Ce travail concerne l'étude numérique du mélange et du transfert thermique au sein de fluides très visqueux au comportement rhéologique non newtonien (rhéofluidifiants ou rhéoépaississants) soumis à un régime d'advection chaotique. Les fluides considérés sont modélisés par des lois de puissance en prenant en compte la thermodépendance. Le mélangeur est constitué de deux barreaux cylindriques maintenus verticalement dans une cuve. Nous montrons ici l'impact de la variation de la viscosité avec la température et le cisaillement sur la qualité du mélange en réchauffement et en refroidissement

EL OMARI, Kamal

LE GUER, Yves

MOGUEN, Yann

I-Revues

20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Efficacite´ du me´lange chaotique pour des fluides non
newtoniens thermode´pendants chauffe´s ou refroidis
Y. MOGUENa , K. EL OMARIb ET Y. LE GUERb
a. Ghent University – Department of Flow, Heat and Combustion Mechanics,
Sint-Pietersnieuwstraat, 9000 Gent (Belgique)
b. Laboratoire des Sciences de l’Inge´nieur Applique´es a` la Me´canique et au Ge´nie Electrique
SIAME – Fe´de´ration IPRA CNRS – Universite´ de Pau et des Pays de l’Adour (UPPA)
Baˆt. d’Alembert, rue Jules Ferry, BP 7511, 64 075 Pau cedex (France)
Re´sume´ :
Ce travail concerne l’e´tude nume´rique du me´lange et du transfert thermique au sein de fluides tre`s visqueux
au comportement rhe´ologique non newtonien (rhe´ofluidifiant ou rhe´oe´paississant) soumis a` un re´gime d’ad-
vection chaotique. Les fluides conside´re´s sont mode´lise´s par des lois de puissance en prenant en compte la
thermode´pendance. Le me´langeur est constitue´ de deux barreaux cylindriques maintenus verticalement dans
une cuve. Nous montrons ici l’impact de la variation de la viscosite´ avec la tempe´rature et le cisaillement sur
la qualite´ du me´lange en re´chauffement et en refroidissement.
Abstract :
A numerical investigation of mixing and thermal transfer in high viscous non-Newtonian (shear-thinning and
shear-thickening) fluids in chaotic advection regime is proposed. The temperature dependence is accounted for
through the power-law model. The mixer consists of two circular rods maintained vertically inside a cylindrical
tank. The influence of the temperature dependence on the mixing efficiency in heating and cooling cases is
demonstrated.
Mots clefs : me´lange chaotique ; fluides non newtoniens ; thermode´pendance
1 Introduction
Les ope´rations de me´lange de fluides au cours desquelles les e´changes de masse et de chaleur sont favorise´s,
sont fre´quentes dans l’industrie. Lorsque des fluides tre`s visqueux et/ou fragiles sont concerne´s, le me´lange
chaotique effectue´ par des e´coulements laminaires est alors particulie`rement inte´ressant. Le me´lange par des
e´coulements turbulents peut en effet de´grader le fluide, ainsi qu’eˆtre couˆteux en e´nergie. Cette situation se
rencontre par exemple pour les polyme`res fondus ou les assemblages de polyme`res, dont le comportement
rhe´ologique est non newtonien. Dans ce cas, le cisaillement peut induire une de´gradation des longues chaıˆnes
polyme´riques. D’autre part, un me´lange de mauvaise qualite´ peut induire des structures inhomoge`nes lors de
l’assemblage de polyme`res. Le me´lange par advection chaotique est effectue´ au moyen d’e´coulements simples
du point de vue eule´rien, mais qui sont capables de ge´ne´rer des trajectoires lagrangiennes complexes, condition
d’un me´lange efficace. Dans le cas d’un e´coulement bidimensionnel – par exemple, un me´lange en cuve –, le
caracte`re chaotique de l’e´coulement peut eˆtre obtenu par l’introduction d’une modulation temporelle ade´quate
de la vitesse de rotation des e´le´ments mobiles du me´langeur.
De nombreuses publications concernent le me´lange chaotique (cf. [1]), dont une partie porte sur le me´lange
thermique (cf. [2]). Ne´anmoins, rares sont celles qui concernent le me´lange thermique de fluides non new-
toniens [3, 4] et tre`s peu conside`rent le cas de fluides thermode´pendants. L’objectif du travail pre´sente´ ici
est d’analyser les effets combine´s du me´lange chaotique thermique dans le cas de fluides rhe´oe´paississant et
rhe´ofluidifiant dont la viscosite´ de´pend de la tempe´rature.
1
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
2 Ge´ome´trie du dispositif de me´lange et protocole d’agitation
Le dispositif de me´lange est constitue´ d’une cuve et de deux barreaux cylindriques (voir Fig. 1a). Chacun de
ces trois e´le´ments est susceptible d’entraıˆner le fluide par un mouvement de rotation autour de son axe de
syme´trie, suppose´ fixe et vertical. Notons que la ge´ome´trie du dispositif ne change donc pas au cours du temps.
Nous nous limitons ici a` une e´tude bidimensionnelle dans un plan perpendiculaire aux axes des cylindres.
R
R2 R1
3
Ω
Ω
Ω2
1
3
ε
(a) Ge´ome´trie (dimensions :
R1 = R2 = 10 mm,
R3 = 50 mm, ε = 25 mm).
(b) Maillage (avec des quad-
rangles pre`s des parois).
FIGURE 1 – Le dispositif de me´lange.
Nous avons montre´ dans le cadre d’e´tudes pre´ce´dentes [4, 5] que le protocole de rotations alterne´es des bar-
reaux et de la cuve est plus efficace que la modulation ininterrompue de la rotation. C’est donc ce protocole
qui est utilise´ dans le cadre de cette e´tude. Il est re´alise´ en modulant les vitesses angulaires des trois e´le´ments
cylindriques avec une pe´riode τ = 30 s, de la fac¸on suivante (voir Fig. 1a) :
Ω1,2 =
{
ω si ω > 0
0 sinon
, Ω3 =
{
ω˜ si ω˜ > 0
0 sinon
ou` les vitesses angulaires sont donne´es, en tours par minute, par :
ω(t) = 30− 60 sin2(pit
τ
) , ω˜(t) = 6− 12 sin2(pit
τ
+
pi
2
)
Les amplitudes ont e´te´ choisies de manie`re a` obtenir la meˆme vitesse maximale V pour les barreaux et la
cuve. Le fluide confine´ a` l’inte´rieur du me´langeur est chauffe´ ou refroidi par l’interme´diaire de la tempe´rature
impose´e aux parois de la cuve et des barreaux. Cela pourrait eˆtre re´alise´ au moyen d’une circulation rapide
d’eau amene´e au niveau de l’axe des e´le´ments tournants. Pour un chauffage du fluide, la tempe´rature initiale
de celui-ci est en tout point T0 = Tfroide et la tempe´rature impose´e aux parois est Tp = Tchaude. Pour un
refroidissement, les tempe´ratures T0 et Tp sont bien suˆr inverse´es.
3 Mode´lisation du fluide et conditions d’e´coulement
3.1 ´Equations de conservation
Les e´quations de conservation de la masse, de la quantite´ de mouvement et de l’e´nergie sont re´solues en
supposant l’e´coulement incompressible. Dans le but de mettre en e´vidence l’importance relative de chacun
des effets thermo-hydrodynamiques pre´sents dans le me´lange thermique conside´re´, ces e´quations peuvent eˆtre
pre´sente´es sous la forme adimensionnelle suivante :
dˆiv(vˆ) = 0 (1a)
Re Sl ∂tˆvˆ +Re (vˆ · ∇ˆ)vˆ = −∇ˆpˆ+ ∇ˆ(ηˆ∇ˆ · vˆ) (1b)
Pe Sl ∂tˆT
? + Pe vˆ · ∇ˆT ? = ∆ˆT ? + Br 2ηˆDˆ : Dˆ (1c)
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20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
ou`
Re =
ρV L
η0
, Sl =
L
τV
, Br =
η0V
2
λΘ
sont, respectivement, les nombres de Reynolds, Strouhal et Brinkman. Le nombre de Pe´clet a e´galement e´te´
introduit :
Pe = Pr Re =
cpρV L
η0
ou` Pr est le nombre de Prandtl. Nous avons pris comme longueur de re´fe´rence L = 2(R3 − R1). La dure´e
τ et la vitesse V de re´fe´rence sont donne´es par la pe´riode de modulation des vitesses angulaires et la vitesse
tangentielle maximale aux parois. La viscosite´ η0 du fluide est prise a` la tempe´rature de re´fe´rence Tr. Pour un
e´coulement dans lequel la viscosite´ joue un roˆle dominant, il est loisible de prendre comme valeur de re´fe´rence
η0V/L pour la pression. La tempe´rature re´duite T ? a e´te´ de´finie de manie`re a` ce que ses valeurs parcourent
l’intervalle [0, 1] en chauffage comme en refroidissement :
T ? =
T − Tr
Θ
avec Tr = Tfroide et ou` Θ = Tchaude − Tfroide est l’e´cart de tempe´rature de re´fe´rence.
3.2 Loi de comportement
Dans l’Eq. (1b), le tenseur des contraintes est conside´re´ sous la forme τ = 2η(γ˙)D, ou` γ˙ = √2D : D est le
taux de de´formation. Une forme ge´ne´ralise´e de la loi de comportement des fluides newtoniens est utilise´e. La
viscosite´ est de´crite par une loi de puissance :
η = kγ˙n−1 (2)
ou` k est l’indice de consistance et n est l’indice du comportement rhe´ologique du fluide. Les valeurs n < 1,
n = 1 et n > 1 correspondent respectivement aux cas rhe´ofluidifiant, newtonien et rhe´oe´paississant. Pour les
calculs pre´sente´s par la suite, nous prendrons n = 0, 5 et n = 1, 5. La thermode´pendance de la viscosite´ dans
la loi de puissance est introduite en suivant Bird et al. [6], par la relation :
k = k0e
−b(T−Tr) = k0e
−BT ? (3)
ou` b est une constante de´termine´e de fac¸on empirique et k0 est l’indice de consistance a` la tempe´rature de
re´fe´rence Tr. Notons que les variations de l’indice n en fonction des e´carts de tempe´rature sont ici ne´glige´es. Le
coefficient adimensionnel B = bΘ apparaissant dans l’expression (3), appele´ nombre de Pearson, caracte´rise
le niveau de thermode´pendance de la viscosite´.
3.3 Proprie´te´s de l’e´coulement dans le me´langeur
L’e´coulement que nous conside´rons est tel que :
Re = O(1) , Sl = O(1) , Pe 1 , Br 1
Comme Pe et Pe Sl ne de´pendent pas de la viscosite´, l’influence de la thermode´pendance sur l’efficacite´ du
me´lange n’est pas due a` l’e´quation de la tempe´rature (1c) mais principalement a` l’e´quation de la quantite´ de
mouvement (1b). Notons alors que, du fait que Re = O(1) et Re Sl = O(1), le lien entre vitesse et acce´le´ration
dans l’e´quation (1b) est associe´ a` la pre´sence d’effets d’inertie dans l’e´coulement.
Nous conside´rons que le nombre de Pearson est compris entreB = 0 (viscosite´ inde´pendante de la tempe´rature)
et B = 5 (valeur re´aliste pour les e´coulements de polyme`res fondus, par exemple). Les autres parame`tres
adimensionnels significatifs sont donne´s Tab. 1.
Ainsi, le temps caracte´ristique de diffusion thermique est 16 600 fois supe´rieur au temps caracte´ristique d’ad-
vection, qui est e´gal a` L/V = 2, 5 s. Compte tenu de la dure´e de simulation de 2 000 s que nous avons choisie,
les effets de la diffusion thermique a` l’e´chelle du me´langeur peuvent eˆtre conside´re´s comme secondaires
dans le processus de me´lange, gouverne´ principalement par l’advection. En outre, la dissipation visqueuse
est ne´gligeable, compte tenu de la faible valeur du nombre de Brinckman.
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Re Sl Pe Pr Br
1, 66 0, 1 16 600 104 10−3
TABLE 1 – Parame`tres adimensionnels de l’e´coulement.
4 Quelques re´sultats
Les calculs pre´sente´s ont e´te´ effectue´s a` l’aide du code TAMARIS de´veloppe´ par K. El Omari. Pour des
de´tails sur la me´thodologie nume´rique employe´e et la validation du code, nous renvoyons aux re´fe´rences [4, 5].
Signalons simplement qu’une me´thode aux volumes finis d’ordre deux en temps et en espace est utilise´e. Le
maillage du domaine fluide comporte 10 680 cellules (voir Fig. 1b). Le temps caracte´ristique de diffusion
associe´ a` la taille caracte´ristique d’une cellule du maillage est de 3 s (cf. [5]).
Conside´rons tout d’abord le cas ou` le fluide chauffe´ est rhe´oe´paississant (voir Fig. 2a, en notant que t =
120 s = 4τ correspond au maximum de la vitesse angulaire des barreaux a` la fin du quatrie`me cycle des
rotations alterne´es mentionne´es Sec. 2). Dans le cas thermode´pendant, deux effets contraires influencent la
viscosite´ au voisinage des parois : celle-ci a tendance a` diminuer du fait du chauffage mais a` augmenter du
fait du caracte`re rhe´oe´paississant du fluide. Les deux effets se compensent sensiblement, comme le montre la
figure 3a, qui pre´sente l’e´cart-type de la tempe´rature dans le fluide – repre´sentant le degre´ d’homoge´ne´isation
thermique – et sa valeur moyenne – repre´sentant la quantite´ d’e´nergie e´change´e avec les parois. Un effet
inattendu joue en faveur du me´lange dans le cas thermode´pendant : si la baisse de viscosite´ au voisinage des
parois chaudes mobiles re´duit la force d’entraıˆnement de ces parois, la faible viscosite´ au voisinage des parois
immobiles (les barreaux par exemple pendant une moitie´ de la pe´riode) facilite le de´placement du fluide chaud
les entourant vers le milieu du me´langeur. En effet, comme le montre la figure 2a, les filets de fluide chaud
extraits des barreaux sont plus e´pais dans le cas thermode´pendant que dans le cas non thermode´pendant. Meˆme
si ces filets apparaissent plus courts, la quantite´ d’e´nergie extraite des parois est sensiblement la meˆme (cf. Fig.
3a).
(a) Fluide rhe´oe´paississant (n = 1, 5). `A
gauche : B = 0 ; a` droite : B = 5.
(b) Fluide rhe´ofluidifiant (n = 0, 5). `A
gauche : B = 0 ; a` droite : B = 5.
FIGURE 2 – Chauffage du fluide. Champs de tempe´rature re´duite T ?, t = 120 s = 4τ .
`A pre´sent, dans le cas ou` le fluide chauffe´ est rhe´ofluidifiant, la thermode´pendance et les de´formations que subit
le fluide ont le meˆme effet de diminuer sa viscosite´. Dans le cas thermode´pendant, se cre´e alors au voisinage
des parois une zone de tre`s faible viscosite´ qui affaiblit drastiquement la capacite´ des parois en rotation a`
entraıˆner le fluide froid loin de ces parois. Dans ce cas, l’extraction des filets de fluide chaud a` partir des zones
parie´tales ne se fait pas, au contraire de ce que l’on observe dans le cas non thermode´pendant (voir Fig. 2b,
a` gauche). Concernant l’efficacite´ du me´lange thermique, l’e´cart entre le cas thermode´pendant et le cas non
thermode´pendant est notable dans ce cas, au moins dans la premie`re partie du processus de me´lange (voir
Fig. 3b). La diffe´rence entre les deux modes se re´duit avec le temps. En effet, les gradients de viscosite´ se
re´duisent progressivement, ce qui ame´liore l’entraıˆnement. Il est a` noter que dans le cas thermode´pendant,
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σ T* m
temps (s)
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σ
B = 0
B = 2.5
B = 5
(a) Fluide rhe´oe´paississant (n = 1, 5)
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temps (s)
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B = 2.5
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(b) Fluide rhe´ofluidifiant (n = 0, 5)
FIGURE 3 – Chauffage du fluide. ´Evolution temporelle de la moyenne T ?m et de l’e´cart-type σ de la tempe´rature
re´duite T ? pour B = 0, 2, 5 et 5.
(a) Fluide rhe´oe´paississant (n = 1, 5). `A
gauche : B = 0 ; a` droite : B = 5.
(b) Fluide rhe´ofluidifiant (n = 0, 5). `A
gauche : B = 0 ; a` droite : B = 5.
FIGURE 4 – Refroidissement du fluide. Champs de tempe´rature 1− T ?, t = 120 s = 4τ .
l’hydrodynamique et les me´canismes de me´lange sont en constante e´volution, ce qui n’est pas le cas pour un
fluide non thermode´pendant.
Conside´rons a` pre´sent la situation de refroidissement du fluide. Les champs de tempe´rature pre´sente´s dans ce
cas repre´sentent la quantite´ 1−T ?, afin de faciliter leur comparaison avec les re´sultats du re´chauffement. D’une
fac¸on ge´ne´rale, on observe une diffe´rence nette entre chauffage et refroidissement dans le cas thermode´pendant,
alors que dans le cas non thermode´pendant on observe une similitude des motifs des champs de tempe´rature.
Dans le cas ou` le fluide est rhe´oe´paississant, les de´formations et la thermode´pendance agissent dans le meˆme
sens d’une augmentation de la viscosite´. Dans le cas thermode´pendant, au de´but du processus de me´lange,
une couche de fluide tre`s visqueux se forme au voisinage des parois, empeˆchant l’extraction des striations
depuis ces parois et donc le me´lange par advection. En outre, de larges zones situe´es au milieu du me´langeur
contiennent du fluide chaud de faible viscosite´, ce qui y re´duit la diffusion de quantite´ de mouvement. Par
conse´quent, le processus de cre´ation de striations de scalaire (tempe´rature) et leur pliage ne se produit pas, ce
qui conduit a` un me´lange plus pauvre compare´ au cas non thermode´pendant (voir Fig. 5a).
Enfin, dans le cas ou` le fluide refroidi est rhe´ofluidifiant (voir Fig. 4b), la thermode´pendance influence la
viscosite´ dans le sens d’une augmentation tandis que le caracte`re rhe´ofluidifiant du fluide a tendance a` la
diminuer. Sur la figure 4b (a` droite), on voit qu’au voisinage des parois, l’influence de la thermode´pendance est
dominante. De ce fait, une couche de fluide fortement visqueux s’y de´veloppe, limitant nettement l’extraction
des striations des zones parie´tales. Cette fois, les effets de´crits pre´ce´demment pour le refroidissement du fluide
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temps (s)
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B = 2.5
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(b) Fluide rhe´ofluidifiant (n = 0, 5)
FIGURE 5 – Refroidissement du fluide. ´Evolution temporelle de la moyenne T ?m et de l’e´cart-type σ de la
tempe´rature re´duite T ? pour B = 0, 2, 5 et 5.
rhe´oe´paississant sont ici accentue´s par une viscosite´ encore plus faible au centre du me´langeur, ce qui de´grade
l’efficacite´ du me´lange (cf. Fig. 5b).
Un autre effet a e´te´ observe´ dans le cas thermode´pendant : l’absence de structures auto-similaires ou motifs
re´currents du scalaire (tempe´rature) dans le fluide, appele´es aussi modes propres  e´tranges . Ces modes
observe´s dans le cas non thermode´pendant [4, 5] sont la conse´quence de la reproductibilite´ du champs de
vitesse d’une pe´riode a` l’autre, ce qui n’est plus le cas lorsque la viscosite´ e´volue avec le temps.
5 Conclusion
Le me´lange thermique dans un e´coulement de fluide non newtonien dont la viscosite´ de´pend de la tempe´rature,
a e´te´ conside´re´ dans cette e´tude. La thermode´pendance de la viscosite´ du fluide a e´te´ introduite par une loi
exponentielle dans la loi de comportement rhe´ologique du fluide. L’e´tude nume´rique des cas ou` le fluide,
rhe´oe´paississant ou rhe´ofluidifiant, est chauffe´ ou refroidi, met en e´vidence l’importance de l’influence de la
thermode´pendance sur l’efficacite´ du me´lange thermique. L’efficacite´ du me´lange peut eˆtre infe´rieure dans le
cas thermode´pendant a` celle du cas non thermode´pendant. Cela se produit notamment lorsqu’au voisinage
des parois mobiles du me´langeur conside´re´ – qui sont e´galement dans le cas pre´sent les e´le´ments imposant
la tempe´rature au fluide – se forment des couches de fluide dont la viscosite´ est tre`s diffe´rente de celle du
fluide e´loigne´ des parois. Une e´tude plus comple`te de ces phe´nome`nes complexes, faisant intervenir des effets
d’inertie, fera l’objet d’un prochain article.
Re´fe´rences
[1] H. Aref. The development of chaotic advection. Physics of Fluids, 14 :1315–1325, 2002.
[2] E. Saatdjian et J.-C. Leprevost. Chaotic heat transfer in a periodic two-dimensional flow. Physics of Fluids,
10 :2102, 1998.
[3] D.R. Lester, M. Rudman et G. Metcalfe. Low Reynolds number scalar transport enhancement in viscous
and non-Newtonian fluids. International Journal of Heat and Mass Transfer, 52(3-4) :655–664, 2009.
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walls. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 165 :641–651, 2010.
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Heat and Mass Transfer, 53 :123–134, 2010.
[6] R.B. Bird, R.C. Armstrong et O. Hassager. Dynamics of polymeric liquids. Vol. 1 : Fluid mechanics. John
Wiley and Sons Inc., New York, 1987.
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Efficacité du mélange chaotique pour des fluides non newtoniens thermodépendants chauffés ou refroidis

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46913/1/cfm2011_701.pdf

Efficacité du mélange chaotique pour des fluides non newtoniens thermodépendants chauffés ou refroidis

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