Dans la simulation des écoulements particulaires denses, il est nécessaire d'avoir des modèles de collision performants. Afin de garder un pas de temps et un maillage raisonnables il est nécessaire d'inclure dans ces modèles la collision à sec et la lubrification. On expose un modèle d'interaction particule-particule particule-paroi basé sur l'approche de W.P. Breugem. Ce modèle a été validé pour des particules de taille finie avec une approche de pénalisation sur domaines fictifs. Il vérifie les coefficients de restitution expérimentaux pour une large gamme de nombre de Stokes

BRANDLE DE MOTTA, Jorge César

CLIMENT, Eric

ESTIVALEZES, Jean-Luc

GAZANION, Bertrand

VINCENT, Stéphane

I-Revues

20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Prise en compte des effets de lubrification lors de la
simulation de la collision de deux particules dans un
fluide
J.C. Bra¨ndle de Mottaa, B. Gazanionb, J.-L. Estivalezesa, E. Climentb, S. Vincentc
a. ONERA, 2 av. Edouard Belin, 31055 TOULOUSE
b. IMFT, 1 alle´ du Professeur Camille Soula, 31400 TOULOUSE
c. Universite´ de Bordeaux, I2M, 16 av. Pey-Berland, 33607 PESSAC
Re´sume´ :
Dans la simulation re´solue d’e´coulements particulaires denses, il est ne´cessaire d’avoir des mode`les
de collision performants. Afin de garder un pas de temps et un maillage raisonnables il est ne´cessaire
d’inclure dans ces mode`les la collision a` sec et la lubrification. On expose un mode`le d’interaction
particule-particule et particule-paroi base´ sur l’approche de W.-P. Breugem. Ce mode`le a e´te´ valide´
pour des particules de taille finie avec une approche de pe´nalisation par domaines fictifs. Il ve´rifie les
coefficients de restitution expe´rimentaux pour une large gamme de nombres de Stokes.
Abstract :
Robust collision models are required to simulate finite size particulate flows. In order to maintain
reasonable time and space steps, dry collision and lubrification have to be included in those models.
Particle-particle and particle-wall models based on W.-P. Breugem work are presented. They have
been associated to a fictitious domain approach and penalty methods and applied to finite size particle
simulations. The experimental restitution coefficient have been well reproduced for a wide range of
Stokes numbers.
Mots clefs : lubrification ; particules ; rebond
1 Introduction
Dans le cadre des simulations d’e´coulements particulaires, il ne´cessaire d’e´tablir des mode`les de prise
en compte de rebonds. Dans le cas ou` l’on utilise des particules dont la taille n’est pas ne´gligeable
par rapport aux e´chelles de l’e´coulement, on doit re´aliser une simulation directe des particules et du
fluide autour. On traite ainsi des particules de taille finie. Dans la totalite´ des me´thodes de simula-
tion de particules de taille finie, il faut prendre en compte les chocs entre particules afin d’e´viter le
recouvrement entre celles-ci.
Une premie`re approche pour e´viter le recouvrement est d’utiliser des algorithmes simples, par exemple
l’e´cartement manuel des particules a` la main apre`s advection. Ce choix se justifie car sous certaines
hypothe`ses, par exemple quand la fraction volumique du solide est suffisamment petite, les interac-
tions entre particules sont ne´gligeables. Un premier proble`me peut apparaˆıtre ici car, le rebond e´tant
non physique, l’e´nergie peut augmenter. Une deuxie`me approche est d’inclure des mode`les de forces
d’interaction capables de produire le choc solide-solide, soit a` l’aide d’une force en forme de ressort,
[1] et [2], soit avec une forme exponentielle, [3], soit enfin avec un mode`le de ressort-amortiseur. Cette
dernie`re reproduit l’e´nergie apre`s choc pour des particules donne´es. Le principal obstacle est de pa-
rame´trer le choc pour qu’il soit re´aliste. En effet, les temps caracte´ristiques de l’e´coulement et celui
du choc re´el sont comple`tement de´correle´s, il faut donc trouver un mode`le repre´sentatif.
1
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Une autre proble´matique a` aborder est que dans les simulations de particules de taille finie, on ne re´sout
pas la couche de lubrification. Si l’on voulait re´soudre ces e´chelles les maillages seraient excessivement
fins et cela rendrait les calculs trop couˆteux. Il faut donc des mode`les qui soient capables de reproduire,
lors d’un rebond, ces forces de lubrification.
Dans ce document, nous expliquons les mode`les de forces de choc solide-solide et de lubrification
imple´mente´s dans le code the´tis, [5], pour la simulation des e´coulements particulaires. L’approche
utilise´e est base´e sur celle pre´sente´ par W.-P. Breuguem, [6]. L’explication de la me´thode de simulation
des particules de taille finie fait objet d’un autre expose´ dans ce congre`s, [7].
2 Implementation
Dans l’imple´mentation pre´sente´ ici, la force d’interaction entre les particules (prenant en compte le
choc solide-solide et lubrification) est calcule´e avant la re´solution des e´quations de Navier-Stokes in-
compressibles. Ensuite, elle est inse´re´e comme terme source dans celles-ci, voir [7]. Il est donc ne´cessaire
de les e´valuer au temps n+ 12 . Dans la me´thode implemente´e par W.-P. Breugem, [6] sur laquelle nous
nous sommes base´s, la force calcule´e est de´finie au temps n et est utilise´e pour l’e´quation de Newton
qui re´git le mouvement de chaque particule.
Si on utilise notre code avec une viscosite´ nulle pour le fluide entourant les particules, on re´alise une
mode´lisation granulaire selon le sche´ma suivant :
 X˜
n+ 1
2
i = X
n
i +
∆t
2 V
n
i t
V˜
n+ 1
2
i =
3
2V
n
i −Vn−1i
(1)
Vn+1i = V
n
i + ∆t
 1
mi
Np∑
j 6=i
F
(
X˜
n+ 1
2
i , X˜
n+ 1
2
j , V˜
n+ 1
2
i , V˜
n+ 1
2
j
)
+ g
 (2)
Xn+1i = X
n
i + ∆t
(
Vn+1i + V
n
i
2
)
(3)
Tout d’abord, nous faisons une pre´diction sur la position et la vitesse des particules au pas de temps
1
2 , e´quations 1. Celle ci va nous aider a` e´valuer la force d’interaction entre deux particules F. Ensuite,
nous re´solvons l’e´quation de Newton pour chaque particule. La force d’inte´raction entre particules est
alors distribue´e dans le volume eule´rien solide. Finalement, on actualise la position des particules de
fac¸on lagrangienne 3.
Dans le code multiphasique, l’e´tape de re´solution de l’e´quation de Newton est re´mplace´e par une
re´solution des e´quations de Navier-Stokes incompressibles. La force d’inte´raction entre particules est
distribue´e dans le volume interne aux particules. On obtient alors un champ de vitesse global pour les
particules et le fluide. Afin d’obtenir la vitesse des particules pour l’e´tape 3, on calcule, par interpolation
du champ fluide, la vitesse des particules.
Quand deux particules sont incluses dans un fluide incompressible, on peut e´tablir trois types d’inte´ractions.
D’une part, l’influence propre a` l’e´coulement cre´e´ par une particule, par exemple, la modification de
2
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
la vitesse d’une particule lorsqu’elle est dans le sillage d’une autre. D’autre part, l’influence de la
force de lubrification et les chocs solide-solide. Les e´chelles caracte´ristiques de ces phe´nome`nes sont
inde´pendantes. Dans les simulations de particules de taille finie, le premier type d’interaction est
re´solu. Le deuxie`me et le troisie`me doivent eˆtre inclus dans nos mode`les d’inte´raction.
La me´thode propose´e est d’activer les diffe´rentes forces en fonction de la distance adimensionne´e par
le rayon . La figure 1 montre les diffe´rentes re´gions d’activation pour les dife´frentes forces.
Fs
Fs + Fl(1)
Fl(1)
Fl()
al
1
2
d
Figure 1 – Diffe´rentes e´tapes de la force.
Dans une premie`re zone on ne prends en compte que la force due a` la couche de lubrification, Fl. Celle
ci, est bloque´e a` partir d’une distance critique, 1, puis enleve´e a` partir d’un recouvrement maximal,
2. D’autre part, lors du recouvrement on active la force d’interaction solide-solide, Fs.
3 Choc solide-solide
Les chocs entre particules solides on e´te´ traite´s par de nombreux auteurs pour des cas granulaires.
Dans le cadre d’un rebond sans fluide visqueux, le parame`tre le plus important est le coefficient de
restitution a` vide, ed. Il s’agit du ratio entre la vitesse apre`s rebond et celle avant rebond.
Durant un rebond, les particules se de´forment et repartent avec une nouvelle vitesse. Il est impossible
d’utiliser les forces issues de l’e´tude analytique des solides de´formables car cela impliquerait des pas
de temps de l’ordre de 10−9 s. La me´thode la plus re´pandue est d’utiliser des sphe`res dures pour
lesquelles on permet un certain recouvrement et un temps fini pour le choc, [4]. De plus dans le cas
d’un e´coulement granulaire, il est commune´ment accepte´ que, sous la condition que le temps du choc
soit ne´gligeable par rapport au temps de l’e´coulement granulaire, il est possible d’utiliser ces mode`les
sans affecter la physique du re´sultat, voir par exemple, [8]. Notre me´thode se basse sur l’hypothe`se que,
tant que le temps du choc reste petit relativement au temps de l’e´coulement, les chocs reproduisent
la physique du proble`me.
On introduit une force ressort-amortisseur qui permet de re´tablir le bon coefficient de restitution.
L’e´quation 4 donne la forme de cette force.
Fs =
me
(
pi2 + [lned]
2
)
[Nc∆t]
2 d−
2me [lned]
[Nc∆t]
d˙ (4)
La force de´pend du coefficient de restitution a` vide mesure´ sur la particule, ed, et de la masse re´duite
des particules, qui vaut me =
(
m−11 +m
−1
2
)−1
quand il s’agit d’un choc entre deux particules et qui
vaut la masse de la particule quand il s’agit d’un choc particule paroi.
Cette force reproduit un choc dont le coefficient de restitution correspond a` la valeur expe´rimentale,
et dont la dure´ est Nc ite´rations en temps. Pour mieux reproduire la physique il faudrait utiliser une
3
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
dure´e de choc extreˆmement petite. Il faut donc utiliser un minimum d’ite´rations afin d’assurer un
de´couplage temporel entre le choc et l’e´coulement. Cependant, des test nume´riques montrent que pour
moins de 8 ite´rations en temps cette force ne reproduit pas le bon coefficient de restitution. Le choix
Nc = 8 est donc retenu car c’est le nombre minimum d’ite´rations ne´cessaire pour reproduire la bonne
vitesse apre`s choc.
4 Lubrification
On peut de´duire de l’e´tude analytique faite par Brenner, [9] la force exerce´e par un fluide sur une
particule sphe´rique au voisinage d’une surface plane. Cette force est la force de lubrification. Dans
le cinquie`me chapitre de [4] on peut trouver aussi une premie`re expression au premier ordre de cette
force. L’e´quation 5 donne une forme ge´ne´rale de cette force de´pendant de la vitesse normale, un, et
de la distance adimensione´. Elle de´pend de la viscosite´ du fluide, µf , et du rayon de la particule,
R. On voit qu’il s’agit d’une force qui agit comme un amortisseur. La fonction λ proviens des e´tudes
analytiques cite´s pre´cedemnet. L’expression de´pend de s’il s’agit des deux particules ou d’une particule
arrivant sur une paroi, 6 et 7 respectivement.
Fl(,un) = −6piµfRun [λ ()− λ (al)] (5)
λpp =
1
2
− 9
20
log ()− 3
56
log () + 1.346 +© () (6)
λpm =
1

− 1
5
log ()− 1
21
log () + 0.9713 +© () (7)
Il faut maintenant traiter les deux limites de cette force. Avec la distance d’activation  = c la force
de lubrification s’active. Il est ne´anmoins essentiel de de´terminer cette distance d’activation. On doit
rappeler qu’ici, le mode`le de lubrification viens remplacer une couche fluide qui n’est pas re´solue.
Il faut donc l’activer sur des distances plus petites que le maillages. La distance d’activation de la
lubrification doit donc de´pendre de la re´solution du maillages. W.-P. Breugem propose al = 0.5
∆x
R ou
al = 0.75
∆x
R . Apre`s une e´tude parame´trique on a garde´ cette dernie`re valeur.
Il faut aussi traiter le cas ou`  tend vers 0. En effet, on constate que la force de lubrification tends
vers l’infini. Cette limite n’est pas compatible avec la physique du proble`me. En effet, dans les
de´veloppements analytiques on conside`re un fluide visqueux sous re´gime de Stokes. Dans la phy-
sique du proble`me, avant le contact physique entre deux particules sphe´riques parfaites, on sort des
hypothe`ses dans lesquelles les solutions analytiques ont e´te´ trouve´s : le fluide ne reste pas incompres-
sible et les particules se de´forment, [10]. De plus, a` ces e´chelles, on a l’influence de la rugosite´ des
particules. Il faut donc limiter cette force. W.-P. Breugem propose deux valeurs entre lesquelles cette
force est constante. Il donne les valeurs 1 = 10
−3 et 2 = −10−2. Apre`s une e´tude parame´trique on a
garde´ ces valeurs. Dans notre cas la modification de ces parame`tres ne jouait pas un grand roˆle dans
le re´sultat.
5 Validations
Dans le cas d’un rebond avec une paroi solide il y a une base de donne´es tre`s conse´quente, on peut
par exemple on peut citer [11] ou [12]. Comme dans le cas de rebond sans fluide on peut de´finir un
coefficient de restitution de lubrification, el.
Dans [13] on propose le nombre de Stokes, St = 29
Ruρp
µf
, pour caracte´riser le rebond. Des e´tudes
parame´triques on montre´ que l’on doit utiliser comme vitesse caracte´ristique, u, la vitesse normale
du choc. On retient comme loi ge´ne´ralise´ celle propose´ par [14] : eled = exp
(
− 35St
)
. La figure 2 montre
l’accord de cette loi avec l’expe´rience.
Afin de valider le mode`le on a re´alise´ trois types de simulation.
– La premie`re validation utilise l’algorithme pre´sente´ pre´ce´demment et n’utilise pas de fluide autour
de la particule. Ne´anmoins, on impose une force de lubrification pour une viscosite´ donne´e. On
modifie cette viscosite´ pour faire e´voluer le nombre de Stokes.
4
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 1  10  100  1000
e
/ e
d
St
exp(-35/St)
Figure 2 – A gauche, expe´riences de Legendre & al. sur de goutes confronte´s a` la loi propose´e, source
[14]. A droite, Confrontation a` la loi empirique [14]. Cercles, me´thode implemente´ par [6]. Carre´ bleu,
cas de [6] avec l’imple´mentation pre´sente. Carre´e vert, choc a` vitesse constante avec solveur Navier
Stokes. Carre´es jaunes, choc a` vitesse donne´e sans fluide, e´quation 2
– Le deuxie`me cas est celui propose´ par W.-P. Breuguem et consiste en une particule soumise a` sa
propre gravite´ qui rebond sur le sol. Le rayon de la particule est modifie´ afin de changer la vitesse
du choc.
– Le troisie`me cas est une particule lance´e sur une paroi avec une vitesse normale qu’on fait varier
afin de changer le nombre de Stokes.
Dans la figure 2 on voit les re´sultats obtenus pour chaque cas. On reprend aussi les re´sultats de W.-P.
Breuguem, [6]. On constate que meˆme quand le fluide n’est pas pris en compte (carre´es jaunes), le
coefficient de restitution est bien reproduit.
6 Conclusion
Graˆce au mode`le implemente´ le code de simulation directe des e´coulements particulaires peut traiter
des concentrations e´leve´es de particules. La figure 3 montre la simulation d’un lit fluidise´ avec 2133
particules. Dans cette simulation on a une concentration du solide de 20% en bas du lit.
Figure 3 – Instant du lit fluidise´.
5
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Re´fe´rences
[1] Glowinski R., Pan T. W., Hesla T. I., Joseph D. D., and Periaux J. A fictitious domain approach
to the direct numerical simulation of incompressible viscous flow past moving rigid bodies :
Application to particulate flow. Journal of Computational Physics, 169(2), 363–426, 2001.
[2] Corre C., Estivalezes J. L., Vincent S., and Simonin O. Direct numerical simulation of the motion
of particles larger than the kolmogorov scale in a homogeneous isotropic turbulence. 2008.
[3] Coquerelle M. and Cottet G. A vortex level set method for the two-way coupling of an incom-
pressible fluid with colliding rigid bodies. Journal of Computational Physics, 227(21), 9121–9137,
November 2008.
[4] Crowe C., Sommerfeld M., and Tsuji Y. Multiphase flows with droplets and particles. CRC,
1998.
[5] http ://thetis.enscbp.fr.
[6] Breugem W. A combined Soft-Sphere collision for immersed boundary method for resolved si-
mulations of particulate flows. In Proceedings of the ASME 2010 3rd Joint US-European Fluids
Engineering Summer Meeting and, Montre´al, August 2010.
[7] Bra¨ndle de Motta J. C., Vincent S., Estivalezes J.-L., and Climent E. Simulation nume´rique des
e´coulements de suspension a` l’aide d’une me´thode de pe´nalisation des e´quations de navier-stokes.
In Congre`s Franc¸ais de Me´canique, Besanc¸on, August 2011.
[8] Lacaze L., Phillips J. C., and Kerswell R. R. Planar collapse of a granular column : Experiments
and discrete element simulations. Physics of Fluids, 20(6), 063302, 2008.
[9] Brenner H. The slow motion of a sphere through a viscous fluid towards a plane surface. Chemical
Engineering Science, 16(3-4), 242–251, 1961.
[10] Sundararajakumar R. R. and Koch D. L. Non-continuum lubrication flows between particles
colliding in a gas. Journal of Fluid Mechanics, 313, 283–308, 1996.
[11] Gondret P., Lance M., and Petit L. Bouncing motion of spherical particles in fluids. Physics of
Fluids, 14(2), 643–652, 2002.
[12] Yang F. and Hunt M. L. Dynamics of Particle-Particle collisions in a viscous liquid. Physics of
Fluids, 18(12), 121506–11, 2006.
[13] Davis R. H., Serayssol J., and Hinch E. J. The elastohydrodynamic collision of two spheres.
Journal of Fluid Mechanics Digital Archive, 163(-1), 479–497, 1986.
[14] Legendre D., Daniel C., and Guiraud P. Experimental study of a drop bouncing on a wall in a
liquid. Physics of Fluids, 17(9), 097105–13, 2005.
[15] Joseph G. G., Zenit R., Hunt M. L., and Rosenwinkel A. M. Particle–wall collisions in a viscous
fluid. Journal of Fluid Mechanics, 433(-1), 329–346, 2001.
6


Prise en compte des effets de lubrification lors de la simulation de la collision de deux particules dans un fluide

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46881/1/cfm2011_876.pdf

Prise en compte des effets de lubrification lors de la simulation de la collision de deux particules dans un fluide

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues