Ce travail porte sur la simulation numérique d'un écoulement de fluide non-Newtonien (Bingham) autour d'un obstacle en forme de profil hydrodynamique. La méthode des volumes finis avec un maillage orthogonale généralisée est utilisée. Les résultats du calcul montrent une portance inverse pour l'écoulement du fluide de Bingham en régime laminaire. Ceci est en accord avec des résultats expérimentaux concernant la portance inverse obtenus par B. Dollet et al. (Physical Review Letters, 2005) pour une solution mousseuse

MOMPEAN, Gilmar

SALLOUM, Zaynab

ZAMBRANO T.

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
Étude numérique de l'eﬀet de la portance inverse pour
un ﬂuide de Bingham autour d'un obstacle
Z.Sallouma,b, G.Mompeanb et T.Zambranob,c
salloum@ul.edu.lb ;gilmar.mompean@polytech-lille.fr ;tc.zambrano@ed.univ-lille1.fr
a. Université Libanaise, Faculté de Sciences-I, Département de Mathématiques, Beyrouth, Liban
b. Laboratoire de Mécanique de Lille, UMR-CNRS 8107, Polytech'Lille, Cité Scientiﬁque, 59655 Ville-
neuve d'Ascq Cedex, France
c. Université Centrale du Venezuela (UCV), Cité Universitaire, 1053 Caracas, Venezuela.
Résumé. Ce travail porte sur la simulation numérique d'un écoulement de ﬂuide non-Newtonien
(Bingham) autour d'un obstacle en forme de proﬁl hydrodynamique. La méthode des volumes ﬁnis
avec un maillage orthogonale généralisée est utilisée. Les résultats du calcul montrent une portance
inverse pour l'écoulement du ﬂuide de Bingham en régime laminaire. Ceci est qualitativement en accord
avec des résultats expérimentaux concernant la portance inverse obtenus par B. Dollet et al. (Physical
Review Letters, 2005, [1]) pour une solution mousseuse.
Abstract. The purpose of this work is the numerical simulation of non-Newtonian ﬂuid ﬂow (Bin-
gham) around an obstacle in the form of hydrodynamic proﬁle. We use the ﬁnite volume method with
the generalized orthogonal coordinates. In the case of Bingham ﬂuid ﬂow, the simulation results show
the presence of a downwards lift, opposite to the lift usually known in the newtonian case. This results
is qualitatively in agreement with the experimental results concerning inverse lift obtained by B. Dollet
and al. (Physical Review Letters, 2005, [1]) with a foam solution.
Mots clefs. Fluide de Bingham, volumes ﬁnis, portance, seuil des contraintes.
1 Introduction
Dans le domaine de la mécanique de ﬂuide, la portance est une force normalement perpendiculaire
au déplacement du ﬂuide qui apparaît lors qu'il y a une diﬀérence de pression entre les deux cotés de
l'obstacle. Dans le cas d'un obstacle en forme de proﬁl hydrodynamique par exemple, la portance est crée
par le déséquilibre de la pression au dessous et au dessus du proﬁl et cette portance est normalement
dirigée vers le haut. Toutefois une équipe de chercheurs du laboratoire de mécanique de Grenoble a
découvert un nouveau eﬀet, s'agissant d'une portance inverse, en plaçant un proﬁl hydrodynamique
dans un écoulement de ﬂuide viscoélastique. Le ﬂuide considéré pour cette expérience est une solution
mousseuse obtenue notamment à l'aide de produit de vaisselle commercial (Taci, Henkel) et d'azote.
Un proﬁl est plongé dans un écoulement de cette mousse tout en étant maintenue à une base ﬁxe à
l'aide d'une ﬁbre élastique. Le proﬁl est libre de tourner autour de cette ﬁbre. Le débit de l'écoulement
est de 50 ml/min et sa vitesse moyenne de 2,7 mm/s. Ce qui est remarquable dans cette expérience est
l'eﬀet du portance observé, qui est orienté vers le coté opposé, contrairement à un cas classique. Les
chercheurs ont suggéré que cet eﬀet de portance inverse était du au caractère viscoélastique du ﬂuide. Le
but de ce travail est donc de chercher par une simulation numérique si un ﬂuide non-newtonien entraîne
ce phénomène de portance inverse. Nous eﬀectueons la simulation sur un écoulement d'un ﬂuide de
Bingham autour d'un obstacle en forme de proﬁl hydrodynamique. Le ﬂuide de Bingham présente
un seuil de contrainte nécessaire pour démarrer l'écoulement mais ne possède pas de élasticité. Cette
étude montre non seulement la présence d'une portance inverse mais aussi l'importance et l'inﬂuence
du seuil d'un ﬂuide sur la négativité de cette portance. Notons que le ﬂuide de Bingham était l'objet
de plusieurs travaux mathématiques [3] et numériques. L'étude numérique d'écoulement de Bingham,
a été faite dans de nombreuses publications, citons par exemple : [4, 8] pour d'écoulement stationnaire
1
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
dans des domaines bidimensionnels, [6, 9] pour l'écoulement dans les tuyaux cylindriques et [5] pour
l'écoulement non-stationnaire du Bingham.
2 Modèle Mathématique
Dans l'hydrodynamique des ﬂuides isothermes et incompressibles, l'écoulement d'un ﬂuide s'écrit
sous la forme, {
ρ(∂tu+ (u · ∇)u) = divσ,
divu = 0,
(2.1)
où ρ est la densité du masse, u est la vitesse, σ est le tenseur des contarintes (tenseur symétrique). De
plus, nous pouvons décomposer σ de la manière suivante : σ = τ −pI où τ désigne la partie tangentielle
du tenseur alors que pI est la partie normale (p est la pression). Dans le cas d'un ﬂuide newtonien, τ
dépend linéairement de ∇u de la manière suivante, τ = 2νD[u], où D[u] = 12 (∇u+∇Tu) est le tenseur
des taux de déformation et ν est la viscosité du ﬂuide (ν > 0). Alors, dans le cas d'un ﬂuide newtonien
incompressible, le système (2.1) prend la forme :{
ρ(∂tu+ (u · ∇)u)− ν∆u+∇p = 0,
divu = 0.
Il est bien connu que plusieurs ﬂuides ne satisfont pas la loi newtonienne τ = 2νD[u]. Lorsque la vis-
cosité n'est plus indépendante du taux de cisaillement, il est nécessaire d'utiliser plusieurs paramètres
pour décrire le comportement mécanique du ﬂuide. Le caractère non newtonien le plus répandu est la
variation de la viscosité avec la vitesse de cisaillement. Ce type de comportement est de loin le plus
fréquent. Il concerne les polymères à longues chaînes en solution ou à l'état fondu, les pâtes à papier,
les colles, les ciments. Un autre comportement est la viscoélasticité. Un certain nombre de modèles em-
piriques permettent la description non-newtonienne, citons par exemple les modèles d'Ericksen-Rivlin
[10] ou les modèles introduits par Ladyzhenskaya [7], ou par Oldroyd. Dans ces modèles, le tenseur τ
dépend de D[u] d'une manière non linéaire. Dans le système adimensioné, il apparaît des nombres sans
dimension tels que le Reynolds, Re = ρULµ où U , L et µ sont respectivement la vitesse, le longueur
caractéristique et la viscosité dynamique du ﬂuide.
Un autre type de ﬂuide non newtonien est souvent dit ﬂuide à seuil ou plastiques ou ﬂuides de
Bingham. Ce sont des liquides dits " à seuil ", c.à.d. qu'ils ne subissent pas de mouvement avant que
la contrainte qui leur est appliquée ne dépasse une certaine limite qu'on appelle contrainte seuil. Ces
ﬂuides ne s'écoulent que si la contrainte appliquée est supérieure à une valeur seuil, comme par exemple
la pâte de dentifrice. La loi de comportement s'écrit{
τ = τ0 + 2νD[u] si ||τ || ≥ τ0
D[u] = 0 si ||τ || < τ0,
tels que τ0 est la contrainte seuil et ||τ || est la mesure du contrainte. Remarquons que ces équations
expriment l'eﬀet de seuil : le ﬂuide se déforme lorsque la mesure du contrainte atteint le seuil τ0. Dans
le cas contraire, le mouvement est celui d'un solide (pas de déformation).
3 Méthodes des volumes ﬁnis
La méthode des volumes ﬁnis est utilisée pour obtenir la forme discrétisée des équations. Cette
méthode permet la résolution des équations de la mécanique des ﬂuides en intégrant les équations de
conservation sur des volumes ﬁnis jointifs recouvrant l'ensemble du domaine d'étude.
2
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
3.1 Équations en coordonnées curvilignes
Les équations précedentes sont formulées dans le cas cartésien, nous les écrivons en forme géné-
ralisée. Pour cela, nous considérons les coordonnées curvilignes (ψ1, ψ2), exprimées en fonction des
coordonnées cartésiennes x = (x1, x2), par ψ
1 = ψ1(x1, x2) et ψ
2 = ψ2(x1, x2). Les deux vecteurs
de base du nouveau système sont g
1
= (∂x1/∂ψ
1, ∂x2/∂ψ
1) et g
2
= (∂x1/∂ψ
2, ∂x2/∂ψ
2). Le tenseur
métrique, déﬁni par gij = gi · gj (i, j=1,2), est diagonal et les facteurs d'échelle sont hi = √gii. Les
équations de conservation sont réecrites par rapport au champ des vitesses physiques V i = hi dψ
i/dt,
en utilisant les dérivées spatiales physiques dξi = hidψ
i. Dans le nouveau système des coordon-
nées, la vitesse u =
 2∑
j=1
∂x1
∂ψj
v1
hj
,
2∑
j=1
∂x2
∂ψj
v2
hj
, alors que l'opérateur de divergence généralisé s'écrit
∇·(i) = ∂()
∂ξi
+
∑
j 6=i
Hji () où les facteurs d'étirement H
j
i =
1
hi
∂hi
∂ξj
. Le tenseur des taux de déformation
généralisé s'écrit Dij =
1
2
(
∂V i
∂ξj
+
∂V j
∂ξi
−HijV j −Hji V i + 2
2∑
k=1
Hki V
kδij
)
, où δij est le tenseur de
Kronecker. Avec ces conventions, le système s'écrit pour j = 1, 2 :
∂t(ρV
j) +
2∑
i=1
(
ρV iV j − 2νDij − τ0
)
=
∂p
∂ξj
−
2∑
i=1
Hij
(
ρV iV j − 2νDij − τ0
)
+
2∑
i=1
Hji
(
ρV iV i − 2νDii − τ0
)
,
2∑
i=1
∇ ·(i) V i = 0.
3.2 Méthode numérique
La méthode des volumes ﬁnis et un maillage orthogonal sur la base des coordonnées naturelles (φ, ψ)
sont utilisés. Pour plus des détails voir [2]. Le principe général de cette méthode est de localiser au centre
de chaque volume les grandeurs scalaires et de placer les vitesses au centre des faces de volume. C'est
le principe du maillage entrelacé. Les équations sont discrétisées en temps sous forme semi-implicite.
Nous utilisons également un volume de contrôle centré sur le n÷ud de pression, aﬁn de transformer
les intégrales de l'équation de continuité en sommations algébriques. Pour les équations de quantité de
mouvement, les volumes de contrôle sont centrés sur la face du maillage de la composante de vitesse
concernée. A chaque pas temporel, une équation discrétisée de Poisson pour la pression est résolue par la
méthode de Cholesky, qui s'applique ici, puisque la matrice est symétrique et déﬁnie positive. A l'issu de
la résolution du système linéaire, on obtient la pression en tout point du maillage à chaque instant. Les
valeurs de vitesse s'obtiennent, à chaque pas du temps, en réinjectant les valeurs de pression trouvées.
4 Résultats et intérpretation
Dans ce travail, nous présentons nos résultats à l'aide du quatre nombres adimensionnels : Reynolds
Re et les c÷ﬃcients de portance Cz, de traînée Cx et de pression Cp. Nous étudions le proﬁl avec deux
ﬂuides : un Newtonien et l'autre dit de Bingham.
4.1 Écoulement Newtonien
Lorsque l'écoulement est newtonien, nous calculons les valeurs des grandeurs, mentionnés ci-dessus,
ainsi que la traînée et la portance, pour trois nombres de Reynolds : Re = 262.39, Re = 266.67 et
Re = 277.78. Dans tous les cas, on trouve une traînée positive ce qui était attendu. Il semble que la
3
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
traînée soit essentiellement due aux forces visqueuses et on retrouve également une portance positive,
valeur que l'on attendait bien évidement. On aﬃche ensuite la distribution de pression dans la surface
maillée pour Re = 262.39 (Figure à gauche). Ensuite, on aﬃche les valeurs locales du coeﬃcient de
pression Cp le long du proﬁl pour Re = 266.67 (Figure au centre). Pour visualiser la portance en action
sur le proﬁl, on aﬃche la portance obtenue à chaque point de l'obstacle pour Re = 277.78 (Figure à
droite).
x
z
-1 0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
p
0.068178
0.061999
0.05582
0.049641
0.043462
0.037283
0.031104
0.024925
0.018746
0.012567
0.006388
0.000209001
-0.00597
-0.012149
-0.018328
x
cp
-1 0 1 2 3 4
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Le résultat est bien celui attendu pour la pression, il existe une dépression au dessus du proﬁl. La
dépression est marquée par la diminution du Cp. On remarque bien que la portance est due en grande
partie à l'action de pression.
4.2 Écoulement Non-Newtonien
Lorsque l'écoulement est non-newtonien (Bingham), nous calculons également les valeurs des Cp,
Cx, Cz, Trainée et Portance pour le même trois nombres de Reynolds : Re = 262.39, Re = 266.67 et
Re = 277.78 avec un seuil 0.005.
De même pour le ﬂuide de Bingham, on aﬃche les valeurs locales du coeﬃcient de pression Cp le
long du proﬁl pour Re = 262.39 (Figure à gauche). On visualise ensuite la distribution de pression dans
la surface maillée pour Re = 266.67 (Figure au centre). Enﬁn, la portance en action sur le proﬁl est
aﬃché à chaque point de l'obstacle pour Re = 277.78 (Figure à droite).
Re= 262.39 Re=266.67 Re=277.78
Cp 0.1843E+00 0.1773E+00 0.1554E+00
Cx 0.2551E+00 0.2524E+00 0.2458E+00
Cz 0.3245E-02 0.8896E-02 0.2170E-01
Trainée 0.2414E-01 0.1887E-01 0.2871E-01
Portance 0.3071E-03 0.6651E-03 0.2535E-02
Table 1  Cp, Cx, Cz, traînée et portance pour un écoulement newtonien.
Re= 262.39 Re=266.67 Re=277.78
Cp 0.6405E+00 0.7309E+00 0.5417E+00
Cx 0.3311E+00 0.3526E+00 0.3080E+00
Cz - 0.1102E+00 -0.1060E+00 -0.8730E-01
Trainée 0.3133E-01 0.2636E-01 0.3598E-01
Portance - 0.1043E-01 -0.7925 E-02 -0.1020E-01
Table 2  Cp, Cx, Cz, traînée et portance pour un ﬂuide de Bingham.
4
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
x
z
-1 0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
p
0.103781
0.0956128
0.0874441
0.0792755
0.0711069
0.0629383
0.0547696
0.046601
0.0384324
0.0302638
0.0220951
0.0139265
0.00575788
-0.00241075
-0.0105794
x
cp
-1 0 1 2 3 4
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
V1
V2
0 1 2 3
-0.004
-0.003
-0.002
-0.001
0
0.001
On remarque que la pression au dessus de la bosse reste faiblement négative mais elle est moins répandue.
La positivité de Cp est bien clair et on peut voir facilement la diﬀérence avec Cp obtenue dans le cas
newtonien avec le même nombre de Reynolds. La valeur de la force de portance est négative. On en
déduit que la portance est dirigée vers le bas. La traînée reste, quant à elle, positive.
4.3 Inﬂuence de seuil sur la portance
A cause de diﬃculté de trouver le seuil d'un tel écoulement d'un ﬂuide de Bingham, nous calculons
la valeur de la portance avec diﬀérent valeurs de seuil τ0. Nous remarquons que la portance décroit avec
l'augmentation du seuil puis elle sera négative.
Portance pour : Re= 262.39 Re=266.67 Re=277.78
τ0= 0 0.3071E-03 0.6651E-03 0.2535E-02
τ0= 0.78125E-04 0.1181 E-04 0.3646E-03 0.2217E-02
τ0= 0.15625E-03 -0.2793E-03 0.6946E-04 0.1902E-02
τ0= 0.3125E-03 -0.8493E-03 -0.5045E-03 0.1284E-02
τ0= 0.625E-03 -0.194E-02 -0.1588E-02 0.9506E-04
τ0= 0.125E-02 -0.3925E-02 -0.3494E-02 -0.2098E-02
τ0= 0.25E-02 -0.7111E-02 -0.6283E-02 -0.5749E-02
τ0= 0.5E-02 - 0.1043E-01 -0.7925 E-02 -0.1020E-01
Table 3  Inﬂuence de changement du seuil sur la portance.
Nous essayons maintenant de poursuivre graphiquement l'inﬂuence du valeur de τ0 sur les trois
grandeurs adimensionnels : Cp, Cx et Cz. Tout d'abord, nous remarquons que l'augmentation de Cp
par rapport à τ0 est harmonieux pour les trois nombres de Reynolds, ainsi que pour le Cx.
Tauo
C p
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
cp-Re262
cp-Re266
cp-Re277
Frame 001  22 May 2011  Bing 2D
Tauo
C x
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
0.26
0.27
0.28
0.29
0.3
0.31
0.32
0.33
cx-Re262
cx-Re266
cx-Re277
Frame 001  22 May 2011  Bing 2D
Pour Cz, il est clair l'inﬂuence du seuil. Le ﬂuide de Bingham ne donne une portance négative qu'à partir
un seuil. Par contre, sa valeur positive diminue avec l'augmentation de τ0. Une fois que les contraintes
dépassent le seuil, qui d'aileurs n'est pas ﬁxe pour les trois nombres de Reynolds, l'eﬀet d'une portance
négative apparaissent et la valeur du coeﬃcient de portance croît avec l'augmentation de τ0.
5
20ème Congrès Français de Mécanique Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
Tauo
C z
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
-0.11
-0.1
-0.09
-0.08
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
cz-Re262
cz-Re266
cz-Re277
Frame 001  22 May 2011  Bing 2D
5 Conclusion
Dans ce travail, un écoulement bi-dimensionnel d'un ﬂuide de Bingham autour d'un obstacle hy-
draulique est étudié numériquement en utilisant le système des coordonnées généralisées et la méthode
des volumes ﬁnis en coordonnées orthogonales généralisées. Pour l'écoulemnt newtonien, une portance
attendue dirrigé vers le haut était trouvée pour trois nombres des Reynolds. Dans le cas d'un ﬂuide
non-newtonien et pus précisement le ﬂuide dit de Bingham, l'eﬀet d'une portance négative est observé.
Malgré la diﬀérence du nombre de Reynolds entre le calcul et l'expérience ce phénome observé
numériquement est en accord avec résultats expérimentaux concernant la portance inverse obtenus par
B. Dollet et al. dans [1] pour une solution mousseuse. Des futurs travaux seront réalisés pour valider
ces résultats numériques, avec un autre approche pour le ﬂuide de Bingham, et aussi étudier ce type de
comportement pour les ﬂuides viscoélastiques.
Références
[1] B.Dollet, M.Aubouy, and F. GranerAnti-Inertial Lift in Foams : A Signature of the Elasticity of
Complex Fluids, Physical Review Letters 95, 168303, 2005.
[2] G. Mompean, L. Thais, Finite Volume Simulation of Viscoelastic Flows in General Orthogonal
Coordinates, Mathematics and Computers in Simulation, 80, 2185-2199, 2010.
[3] G. Duvaut, J.-L. Lions, Inequalities in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1976.
Translated from the French by C. W. John, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
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mation, Arch. Ration. Mech. Anal. 146(1), pp. 73-93, 1999.
6


Étude numérique de l'effet de la portance inverse pour un fluide de Bingham autour d'un obstacle

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46359/1/cfm2011_715.pdf

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