Une des sources de non-localité macroscopique est liée à l'hétérogénéité de la fissuration et aux interactions entre fissures. L'idée du modèle développé est de considérer un volume représentatif en présence de gradient de fissuration, ou gradient d'endommagement. Le milieu effectif endommagé se modélise ainsi comme un milieu non-homogène avec gradient de fissuration (ou gradient de propriétés). L'évolution des variables macroscopiques de propagation se déduit par formulation duale variationnelle. Un modèle similaire au modèle pionnier de Pijaudier-Cabot et Ba ant est ainsi obtenu

CHALLAMEL, Noël

Challamel, N.

HAL-Université de Bretagne Occidentale

Quelques arguments énergétiques en faveur de certains modèles d'endommagements nonlocaux

HAL Descartes

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  
1 
Quelques arguments énergétiques en faveur de certains 
modèles d’endommagement non-locaux 
N. CHALLAMEL 
a. Université Européenne de Bretagne, INSA de Rennes (LGCGM), 20, avenue des Buttes de Coësmes, 
35708 RENNES cedex 7, FRANCE, Email : noel.challamel@insa-rennes.fr 
 
Résumé :  
Il est aujourd’hui admis que les calculs de structures composées de matériaux quasi-fragiles doivent intégrer 
une non-localité constitutive, pour des raisons à la fois théoriques et numériques. Cet article propose de 
donner un argumentaire physique à l’origine de cette non-localité. Une des sources de non-localité 
macroscopique est liée à l’hétérogénéité de la fissuration et aux interactions entre fissures. L’enjeu est en 
particulier de construire une loi contrainte-déformation macroscopique à partir des variables 
d’endommagement. Une première simplification consiste à considérer que le profil de fissuration n’évolue 
pas durant le chargement. L’idée du modèle développé dans cet article est de considérer un volume 
représentatif en présence de gradient de fissuration, ou gradient d’endommagement. Le milieu effectif 
endommagé se modélise ainsi comme un milieu non-homogène avec gradient de fissuration (ou gradient de 
propriétés). L’évolution des variables macroscopiques de propagation se déduit par formulation duale 
variationnelle. Un modèle similaire au modèle pionnier de Pijaudier-Cabot et Bažant est ainsi obtenu.  
Abstract : 
It is now well admitted that structural calculations applied to quasi-brittle material problems should 
integrate some non-local constitutive laws, for theoretical and numerical reasons. This paper gives some 
physical arguments for the justification of this necessary non-locality. One major source of non-locality 
comes from the heterogeneous profile of the microcracking associated with microcracking interaction. The 
aim of the paper is the elaboration of a macroscopic stress-strain law affected by the internal damage 
variables. It is first assumed as a simplification that the microcracking profile does not evolve during the 
loading phase. The representative volume is considered in presence of cracking density gradient (or damage 
gradient), i.e. for large damage gradient typically for localization problems. The effective damage media is 
modelled as a non-homogeneous equivalent media with cracking gradient. The evolution of the macroscopic 
variable is obtained from the dual variational formulation of the problem, leading to the microcracks 
propagation problem. We finally obtain a model similar to the one of Pijaudier-Cabot and Bažant. 
Mots clefs: Continuum Damage Mechanics – Nonlocal mechanics – Micromechanics – Variational 
arguments – Energy considerations - Softening 
1 Introduction 
 
Les modèles non-locaux de mécanique de l’endommagement ont été introduits dans les années 80 pour 
modéliser l’évolution de la fissuration dans les structures composées de matériaux quasi-fragiles (Pijaudier-
Cabot et Bažant, 1987 [1]). La première motivation fut à l’origine un argument théorique ou numérique pour 
palier la déficience des modèles d’endommagement locaux en présence de radoucissement. Des arguments 
physiques ont depuis été avancés pour justifier en particulier la forme de la fonction de charge des modèles 
20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  
2 
d’endommagement non-locaux (voir par exemple les travaux de Bažant, [2] ou [3]).  
Une version couramment employée des modèles d’endommagement non-local consiste à remplacer le 
taux de restitution d’énergie (ou une déformation équivalente) par une variable moyennée non-locale dans la 
fonction de charge, le caractère local de la loi de comportement élastique endommageable pouvant être 
préservé. Cette version initiale, satisfaisante du point de vue du calcul de structures a toutefois été analysée 
dans les années 2000, du point de vue de sa compatibilité thermodynamique et d’arguments variationnels 
(voir par exemple les articles de Comi et Perego, 2001 [4]; Borino et al, 2003 [5]; Lorentz and Andrieux, 
2003 [6]). D’autres modèles d’endommagement intégral ont ainsi été développés, en plus des modèles 
d’endommagement à gradient qui font toujours l’objet de recherches complémentaires (voir par exemple 
Marigo et Pham, 2010 [7]). On dispose donc aujourd’hui d’une palette de modèles d’endommagement non-
local parfois fondés sur des bases énergétiques, mais la justification physique ou micromécanique de ces 
modèles reste un point essentiel probablement insuffisamment exploré dans ce domaine.  
2 Loi de comportement, Concept de contrainte effective non-locale 
 
L’idée principale de l’article est de considérer que la non-localité est induite par les zones de forts gradients, 
à l’intérieur même du volume représentatif (voir la Figure 1). Le milieu endommagé est perçu comme un 
milieu non-homogène avec gradient de propriétés matérielles, reliées dans le cas présent à la densité de 
fissuration. Le problème est semblable à un problème d’homogénéisation d’un milieu avec gradient de 
propriétés mécaniques (voir par exemple Buryachenko, 2007 [8], ou Anthoine, 2010 [9]). 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 1 – Concept de contrainte effective en présence de gradient de fissuration 
 
Les variables macroscopiques σ  et ε  sont définies à partir de: 
F 
F 
x 
A 
Niveau 
d’endommagement 
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3 
A
F
=σ  et 
( )
e
e
L
Lu
=ε     (1) 
eL  désigne la longueur de l’élément cylindrique représentatif. σ  et ε  sont les variables de contrainte et de 
déformation microscopique. D , variable locale d’endommagement, peut représenter le rapport entre l’aire 
endommagée (aire qui contribue effectivement à la résistance) dA  et l’aire totale  notée A  de la manière 
suivante: 
( ) ( )
A
xA
xD d−= 1      (2) 
Le concept de contrainte effective équivalente couplé au concept du principe d’équivalence en deformation 
conduit à la loi constitutive contrainte-déformation: 
( ) ( )( ) ( )xxDEx εσ −= 1      (3) 
De plus, les équations de l’équilibre permettent d’obtenir les variations de contrainte au sein de l’élément 
représentatif: 
( )
A
F
x == σσ      (4) 
Ainsi, la loi constitutive macroscopique peut être identifiée sous la forme : 
( )( ) ( )xuxDE ′−= 1σ  avec ( ) ( )xux ′=ε     (5) 
qui peut aussi s’écrire: 
( ) ( )( )∫ ∫ −=′
e eL L dx
xDE
dxxu
0 0 1
σ
    (6) 
ou de manière équivalente: 
( )∫ −=
eL
e E
dx
xDL 0 1
11 σ
ε     (7) 
Finalement, la relation macroscopique contrainte-déformation s’obtient à partir de la formulation non-locale: 
( ) εσ DE −= 1   avec  
( )∫ −
=−
eL
e
dx
xD
LD
0 1
11    (8) 
Dans le cas de l’endommagement uniforme, la loi macroscopique contrainte-déformation dégénère en un 
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4 
format local: 
( ) ( ) εσ DEDxD −=⇒= 1      (9) 
Ainsi, des considérations physiques à l’échelle du volume représentatif montrent clairement que la loi 
macroscopique contrainte – déformation est fondamentalement de nature non-locale, sous la forme : 
( ) εσ DE −= 1      (10) 
Il existe plusieurs moyens d’exprimer l’opérateur intégral de non-localité [10]. Une formulation alternative à 
la définition de l’équation Eq. (8) peut se baser sur l’opérateur intégral introduit par Eringen (1983) [11] et 
utilisé dans le domaine de la mécanique de l’endommagement non-local (voir par exemple Peerlings et al, 
1996 [12] pour la variable de déformation équivalente): 
DDlD c =
″
−
2
     (11) 
où D  est une variable d’endommagement non-local, et D  est la variable d’endommagement local. cl  est la 
longueur caractéristique interne, spécifique des effets non-locaux. 
3 Problème de propagation et formulation duale 
 
Une fois la loi contrainte-déformation macroscopique établie à partir d’arguments physiques, la fonction de 
charge contrôlant l’évolution de l’endommagement est déduite de la propriété auto-adjointe de l’opérateur de 
non-localité qui apparaît lors de l’application du principe variationnel basé sur des arguments énergétiques. 
La fonctionnelle énergie peut s’exprimer en fonction des variables macroscopiques sous la forme : 
[ ] ( ) ( ) ( )LFudxDSgDESDuW −+−= ∫Ω 2121, ε  avec u′=ε   (12) 
La stationnarité de la fonctionnelle énergie par rapport au champ de déplacement et au champ 
d’endommagement s’écrit: 
[ ]
( ) ( ) ( ) 01
0,
=−′+−+′′−
⇒=
∫∫ ΩΩ LuFDdxDgSDYSdxuuDES
DuW
d
δδδδ
δ
  (13) 
Une telle écriture variationnelle suppose implicitement la monotonie du problème d’évolution. De manière 
plus générale, le problème d’évolution inélastique peut se présenter sous la forme d’inéquations 
variationnelles ([13] ; voir plus récemment [7]). De plus, par application de l’identité de Green valable pour 
les opérateurs auto-adjoints (dans le cas présent, fonction de Green associée à l’équation différentielle 
d’Eringen avec conditions aux limites mixtes), le permutation suivante est valable :  
20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  
5 
dxDYdxDY
dd
δδ ∫∫ ΩΩ =     (14) 
conduisant au système d’équations différentielles dans le cas de la barre homogène ( ) 0SxS = : 
( )
( )



=
=
′
DY
S
κ
σ 00
 avec 
( )
( ) ( )



′=
−=
DgD
DE
κ
εσ 1
  (15) 
Les conditions aux limites additionnelles sont discutées en plasticité non-locale dans Challamel et al (2010) 
[14] et en endommagement non-local par Challamel (2010) [15, 16]. On montre, en utilisant une mesure 
d’endommagement non-local qui couple un endommagement local et un endommagement intégral, que les 
conditions aux limites suivantes peuvent s’appliquer pour calculer l’opérateur de Green : 
0=′D  sur dΩ∂      (16) 
dΩ∂  désigne la frontière du domaine endommageable. Cette définition de l’opérateur moyen sur le domaine 
endommagé est aussi utilisée par Nguyen et al (2011) [17] à partir d’arguments numériques d’indépendance 
du passage micro-macro. On reconnaît dans l’équation Eq. (15) la fonction de charge en endommagement 
( )DY κ=  postulée par Pijaudier-Cabot et Bažant (1987) [1] dans le modèle pionnier d’endommagement 
non-local. Le point de vue de l’article est de montrer qu’une telle forme de non-localité peut se percevoir 
comme une conséquence de la non-localité macroscopique qui apparaît dans la relation contrainte-
déformation. Challamel (2010] [16] montre que la formulation au gradient peut se déduire d’une formulation 
non-locale intégrale.  
4 Formulation micromécanique, une généralisation 
Le modèle développé à partir d’une analyse unidimensionnelle phénoménologique peut être généralisé à un 
milieu tri-dimensionnel à partir de méthodes d’homogénéisation de milieux périodiques à gradient de 
propriétés. Récemment, Anthoine (2010) a obtenu une loi macroscopique pour un milieu composite avec 
gradient de propriétés dans une direction, à partir d’une méthode d’homogénéisation du second-ordre : 












=




Σ
κ
E
CB
BA
M T
     (17) 
où Σ  est le tenseur de contraintes macroscopique, M  est le scalaire de double contrainte défini dans la 
direction du gradient de propriété, E  est le tenseur de déformation macroscopique et κ  est la courbure. Une 
telle formulation est donnée en déformations planes. Plus exactement, la loi généralisée est donnée par : 
 
             (18) 
 
où k est un facteur de gradient de propriétés. Anthoine (2010) montre que les composantes du tenseur 
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
































+
++
+
+−
+
+−
+







+
+−
+
+
+
=














Σ
Σ
Σ
221
12
22
11
222
2
2
2
221
12
22
11
2
23
10
22
10
000
22
102
2
11
002
1
2
K
E
E
E
k
lk
k
lk
k
lk
k
k
k
k
M
µλ
µµλ
µλ
µµλ
µ
µλ
µµλµλ
µλ
µλµλ
λµλ
20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  
6 
généralisé dépendent explicitement du gradient de propriété, c’est-à-dire pour un problème 
d’endommagement, du gradient d’endommagement. Bien que le problème d’homogénéisation d’un milieu 
multi-fissuré avec gradient de fissuration soit de nature différente, le résultat laisse penser que le gradient de 
densité de fissuration puisse apparaître à partir d’un schéma d’homogénéisation du second ordre, dans la loi 
constitutive. Que ce soit donc sous forme intégrale ou sous forme de gradient, il ressort que la non-localité 
portant sur la variable d’endommagement affecte la matrice constitutive, et est donc fortement couplée à la 
loi contrainte-déformation.  
5 Conclusions 
Dans cet article, nous présentons un modèle d’endommagement intégrale à partir d’une analyse 
phénoménologique, en moyennant la variable d’endommagement sur le volume représentatif. La loi 
macroscopique élastique-endommageable est clairement affectée par l’endommagement non-local. A partir 
d’arguments variationnels, le critère de charge pour l’évolution de l’endommagement est déduit de la 
formulation duale. La généralisation de cette approche basée sur une non-localité déduite est envisagée à 
partir d’un schéma d’homogénéisation du second ordre, pour un milieu à gradient de fissuration. Ces 
résultats laissent donc penser qu’une justification micromécanique de la non-localité peut être 
rigoureusement envisagée. 
Références  
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