Le contact mécanique présente les non-linéarités les plus difficiles à prendre en compte. Selon les cas d'étude, certaines méthodes de résolution sont plus adaptées que d'autres. De même, l'amortissement est introduit dans les codes de calcul sous différentes formes. On présente la formulation analytique de ces méthodes et on analysera les résultats issus de l'étude de sensibilité pour identifier la méthode donnant les résultats les plus robustes

CONVERT, Florent

TANG, Benoit

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
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Impact des méthodes de résolution du contact sur le 
comportement mécanique des structures 
B. TANGa, F. CONVERTb  
a. Centre National d’Etudes Spatiales (CNES), Rond-Point de l’Espace 91023 Evry 
b. Université de Nantes - 2, rue de la Houssinière 44322 Nantes 
  
Résumé :  
Le contact mécanique présente les non-linéarités les plus difficiles à prendre en compte. Il existe différentes 
méthodes numériques permettant de gérer le contact entre deux solides ou entre un solide et une surface 
rigide. La méthode du Lagrangien et la méthode de pénalisation sont fréquemment utilisées et sont 
implémentées dans les codes de calcul comme, par exemple, respectivement Abaqus et Nastran. Elles doivent 
être utilisées avec précaution car les paramètres de calcul liés à chacune de ces approches peuvent avoir 
une influence directe sur les résultats. Une analyse comparative entre ces deux méthodes, basée sur un cas 
d’étude industriel, montre en effet des écarts au niveau local. Les paramètres influents mis en jeu sont ainsi 
expliqués dans cette étude. 
Mots clefs : contact, méthodes, Lagrangien, pénalisation, comparaison 
1 Introduction 
Le contact mécanique présente les non-linéarités les plus difficiles à prendre en compte. Il existe différentes 
méthodes de résolution du contact. On présente ici les méthodes du Lagrangien et celle de pénalisation. Et, 
on les applique sur un cas d’étude industriel pour en retirer les avantages et les inconvénients de chacune des 
méthodes. 
2 Méthodes de résolution du contact 
2.1 Méthode du Lagrangien 
Pour deux corps Ω1 et Ω2 susceptibles d’entrer en contact, la définition d’une surface maître dans la zone de 
contact de Ω1 et d’un ensemble de nœuds frontières (appelés nœuds esclaves) dans la zone de contact Ω2  est 
nécessaire à l’application de la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Les contraintes de déplacement 
sont appliquées aux nœuds esclaves pour les empêcher de pénétrer dans le domaine délimité par la surface 
maître à l’instant t+Δt et à l’instant t. Formulée ainsi, la méthode des multiplicateurs de Lagrange est 
compatible avec les opérateurs d’intégration explicites. Les équations de mouvement, développées via le 
principe des travaux virtuels, conduisent au système d’équations différentielles suivant écrit au temps t : 
ext
tttt FKUUCUM =++ &&&    (1) 
Ces équations augmentées par les contraintes en déplacement agissant sur les nœuds esclaves à l’instant t+Δt 
s’écrivent alors de manière suivant [1] : 
⎩⎨
⎧
≤
=+++
Δ+Δ+
Δ+
0tttt
ext
tt
T
ttttt
XG
FGKUUCUM λ&&&
  (2) 
 
Où M, C and K sont respectivement les matrices de masse, d’amortissement et de raideur du système, 
ttt UUU &&& ,,  sont respectivement les vecteurs de déplacements, vitesses et accélérations nodaux. exttF  est le 
vecteur des forces extérieures nodales. tλ  est le vecteur des forces normales et tangentielles au contact. 
ttG Δ+  est la matrice de contrainte permettant d’appliquer les conditions de non pénétration et de frottement 
au niveau du contact. { }tttttt UUXX −+= Δ+Δ+  est le vecteur des coordonnées à t+Δt. 
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La matrice des contraintes en déplacement élémentaire ( ttG Δ+ )S associée aux nœud esclaves S  se construit 
en exprimant les coordonnées de ce nœud ayant pénétré entre t et t+Δt en fonction de celles définissant la 
surface maître. 
La résolution du système d’équation s’effectue à partir d’un algorithme itératif de Gauss Seidel évitant d’une 
part l’assemblage de toutes les matrices élémentaires ( ttG Δ+ )S dans la matrice global ttG Δ+  et d’autre part de 
pouvoir vérifier et corriger les conditions de contact durant les itérations. 
A la fin des itérations, c'est-à-dire à t+Δt, les nœuds esclaves ayant pénétré ont adhéré à la surface maître ; 
des forces de contacts normales et tangentielles sont alors calculées. 
2.2 Méthode de pénalisation 
Cette méthode permet de gérer le contact entre un nœud frontière d’un corps et d’une surface.  
Une légère  pénétration ntg  du nœud esclave dans la surface maître à l’instant t est autorisée lorsqu’il y a 
contact.   
Il est alors possible de calculer les forces de contact normales ( ntF ) et tangentielles (
t
tF ) à l’instant t. Celles-
ci sont proportionnelles aux déplacements : 
⎩⎨
⎧
+=
+=
Δ−
Δ−
t
t
tt
tt
t
t
n
t
nn
tt
n
t
gkFF
gkFF
   (3) 
Ces forces de contact correspondent aux réactions dues à deux ressorts fictifs introduits entre les entités en 
contact. nk et tk sont les deux coefficients de pénalisation (ou raideur de contact), le premier est suivant la 
normale et le deuxième suivant la tangentielle à la surface de contact. 
Un paramètre de pénalisation élevé permet de satisfaire correctement les conditions de contact. Cependant, 
un paramètre trop grand conduit à des matrices de rigidité mal conditionnées et de fait à des problèmes 
numériques. Inversement, un paramètre de pénalisation trop faible conduit à des pénétrations inacceptables 
d'un point de vue physique. Ainsi, la précision de la solution du problème se trouve fortement affectée. Une 
raideur couramment utilisé est celle introduite par : 
e
c
c V
KAk ²α=      (4) 
Avec A l’aire de la surface de l’élément en contact, Ve le volume de cet élément, Kc le module de 
compressibilité et α un facteur d’échelle généralement égal à 0.1. 
 
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3 Comparaison des deux méthodes sur un cas d’étude industriel 
3.1 Présentation du problème 
Il s’agit d’étudier le contact de la Jupe Arrière (JAR) de lanceur de la filière Ariane posée sur la table de 
lancement lors du transfert du Bâtiment d’Assemblage Final (BAF) à la Zone de Lancement (ZL). Pour 
éviter tout risque de décollement de la JAR sur ce trajet, l’étude consiste à déterminer le chargement 
théorique maximal à partir duquel le phénomène de décollement peut se produire.  
La JAR est soumise aux efforts dus au vent et aux forces d’inertie d’un booster. Le chargement est représenté 
par un effort normal (N), un effort tranchant (T) et un moment fléchissant (M) appliqués à l’interface 
supérieure de la JAR comme le montre la figure ci-dessous : 
 
FIG. 1 – Chargement appliqué sur la JAR 
 
On applique d’abord N (le poids) puis (T+M) jusqu’au décollement, de la manière suivante : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 2 – Séquence de chargement  
Le contact (vertical et radial) entre l’interface inférieure de la JAR et la table de lancement est défini : 
• Pour la méthode de pénalisation, par des éléments de contact connectés aux nœuds de l’interface 
inférieure de la JAR avec une raideur de contact k (coefficient de pénalisation voir §2.2 ).  
• Pour la méthode du Lagrangien, par 2 surfaces maîtres (horizontale et verticale) et par les nœuds 
esclaves de l’interface inférieure de la JAR (voir §2.1).  
 
Les calculs ont été réalisés avec les codes de calcul Nastran et Abaqus pour ce qui concerne respectivement 
la méthode de pénalisation et celle du Lagrangien. 
Fa
ct
eu
r d
e 
ch
ar
ge
 (J
) 
Incréments de chargement 
N 
T+M 
M
T 
N 
JAR 
Contact entre la JAR et la 
table de lancement 
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3.2 Résultats 
Globalement, les deux méthodes donnent le même comportement mécanique sur la JAR en terme de 
déformée statique et de répartition des contraintes de Von Mises comme le montre la figure ci-dessous : 
 
 
 
 
FIG. 3 – Répartition des contraintes de Von Mises 
 
En revanche, localement, à l’interface inférieure de la JAR, là où le contact se produit, pour un même facteur 
de charge, les deux méthodes donnent des comportements mécaniques différents.  
En effet, la méthode de pénalisation indique deux zones de décollement identifiées par σN>0 (voir figure 
FIG.4) ce qui n’est pas le cas de la méthode du Lagrangien pour laquelle aucun décollement n’est détecté 
(σN<0 pour tout azimut).  
On note par ailleurs que les résultats de la méthode de pénalisation sont très sensibles au coefficient de 
pénalisation (raideur de contact k) comme le montrent les courbes de la figure FIG. 4 pour deux valeurs de k 
(k1<k2). De plus, on observe un pic de sur-contrainte important pour le cas k1 qui s’atténue avec k2. Ainsi, 
le comportement mécanique au niveau du contact diffère selon la valeur du coefficient de pénalisation. Une 
étude de sensibilité plus complète montrerait qu’il existe une valeur de k donnant une solution proche de 
celle du Lagrangien. 
-9.0E+05
-7.0E+05
-5.0E+05
-3.0E+05
-1.0E+05
1.0E+05
0 60 120 180 240 300 360
Azimuth (°)
 
FIG. 4 – Contraintes normales à la base de la JAR en fonction de l’azimut 
Méthode de pénalisation Méthode du Lagrangien 
σmax = 128 MPa 
σmax = 120 MPa 
Méthode de pénalisation 
(Raideur de contact k1)
Méthode du Lagrangien 
 Azimut (°) 
Pic de sur-contrainte 
C
on
tra
in
te
s n
or
m
al
es
 σ
N
 (M
Pa
) 
Méthode de pénalisation 
(Raideur de contact k2)
0 
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4 Conclusion 
Chaque méthode de résolution du contact possède ses propres paramètres de calcul. Ces derniers peuvent 
impacter directement les résultats. C’est pourquoi il est important d’utiliser ces méthodes avec précaution. 
Pour conforter les résultats obtenus, il est toujours nécessaire d’effectuer une étude de sensibilité sur ces 
paramètres et au besoin, utiliser une autre méthode pour permettre de jauger les résultats. 
Par ailleurs, chaque méthode a ses avantages et ses inconvénients. La méthode de pénalisation est facile à 
mettre en œuvre dans un code d’éléments finis comme Nastran mais le principal désavantage est le choix des 
coefficients de pénalisation (raideurs de contact) qui ont une influence directe sur les résultats.  
La méthode du Lagrangien qui existe dans les codes éléments finis comme Abaqus, quant à elle, permet de 
respecter la condition de non pénétration et d’éviter les problèmes liés au choix des coefficients de 
pénalisation. Par contre, elle est plus difficile à mettre en œuvre puisqu’elle nécessite d’une part 
l’introduction d’inconnues supplémentaires (multiplicateurs de Lagrange) et d’autre part elle nécessite la 
définition des surfaces maîtres et des nœuds esclaves. 
Références 
[1] L. BAILLET, Du mécanisme au contact - Modélisation par éléments finis. Frottement et usure : la 
tribologie. Synthèse et applications, Journées Francophones de Tribologie, Senlis, pp.2-26, 2002. 
[2] B. TANG, Etude du risque de décollement de la JAR lors du transfert BAF-ZL, Note interne CNES/DLA, 
2009. 
 
 


Impact des méthodes de résolution du contact sur le comportement mécanique des structures

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46453/1/cfm2011_734.pdf

Impact des méthodes de résolution du contact sur le comportement mécanique des structures

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