une loi de comportement viscoplastique à variables internes qui découle d'un potentiel viscoplastique pour les matériaux poreux a été intégrée et implémentée sous Abaqus(R). l'intégration du modèle s'est faite avec un schéma d'Euler implicite combiné à une technique de la direction de recherche. le modéle tient en compte de l'ecrouissage cyclique, fluage, restauration,..et il permet de prendre en compte à la fois de la croissance et de la nucléation de pores dans le matériau. un alliage SnAgCu sollicité au cyclage thermomécanique, est considéré comme matériau test pour la loi de comportemen

ALEXIS, Joel

DALVERNY, Olivier

KARAMA, Moussa

MSOLLI, Sabeur

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
Implémentation d’une loi de comportement basée sur un 
potentiel viscoplastique couplé à l’endommagement poreux : 
application à un alliage d’électronique de puissance 
S. MSOLLI a, O. DALVERNY a, J. ALEXIS a, M. KARAMA a  
a. Université de Toulouse ; INPT/ENIT ; LGP ; 47 avenue d'Azereix ; F-65016 Tarbes, FRANCE 
Résumé : 
Nous présentons dans cet article, une loi de comportement basée sur un potentiel viscoplastique, dédiée aux 
matériaux poreux. Cette loi, classée dans la catégorie des modèles unifiés, permet de prendre en compte 
l’interaction entre plasticité et fluage, et donc de modéliser le comportement thermomécanique et 
l’endommagement des matériaux métalliques. Le modèle suit le concept de variables internes qui autorise la 
prise en compte d’une grande variété de phénomènes physiques comme l’écrouissage cinématique, isotrope 
et/ou la restauration dynamique et statique… L’endommagement décrit par le modèle tient compte de la 
nucléation et de la croissance des défauts. L’intégration du modèle est faite au moyen d’un schéma implicite. 
L’algorithme est implémenté dans le code de calcul par éléments finis Abaqus®. Le modèle est utilisé pour 
prévoir le comportement mécanique et la dégradation des alliages de brasure présents dans les packagings 
d’électronique de puissance. Un calcul sous chargement thermique est présenté. 
Abstract: 
This paper deals with a viscoplastic potential based model for the description of porous materials behavior. 
This is a unified model allowing to take into account the interaction between plasticity and creep and thus to 
model the thermomecanical damage of materials. The model follows the concept of internal variables which 
permits the consideration of several physical phenomena as the kinematic and isotropic hardening and/or 
the dynamic and static recoveries. The damage behavior described by the model combines nucleation and 
growth of the defects. The integration of the model is made by means of fully implicit scheme. The algorithm 
is then implemented in the Finite Elements code Abaqus®. The model is used to study the mechanical 
behavior and the degradation of solder alloys in a power electronic packaging component. 
Mots clefs : viscoplasticité unifiée, endommagement, schéma d’intégration, éléments finis 
1. Introduction 
Les connections à base d’alliage de brasure constituent une des parties les plus sollicitées des composants 
d’électronique de puissance. Les alliages mis en œuvre peuvent présenter des défauts suite à la procédure 
d’assemblage ou pendant la mise en service du composant. Les conditions de fonctionnement sont des 
conditions sévères en termes de  température et de cyclage thermomécanique mettant simultanément en jeu 
plusieurs facteurs dont la plasticité, le fluage et l’endommagement [1, 2]. Parmi les facteurs les plus influents 
sur le comportement de la brasure et sur la durée de vie du packaging, on note outre l’aspect microstructural, 
le profil de température de refusion et le niveau initial de défauts ou fraction volumique initiale de pores qui 
peut être important [3]. La prise en compte de la déformation de la matière, de l’interaction entre fatigue et 
fluage engendrée par le cyclage thermique et les périodes de maintien en température, et de 
l’endommagement ne peut se faire que par l’utilisation de modèles de comportement unifiés couplés à des 
critères d’endommagement faisant intervenir la fraction volumique de pores dans l’alliage. Contrairement 
aux modèles viscoplastiques non écrouissables, l’utilisation de modèles unifiés à variables internes 
d’écrouissage couplés à des critères d’endommagement poreux sont rares [1]. Quelques travaux récents 
mettent en œuvre des lois unifiées avec des critères d’endommagement poreux [2]. La formulation adoptée 
pour notre travail est celle utilisée par McDowell et al. [3], qui découle du choix d’un potentiel 
viscoplastique adapté aux matériaux à fraction volumique initiale de pores. 
20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
Nomenclature  
ijklℂ
 
Tenseur d’élasticité d’ordre 4 
ijkl
ɶℂ
 
Tenseur d’élasticité endommageable d’ordre 4 
Iijk Tenseur unité d’ordre 4 
δij Tenseur unité d’ordre 2 
G  Module de cisaillement (MPa) 
E Module d’Young (MPa) 
κ, µ  Coefficients de Lamé (MPa) 
v  Coefficient de Poisson 
α Coefficient de dilatation thermique (ppm/K) 
n = 1/m
 
 Paramètre de sensibilité à la vitesse d’écoulement  
Q  Energie d’activation (J/mol) 
RG Constant des gaz parfaits (8,314 J/mol.K) 
R Variable d’écrouissage isotrope (MPa) 
T Température absolue (K) 
Tf Température de fusion (K) 
R0 Seuil initial d’élasticité (MPa) 
f0 Fraction volumique initiale de pores  
fn  Densité de pores nucléés 
εn Valeur moyenne d’une distribution de Gauss  
sn Largeur de la distribution de Gauss  
D  Résistance isotrope à la déformation plastique (MPa) 
' '
3
:
2 ij ij
J o o=
 
Second invariant du tenseur déviateur o   
σij, sij  Tenseur des contraintes et tenseur déviateur des contraintes (MPa) 
αij
(k)
 
Tenseur des contraintes de retour (MPa) k = 1, 2 
e
ijε
 
Tenseur des déformations élastiques 
in
ijε
 
Tenseur des déformations inélastiques 
A0 
 
Paramètre Pré-exponentiel du matériau   
∆p Incrément de déformation inélastique effective 
B  Paramètre matériau   
χ
 
Limite de saturation isotrope (MPa) 
µ' 
ω 
Vitesse d’écrouissage isotrope 
Paramètre matériau compris entre 0 et 1. 
Ck 
M*k , C*k , Mχ, Cχ 
Module d’écrouissage 
Paramètres matériau 
bk 
∆W 
K1, K2, K3, K4 
a  
Paramètre de control de la vitesse d’écrouissage 
Incrément d’énergie inélastique par cycle pour un cycle stabilisé 
Paramètres du critère de fatigue de Darveaux 
Taux de propagation de fissure 
2. Formulation des équations du modèle de comportement 
La formulation des équations constitutives, passe par la dérivée du potentiel viscoplastique par rapport à la 
contrainte. L’expression de ce potentiel est basée sur les travaux de Haghi et Anand [4], qui considèrent 
l’approche de Duva et Hutchinson [5], pour l’évolution de la fraction volumique de pores f. Dans le cas de la 
plupart des modèles de comportement unifiés, les équations constitutives sont composées d’une loi 
d’écoulement pour la déformation inélastique et d’un ensemble d’équations d’évolution des variables 
internes. Dans notre cas les équations d’évolution s’expriment de la façon suivante : 
 
( ) ( )'1
'
k k k
ìj ìj ìjk in k k kk
ìj k k ij k ìj k k ìj
k k k
bCf C b C p T C b
b T C T b T
α α αµ χχ
α ε α ω α
µ χ
  ∂ ∂∂
= − − + + + − ΘΩ   ∂ ∂ ∂   
ɺɺ ɺ ɺ
 
(1) 
20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
 
( ) ( ) ( )'1 ' '
'
R f p T
T
χµ χχωχ ω µ χ χ µ χ
µ χ
∂ 
= = − − + − Ω Θ ∂ 
ɺ ɺɺ ɺ  (2) 
Avec
2
:
3
in in
ij ijp ε ε= ɺ ɺɺ la vitesse de déformation inélastique cumulée. La contrainte de retour qui régit 
l’évolution de l’écrouissage cinématique, est formulée comme la somme des
( )k
ijα de telle façon que
( )k
ij ij
k
α α=∑ . Pour k = 1,2, ( ) ** ( ) kMk kk ijC J α Ω =   et MC χχ χ χΩ = . Les équations des variables internes 
comprennent les termes de durcissement, de restauration dynamique et statique améliorés par l’introduction 
du terme d’activation thermique d’Arrhenius. Rappelons que pour un matériau non endommagé, la loi 
d’écoulement dérive d’un potentiel viscoplastique qui s’écrit : 
 
1 1
0 exp1 1
m
D A B
B
m
ξ + Φ = Θ  
   + 
 
 (3) 
Sachant que ξ est donnée par : 
  (4) 
La fonction Θ présente dans l’équation du potentiel viscoplastique et les équations d’évolution (1) et (2), 
représente la diffusivité thermique dépendante de la température : 
 
exp                                 Pour 
2
exp ln 1          Pour 
2 2
f
G
f f
G f
TQ T
R T
T TQ T
R T T
  Θ = − ≥  
 

   Θ = − + <          
(5) 
Où <g> est égal à g si g ≥ 0 sinon g = 0. 
Dans le cas des matériaux poreux, Duva et Hutchinson suggèrent l’utilisation d’un potentiel viscoplastique 
dépendant de la fraction volumique de pores f. Ce potentiel est exprimé comme suit : 
 Φp = F×Φ (6) 
F peut prendre plusieurs formes, dont celle qui dépend de la triaxialité X, donnée par Haghi et Anand : 
   (7) 
Sachant que 
( )
( )
k
mm mm
k
k
ij ij
k
X
J
σ α
σ α
−
=
 
− 
 
 
∑
∑
 
et que ( )1/
1
1
m
m
C
f
=
−
 
pour tenir compte de l’interaction entre pores.  
Une expression générale de g(f,m) pouvant être utilisée pour plusieurs valeurs de m, est donnée par 
Zavaliangos et Anand [6] : 
  (8) 
avec   (9) 
L’évolution de la fraction volumique de pores est activée par les phénomènes de croissance et de nucléation. 
En négligeant la compressibilité élastique, on écrit : 
        
( )1 inG N mm Nf f f f A pε= + = − +ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ
 
(10) 
( ) 0k
ij ij
k
J R R
D
σ α
ξ
 
− − − 
 
=
∑
( )(1/ ) 1 /22
2/(1/ ) 1 31
2
m
mfF C mX g
m
+
+
  
= + +  
   
( ) ( )
( )2/ 1 1/
0, 1
m
mg f m Ff
+
 
= − 
 
( )1/ 22
0 2
1 3,34 0,25
1
mf fF f
 + +
=  
− 
20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
La nucléation est gouvernée par une distribution de Gauss telle que :
2
1
exp
22
N N
N
NN
f pA
ss
ε
pi
  
− = −  
   
. 
A partir de la loi de normalité, on peut alors déterminer la loi d’écoulement du matériau :  
  (11)  
3. Algorithme d’intégration du modèle 
Un schéma d’intégration implicite est utilisé pour résoudre les équations différentielles du modèle. Le 
schéma est inspiré des travaux de Weber et Anand qui ont développé une procédure d’intégration pour les 
déformations isothermes des matériaux métalliques denses [7]. La procédure est reprise et étendue par 
Zavaliangos et Anand pour les matériaux poreux en se basant sur les essais numériques réalisés par 
Zavaliangos [8]. Dans notre cas, le schéma d’intégration utilisé consiste à trouver la solution de l’équation :  
 
( ) pin inij ij
ij
h tε ε
σ
∂Φ
∆ = ∆ − ∆
∂
 
(12) 
En exprimant (12) sous forme d’une série de Taylor d’ordre 1 et en considérant que ( ) 1ninijε +∆ est la solution au 
temps n+1, on aboutit à : 
 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1: 0n n n nin in in inij ij ij ijin
kl
hh hε ε ε ε
ε
+ +∂∆ = ∆ + ∆ − ∆ =
∆
 
(13) 
Ceci permet de déterminer l’incrément solution en transformant l’équation (13) en : 
 
( ) ( )( ) ( )11 :n n nin in inij ij ijin
kl
h hε ε ε
ε
−
+  ∂∆ = − ∆ + ∆ ∆ 
   (14) 
L’actualisation de la valeur de ( ) 1ninijε +∆ est faite par un schéma d’itération de Newton-Raphson. Si la 
condition sur l’erreur relative ( ) ( ) ( )1 1n n nin in in tolij ij ijε ε ε ε+ + ∆ − ∆ ∆ ≤    est satisfaite, la solution est retenue et le 
calcul se poursuit pour le prochain incrément de temps. Dans le cas contraire, l’itération est répétée avec le 
nouvel incrément de déformation inélastique mis à jour.  
4. Résultats Numériques 
4.1 Validation 
La loi de comportement et l’algorithme d’intégration précédemment présentés ont été implémentés sous 
forme d’une sous-routine UMAT dans le code de calcul par éléments finis Abaqus®. Afin de valider la 
procédure d’intégration, de vérifier la stabilité de l’algorithme et la capacité de la loi à reproduire le 
comportement sous différents cas de chargements, plusieurs tests ont été effectués.  
a)  b)  
FIG. 1 – Évolution de la contrainte et de l’endommagement au cours des chargements (a) contrainte pour différents pas 
de temps  (b) endommagement en fonction du nombre de cycle. 
pin
ij
ij
ε
σ
∂Φ
=
∂
ɺ
20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
La figure 1(a) présente plusieurs courbes de traction d’un alliage SnPbAg à température ambiante et vitesse 
de déformation imposée (10-3/s), obtenues pour différents pas de temps (ou nombre d’incréments NOI). 
L’algorithme d’intégration montre une bonne précision de calcul tant avec de faibles que de larges pas de 
temps. Le modèle reproduit fidèlement l’écrouissage non linéaire, grâce notamment à la dépendance de la 
variable d’écrouissage cinématique vis-à-vis des termes de restauration. Sur la figure 1(b), un chargement 
cyclique à vitesse de déformation imposée (10-2/s) et à température ambiante permet de  visualiser 
l’évolution de la fraction volumique de pores. Malgré la faible croissance des pores lors des vingt premiers 
cycles, l’endommagement total f augmente fortement. Ceci est due à une considération numérique pour 
laquelle f est maintenue constante chaque fois que 0Gf <ɺ , afin d’éviter le rétrécissement des pores. La 
contribution de la partie d’endommagement due à la nucléation des pores commence à partir du vingtième 
cycle, ce qui fait augmenter brusquement le niveau total d’endommagement avant qu’il ne reprenne une 
évolution similaire à celle des premiers cycles. La valeur finale atteinte est de l’ordre de 0,25.  
4.2 Application à un assemblage d’électronique de puissance 
Dans cette partie nous présentons le modèle 2D d’un assemblage élémentaire, soumis à un chargement 
thermique cyclique intégrant la phase d’élaboration (figure 2). La figure 3 présente la distribution des 
contraintes dans la brasure à deux temps différents, ainsi que l’évolution contrainte/déformation au cours du 
cyclage au point du joint de brasure le plus fortement sollicité. 
a)  b)  
FIG. 2 – (a) Maillage et conditions aux limites d’un assemblage élémentaire, (b) cycle thermique. 
a) b) 
 
FIG. 3 – Variation de la contrainte dans le joint de brasure, (a) distribution de la contrainte équivalente de Von Mises en 
fin de refusion et après cyclage, (b) courbe d’évolution contrainte/déformation dans la brasure. 
Pour l’assemblage, nous comparons les résultats issus de notre modèle (viscoplastique endommageable) avec 
ceux issus d’un modèle viscoplastique d’Anand couplé au classique critère de fatigue de Darveaux [9]. La 
durée de vie en fatigue est calculée par une durée associée d’une part à l’initiation de fissure N0 = K1 ∆WK2, 
et d’autre part à sa propagation, suivant la loi : da/dN = K3 ∆WK4. Au final, le nombre de cycles à la rupture 
Nα, est donné par : 
 
0 /
aN N
da dNα
= +
 
(15) 
Les différents paramètres du modèle d’Anand et de Darveaux mis en œuvre avec la modélisation éléments 
finis sont issus de la référence [10]. 
20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
a)  b)  
FIG. 4 – Endommagement dans l’alliage de brasure, (a) fraction volumique de pores issue du modèle viscoplastique 
endommageable, (b) densité d’énergie de déformation inélastique associée au critère de Darveaux. 
L’endommagement localisé en bord de brasure (zone de contact avec la puce en silicium) croit 
progressivement jusqu’à une valeur de 0,03 à la fin du chargement comme le montre la figure 4a. La même 
remarque peut être faite à partir du calcul du critère de fatigue de Darveaux, où la valeur de la densité 
d’énergie de déformation inélastique augmente progressivement dans la même zone de la brasure. Pour les 
deux approches, nous observons des localisations et des évolutions semblables, mais alors que pour le 
modèle de Darveaux le critère intègre la configuration d’essai, dans les cas du modèle viscoplastique 
endommageable, l’information délivrée ne dépend que du comportement du matériau. 
5.  Conclusion 
Un modèle de comportement basé sur un potentiel viscoplastique pour matériaux poreux, a été proposé. Les 
résultats des simulations numériques sous Abaqus® issus de l’implémentation de l’algorithme d’intégration, 
montrent la capacité du modèle à reproduire les effets d’écrouissage et prévoir l’évolution de la fraction 
volumique de pores dans le matériau sous chargements cycliques. Le schéma d’intégration permet d’obtenir 
une bonne précision lors de la simulation des essais d’écrouissage quel que soit le pas de temps choisi pour le 
calcul. La mise en œuvre sur un assemblage d’électronique de puissance nous permet d’envisager une 
modélisation fine des phénomènes liés à l’endommagement viscoplastique. 
 
Références 
[1] Tien  J.K.,  Hendrix B.C. et  Attarwala  A., Creep-fatigue interactions in solders. IEEE transactions on 
Components, Hybrids And Manufacturing Technology, 4: 502-505, 1989. 
[2] Kuna M.,  Wippler S., A cyclic viscoplastic and creep damage model for lead free solder alloys. 
Engineering Fracture Mechanics 77: 3635–3647, 2010. 
[3] Fu C., McDowell D.L., Ume I.C., A Finite Element Procedure of a Cyclic Thermoviscoplasticity Model 
for Solder and Copper Interconnects, Journal of Electronic Packaging, 120: 24-34, 1998.
 
[4] Haghi M., Anand L., A constitutive model for isotropic, porous, elastic-viscoplastic metals. Mechanics of 
Materials, 13: 37-531, 992. 
[5] Duva J.M., Hutchinson J.W.,  Constitutive potentials for dilutely voided nonlinear materials. Mechanics 
of Materials, 3: 41-54, 1984. 
[6] Zavaliangos A. et Anand L., Thermo-elasto-viscoplasticity of isotropic porous materials. Journal of the 
Mechanics and Physics of Solids, 41: 1087-1118, 1993. 
[7] Weber G. et Anand L., Finite deformation constitutive equations and a time integration procedure for 
isotropic hyperelastic-viscoplastic solids. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 79: 
173-202, 1990. 
[8] Zavaliangos A. et Anand L., Towards a Capability for Predicting the Formation of Defects During Bulk 
Deformation Processing.  CIRP Annals - Manufacturing Technology, 40: 267-271, 1991. 
[9] Darveaux R., Effect of Simulation Methodology on Solder Joint Crack Growth Correlation. Proc. ECTC, 
2000. 
[10] Shan L, Zhenyu H., et Jianfeng Wang S.,Temperature Cycling Analysis of Lead-Free Solder Joints in 
Electronic Packaging. http://www.simulia.com/bibliography/search-ucp/world/pdf2007/AUC_07_Li.pdf 


implémentation d'une loi de comportement basée sur un potentiel viscoplastique couplé à l'endommagement poreux: application à un alliage d'électronique de puissance

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46638/1/cfm2011_968.pdf

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