Nous nous intéressons au comportement transitoire d'une suspension concentrée de particules non-browniennes lors d'une inversion de cisaillement. Nous étudions la réponse visqueuse de la suspension grâce à des mesures couplées de PIV et de rhéométrie. Lorsque le cisaillement est inversé, la viscosité chute abruptement, passe par un minimum pour croître à nouveau vers une valeur plateau. Nous montrons en particulier que la viscosité au minimum et sur le plateau n'obéissent pas à la même loi de variation avec la fraction volumique

BLANC, Frédéric

LEMAIRE, Elisabeth

PETERS, François

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  
1 
Mesures locales de la viscosité dans les suspensions non-browniennes 
concentrées 
F. BLANC, F. PETERS, E. LEMAIRE 
Laboratoire de Physique de la Matière Condensée (LPMC, UMR 6622), Parc Valrose, 06108 NICE cedex 2 
 
Résumé :  
Nous présentons des expériences de rhéométrie en géométrie de Couette cylindrique large gap couplées à 
des mesures de PIV qui nous permettent de déterminer la viscosité locale de suspensions dont les 
concentrations en particules peuvent aller jusqu'à 50%. Les suspensions que nous étudions sont non-
browniennes, isodenses et les écoulements sont à bas nombre de Reynolds. Nous nous intéressons 
particulièrement au comportement visqueux transitoire d'une suspension lors d'une inversion du cisaillement. 
Abstract : 
We present an experimental facility that allows simultaneous viscosimetric and Particle Image Velocimetry 
measurements on concentrated suspensions in a wide-gap Couette rheometer. The particle suspension 
concentrations can be as high as 50%. The suspensions are non-Brownian, density- matched and the flow is 
associated with a low Reynolds number. We are particularly interested in the transient behaviour during 
shear reversal. 
Mots clefs : PIV, suspensions concentrées, viscosité, microstructure, écoulement transitoire   
1 Introduction  
La rhéologie de  suspensions concentrées pose encore de nombreuses questions. Même dans les cas les plus 
simples, quand les particules sont sphériques, monodisperses, qu'elles n'interagissent pas au travers de forces 
colloïdales, la littérature fait apparaître une dispersion assez importante dans les résultats, qu'il s'agisse des 
lois de comportement (relation contrainte /taux de cisaillement), de l'apparition de contraintes normales ou de 
la variation de la viscosité avec la fraction volumique de particules. La modélisation de la rhéologie des 
suspensions concentrées est compliquée par un important couplage entre la microstructure et l'écoulement et 
les expériences sont délicates à interpréter en raison de nombreux artefacts comme la migration de particules 
induite par l'écoulement ou le glissement de la suspension aux parois. Durant ces dix dernières années, on a 
vu se développer des expériences très fructueuses de rhéologie locale qui ont permis de résoudre plusieurs 
problèmes et d'avancer sensiblement dans la caractérisation du comportement visqueux des suspensions 
concentrées. Citons en particulier les résultats d'Ovarlez et al. [1], obtenus en Imagerie par Résonnance 
Magnétique et qui montrent que le comportement pseudo-plastique parfois reporté provient d'une migration 
rapide des particules. D'autres expériences réalisées en Vélocimétrie Laser Doppler (LDV) [2] ont mis en 
évidence le glissement à la paroi. Nous proposons ici de mesurer la viscosité locale d'une suspension en 
utilisant la vélocimétrie par image de particules (PIV).   
2 Mesure locale de la viscosité par PIV. 
2.1 Principe 
Une suspension de particules dont l'indice optique est le même que celui du fluide suspendant est placée dans 
un rhéomètre (Mars II, Haake, Thermofisher) de Couette cylindrique. Une faible part des particules (0.25%) 
est marquée par un fluorochrome (Nile blue A). La cellule de Couette transparente est éclairée par une nappe 
laser (Lasiris TEC Laser, Stockeryale, 635 nm, 35mW) perpendiculaire à l'axe de révolution des cylindres. 
Une caméra (PLB 741 U, Pixelink, 1280x1024 pix2) située sous le cylindre externe enregistre l'image des 
particules marquées qui fluorescent dans le plan laser (figure 1). Le déplacement des marqueurs est 
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2 
déterminé par corrélation d'images successives. De là, on déduit le champ de vitesse, v(r,t) dans la 
suspension et l'on calcule le taux de cisaillement local: 
 
v(r, t)
r
r r
∂  γ =  ∂  
ɺ  (1) 
 
Le champ de contrainte auquel est soumise la suspension est donné par  le couple, Γ, exercé par un cylindre 
interne de longueur L: 
 2
(t)(r, t)
2 Lr
Γ
σ =
pi
 (2) 
  
 
Inner cylinder   
outer cylinder   
 
FIG.1- Image d'une suspension contenant 45% de particules 
Cette expression n'est valide que pour un cylindre infiniment long, ce qui est loin d'être le cas dans notre 
expérience où les rayons des cylindres internes et externes sont respectivement 14 et 24 mm et leur longueur 
5 cm. En faisant varier la hauteur de liquide entre les cylindres, nous avons mesuré le couple induit par la 
présence du fond des cylindres et l'avons soustrait à la valeur du couple appliqué par le rhéomètre pour 
obtenir le couple, Γ, utile au cisaillement entre les deux cylindres [3]. 
Connaissant σ et γɺ , nous déduisons la viscosité locale, η: 
   
( , )( , ) ( , )
ση =
γɺ
r t
r t
r t
 (3) 
2.2 Caractéristiques de la suspension 
La difficulté majeure de PIV utilisée dans les suspensions concentrées est l'ajustement de l'indice de 
réfraction des particules et du fluide suspendant. Nous utilisons des particules de PMMA (CA 30, 
microbeads) et une huile newtonienne de viscosité 1.02 Pa.s fabriquée sur mesure par Cargille S.A. pour 
adapter simultanément l'indice et la densité des particules  Un ajustement fin de l'indice est ensuite réalisé en 
contrôlant la température de la suspension. Une mesure de la transmittance en fonction de la température 
montre que la meilleure adaptation d'indice est réalisée pour T= 34°C. L'ensemble de l'expérience est alors 
placé dans une enceinte thermostatée à 34°C [3]. Dans ces conditions, les suspensions sont assez 
transparentes même lorsqu'elles sont très concentrées en particules (jusqu'à 50% en volume) pour que le 
profil de vitesse puisse être mesuré 14 mm au dessus du fond du cylindre externe, altitude à laquelle nous 
avons pu montrer que l'influence du fond sur le profil de vitesse était négligeable.   
Les suspensions que nous étudions sont non-browniennes. En effet, les particules sont monodisperses de 
diamètre 30µm, ce qui, compte tenu des valeurs typiques des taux de cisaillement enregistrées dans nos 
expériences, conduit à des nombres de Peclet très supérieurs à 1 : 
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3 
 
 
 
2 2 
 1 
2000 révolutions 2000 rév l ti s 
10 révolutions 
2 révolutions 
2 révolutions 
10 révolutions 
2000 révolutions 
 
3
5 706 aPe 10 10
kT
piη γ
= −
ɺ
∼  (4) 
Et à des nombres de Reynolds très inférieurs à 1: 
 
( )22 1 4 2
p
0
R R
Re 10 10− −
ργ −
= −
η
ɺ
∼  (5) 
3 Évolution temporelle de la viscosité – migration de particules 
La figure 2 représente l'évolution du profil de vitesse dans le gap entre les deux cylindres au cours du temps 
FIG.2 –Évolution temporelle du profil de vitesse (a) et du profil de viscosité (b) mesurés à 14 mm au-dessus 
du fond des cylindres dans une suspension contenant 44.4% de particules. Le cylindre interne tourne à une 
vitesse de 1 tr/min. 
De ces profils, nous pourrions déduire des profils de concentration en particules au cours du temps puisque la 
viscosité stationnaire d'une suspension n'est supposée dépendre que de la fraction volumique de particules. 
Cependant l'étude de la migration induite par un écoulement n'est pas l'objet de l'étude présente. Observons 
plutôt que pour une certaine valeur du rayon (ici r/R2=0.77), la viscosité ne varie pas ou peu au cours du 
temps. On peut donc supposer qu'il en est de même pour la fraction volumique. L'existence de ce point où la 
fraction volumique reste inchangée lors de la migration a déjà été observée expérimentalement [4] est prédite 
par les modèles de migration [4, 5]. Nous allons dans la suite de l'étude présentée ici, nous placer à cette 
valeur particulière du rayon pour mesurer l'évolution de la viscosité de la suspension quand le sens de 
rotation du cylindre interne est inversé.    
4 Évolution de la viscosité lors d'une inversion de cisaillement. 
Il est connu depuis les travaux de Gadala-Maria et Acrivos en 1980 [6] que lorsqu'on inverse le sens du 
cisaillement auquel est soumise une suspension, la viscosité chute brutalement, passe par un minimum, ηmin, 
et augmente à nouveau pour retrouver la valeur qu'elle avait avant l'inversion du sens de l'écoulement, ηplateau. 
Gadala-Maria et Acrivos ont en outre montré que la réponse transitoire de la suspension était contrôlée par la 
déformation, γ: 
 
t
0
(r, t) (r, t ')dt 'γ = γ∫ ɺ  (6)  
Nous avons revisité ces résultats en effectuant des mesures locales. Pour s'afranchir des effets de la migration 
et contrôler la fraction volumique, les mesures sont réalisées en r=0.77 R2. De plus, la réponse transitoire 
étudiée s'étend sur des déformations de l'ordre d'une fraction de révolution donc bien plus petites que les 
déformations caractéristiques sur lesquelles a lieu la migration Ces deux précautions nous assure un bon 
contrôle de la fraction volumique locale.A t=0, le couple appliqué au rotor change de signe et la viscosité de 
la suspension (eq.3) ainsi que la déformation (eq.6) sont enregistrées. La figure 3 montre la réponse 
a) b) 
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4 
transitoire de suspensions de différentes fractions volumiques. 
0.5 1 1.5 2 2.5
101
102
γ
ηη ηη // //
ηη ηη 00 00
 
 
φ =0.30
φ =0.40
φ =0.444
φ =0.47
φ =0.50
 
FIG.3 – Réponse transitoire de suspensions de différentes fractions volumiques 
On peut noter que plus la fraction volumique solide est élevée et plus le minimum est marqué. La variation 
rapide de la viscosité a été interprétée par Gadala-Maria et Acrivos  par le changement de microstructure qui 
survient quand le sens de l'écoulement est inversé. En effet, il a été montré numériquement [7] et 
expérimentalement [8] que la fonction de distribution de paires dans une suspension concentrée cisaillée était 
anisotrope: le quadrant de dilatation est appauvri en particules tandis que le quadrant de compression compte 
un excès de particules. Ainsi, lors de l'inversion de cisaillement, l'axe de compression "enrichi" en particules 
et l'axe de dilatation "'appauvri" en particules s'intervertissent ; la suspension passe par un état plus ou moins 
isotrope qui correspond à une viscosité plus faible. En 2002, Narumi et al. invoquent la relaxation des forces 
de contact entre particules lorsque la microstructure s'inverse pour expliquer la chute brutale de la viscosité. 
On pourrait également penser que la dissipation visqueuse est plus faible dans une suspension isotrope où en 
moyenne les particules sont espacées régulièrement les unes des autres que dans une suspension structurée 
où les forces de lubrification présentes entre les particules proches les unes des autres sont responsables 
d'une augmentation de la dissipation moyenne. Il est vraisemblable qu'à la fois l'isotropie de la suspension et 
la relaxation des forces de contact jouent un rôle dans la réponse transitoire. Nous allons voir dans la suite 
que nos mesures nous encouragent à penser que la chute de viscosité est surtout imputable à la relaxation des 
forces de contact entre particules. 
0.3 0.4 0.50
0.2
0.4
0.6
Φ
 
 
η0/ηmin
(η0/ηplateau)
0.5
 
(η0/ηplateau)
0.5
= - 2.117Φ + 1.124
 
η0/ηmin = - 1.243Φ + 0.667
 
FIG.4 – Scaling de la viscosité minimum et de la viscosité de plateau avec la fraction volumique solide. 
ηplateau 
ηmin 
φ 
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5 
Sur la figure 4, on voit que les lois de variation de la viscosité au minimum, ηmin, et sur le plateau, ηplateau, 
avec la fraction volumique ne sont pas les mêmes. ηmin et ηplateau divergent pour une même fraction 
volumique, voisine de  0.535 mais la divergence de la viscosité minimum est en puissance (-1) tandis que la 
viscosité de plateau diverge, comme on a l'habitude de le voir, en puissance (–2). Il faut remarquer que la 
fraction volumique à laquelle divergent les viscosités au minimum et au plateau sont beaucoup plus faibles 
que celles que l'on a l'habitude  de rencontrer dans la littérature. Nous avons attribué la faible valeur de cette 
fraction volumique de packing à l'existence de force polymériques entre particules. Il semble en effet qu'au 
moment de la synthèse des particules, une couche de cellulose soit adsorbée à leur surface. Les interactions 
stériques entre les couches de cellulose sont responsables d'une légère élasticité de la suspension et d'une 
diminution de la fraction volumique de packing par rapport à une suspension de sphères dures.     
Les divergences en puissance (-1) de la viscosité au minimum et en puissance (-2) de la viscosité de plateau 
sont en accord étroit avec des prédictions faites par Mills et Snabre, en 2009  [9], qui prévoient une 
divergence de la viscosité d'une suspension en puissance (-1) lorsque les particules interagissent uniquement 
à travers des forces hydrodynamiques tandis qu'ils obtiennent une divergence quadratique quand des forces 
de contact sont présentes.  Par ailleurs, les mesures de ηmin sont en bon accord avec des simulations en 
dynamique stokésienne [7, 10] concernant des suspensions où les particules ont été placées aléatoirement et 
qui ne sont donc pas structurées par l'écoulement. 
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
φ
 
 
(ηplateau-ηmin)/ηplateau
   linear
 
FIG. 5 – Différence des viscosités au minimum et au plateau, normalisées par la viscosité de plateau en 
fonction de la fraction volumique de particules. 
La figure 5 représente le rapport de la différence des viscosités au plateau et au minimum, sur la viscosité au 
plateau en fonction de la fraction volumique. Une évolution quasi linéaire est clairement observable dont 
l'extrapolation en zéro fait apparaître une valeur critique de φ: φc≈0.25.Une telle dépendance n'est pas sans 
rappeler les résultats obtenus par Boyer et al. sur les différences de contraintes normales [11]. Boyer et al. 
mesurent les contraintes normales dans une suspension par effet Weissenberg inverse. Ils montrent que les 
différences de contraintes normales sont nulles (dans la limite de la résolution de leur expérience) jusqu'à une 
fraction volumique critique de l'ordre de 22% au-delà de laquelle les différences de contraintes normales 
normalisées par la viscosité de la suspension croissent linéairement. Ces similitudes de comportement des 
différences de contraintes normales et des différences de variation de viscosités lors d'une inversion de 
cisaillement suggèrent que la rhéologie des suspensions concentrées est essentiellement gouvernée par  la 
microstructure.  
 
5 Conclusion 
Nous avons mis au point une expérience de rhéologie locale par PIV qui nous permet de mesurer la viscosité 
de suspensions à des concentrations élevées (50% de particules). Nous nous sommes intéressés au 
comportement visqueux transitoire de suspensions lors d'une inversion de cisaillement. Nos mesures locales 
confirment des résultats plus anciens obtenus par des études de rhéologie macroscopique: au moment de 
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6 
l'inversion du cisaillement, la viscosité chute brutalement passe par un minimum pour croître à nouveau vers 
la valeur qu'elle avait avant l'inversion. Nous avons montré que la viscosité au minimum et au plateau 
divergeait pour approximativement la même valeur de la fraction volumique de particules, 1
*
β
 φ
− φ 
∼ avec 
φ*≈0.535 mais avec un exposant β différent (β=-1 pour le minimum et β=-2 pour le plateau.) 
References  
[1]  Ovarlez, G., F. Bertrand, and S. Rodts, "Local determination of the constitutive law of a dense 
suspension of noncolloidal particles through magnetic resonance imaging," J. Rheol. 50, 259-292 2006. 
[2] Jana, S. C, B. Kapoor, and A. Acrivos, "Apparent wall slip velocity coefficients in concentrated 
suspensions of non colloidal particles,"  J. Rheol. 39, 1123-1132, 1995. 
[3] Blanc, F., F. Peters, and E. Lemaire, "Particle Image Velocimetry in concentrated suspensions: 
application to local rheometry," Appl. Rheol. 21, 23735. 2011 
[4] Phillips, R. J., R. C. Armstrong, R. A. Brown, A. L. Graham, and J. R. Abbott, “A constitutive equation 
for concentrated suspensions that accounts for shear-induced particle migration,” Phys. Fluids A 4, 30–
40, 1992. 
[5] Morris, J. F., and F. Boulay, "Curvilinear flows of noncolloïdal suspensions: The role of normal 
stresses", J. Rheol. 43, 1213-1237, 1999. 
[6] Gadala-Maria, F., and A. Acrivos, "Shear-induced structure in a concentrated suspension of solid 
spheres," J. Rheol. 24, 799-814, 1980. 
[7] Sierou A., and Brady J.F., "Rheology and microstructure in concentrated noncolloidal suspensions," J. 
Rheol. 46, 1031-1056, 2002. 
[8] Parsi, F., and F. Gadala-Maria, “Fore-and-aft asymmetry in a concentrated suspension of solid spheres,” 
J. Rheo. 31, 725-732, 1987. 
[9}] Mills, P., and P. Snabre, “Apparent viscosity and particle pressure of a concentrated suspension of non-
Brownian hard spheres near the jamming transition,” Eur. Phys. J. E: Soft Matter and Biological Physics, 
30 (3), 309-316, 2009. 
[10] Sierou, A., and J. F. Brady, "Accelerated Stokesian dynamics simulations," J. Fluid Mech. 448, 115-146, 
2001. 
[11]Boyer F., O. Pouliquen and E. Guazzelli, " Dense suspensions in rotating-rod flows: normal stresses and 
particle migration," à paraître dans J. Fluid Mech.  
 
 


Mesures locales de la viscosité dans les suspensions non-browniennes concentrées

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46886/1/cfm2011_1085.pdf

Mesures locales de la viscosité dans les suspensions non-browniennes concentrées

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