Notre étude est consacrée à la simulation numérique d'une turbulence homogène évoluant sans gradient de vitesse moyenne soumise à l'action d'un champ magnétique statique. Cette simulation montre que la force de Laplace a deux effets,un effet dissipatif et un effet structural.Dans la deuxième partie,nous avons simuler numériquement une turbulence hydrodynamique cisaillée.En présence d'un cisaillement fort,le flux turbulent est pratiquement concentré dans la direction de l'écoulement moyen.Lorsque la turbulence est sujette à un champ magnétique extérieur,deux régimes sont distingués

LILI, Taieb

MARZOUGUI, Hamed

REZGUI, Ghassen

I-Revues

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 Congrès Français de Mécanique   Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
 
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Transport d’un Scalaire Passif dans une Turbulence 
Magnétohydrodynamique 
Ghassen REZGUI, Hamed MARZOUGUI, Taieb LILI 
Faculté des Sciences de Tunis-Département Physique-Unité de Recherche de Mécanique des Fluides 
(FST Campus Universitaire 2092 El Manar Tunis-Tunisie) 
Résumé : 
 La magnétohydrodynamique est la discipline scientifique qui étudie les propriétés des conducteurs 
fluides et des plasmas lorsqu’ils sont sujets à un champ magnétique. Cette théorie repose simplement 
sur une vision hydrodynamique des fluides et des plasmas incluant toutefois les forces de Laplace dûes 
à l’action du champ magnétique sur les courants. Quant à l’évolution du champ électromagnétique, 
elle est bien étendue déterminée par les équations de Maxwell. L’objectif de ce travail consiste à 
étudier numériquement le transport d’un scalaire passif dans une turbulence MHD. Deux cas de 
simulation ont été effectués. La première concerne une turbulence MHD évoluant sans gradient de 
vitesse moyenne. La seconde est relative à une turbulence MHD cisaillée. Les résultats numériques 
obtenus et qui correspondent à un nombre de Reynolds magnétique faible (le phénomène d’induction 
est négligeable) montrent que la force de Laplace a deux effets importants sur l’écoulement turbulent 
d’un fluide chargé : un effet énergétique lié à la dissipation de l’énergie cinétique turbulente par effet 
Joule et un effet structural lié à l’anisotropie de la turbulence. On a aussi remarqué que lorsque la 
turbulence est sujette à un champ magnétique fort, sa structure s’aligne dans la direction de ce 
champ. 
 
Abstract: 
Magnetohydrodynamics is the scientific discipline that studies the properties of conductive fluid and 
plasma when subjected to a magnetic field. This theory rests on a vision of hydrodynamic fluid and 
plasma, including however the Lorentz forces due to the action of magnetic field on the currents. As 
for the evolution of the electromagnetic field, it is determined by the extent of Maxwell equations. The 
objective of this work is to study numerically the transport of a passive scalar in a turbulent MHD. 
Two cases of simulation were performed. The first relates to an evolving MHD turbulence without 
mean velocity gradient. The second relates to sheared MHD turbulence. The numerical results that 
correspond to a low magnetic Reynolds number (the phenomenon of induction is negligible) show that 
the Lorentz force has two important effects on the turbulent flow of a conducting fluid : an effect 
related to energy dissipation of turbulent kinetic energy by Joule effect and structural effect related to 
the anisotropy of turbulence. It was also noted that when the turbulence is subject to a strong 
magnetic field, its structure is aligned in the direction of this field. 
 
Mots clefs : Magneto hydrodynamic, Turbulence, Transport, Passif Scalar 
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1. Etude d’une turbulence homogène sans gradient de vitesse moyenne 
sous l’effet d’un champ magnétique statique 
La turbulence étudiée est homogène évoluant sans gradient de vitesse moyenne. Elle est sujet à un 
champ magnétique statique     . Par la présence de ce champ deux directions sont privilégiées : une 
direction parallèle à      et une deuxième qui lui est perpendiculaire. Les deux directions 
perpendiculaire et parallèle à      sont respectivement, caractérisées par les deux vecteurs unitaires    
et   . Notons qu’à faible nombre de Reynolds magnétique  (    ) la déformation des lignes de 
champ magnétique par le mouvement moyen est négligeable. Par conséquent le phénomène 
d’induction est absent et les équations régissant une turbulence MHD évoluant sans gradient de vitesse 
moyenne se réduisent à : 
 
 
 
 
Où     ,  ,    et    sont les contributions magnétiques sur l’évolution de la turbulence. Dans la 
présente étude, nous retenons le modèle de Ola et al.[1] pour exprimer ces termes qui s’écrivent 
comme suit : (k est l’énergie cinétique turbulente, ε est le taux de dissipation de l’énergie cinétique 
turbulente, ɤ (ou bien σ) est la conductivité électrique  
 
 
 
 
α est le coefficient d’anisotropie dû au champ magnétique. Ce coefficient est donné par l’équation 
d’évolution suivante : 
 
 
{   ,    ,    , C1,   } = {1.92, 0.4, 2, 1.8, 0.6} 
1.1  Nombres adimensionnels en turbulence MHD 
Nombre de Reynolds magnétique : Le nombre de Reynolds magnétique    est le rapport du terme de 
convection du champ magnétique au terme de diffusion. Les domaines d’applications de la MHD 
peuvent être distingués selon la valeur de ce nombre adimensionnel 
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Nombre d’interaction N : 
Le nombre d’interaction magnétique N est le rapport des forces électromagnétiques aux forces 
inertielles. N = 
    
  
 , (où ɤ est la conductivité électrique, L est une longueur caractéristique du 
l’écoulement, ρ est la masse volumique, B est l’intensité du champ magnétique et U est une vitesse 
caractéristique)  si le nombre d’interaction est faible     les effets non linéaires sont dominants et 
le champ magnétique appliqué a un effet pratiquement faible devant la dynamique de fluide. Dans le 
cas où    la force de Laplace est plus grande que la force inertielle et l’effet du champ magnétique 
devient significatif. 
Nombre magnétique M : 
Ce nombre est un rapport de deux échelles caractéristiques de la turbulence MHD, M = 
  
  
 . où    est 
l’échelle de temps caractéristique de la déformation moyenne et    est l’échelle de temps de Joule. On 
peut aussi l’interpréter comme étant le rapport entre les forces électromagnétiques et les forces de 
cisaillement. 
 
1.2  Présentation des résultats et discussion 
La résolution numérique du système d’équations est effectuée à l’aide d’une méthode de Runge Kutta 
d’ordre 4. Quatre cas de simulations, pour les quels le nombre d’interaction N=0, 1, 5, 50 ont été 
envisagés. Rappelons que la turbulence étudiée évolue sans gradient de vitesse moyenne. A l’instant 
t=0.4, la turbulence est soumise à l’action d’un champ magnétique statique. 
 
FIG1-Evolution temporelle de l’énergie cinétique turbulente K       FIG2-Evolution temporelle du taux de dissipation de l’énergie  
                                                                                      cinétique turbulente  ε       
 
FIG3-Evolution temporelle de l’intensité turbulente du scalaire c        FIG4- Evolution temporelle de la dissipation magnétique    
 
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Sur la figure 1, nous avons présenté l’évolution dans le temps de L’énergie cinétique turbulente. En 
absence de source de production due au gradient de la vitesse moyenne et pour des temps t      
l’énergie cinétique décroit dans le temps. À partir de l’instant où on applique le champ nous 
remarquons que le taux de réduction de l’énergie cinétique augmente avec l’augmentation du nombre 
d’interaction N (ou bien avec l’augmentation de l’intensité du champ magnétique appliqué).Les 
mêmes remarques sont observées aussi sur la figure 2. Ces résultats rejoignent les résultats 
expérimentaux qui montrent que la force de Laplace a un caractère dissipatif. Sur la figure 3 est 
montrée l’évolution dans le temps de l’intensité turbulente du scalaire c. Cette figure montre qu’en 
absence de source de production l’intensité  turbulente    du scalaire c décroit dans le temps avec un 
taux de décroissance qui dépend du nombre d’interaction N. Ce taux de décroissance diminue si N 
croit de 0 à 10. Ces observations peuvent être expliquées de la façon suivante : le champ de scalaire 
passif est contrôlé par le champ turbulent de vitesses via la dissipation   . En présence d’un champ 
magnétique, le champ turbulent de vitesse s’atténue au fur et à mesure que l’on augmente l’intensité de 
champ magnétique .Ceci conduit à une diminution du taux de dissipation     et par conséquent le taux 
de décroissance du scalaire, en absence du terme source, diminue avec l’augmentation du nombre 
d’interaction N. 
 
2.  Transport d’un scalaire passif dans une turbulence MHD 
Dans cette section, nous proposons d’étudier le phénomène de transport d’un scalaire passif dans une 
turbulence MHD homogène associée à des gradients moyens de vitesse et de scalaire passif constants. 
La configuration étudiée est montrée sur la figure 5 où les gradients de vitesse moyenne et de scalaire 
passif sont de la forme :          = S         et        = Γ      . S et Γ représentent les taux de cisaillement de 
la vitesse moyenne et du scalaire passif, et le champ magnétique appliqué est normal au plan de 
cisaillement. 
 
 
                           FIG5-Profils de la vitesse moyenne et du scalaire moyen 
Suite au choix de la configuration, la turbulence d’un scalaire passif est décrite par les équations 
d’évolution des flux turbulents          ,          et          , de la variance du scalaire        ainsi que sa 
dissipation    . Ces équations s’écrivent sous la forme : 
 
 
 
 
 
    ,    et    sont les composantes de la corrélation pression-scalaire. 
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    et     sont les composantes  du tenseur d’anisotropie définis par     = 
       
 
 , où         est appelé 
tenseur de Reynolds. S est le taux de cisaillement moyen. Les coefficients     ,     ,     et     sont 
des coefficients qui permettent de caler le modèle dont les valeurs numériques sont prises d’ordres 1. 
 
Dans ces équations, nous avons retenu le modèle de L.R.R [2] pour exprimer les corrélations pression-
scalaire qui s’écrit comme suit : 
 
2.1   Présentation des résultats et discussion 
Cette section est consacrée à l’étude de transport d’un scalaire passif dans une turbulence MHD 
cisaillée à faible nombre de Reynolds magnétique. Les simulations numériques effectuées 
correspondent à des valeurs du nombre magnétique M égales à 0.01, 1, 2 et 10 et une valeur du taux de 
cisaillement 
  
 
 = 5. Sur la figure 6, nous avons tracé l’évolution dans le temps du flux turbulent 
longitudinal         . Nous remarquons que pour des valeurs faibles du nombre magnétique M (M   , la 
quantité turbulente           n’est pas affectée par le champ magnétique appliqué. C’est donc l’effet du 
cisaillement qui l’emporte et la direction de l’écoulement moyen reste encore la direction la plus 
énergétique. Lorsque le nombre magnétique M devient supérieur à 1, nous observons que           subit 
une réduction forte et croissante avec M. Le même comportement est enregistré aussi pour le flux 
turbulent           (figure 7). Le taux de réduction de ce dernier est plus prononcé que celui pour         . Sur 
la figure 8, nous avons présenté l’évolution temporelle du flux turbulent         . Nous remarquons que si 
M  , le flux turbulent           est pratiquement nul. A partir de M = 1, le flux turbulent           s’installe 
dans la direction du champ magnétique et qui devient de plus en plus important avec l’augmentation 
du nombre magnétique M. 
 
FIG6- Evolution temporelle du flux turbulent de scalaire        FIG7- Evolution temporelle du flux turbulent de scalaire 
 passif longitudinal. Cas d’une turbulence MHD cisaillée       passif transversal. Cas d’une turbulence MHD cisaillée 
 
 
FIG8- Evolution temporelle du flux turbulent de scalaire                  
passif          . Cas d’une turbulence MHD cisaillée        
 
 
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3.  Conclusion 
 
Le travail présenté ici  a été consacré à l’étude du phénomène de transport d’un scalaire passif dans un 
écoulement turbulent d’un fluide chargé sujet à un champ magnétique stationnaire. Dans la première 
section, nous sommes intéressés à la simulation numérique d’une turbulence MHD évoluant sans 
gradient de vitesse moyenne. Dans cette simulation, nous avons retenu le modèle de Ola et al. pour 
exprimer la contribution de la force de Laplace sur le mouvement turbulent d’un fluide chargé. Les 
résultats obtenus dans ce chapitre permettent de conclure que la force de Laplace a deux effets 
importants à savoir : la dissipation magnétique par effet joule et la modification de l’anisotropie du 
champ de vitesses. Dans la deuxième section, nous avons étudié le phénomène de transport d’un 
scalaire passif dans une turbulence MHD associé à des gradients moyens de vitesse et de scalaire 
passif constants. Les simulations numériques envisagées montrent qu’en absence d’un champ 
magnétique appliqué, le flux turbulent d’un scalaire passif devient de plus en plus important dans la 
direction de l’écoulement moyen au fur et à mesure que l’on augmente le taux de cisaillement 
adimensionnel     . En présence d’un champ magnétique appliqué, nous avons distingué deux 
régimes selon la valeur du nombre magnétique M. En effet : 
 
 Si M  , le flux turbulent est encore concentré dans la direction de l’écoulement moyen. 
 Si M  , et pour des valeurs faibles de    , les filaments tourbillonnaires s’alignent dans la 
direction du champ magnétique appliqué et par conséquent le flux d’un scalaire passif devient 
très intense dans cette direction. 
 
4.  References: 
 
[1] W.OLA, S.ZAHARAI, H.BARK, "Development of a Reynolds Stress Closure for Modeling of 
Homogeneous MHD Turbulence", Physics of Fluids, vol.10 (1998). 
[2] B.E.LAUNDER, G.J.REECE, W.RODI, "Progress in the Development of a Reynolds Stress 
Turbulence Closure", J.Fluid Mech, vol.68, (1975). 
[3] S.C.KASSINOS, B.KANAEPEN, D.CARATI, "The Transport of a Passive Scalar in 
Magnetohydrodynamic Turbulence Subjected to Mean Shear and Frame Rotation", Physics of Fluids, 
vol.10, (2007). 
[4] H.MARZOUGUI, H.SAADOULI, H.KHLI., T.LILI, "Numerical Simulation of Compressible 
Turbulent Flow Using Algebraic Reynolds Stress Model", Applied Physics, vol.35, (2006). 
[5] S.KENJERES, K.HANJALIC, "On The Implementation of Effects of Lorentz Force in Turbulence 
Closure Models", I.J of Heat and Fluid Flow, vol.21 (2000) 
[6] H.C.JI, R.A.GARDNER, "Numerical Analysis of Turbulent Pipe Flow in a Transverse Magnetic 
Field", I.J of Heat Mass Transfer, vol.40, (1997). 
 
 
 
 
        
 
 
 


Transport d'un scalaire passif dans une turbulence magnétohydrodynamique

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46384/1/cfm2011_540.pdf

Transport d'un scalaire passif dans une turbulence magnétohydrodynamique

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