Dans ce travail, nous développons une méthode utilisant des données vibratoires afin de détecter et localiser des défauts dans des structures poutres stratifiées. Au préalable, l'élément fini développé à des fins de diagnostique de poutres stratifiées est présenté. Ces structures peuvent encourir soit des défauts de fissuration, de délaminage ou une répartition non uniforme de renfort. La méthode a été aussi bien considérée dans le cas d'un seul comme de plusieurs endommagements

BEHTANI, Amar

BOUAZZOUNI, Amar

I-Revues

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 Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
1 
 
Localisation de défauts dans les structures poutres stratifiées                                                                     
basée sur des données modales 
A. BEHTANI,  A. BOUAZZOUNI 
Laboratoire de Mécanique, Structures et Energétique. 
Université de Tizi-Ouzou 15000, Algérie. 
Email : behtani2007@hotmail.com, abouazzouni@yahoo.com 
Résumé : 
Les matériaux composites sont de nos jours de plus en plus utilisés comme alternative aux matériaux 
conventionnels, en raison de leur haute résistance, rigidité spécifique, ainsi que leurs propriétés mécaniques 
ajustables dans de grandes proportions.  
Dans ce travail, nous développons une méthode utilisant des données vibratoires afin de détecter et localiser 
des défauts dans des structures poutres stratifiées. Au  préalable, l’élément fini développé à des fins de 
diagnostique  de poutres stratifiées est présenté. Ces structures peuvent encourir soit des défauts de 
fissuration,  de délaminage ou une répartition non uniforme de renfort. Ces endommagements affectent la 
rigidité de la structure. La méthode a été aussi bien considérée dans le cas d’un seul comme de plusieurs 
endommagements. 
Les résultats obtenus montrent que la localisation de défaut dans le cas des structures poutres stratifiées 
unidirectionnelle est possible à un stade très précoce du développement de celui-ci. Dans le cas de plusieurs 
endommagements, la localisation reste cependant ambigüe.  
Mots clefs : poutres stratifiées, endommagement, taux de variation fréquentielle locale.      
1 Introduction  
Les paramètres modaux sont reliés aux caractéristiques de rigidité, de masse et d’amortissement, la première 
idée fut de regarder et d’analyser les changements de ces paramètres à des endommagements.  De nombreux 
auteurs ont étudié le changement de fréquence comme indicateur d'endommagement. Les changements des 
propriétés structurales causent des modifications aux fréquences propres de la structure. Les premiers 
travaux consistaient essentiellement à calculer les changements en fréquence d'un type connu 
d'endommagement. L’endommagement est modélisé numériquement, et les fréquences mesurées sont 
comparées aux fréquences prédites. Cawley & Adams, [4], Topole & Stubbs, [5].  
Dans ce travail, nous proposons une méthode de détection de défauts dans les structures poutres stratifiées.  
Celle-ci utilise le concept du rapport des changements des fréquences locales; la notion de fréquence locale 
utilisée ici ressemble à celle du quotient de Rayleigh. En effet, suite à des défauts de fissurations, de 
délaminage ou une répartition non uniforme de renfort, les rigidités de structures sont affectées. La méthode 
a été aussi bien considérée dans le cas d’un seul comme de plusieurs endommagements. 
2 Etude théorique [1] 
L’équation aux valeurs propres d’une structure à n ddl est : 
 MK                                                                                    (1)      
Quand un endommagement survient dans la structure, la matrice de raideur change. Cette matrice peut être 
interprétée comme la somme de deux matrices de rigidités, Ku de la structure saine et  ijaK matrice de 
rigidité élémentaire multipliée par le facteur de réduction de raideur en pourcentage : 
𝐾𝑒 = 𝐾𝑠 + ∆𝐾𝑗 =
𝐿
𝑗=1 𝐾𝑠 +  𝑎𝑖 .𝐾𝑗
𝐿
𝑗=1                                                        (2) 
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2 
 
L’endommagement a  un effet considérable sur la rigidité de la structure. Un faible changement dans la 
raideur conduit à un  changement dans les vecteurs et fréquences propres respectivement notées i    et i . 
Pour une faible perturbation dans la raideur de la structure on écrit : 
      0.  iiii MKK                                                      (3) 
En développant (3) :  
i i i i i i i i i i i iK K K K M M M M                   
En se limitant aux termes du premier ordre, et en remarquant que [3]:  
   0,  et 0   :    . . . . .T T T T Ti i i i i i i i i i i i j iM K M K M K                  
i
T
i
ij
T
i
L
j
j
i
T
i
ij
T
i
i
M
Ka
M
K








..
...
..
.. 1
                                                       (4) 
L’équation (4) donne la variation de la ième  fréquence  naturelle. 
On remarque bien que la forme de l’équation (4) ressemble à celle du quotient de Rayleigh. Ce dernier 
calcule les fréquences naturelles comme étant le rapport du maximum de l’énergie potentielle et du 
maximum de l’énergie cinétique de la structure.  Une expression analogue donne le concept de la fréquence 
locale (LF). Le concept de la fréquence locale (LF) est défini comme étant le rapport de l’énergie potentielle 
de l’élément sur l’énergie cinétique de ce dernier pour différents vecteurs propres : 
ij
T
i
ij
T
i
ij
M
K
LF



..
..
                                                                        (5) 
LFij : c’est la fréquence locale de l’élément j par rapport au mode i. 
Maintenant, on calcule les fréquences locales de la structure saine LFuij puis, celles de la structure 
endommagée LFeij : 
sij
T
si
sij
T
si
sij
M
K
LF



..
..
        eij
T
ei
eij
T
ei
eij
M
K
LF



..
..
                                                            (6) 
Pour la localisation d’endommagement, on utilise le concept du rapport des changements des fréquences 
locales (LFCR) : 
sij
sijeij
ij
LF
LFLF
LFCR

                                                                      (7)  
Le LFCRij est calculé pour tous les éléments de la structure et pour un certain nombre de modes propres (les 
dix premiers, pour des raisons de précision). 
Si un endommagement existe dans l’élément j = p, la valeur correspondante du LFCRip est la plus grande de 
toutes celles des autres éléments  j ≠ p. 
Remarques  
Pour des raisons d’efficacité et de simplification des calculs, on utilise les dix premiers vecteurs propres pour 
le calcul du LFCRij. Ensuite, on calcule la moyenne des valeurs pour chaque élément j pour déterminer le 
LFCRj. Ce dernier permet de comparer tous les éléments et conclure si l’élément j est endommagé ou non. 
3 Applications et tests numériques  
3.1    Poutre unidirectionnelle 
Dans cette étude, nous considérer la flexion pure d’une poutre en matériau composite stratifié 
unidirectionnelle avec ordre des couches symétriques. Nous avons modélisé la structure étudiée en éléments 
finis SI8, Chaque nœud de cet élément fini possède deux degrés de liberté : déplacement w normal à la 
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3 
 
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
 
 
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 5 10 15 20 25 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
poutre et une rotation φ autour de l’axe y (voir FIG 1). Le nombre total de degrés de liberté de l’élément fini 
SI8 est 8. [2] 
 
 
 
 
FIG. 1 – Elément fini SI8 
Soit une structure poutre unidirectionnelle en matériau composite graphite/époxyde encastrée-libre 
discrétisée en 30 éléments finis SI8, dont les caractéristiques sont comme suit :   L = 2 m ; b = 0.05m ; h = 
0.05m ; 
 
 
 
 
FIG. 2 – Poutre unidirectionnelle en graphite – époxy sur appui simple 
a. Cas d’un endommagement 
Nous endommageons de 25 % les éléments 5, 16 et 25, les histogrammes représentatifs des valeurs du LFCR 
pour chaque cas sont donnés sur les FIG. 3 
 
 
 
 
 
FIG. 3 – Variation de LFCR d’une structure poutre unidirectionnelle en fonction de la position 
d’endommagement 
En faisant varier le pourcentage de réduction de raideur de l’élément N°15  nous avons abouti  aux résultats 
présentés sur la FIG. 4 
 
 
 
 
 
FIG. 4 – Variation de LFCR d’une structure poutre unidirectionnelle en fonction de % d’endommagement 
h 
b 
x 
L 
x 
l/3 l/3 l/3 
wi wj wk wl 
z 
φi φj φk φl 
L
F
C
R
 
ddl 
 
ddl 
 
L
F
C
R
 
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
 
 
0 5 10 15 20 25 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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4 
 
0 5 10 15 20 25 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20 25 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20 25 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20 25 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20 25 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
A partir des  figures 3 et 4 nous  remarquons que la valeur du LFCR de l’élément endommagé est la plus 
grande de toutes, quelque soit sa position sur la poutre et le  pourcentage d’endommagement. 
b.   Cas de plusieurs endommagements 
Nous endommageons de 25 % les éléments 3-10, 5-23 et 13-15, les histogrammes représentatifs des valeurs 
du LFCR pour chaque cas sont donnés sur la figure 5  
   
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 5 – Variation de LFCR d’une structure poutre unidirectionnelle avec 2 d’endommagements 
Nous endommageons de 25 % les éléments 3-13-22. L’histogramme représentatif des valeurs du LFCR est 
donné dans la figure 5 
 
 
 
 
 
FIG. 6 – Variation de LFCR d’une structure poutre unidirectionnelle avec 3 d’endommagements 
Nous endommageons de 25 % les éléments 2-13-17-25,  l’histogramme représentatif des valeurs du LFCR 
est donné dans la figure 6  
 
 
 
 
 
 
FIG. 7 – Variation de LFCR d’une structure poutre unidirectionnelle avec 4 d’endommagements 
Interprétation et conclusion  
Les figures 3, 4, 5, 6 et 7 montrent que les valeurs de LFCR des éléments endommagés sont toujours les plus 
grandes. 
L
F
C
R
 
ddl 
 
ddl 
 
ddl 
 
L
F
C
R
 
L
F
C
R
 
20
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5 
 
0 5 10 15 20 25 30
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
x 10
-3
0 5 10 15 20 25 30
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
D’après les résultats obtenus, nous pouvons conclure que la méthode de variation du rapport des 
changements des fréquences locales LFCR  localise bien les endommagements dans les structures poutres 
unidirectionnelles.   
3.2    Poutre stratifiée  
Considérons une poutre stratifiée constituée de trois couches (figure 8), chacune  d’elles pouvant  être 
discrétisée par l’élément fini SI12. [2] 
 
 
  
 
 
 
FIG. 8 – Elément fini SI20 
Soit une structure poutre stratifiée en matériau composite graphite/époxyde sur appuis simples discrétisée en 
20 éléments finis SI20. Les caractéristiques de cette dernière sont :   Largeur de la poutre b = 0.03m,  
Epaisseur de la première couche h1 = 0.0175m,  Epaisseur de la deuxième couche h2 = 0.01m,  et  Epaisseur 
de la troisième couche h3 = 0.0175m. 
 
 
 
  
FIG. 9 – Poutre stratifiée (trois couches) en graphite–époxy sur appuis simples 
a.   Cas d’un endommagement 
La poutre présentée sur la figure 9 est constituée de trois couches. Pour vérifier l’effet de la position de 
défaut sur la variation de LFCR, nous endommageons l’élément N°13 de 50%. L’histogramme représentatif 
des valeurs du LFCR est donné par la figure 10.  
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 10 – Variation de LFCR d’une structure poutre stratifiée, endommagements sur une couche 
x 
z 
z
(3) 
z
(2) 
z
(1) 
z
(0) 
1(i) 2(j) 3(k) 4(l) 
8(l) 
12(l) 
7(k) 6(j) 5(i) 
9(i) 10(j) 11(k) 
3
ème
 couche 
2
ème
 couche 
1
ere
 couche 
z 
x h 
b 
1
ere
 couche 
2
ième
couche 3
ième
couche 
1er couche endommagée 2ème couche endommagée 3ème couche endommagée 
ddl 
 
L
F
C
R
 
20
ème
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6 
 
0 5 10 15 20 25 30
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 5 10 15 20 25 30
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
 
 
 
 
 
 
FIG. 11 – Variation de LFCR d’une structure poutre stratifiée, plusieurs couches endommagées 
Les résultats présentés dans les figures 10 et 11, montrent que la valeur de LFCR de l’élément endommagé 
est la plus grande. Nous constatons qu’il y a des éléments à valeurs de LFCR assez élevées, cela est dû aux 
perturbations induites par l’élément endommagé sur les éléments voisins. 
b.   Cas de deux endommagements  
Nous endommageons de 50 % l’élément N° 5 et de 25 % l’élément N°23. L’histogramme représentatif des 
valeurs du LFCR est donné dans les figures 12  
 
 
 
 
 
FIG. 12 – Variation de LFCR d’une structure poutre stratifiée, deux endommagements 
Les deux cas de simulation présentés dans la figure 12, montrent que la localisation des défauts est 
difficilement réalisable, car les valeurs de LFCR des éléments sont aléatoires.  
4. Conclusion 
La localisation d’un ou plusieurs défauts, dans les structures poutres en matériaux composites 
unidirectionnelles, par la méthode de variation du rapport des changements des fréquences locales LFCR, est 
réussie. Les résultats obtenus monteront que la localisation de défaut dans le cas des structures poutres 
stratifiées est réalisable dans le cas d’un seul endommagement, et elle devient ambiguë et difficile dans le cas 
de plusieurs endommagements.  
References  
[1]: «Two stages damage detection in structure based modal data», Z.Y. Shi - S.S.Law – L.M.Zang 
[2]: « Analysis of laminated structures course of lecture », Rolands Rikards Riga T. University 1999. 
[3]: « Mécanique  des vibrations  linéaires », 2
eme
 édition.  M. LALANNE, P.BERTHIER, J. DER 
HAGOPIAN. Edition MASSON  
[4] : «The Location of Defects in Structures From Measurements of Natural Frequencies», Cawley P., 
Adams R.D., 1979,Journal of Strain Analysis, Vol.14, No.2, 49-57.  
[5] : «Non Destructive Damage Evaluation in Complex Structures from a Minimum of   Modal Parameters», 
Topole K.G., Stubbs, 1995, Journal of Analytical and Experimental Modal Analysis, 10(2), 95-103.  
1
er
 , 2
ème 
couches endommagées 2
ème
, 3
ème 
couches endommagées Trois couches endommagées 
L
F
C
R
 
1
er
 , 2
ème 
couches endommagées Trois couches endommagées 
ddl 
 
L
F
C
R
 
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4


Localisation de défauts dans les structures poutres stratifiées basée sur des données modales

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46332/1/cfm2011_995.pdf

Localisation de défauts dans les structures poutres stratifiées basée sur des données modales

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