visqueuses et de tension de surface sont ignore´es a` cette e´chelle).
Il s’agit ensuite de relier la pression P1 (a` la frontie`re du cluster) a` la pression de chargement P e´tablie
pre´ce´demment dans le cas d’une sphe`re creuse ”bulle”. Il y a des effets inertiels associe´s aux pulsations
du cluster tout entier, dont il faut tenir compte.
Pour e´tablir cette relation, on e´crit le principe des puissances virtuelles sur le volume V1 (volume de
controˆle d’un cluster), qui va nous permettre de relier la pression P1 sur la surface externe du cluster
4
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
au champ de contrainte P e´tabli par le mode`le de sphe`re creuse ”bulles”, et suppose´ homoge`ne au
sein de chaque cluster.
On trouve finalement que :
P1 = P − 15ρCR1R¨1 (5)
La pression P est relie´e a` la pression dans la bulle par l’e´quation 1.
(R1, P1)
(R2, P2)
(L) (L)
(b, P )
V1
(a, pb)
f0
fm0 ,α0
(a) Echelle microscopique
(R1, P1)
(R2, P2)
(L) (L)
(b, P )
V1
(a, pb)
f0
fm0 ,α0
(b) Echelle interme´diaire
,
,
,
, b
,
(c) Echelle macroscopique
Fig. 5 – Illustration de la me´thode d’homoge´ne´isation en e´tapes pour de´crire la re´ponse d’un fluide
contenant des clusters de bulles
0.0E+00
2.0E+04
4.0E+04
6.0E+04
8.0E+04
1.0E+05
1.2E+05
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
z(m)
P (
P a
)
Calculs tri-dimensionnels
Modèle homogénéisé
Fig. 6 – Comparaison entre simulations tri-dimensionnelles et mode`le homoge´ne´ise´ - Rayon initial
des bulles a0 = 2mm - Rayon initial des clusters R01 = 3.48cm - Porosite´ initiale au sein des clusters
f0 = 5% - Porosite´ initiale moyenne fm0 = 1% - Fraction volumique initiale occupe´e par les clusters
α0 = 20%
La figure 6 montre le bon accord entre les calculs semi-directs et l’approche homoge´ne´ise´e propose´e.
5 Conclusion
Nous nous sommes inte´resse´s dans cette e´tude a` la propagation d’ondes de choc dans des milieux
diphasiques comportant des he´te´roge´ne´ite´s de porosite´, sous la forme d’amas sphe´riques de bulles.
5
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Il apparaˆıt que ces zones d’he´te´roge´ne´ite´s modifient fortement la structure de l’onde de choc. En
particulier, la longueur d’onde du signal de pression semble relie´e a` la pe´riode de pulsation du cluster
dans son ensemble, et non a` la pe´riode de pulsation des bulles, comme c’est le cas lors de la propagation
d’un choc dans un milieu homoge`ne. Par ailleurs, un mode`le homoge´ne´ise´ d’un tel milieu diphasique
he´te´roge`ne a e´galement e´te´ de´veloppe´. Des investigations sur l’effet d’autres ge´ome´tries de clusters
sont en cours.
Re´fe´rences
[1] Ando, K., Colonius, T. & Brennen, C.E. 2009 Shock propagation in polydisperse bubbly flows,
Proc. 17th Int. Symp. Cavitation 172.
[2] Brennen, C.E. 2005 Fundamentals of multiphase flows, Cambridge University Press.
[3] Drumheller, D.S., Kipp, M.E., & Beford, A. 1982 Transient wave propagation in bubbly liquids,
J.Fluid Mech 19, 347-365.
[4] Grandjean, H., Jacques, N. & Zaleski, S. 2009 Mode´lisation de l’atte´nuation d’une onde de pression
sous-marine par rideau de bulles, Actes des douzie`mes journe´es de l’hydrodynamique
[5] Johnson, J.N. 1981 Dynamic fracture and spallation in ductile solids, J. Appl. Phys. 52(4), 2812-
2825.
[6] Kameda, M., Shimaura, N., Higashino, F. & Matsumoto Y. 1998 Shock waves in a uniform bubbly
flow, Phys. Fluids 10-10, 2661-2668.
[7] Preston, A.T., Colonius, T. & Brennen, C.E. 2007 A reduced-order model of diffusive effects on
the dynamics of bubbles, Phys. Fluids 19, 123302.
[8] Prosperetti, A., Crum, L.A. & Commander, K.W. 1988 Nonlinear bubble dynamics, J. Acoust.
Soc. Am. 83(2), 502-514.
[9] Seo, J.H., Lele, S.K., & Tryggvason, G. 2010 Investigation and modeling of bubble-bubble inter-
action effect in homogeneous bubbly flows, Phys. Fluids 22, 063302.
[10] Tvergaard, V. 1981 Influence of voids on shear band instabilities under plane strain conditions
Int. J. Fracture 17, 389-407.
[11] Van Wijngaarden, L. 1968 On the equations of motion for mixtures of liquid and gas bubbles J.
Fluid Mech. 33, 465-474.
[12] Van Wijngaarden, L. 1972 One-dimensional flow of liquids containing small gas bubbles Ann.
Rev. Fluid Mech. 4, 369-396.
6


Influence des hétérogénéités de porosité sur la propagation d'ondes de choc dans un liquide aéré

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.National audienceCette étude traite de la propagation des ondes de choc dans les liquides comportant des amas de bulles. La réalisation de simulations numériques 3D permet d'apprécier le rôle joué par la dynamique des clusters sur la structure de l'onde de choc. Une modélisation de ce milieu diphasique hétérogène, basée sur une technique d'homogénéisation, est également proposée. In this paper, we investigate the influence of bubble clusters in a liquid on the propagation of shock waves, using 3D simulations. It is shown that the clusters dynamics deeply affects the structure of the wave. A model for this heterogeneous diphasic medium is although proposed, based on an homogenization technique

Grandjean, Hervé

Jacques, Nicolas

Zaleski, Stéphane

HAL-Université de Bretagne Occidentale

Influence des he´te´roge´ne´ite´s de porosite´ sur lapropagation d’ondes de choc dans un liquide ae´re´Herve´ Grandjean, Nicolas Jacques, Ste´phane ZaleskiTo cite this version:Herve´ Grandjean, Nicolas Jacques, Ste´phane Zaleski. Influence des he´te´roge´ne´ite´s de porosite´sur la propagation d’ondes de choc dans un liquide ae´re´. 20e` Congre`s Franc¸ais de Me´canique,Aug 2011, Besanc¸on, France. pp.1-6, 2011. <hal-00657204>HAL Id: hal-00657204https://hal-ensta-bretagne.archives-ouvertes.fr/hal-00657204Submitted on 6 Jan 2012HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011Influence des he´te´roge´ne´ite´s de porosite´ sur lapropagation d’ondes de choc dans un liquide ae´re´H. Grandjeana, N. Jacquesa, S. Zaleskiba. ENSTA Bretagne, Laboratoire Brestois de Me´canique et des Syste`mes, 2 rue Franc¸ois Verny,29200 BRESTb. Universite´ Pierre et Marie Curie, Institut Jean Le Rond d’Alembert, 5 place Jussieu,75005 PARISRe´sume´ :Cette e´tude traite de la propagation des ondes de choc dans des liquides comportant des amas debulles. La re´alisation de simulations nume´riques 3D permet d’appre´cier le roˆle joue´ par la dynamiquedes clusters sur la structure de l’onde de choc. Une mode´lisation de ce milieu diphasique he´te´roge`ne,base´e sur une technique d’homoge´ne´isation, est e´galement propose´e.Abstract :In this paper, we investigate the influence of bubble clusters in a liquid on the propagation of shockwaves, using 3D simulations. It is shown that the clusters dynamics deeply affect the structure of thewave. A model for this heterogeneous diphasic medium is although proposed, based on an homogeniza-tion technique.Mots clefs : Milieux diphasiques - Clusters de bulles - Ondes de choc1 IntroductionLes mode`les de milieux diphasiques, dans lesquels les e´quations de conservation macroscopiques sontcouple´es avec l’e´quation de la dynamique d’une bulle, ont e´te´ couramment utilise´s par le passe´, etpermettent de rendre compte d’effets qu’un simple mode`le barotrope ne peut pre´voir ([11], [12]).Cependant, dans la plupart des e´tudes pre´ce´dentes, les bulles sont suppose´es toutes de meˆme tailleet re´parties re´gulie`rement. Or les liquides ae´re´s comportent naturellement, des zones avec des tailleset des densite´s de bulles diffe´rentes. Re´cemment, Ando ([1]) a montre´ l’influence de la dispersion destailles de bulles sur la structure de l’onde de choc. Cette pre´sente e´tude vise quant a` elle a` mieuxcomprendre l’effet d’une re´partition he´te´roge`ne des bulles sur la propagation d’une onde de choc.Nous nous inte´ressons plus particulie`rement au cas ou` les bulles se concentrent dans des zones defortes porosite´s (clusters).Nous pre´sentons d’abord la mode´lisation de´veloppe´e pour caracte´riser le comportement d’un fluideae´re´ homoge`ne (par ce terme, nous entendons un milieu dans lequel les bulles sont re´parties sur unre´seau re´gulier). Ce mode`le est utilise´ pour e´tudier la propagation d’une onde de choc dans un fluidecontenant des clusters de bulles, au travers de simulations nume´riques tri-dimensionnelles. Un mode`lehomoge´ne´ise´ est ensuite sugge´re´ pour de´crire l’effet de la re´partition des bulles en clusters.2 Mode´lisation d’un milieu diphasique liquide-bulles homoge`neL’objet du mode`le propose´ consiste a` remplacer le milieu diphasique liquide-bulles par un milieuhomoge`ne e´quivalent (MHE), dote´ d’une loi de comportement prenant en compte la dynamique desbulles et les effets thermiques associe´s. Les techniques d’homoge´ne´isation sont classiques en me´canique120e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011des solides : Johnson (1981) a ainsi utilise´ cette approche pour de´crire la rupture dynamique demate´riaux ductiles. Ici, le volume e´le´mentaire repre´sentatif (VER) du milieu diphasique est constitue´d’une bulle de gaz inse´re´e dans une sphe`re liquide (fig. 1). Ce VER, de´nomme´ sphe`re creuse par lasuite, posse`de la meˆme porosite´ initiale que le milieu diphasique global. La pression applique´e sur lasurface externe de la sphe`re creuse, note´e P par la suite, est la pression macroscopique (ou pressionde chargement). Cette pression se de´compose en une pression de re´fe´rence (par exemple la pressiondans le fluide au repos a` t = 0), Pref, plus une pression relative, P˜ : P = Pref + P˜ .PPpbbaFig. 1 – Identification du volume e´le´mentaire repre´sentatif du fluide diphasique homoge`ne : motif desphe`re creuse (VER n˚ 1)Il est e´tabli dans [4] que la dynamique de la bulle au sein de ce VER suit l’e´quation suivante :P = pb − ρL[aa¨(1− f13 ) +32a˙2(1−43f13 +13f43)]− 4µa˙a(1− f)−2σa(1)ou` pb est la pression dans la bulle, a le rayon courant de la bulle, ρL est la masse volumique du liquide,f la porosite´ du milieu, µ la viscosite´ dynamique du liquide, et σ le coefficient de tension de surface.L’apport de l’e´quation (1) par rapport a` l’e´quation de Rayleigh-Plesset (obtenue en conside´rant f = 0)re´side dans la pre´sence des termes faisant intervenir la porosite´ f , qui rendent compte de l’effet duconfinement d’une bulle sur sa dynamique.Notons que dans une approche homoge´ne´ise´e, le milieu tout entier devrait ide´alement pouvoir eˆtrereconstruit par juxtaposition de volumes e´le´mentaires repre´sentatifs. Si les bulles sont re´parties selonun re´seau re´gulier, cela suppose donc de conside´rer un VER cubique. Il convient en conse´quenced’apporter une correction au mode`le de sphe`re creuse, surtout dans le cas ou` les fractions volumiquesf en jeu dans l’e´quation 1 sont e´leve´es. Pour cela, Tvergaard ([10]) propose ainsi de remplacer lafraction volumique re´elle f qui apparaˆıt dans l’e´quation 1 par une fraction volumique effective, qf ,qui est celle ressentie par les bulles, du fait de leur proximite´ avec leurs plus proches voisines (figure2). Le facteur q vaut, dans le cas d’un re´seau cubique centre´ : q = 6pi([9]).Par ailleurs, lors des cycles de contraction et d’expansion de la bulle, outre la dissipation e´nerge´tiquelie´e a` la viscosite´ du liquide, des effets de dissipation thermique interviennent, dont il est tenu comptedans ce travail en utilisant la loi de Fourier et en mode´lisant le gradient de tempe´rature a` l’interface,a` l’aide des mode`les de Drumheller (1982) et Preston (2007).L’e´quation de´crivant le comportement thermodynamique du gaz au sein de la bulle a e´te´ e´tablie parProsperetti et al. (1988).dpbdt=−3γapbdadt+3(γ − 1)akG(∂T∂r)r=a(2)Le gradient de tempe´rature a` l’interface est mode´lise´ par (Drumheller, 1982) :(∂T∂r)r=a= −βTa(Tb − TL) (3)220e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011abdFig. 2 – Bulle dans des VER cubique (coˆte´ d, porosite´ f) et sphe´riques ((i) : rayon b, porosite´ f (ii) :rayon d2, porosite´ qf).zR1d′d′Fig. 3 – Exemple de domaine conside´re´ pour les calculs 3D. Les clusters sont re´partis sur un re´seaucubique centre´ou` βT est un coefficient de transport de chaleur, dont le calcul est explicite´ dans [4].La loi de comportement (e´quations 1-2) e´tablie pour le mate´riau diphasique a ensuite e´te´ couple´e auxe´quations de conservation a` l’e´chelle macroscopique, et implante´e dans le module lagrangien du codede calculs par e´le´ments finis ABAQUS/Explicit. Des simulations de propagation d’ondes de choc dansun milieu a` bulles unidimensionnel ont e´te´ re´alise´es (Grandjean et al., [4]).3 Simulations tri-dimensionnelles de la propagation d’une onde dechoc dans un milieu a` bullesDes simulations de propagation d’ondes de choc dans un liquide pur contenant des clusters de bullesont e´te´ mene´es. Le domaine conside´re´ est un pave´ de dimension d′ × d′ × 62d′, ou` d′ = 9.6cm. Desclusters sphe´riques (porosite´ initiale f0, rayon initial R01) de bulles (rayon initial a0) sont dispose´s selonun re´seau cubique centre´ (figure 3). La porosite´ moyenne initiale du milieu diphasique he´te´roge`ne, fm0 ,est telle que fm0 = α0f0, ou` α0 est la fraction volumique initiale occupe´e par les clusters. Les particulesde fluide au sein des clusters suivent la loi de comportement du milieu diphasique homoge`ne e´tabliepre´ce´demment (e´quations 1 et 2).Un choc maintenu d’intensite´ constante est applique´. Le profil de pression macroscopique au seindu milieu he´te´roge`ne est obtenu en re´alisant la moyenne du champ de pression dans chaque tranche(perpendiculaire a` la direction z).On a superpose´ sur la figure 4 le signal de pression obtenu par le biais de ces simulations 3D et le signalobtenu dans le cas d’un milieu diphasique homoge`ne de porosite´ fm0 (cf. paragraphe 2). Cette figurenous indique que la re´ponse du milieu he´te´roge`ne pre´sente une longueur d’onde qui est beaucoup plus320e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 20110.0E+002.0E+044.0E+046.0E+048.0E+041.0E+051.2E+050 0.5 1 1.5 2 2.5 3z(m)P(Pa)Présence de clusters (calculs 3D)Milieu à bulles homogèneFig. 4 – Effet de la pre´sence de clusters sur la structure d’une onde de choc dans un milieu a` bulles- Rayon initial des bulles a0 = 2mm - Rayon initial des clusters R01= 3.48cm - Porosite´ initiale dansles clusters f0 = 5% - Porosite´ initiale moyenne fm0 = 1% - Fraction volumique initiale occupe´e parles clusters α0 = 20%grande que la longueur d’onde associe´e a` la pulsation des bulles : la structure de l’onde de choc estdonc fortement affecte´e par la pre´sence des he´te´roge´ne´ite´s de porosite´, et la longueur d’onde du signalest de´sormais associe´e a` la pe´riode de pulsation du cluster dans son ensemble ([2]).4 Mode`le homoge´ne´ise´ de´crivant la pre´sence des clustersL’observation des simulations nume´riques semi-directes nous indique que c’est la pulsation des clus-ters au sein du liquide qui gouverne la re´ponse du milieu diphasique he´te´roge`ne. Nous cherchons enconse´quence a` baˆtir un nouveau mode`le homoge´ne´ise´, base´ sur la microstructure du milieu diphasiquehe´te´roge`ne.La figure 5 illustre la de´marche retenue : deux transitions d’e´chelles sont cette fois utilise´es : le premierniveau d’homoge´ne´isation consiste a` remplacer chaque cluster de bulles par un milieu diphasiquehomoge`ne, dont le comportement est de´crit par le mode`le de´taille´ au pagraphe 2. Le deuxie`me niveaud’homoge´ne´isation consiste a` remplacer le milieu diphasique he´te´roge`ne ”liquide pur - clusters” par unMHE. Le VER n˚ 2 identifie´ pour cette deuxie`me homoge´ne´isation est une sphe`re composite, compose´ed’une couronne de liquide pur et d’une partie centrale poreuse. La loi de comportement de ce milieue´quivalent est e´tablie ci-apre`s : la pression macroscopique P2 appplique´e sur la surface externe du VERn˚ 2 est relie´e a` la pression P1 a` la surface du cluster de bulles, par une e´quation similaire a` celle de lasphe`re creuse (cf equation 1).P2 − P1 = −ρL[R1R¨1(1− (qα)13)+32R˙21(1−43(qα)13 +13(qα)43)](4)(Les contraintes visqueuses et de tension de surface sont ignore´es a` cette e´chelle).Il s’agit ensuite de relier la pression P1 (a` la frontie`re du cluster) a` la pression de chargement P e´tabliepre´ce´demment dans le cas d’une sphe`re creuse ”bulle”. Il y a des effets inertiels associe´s aux pulsationsdu cluster tout entier, dont il faut tenir compte.Pour e´tablir cette relation, on e´crit le principe des puissances virtuelles sur le volume V1 (volume decontroˆle d’un cluster), qui va nous permettre de relier la pression P1 sur la surface externe du cluster420e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011au champ de contrainte P e´tabli par le mode`le de sphe`re creuse ”bulles”, et suppose´ homoge`ne ausein de chaque cluster.On trouve finalement que :P1 = P −15ρCR1R¨1 (5)La pression P est relie´e a` la pression dans la bulle par l’e´quation 1.(L)(b, P )(a, pb)(a) Echelle microscopique(R1, P1)(R2, P2)(L))V1)f0(b) Echelle interme´diairefm0 , α0(c) Echelle macroscopiqueFig. 5 – Illustration de la me´thode d’homoge´ne´isation en e´tapes pour de´crire la re´ponse d’un fluidecontenant des clusters de bulles0.0E+002.0E+044.0E+046.0E+048.0E+041.0E+051.2E+050 0.5 1 1.5 2 2.5 3z(m)P(Pa)Calculs tri-dimensionnelsModèle homogénéiséFig. 6 – Comparaison entre simulations tri-dimensionnelles et mode`le homoge´ne´ise´ - Rayon initialdes bulles a0 = 2mm - Rayon initial des clusters R01= 3.48cm - Porosite´ initiale au sein des clustersf0 = 5% - Porosite´ initiale moyenne fm0 = 1% - Fraction volumique initiale occupe´e par les clustersα0 = 20%La figure 6 montre le bon accord entre les calculs semi-directs et l’approche homoge´ne´ise´e propose´e.5 ConclusionNous nous sommes inte´resse´s dans cette e´tude a` la propagation d’ondes de choc dans des milieuxdiphasiques comportant des he´te´roge´ne´ite´s de porosite´, sous la forme d’amas sphe´riques de bulles.520e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011Il apparaˆıt que ces zones d’he´te´roge´ne´ite´s modifient fortement la structure de l’onde de choc. Enparticulier, la longueur d’onde du signal de pression semble relie´e a` la pe´riode de pulsation du clusterdans son ensemble, et non a` la pe´riode de pulsation des bulles, comme c’est le cas lors de la propagationd’un choc dans un milieu homoge`ne. Par ailleurs, un mode`le homoge´ne´ise´ d’un tel milieu diphasiquehe´te´roge`ne a e´galement e´te´ de´veloppe´. Des investigations sur l’effet d’autres ge´ome´tries de clusterssont en cours.Re´fe´rences[1] Ando, K., Colonius, T. & Brennen, C.E. 2009 Shock propagation in polydisperse bubbly flows,Proc. 17th Int. Symp. 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Influence des hétérogénéités de porosité sur la propagation d'ondes de choc dans un liquide aéré

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