De nos jours, les problèmes d'acoustique pour les vibrations moyennes fréquences suscitent un grand intérêt de la part des industriels. Néanmoins, leur prédiction numérique reste toujours un problème ouvert dans le monde de la recherche scientifique, car les méthodes classiques (telle que FEM, SEA) ne fonctionnent pas dans cette gamme de fréquences. La méthode appelée Théorie Variationnelle des Rayons Complexes (TVRC), qui sera présentée, est une méthode numérique qui permet de le faire. L'accent sera en particulier mis sur sa capacité à calculer les solutions sur des bandes de fréquences, gr

BARBARULO, Andrea

LADEVÈZE, Pierre

RIOU, Hervé

I-Revues

20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
La Proper Generalized Decomposition applique´ a` la
The´orie Variationnelle des Rayons Complexes pour le
calcul des vibrations moyennes fre´quences dans une
bande de fre´quence
A. Barbaruloa, P. Ladeve`zea,b, H. Rioua
a. LMT-Cachan (ENS Cachan/CNRS/Univ. Paris 6, PRES UniverSud Paris) 61 av du Pr. Wilson,
F-94230 CACHAN, France
b. EADS Foundation Chair “Advanced Computational Structural Mechanics”
Re´sume´ :
De nos jours, les proble`mes d’acoustique pour les vibrations moyennes fre´quences suscitent un grand
inte´reˆt de la part des industriels. Ne´anmoins, leur pre´dictions nume´riques restent toujours un proble`me
ouvert dans le monde de la recherche scientifique, car les me´thodes classiques (telle que FEM, SEA)
ne fonctionnent pas dans cette gamme de fre´quences. La me´thode appele´e The´orie Variationnelle des
Rayons Complexes (TVRC) est une me´thode nume´rique qui permet de le faire. Dans ce papier l’accent
sera en particulier mis sur sa capacite´ a` calculer les solutions sur des bandes de fre´quences, graˆce a`
une me´thode de re´duction de mode`le a priori, la Proper Generalized Decomposition (PGD).
Abstract :
In recent years a growing interest in mid frequency problems has appeared. In this particular frequency
range none of classic techniques(FEM, SEA) are suited. Several methods have been developed to solve
mid frequency problem, one of them is the Variational Theory of Complex Rays (VTCR), in order to
compute slightly damped elastic structures vibrations in the medium-frequency range. In this paper a
new computational approach is proposed to improve VTCR efficiency over a frequencies range. Wave
amplitudes for acoustic problems over a broad band are approximated through a Proper Generalized
Decomposition (PGD). PGD is a model reduction technique which leads to construction of separated
variables representations of the solution of models defined in tensor product spaces.
Mots clefs : TVRC ; PGD ; Moyennes fre´quences.
1 Introduction
De nos jours, les industries ae´ronautiques et automobiles s’inte´ressent fortement aux proble`mes de
vibrations dans le domaine des moyennes fre´quences. Le de´veloppement d’outils nume´riques pre´dictifs
devient une de leurs principales pre´occupations, car ils permettent de re´duire les couˆts des essais. Or
actuellement, la me´thode des e´le´ments finis (FEM [1]) ou la me´thode des e´le´ments de frontie`res (BEM
[2]) ne permettent pas d’effectuer des simulations dans les gammes de fre´quences aussi e´leve´es qu’on
le souhaiterait, car les discre´tisations qu’elles utilisent aboutissent a` des proble`mes de tre`s grandes
tailles qui sont soumis a` des difficulte´s nume´riques comme l’effet de pollution (voir [3]). Par ailleurs,
les me´thodes hautes fre´quences comme l’analyse statistique de l’e´nergie (SEA [4]) et ses de´rive´es
fournissent des informations trop globales.
La The´orie Variationnelle des Rayons Complexes (TVRC) est une me´thode qui fait partie de celles
de´veloppe´es pour faire face a` ces difficulte´s. Elle a e´te´ introduite pour la premie`re fois dans [5]. Elle
se base sur une formulation variationnelle du proble`me a` re´soudre qui permet aux approximations
1
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de chaque sous domaines d’eˆtre inde´pendantes, offrant ainsi une grande flexibilite´ et donc efficacite´
dans le choix des fonctions de forme. Elle utilise une approximation base´es sur des ondes de vibration
propagatives et e´vanescentes, ce qui lui permet d’offrir des taux de convergence exponentiels (voir [6]).
D’autres me´thodes nume´riques utilisent e´galement une base d’ondes de vibration pour rechercher
des approximations, comme par exemple la Utra Weak Variational Method ([7]), la Least Squares
Method ([8]), la Wave Boundary Method ([9]), la PUM ([10]), la DEM ([11]) ou encore la Wave based
Method ([12]). Les diffe´rences entre ces me´thodes sont lie´es a` la formulation variationnelle utilise´e,
aux fonctions de forme choisies et au traitement des conditions aux limites entre les sous domaines de
calcul.
Par ailleurs, le calcul sur des bandes de fre´quences est une autre proble´matique qui inte´resse les
industriels. En effet, dans le domaine des moyennes fre´quences, les calculs fre´quence par fre´quence sont
rapidement nume´riquement couˆteux, et des techniques de re´solutions adapte´es deviennent ne´cessaires.
Ce proble`me a de´ja` e´te´ e´tudie´ dans le cadre de la TVRC (voir [13]), et les solutions propose´es se
basaient sur l’exploitation de la de´pendance explicite des matrices vis-a-vis de la fre´quence.
Dans cet article, la proble´matique du calcul de l’e´tat vibratoire sur des bandes de fre´quences graˆce a`
la TVRC est reprise, mais via une technique de re´duction de mode`le appele´e PGD (voir [14], [15], [16],
[17]). La solution du proble`me est recherche´e sous la forme d’une somme de produits d’une fonction
de l’espace et d’une fonction de la fre´quence. Cette approche, utilise´e dans le cadre d’un proble`me
d’acoustique de´fini dans le paragraphe 2, re´e´crit dans le contexte de la TVRC dans le paragraphe 3,
sera de´crite dans le paragraphe 4. Sa performance sera illustre´e sur un exemple nume´rique dans 5. Les
conclusions de cette e´tude, ainsi que les pistes de de´veloppement futurs seront e´voque´s dans le dernier
paragraphe.
2 Proble`me de reference
Soit ΩaE en ensemble de nel cavite´s acoustiques en 2D remplies d’un fluide incompressible, relie´es le
long de frontie`res communes ΓEE′ . Le proble`me de reference a` re´soudre est :
Trouver pE(x) pour x ∈ ΩaE E ∈ [1, ..., nel] tel que :
∆pE + k
2
apE = 0 dans ΩaE (1)
pE = pdE sur ∂pΩaE (a)
Lv[pE ] = vdE sur ∂vΩaE (b)
pE − ZELv[pE ] = hdE sur ∂ZΩaE (c)
(2)
pE − pE′ = 0 sur ΓEE′
Lv[pE ] + Lv[pE′ ] = 0 sur ΓEE′
(3)
ou` ka est le vecteur d’onde acoustique, Lv[pE ] =
i
ρ0ω
∂pE
∂n
l’ope´rateur de vitesse, ZE l’impe´dance
normale. Les conditions aux limites sur les bords sont relie´es a` la pression impose´e (2-a), la vitesse
impose´e (2-b), l’impe´dance (2-c), et la continuite´ en pression et en vitesse entre les sous cavite´s
acoustiques (3).
3 Formulation variationnelle et approximation
La formulation TVRC est obtenue par la re´e´criture sous forme faible du proble`me aux limites (1-2-3).
Soit AEad l’espace fonctionnel de´fini par :
AEad =
{
pE | ∆pE + k2apE = 0, ∀x ∈ ΩaE
}
(4)
2
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il peut eˆtre de´montre´ (voir [6]) que le proble`me (1-2-3) est e´quivalent au proble`me variationnel suivant :
Trouver pE ∈ AEad, tel que :
∑
ΩaE
<
{∫
∂pΩE
(pE − pdE)Lv[δpE ]ds+
∫
∂vΩE
(
Lv[pE ]− vdE
)
δpEds
+
1
2
∫
∂ZΩE
[
( (1− ZELv) [pE ]− hdE)Lv[δpE ] ds +
(
(Lv − 1/ZE) [pE ] + hdE/ZE
)
δpE
]
ds
}
+
∑
ΓEE′
<
{
1
2
∫
ΓEE′
(
(pE − pE′)Lv[δpE − δpE′ ] +Lv[pE + pE′ ] (δpE + δpE′)
)
ds
}
∀δpE ∈ AEad
(5)
Le principe de la TVRC est de trouver une solution approche´e ph ∈ AE,had du proble`me variationnel
(5). Graˆce a` la flexibilite´ de la formulation variationelle, n’importe quelle fonction qui de´finie (4), peut
eˆtre choisie. Le choix qui est retenu ici est une solution qui prend en comptes les ondes planes se
propageant dans toutes les directions de ΩaE :
phE(x) =
∫ pi
−pi
XhE(θ)e
ik(θ)xdθ (6)
XhE est l’amplitude des ondes qui se propagent selon le direction θ et est de´crite ici par sa decomposition
en se´ries de Fourier sur les 2N + i premiers termes :
XhE(θ) =
N∑
n=−N
xhE,n
∫ pi
−pi
einθdθ (7)
Ce choix s’inscrit dans la continuite´ des travaux de´crits dans ([18]), qui ont montre´ de bonnes proprie´te´s
nume´riques. Une fois que cette approximation est injecte´e dans la formulation, le proble`me (5) se
re´e´crit :  K1,1 . . . K1,nel... . . . ...
Knel,1 . . . Knel,nel

 x1...
xnel
 =
 F1...
Fnel
 (8)
ou sous forme synthe´tique :
KX = F (9)
ou` Ki,j and Fi sont respectivement les matrices de la forme biline´aire et les vecteurs de la forme
line´aire de la formulation variationnelle (5), calcule´s pour l’ensemble des fonctions de test dans toutes
les sous-cavite´s ΩaE . Le vecteur xi est le vecteur des amplitudes des fonctions de forme utilise´es dans
Ωae (voir l’e´quation (7)).
4 Proper Generalized Decomposition applique´ a` la TVRC
Malgre´ sa grande efficacite´, la TVRC peut conduire a` des couˆts de calcul e´leve´s si on veut calculer la
solution dans une bande de fre´quence. Des e´tudes ont de´ja` permis le calcul de la solution d’une bande
de fre´quence (voir [13]). Elles se basaient sur l’exploitation de la de´pendance explicite des matrices
vis-a-vis de la fre´quence. L’approche qui est de´veloppe´e ici se base sur la PGD (voir [14], [15], [16],
[17]).
Le proble`me consiste a` trouver X(ω), ω ∈]ω0 −∆ω, ω0 + ∆ω[, tel que :
K(ω)X(ω) = F (ω) (10)
Cette approche recherche une approximation des coefficients d’amplitude X(ω) sur une base re´duite,
en se´parant la contribution polaire ”θ” et la contribution de´pendant de la fre´quence ”ω” :
X(θ, ω) ≈ Xm(θ, ω) =
m∑
i=1
X̂i(θ)α̂i(ω) (11)
3
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ou` X̂i(θ) sont des fonctions polaires et α̂i(ω) sont des fonctions de´pendant de la fre´quence. La matrice
K e´tant non syme´trique c’est l’approche PGD de Petrov-Galerkin [19] qui a e´te´ retenue avec une
optimisation de´die´e a` des proble`mes de bande de moyenne fre´quence.
En de´finissant :
(A,B) =
∫ ω+∆ω
ω−∆ω
AB dω (12)
l’equation (10) abouti a`
(KX,Y ∗) = (F, Y ∗) ∀Y ∗ (13)
ou` Y ∗ est solution d’un proble`me adjoint associe´ a` X∗, de´fini par :
(X∗∗,KY ∗) = (X∗∗, HX∗) ∀X∗∗ ∈ Rn (14)
ou` K est le complexe conjugue´ de K et H un ope´rateur de´fini par :
H = H˜h˜(ω) (15)
ou` h˜(ω) est une fonction lente de la fre´quence et ou` H˜ est suppose´e constante. Y ∗ e´tant la solution
d’un proble`me adjoint a` X∗, on peut l’ecrire comme une somme de variables se´pare´es
Y (θ, ω) ≈ Y m(θ, ω) =
m∑
i=1
Ŷi(θ)β̂i(ω) (16)
En injectant (11) et (16) dans (14) et en minimisant le produit scalaire de (14) par rapport a` ω et θ,
on obtient :
β̂KŶ X̂ = H˜X̂X̂h˜α̂ (17)
(Kβ̂α̂)Ŷ = H˜X̂(h˜α̂2) (18)
De plus en conside´rant l’expression du re´sidu Rm = F−KXm, il est possible d’imposer l’orthogonalite´
par rapport a` Y ∗ :
(Rm, δY
m) = 0 ∀δY m (19)
ou` δY m =
∑m
i=1(δα̂iŶi + α̂iδŶi). On en de´duit donc :
α̂KX̂Ŷ = RmŶ (20)
(Kα̂β̂)X̂ = (Rmβ̂) (21)
La re´solution des quatre e´quations, (17), (18), (20) et (21), permet de trouver les quatre inconnues du
proble`me, α̂, β̂, X̂ et Ŷ . Un algorithme ite´ratif a e´te´ mis en place pour arriver au calcul des inconnues.
Il s’e´crit :
1) : pour m = 1 jusqu’a` m = mmax
2) : initialisation de α̂ et de β̂
3) : pour k = 1 jusqu’a` k = kmax
4) : calcul de X̂ avec (18) et Ŷ avec (17)
5) : normalisation de X̂ et de Ŷ
6) : calcul de α̂ avec (20) et de β̂ avec (21)
7) : controˆle de convergence
8) : fin boucle
9) : on pose X̂m =X̂ et on pose α̂m =α̂
10) : calcul de Rm = Rm − X̂mα̂m
11) : controˆle de convergence
12) : fin boucle
13) : Xm =
∑mmax
i=1 X̂iα̂i
4
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5 Exemple nume´rique
Prenons l’exemple de´fini sur la figure 1. La ge´ome´trie est de´finie par trois sous cavite´s acoustiques
remplies d’un fluide de densite´ ρ et avec une vitesse du son c, soumises a` des conditions limites en
vitesse V , en pression P et de Robin Z tel que :
ρ = 1.25 [kg/m3]
c = 340 [m/s]
V = 1 [m/s]
P = 0 [Pa]
Z = 845 + i50 [Pa · s/m]
η = 1%
ω0 = 2pi × 1900 [Hz]
∆ω = 2pi × 100 [Hz]
ω = [ω0 −∆ω, ω0 + ∆ω]
Figure 1 – Cavite´ acoustique en forme de L
La figure 2 montre la convergence de la norme L2 du re´sidu Rm (voir l’e´quation 19). La figure 3 montre
une comparaison entre l’e´nergie totale dans le syste`me obtenu avec une approche TVRC classique et
l’e´nergie total obtenue avec une approche PGD en conside´rant 10 couples (m = 10) pour repre´senter
la solution. La bonne concordance entre les deux e´nergies donne une ide´e de la fiabilite´ de la me´thode
PGD applique a des proble`mes de large bande.
0 5 10 15 20 25 30 35
10−5
10−4
10−3
10−2
Couples (voir l’équation 11) 
N
or
m
e 
L2
 
du
 re
sid
u
Figure 2 – Convergence du re´sidu Rm pour le
proble`me defini en figure 1
1800 1820 1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
0.36
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
0.42
0.43
Fréquence [Hz]
En
er
gi
e 
[J]
 
 
Reference TVRC
PGD−TVRC
Figure 3 – Comparaison entre l’e´nergie totale de
la TVRC et la TVRC-PGD pour le proble`me defini
en figure 1
6 Conclusions
Dans cet article, la Proper Generalized Decomposition (PGD) a e´te´ applique´e a` la The´orie Variation-
nelle des Rayons Complexes (TVRC) pour re´soudre des proble`mes de vibration en moyenne fre´quence
sur des bandes de fre´quence. La version Petrov-Galerkin de la PGD pour la TVRC en sa version Fou-
rier a e´te´ de´crite. Cette approche a e´te´ illustre´e avec un exemple de vibration acoustique en 2D. Les
re´sultats obtenus permettent d’envisager l’utilisation de cette approche pour des cas plus complexes
et plus re´alistes. Les travaux en cours concernent les analyses des performances.
5
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7 Remerciement
Les auteurs remercient le projet ITN Marie Curie GA-214909 ”MID-FREQUENCY - CAE Methodo-
logies for Mid-Frequency Analysis in Vibration and Acoustics”
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6


La proper generalized decomposition appliquée à la théorie variationnelle des rayons complexes pour le calcul des vibrations moyennes fréquences dans une bande de fréquence

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46428/1/cfm2011_840.pdf

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