Les véhicules terrestres usuels peuvent maintenir une inclinaison adéquate par rappoert à l'horizontale lorsqu'ils sont au sol, mais ne peuvent se réorienter que de manière limitée en phase balistique. Par contre, il est crucial de pouvoir restaurer l'assiette durant les phases balistiques des robots se déplaçant à haute vitesse en terrain accidenté. Nous proposons un modèle analytique et un modèle numérique de véhicule, adaptés à la simulation de différentes techniques d'auto-retournement en roulis, et comparons deux solutions pratiques

DAVIS, Marc

FAUROUX, Jean-Christophe

GOUINAUD, Christophe

VASLIN, Philippe

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
Modélisation du comportement en roulis d'un véhicule 
capable d'auto-retournement en phase balistique 
M. DAVISa,b, C. GOUINAUDa, J.-C. FAUROUXb, P. VASLINa
a. Clermont Université, Université Blaise Pascal (UBP), LIMOS, B.P. 10448, 63000 Clermont-Ferrand
b. Clermont Université, Institut Français de Mécanique Avancée (IFMA), LaMI, B.P. 10448, 63000 
Clermont-Ferrand
Résumé :
Les  véhicules  terrestres  usuels  peuvent  maintenir  une  inclinaison  adéquate  par  rapport  à  l'horizontale  
lorsqu'ils sont au sol, mais ne peuvent se réorienter que de manière limitée en phase balistique. Par contre,  
il est crucial de pouvoir restaurer l'assiette durant les phases balistiques des robots se déplaçant à haute  
vitesse en terrain accidenté. Nous proposons un modèle analytique et un modèle numérique de véhicule,  
adaptés  à  la  simulation  de  différentes  techniques  d'auto-retournement  en  roulis,  et  comparons  deux  
solutions pratiques.
Abstract :
Common terrestrial  vehicles  can maintain an adequate orientation relative to  the horizon while on the  
ground, but may have difficulties to do so during a ballistic phase. However, it may be crucial to be able to  
restore attitude during ballistic phases for robots moving at high velocities on uncertain terrain. We present  
an analytical model and a numerical vehicle model adapted to the simulation of various rolling motion self-
righting techniques, and compare two practical solutions.
Mots  clefs : robots  mobiles,  déplacement  rapide  en  terrain  accidenté,  phase  balistique,  auto-
retournement, correction d'orientation en roulis
1 Introduction
Les robots mobiles se déplaçant à haute vitesse en terrain accidenté peuvent maintenir leur manœuvrabilité 
au sol et une assiette adéquate à l'aide de suspensions adaptées [1], mais nécessitent en cas d'entrée en phase 
balistique un moyen d'assurer une orientation propice à un atterrissage dans de bonnes conditions; un moyen 
de réorienter le véhicule en phase de vol est donc nécessaire. Les pilotes de moto-cross peuvent se servir du 
moment cinétique de leurs roues pour modifier leur assiette en tangage : en accélérant la roue arrière ou  
freinant une ou deux roues, ils peuvent faire cabrer ou plonger leur véhicule. Des études expérimentales ont  
été effectuées [2] afin de modéliser ce phénomène [3] en vue de l'appliquer à des robots mobiles. Ce mode de 
correction pouvant être exploité en tangage, il convient d'étudier les possibilités d'effectuer une correction en 
roulis par un autre moyen. La correction en lacet est écartée de cette étude car son importance relativement à 
celle en roulis est considérée dans un premier temps comme étant moins prioritaire.
2 Un modèle simple pour le retournement en roulis
Le véhicule étudié est une maquette à échelle réduite d'un véhicule à quatre roues. Le modèle présenté ne 
s'intéresse  qu'au  roulis,  considérant  que  la  correction  en  tangage  peut  être  effectuée  par  le  biais  de  la  
modification du moment cinétique des roues. Il s'agit donc d'un modèle en deux dimensions, dans le plan 
perpendiculaire à l'axe de roulis. De plus, les suspensions du véhicule sont considérées comme fixes et les  
effets aérodynamiques sont négligés. Les roues sont considérées comme immobiles dans un premier temps, 
négligeant  ainsi  les  effets  gyroscopiques  qu'elles  pourraient  avoir  lors  des  différentes  manœuvres.  En 
somme, comme les conditions de décollage sont aléatoires et que le temps de chute est inconnu, le véhicule  
est considéré comme isolé, ne subissant aucun effort extérieur, et devant se retourner d'un certain angle en un 
temps donné.
1
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2.1 Définition du problème
Le système étudié   (figure 1) se compose du véhicule V et du système d'auto-retournement (SAR), noté S :Σ  
 = {V  Σ ∪ S}.  Le référentiel terrestre R0  =( x0 ,y 0 ,z0 ) est considéré comme galiléen pour la durée de la 
phase balistique, et le référentiel R
 Σ=(x Σ ,y Σ ,zΣ ) lié au système, forme avec R0 un angle θ. Le vecteur xΣ  
est parallèle à l'axe de roulis du véhicule, yΣ  est parallèle à l'axe de tangage, et z Σ  est le produit vectoriel 
des deux vecteurs précédents. Les centres de gravité du véhicule GV et  du SAR GS évoluent en rotation 
autour de ΔΣ , l'axe parallèle à xΣ  et passant par le centre de gravité GΣ du système. 
FIG. 1 – Disposition du véhicule et du SAR composant le système complet.
Le théorème du moment cinétique [4] indique que la dérivée temporelle du moment cinétique du système 
complet par rapport à l'axe de roulis (noté σ Σ / ΔΣ ) est égale à la somme des moments extérieurs appliquée sur 
celui-ci. Or le système étant isolé pendant la phase balistique, cette somme est nulle, etσ Σ / ΔΣ doit rester 
constant  durant  l'expérience.  En  supposant  que  le  système  n'est  pas  en  rotation  au  début  de  la  phase 
balistique, on a donc, en notant σ S /ΔΣ  le moment cinétique du SAR et σV / ΔΣ  celui du véhicule, la relation
σ Σ / ΔΣ=σ S/ ΔΣσ V / ΔΣ=0  (1)
L'objectif est de faire évoluer l'angle θ jusqu'à une valeur finale choisie θF dans un intervalle de temps Δt, 
tout  en  maintenant  nul  le  moment  cinétique  global  du  système.  Il  importe  donc  de  décomposer 
rigoureusement toutes les composantes du moment cinétique du système afin d'identifier les impacts qu'elles 
auront les unes sur les autres.
2.2 Caractéristiques du véhicule
Le véhicule V se compose d'un châssis C et de quatre roues R i (figure 2) : V = {C ∪ R1 ∪ R2 ∪ R3 ∪ R4}. Le 
châssis a pour masse mC, et est représenté par un parallélépipède rectangle de largeur lC, hauteur hC et centre 
de masse GC. Le SAR a pour masse mS, et est également représenté par un parallélépipède rectangle, de 
largeur  lS,  hauteur  hS et  centre  de  masse  GS.  La  masse  du  châssis  et  celle  du  SAR  sont  supposées 
uniformément  réparties  dans  leurs  volumes  respectifs.  Les  roues  sont  représentés  par  des  cylindres 
homogènes identiques, et ont un rayon rR, une masse mR, une largeur lR et un centre de masse situé aux points 
GRi. Le véhicule a pour voie la distance V. 
FIG. 2 – Points importants du véhicule dans le plan perpendiculaire à l'axe de roulis.
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2.3 Échange de moments cinétiques internes
D'après le premier théorème de Koenig  [5], le moment cinétique de la partie véhicule du système est la 
somme du moment cinétique du centre de masse (dans son mouvement de rotation autour de GΣ) affecté de la 
masse du véhicule,  et  de son moment cinétique par rapport  à son centre d'inertie ( σV∗ ),  évalué dans le 
référentiel barycentrique. En notant  ΔV l'axe parallèle à l'axe de roulis et passant par le centre de masse de V 
et en développant, on obtient
     
σV / ΔΣ = GΣGV∧mVV V
σ V
∗
= ∥GΣGV∥mV∥G ΣGV∥θ˙ xσ V
∗
= mV∥GΣGV∥
2 θ˙ xJV / ΔV θ˙ x
= mV∥GΣGV∥2J V / ΔV θ˙ x
 (2)
On reconnaît la formulation du théorème d'Huygens, exprimant la valeur du moment d'inertie du véhicule
J V /ΔΣ par rapport à l'axe de roulis, en fonction de l'éloignement de cet axe relativement au centre de masse  
du véhicule et du moment d'inertie du véhicule J V /ΔV par rapport à un axe parallèle à l'axe de roulis et passant 
par son centre d'inertie. L'expression (2) devient alors:
           
σV / ΔΣ=J V / ΔΣ θ˙ x  (3)
De même, en notant  ΔS l'axe parallèle à l'axe de roulis  et passant par le centre de masse de S,  on peut 
exprimer le moment cinétique du SAR par rapport à l'axe de roulis :
     
σ S / ΔΣ = GΣG S∧mSV S
σ S
∗
= ∥GΣG S∥mS∥GΣG S∥θ˙ xσ S
∗
= mS∥GΣG S∥
2 θ˙xJ S / ΔS θ˙ x
σ S
∗∗
= mS∥G ΣG S∥2J S / ΔS  θ˙xσ S∗∗
= J S / ΔΣ θ˙ x
σ S
∗∗
 (4)
Le termeσ S
∗∗
est  une composante du moment cinétique barycentrique du SAR, et  représente le moment 
cinétique partiel généré par l'actionneur assurant le transfert de moment cinétique. En combinant (1), (2), (3) 
et (4) on obtient :
σ Σ / ΔG = σ V / ΔΣσ S / ΔΣ =0
=  JV / ΔΣJ S / ΔΣ θ˙ xσ S∗∗
= J Σ / ΔΣ θ˙ x
σ S
∗∗
  (5)
Ce  développement  met  en  évidence  que  c'est  bien  l'une  des  deux  composantes  du  moment  cinétique 
barycentrique du SAR qui va assurer le retournement du véhicule complet  : c'est son moment cinétiqueΣ  
partiel  qui  compensera  le  moment  cinétique  partiel  généré  par  l'actionneur,  et  qui  se  traduira  par  un  
retournement apparent du véhicule. 
2.4 Formulation de l'objectif
Les conditions de passage en phase balistique ne pouvant être déterminées à l'avance pour tous les terrains 
possibles, les actionneurs à retenir devront pouvoir faire face aux scénarios les plus pessimistes. Comme 
évoqué  plus  haut,  l'objectif  est  de  faire  évoluer  l'angle  θ jusqu'à  une  valeur  finale  choisie  θF dans  un 
intervalle de temps Δt. En dérivant la dernière relation de (5) par rapport au temps, on a
            
J Σ /Δ Σ θ¨ x
d
dt
σ S
∗∗=0
 (6)
Or  puisqu'on  prend  l'angle  initial  et  la  vitesse  angulaire  initiale  comme  nuls  et  qu'on  recherche  une  
accélération constante, on a
    
θ¨=
θ˙ F−θ˙0
Δt
=
θ˙ F
Δt
=
θ F−θ0
Δt 2
=
θ F
Δt 2
  (7)
Il en résulte que pour obtenir le retournement requis dans le temps imparti, l'actionneur du SAR doit voir son  
moment cinétique évoluer selon
d
dt
σ S
∗∗=−J Σ / ΔΣ
θ F
Δt 2
x
   (8)
3
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3 Application numérique et ordres de grandeur
Les relations déterminant les conditions nécessaires à obtenir le retournement désiré du véhicule ayant été  
formellement établies, elles seront appliquées à un modèle simplifié de véhicule. Celui-ci a été dessiné sous  
le logiciel CATIA afin de vérifier simplement le calcul de son moment d'inertie J V /ΔΣ .
FIG. 3 – Modèle numérique simpliste d'une maquette de véhicule
On voit  sur  ce  modèle  (figure 3) une schématisation du véhicule  sélectionné pour les  expérimentations 
prévues dans ce projet. Sa masse est de mV = 5,16 kg, et le SAR dont il est surmonté est de masse mS = 0,5 
kg.  Le  moment  d'inertie  calculé  par  rapport  à  l'axe  de  roulis  est J V /Δ Σ=5,95∗10
−2 kg  m2.  Il  est  choisi 
arbitrairement de vouloir faire effectuer au véhicule un tour complet sur lui-même en une seconde, et qu'à  
l'issue du retournement la vitesse angulaire de roulis soit de nouveau nulle. Cela équivaut, en employant une 
loi de commande de type « tout ou rien», à accélérer le véhicule pendant un temps  Δt = 0,5 s jusqu'à la 
position angulaire de π, puis dans un second intervalle de temps Δt décélérer le véhicule jusqu'à la position 2 
π.
En appliquant le théorème du moment cinétique à (8), on obtient le couple moteur que le SAR doit appliquer  
au véhicule pour le retourner dans le temps imparti :
∥C M∥=J Σ / ΔΣ
θF
Δt 2
=0,748N m
   (9)
3.1 Retournement en utilisant une roue de réaction ou un gyroscope
Dans un premier temps une roue de réaction en acier, de rayon R=3cm, et de masse m=0,5kg est considérée  
comme étant l'actionneur du SAR. Son moment d'inertie vaut donc 2,23*10-4 kg m2. En appliquant à cette 
roue de réaction initialement au repos le couple CM pendant le temps Δt, la vitesse angulaire finale de la roue 
de réaction sera de 1674 rad/s, soit près de 16000 tours par minute. Cette option, qui a l'avantage d'être 
simple dans le principe, nécessite de  considérations particulières pour pouvoir amener la roue de réaction à  
ces vitesses.
Un  gyroscope  peut  aussi  être  choisi  comme  actionneur  du  SAR,  avec  un  rotor  ayant  les  mêmes 
caractéristiques  que  la  roue  de  réaction  évoquée  plus  haut.  En  orientant  l'axe  de  rotation  du  rotor 
parallèlement à l'axe de tangage du véhicule, et en forçant une précession gyroscopique selon l'axe de lacet,  
un couple gyroscopique orienté selon l'axe du roulis peut être obtenu. En maintenant le rotor à une vitesse de 
rotation de 7200 tours par minute (soit 754 rad/s), celui-ci aurait un moment cinétique de 0,168 kg m2/s. 
Comme le couple gyroscopique CG  est le produit vectoriel du vecteur moment cinétique σ R  du rotor et du 
vecteur vitesse angulaire de  précession  Ω  [6], la vitesse angulaire de précession à imposer au gyroscope 
pour obtenir le couple gyroscopique escompté est : CG=σ R∧Ω soit 4,44 rad/s, ou 1,6 tours par minute. 
Cette valeur étant relativement faible, il peut aisément être imaginé de réduire le moment cinétique du rotor  
(et donc sa masse, sa vitesse ou les deux), en actionnant la précession avec des vitesses angulaires plus  
élevées.
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3.2 Concernant l'hypothèse de roues immobiles pendant l'expérience
En pratique, le véhicule considéré est plutôt susceptible d'entrer en phase balistique lors de déplacements à  
haute vitesse. De ce fait, ses roues possèderont un moment cinétique qui lors de phases d'auto-retournement 
en roulis pourraient induire un couple gyroscopique de lacet qu'il convient d'évaluer.
La maquette considérée possède quatre roues chacune de diamètre 150mm et de masse 0,3 kg. Lors d'un  
déplacement du véhicule à une vitesse de 10 m/s, la vitesse angulaire des roues est de 133 rad/s, soit 1273 
tours par minute. Le moment cinétique de l'ensemble des quatre roues est donc de 0,45 kg m2/s. La vitesse 
angulaire maximale de roulis selon les hypothèses précédentes étant de 6,29 rad/s, le couple gyroscopique 
maximal généré par ce mouvement de roulis est donc de 2,83 N m.
Le moment d'inertie du véhicule autour de l'axe parallèle à l'axe de lacet et passant par son centre de masse  
étant de 0,121 kg m2,  l'accélération angulaire générée par le couple gyroscopique est de 23,4 rad/s2.  En 
supposant une vitesse angulaire de roulis constante pour une durée d'une seconde, l'accélération angulaire de  
lacet induira un déplacement angulaire de 11,7 radians, soit presque deux tours.
Bien que le scénario proposé de retournement d'un tour complet en une seconde soit assez pénalisant, ll est 
impossible de négliger l'effet de la rotation des roues lors de manœuvres d'auto-retournement en roulis. Par  
ailleurs, cet effet dépend directement de la vitesse angulaire des roues, et cette dernière grandeur constitue  
donc une variable supplémentaire à considérer dans la formulation du problème proposé.
4 Conclusion et perspectives
Une mise  en  équation  formelle  du problème d'auto-retournement  en  roulis  a  été  proposée,  ainsi  qu'une 
identification  rigoureuse  des  variables  intervenant  dans  ce  type  de  manœuvre.  Des  calculs  d'ordre  de  
grandeur  sur  une  maquette  numérique  simplifiée  ont  permis  d'évaluer  la  faisabilité  d'effectuer  les  
mouvements désirés avec des actionneurs techniquement réalistes, et indiquent qu'il est tout à fait possible de 
parvenir à réaliser ces mouvements en quelques fractions de seconde. Par contre il a été mis en évidence que  
le moment cinétique des roues ne peut être négligé car il induit lors des mouvements de roulis un couple  
gyroscopique de lacet loin d'être négligeable.
Il est indispensable de réaliser un modèle tridimensionnel du véhicule afin de prendre en compte le couplage 
entre tous les mouvements de celui-ci. D'autre part, la logique de commande du système d'auto-retournement  
devra actionner ce dernier simultanément selon plusieurs axes, tout en prenant en compte des variables dont  
les valeurs seront différentes à chaque phase balistique.
Références
[1] J.-C. Fauroux, J. Dakhlallah, B.-C. Bouzgarrou" A New Concept of FAST Mobile Rover with Improved 
Stability  on  Rough  Terrain,"  in  Proc.  of  HUDEM'2010,  8th  International  Advanced  Robotics 
Programme (IARP) Workshop on Robotics and Mechanical assistance in Humanitarian De-mining and 
Similar risky interventions, 10-12 May, 2010, National Engineering School of Sousse, Tunisia. Paper 
#26, 16 p.
[2] V. Pouzols “Modélisation des facteurs influençant la trajectoire aérienne du système {pilote + moto} 
lors d'un saut  en moto-cross.  Validation expérimentale du modèle.,” Master  Mécanique 1ère année,  
Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand, 2006, 55p.
[3] P. Vaslin, V. Pouzols, C. Gouinaud, J. Fauroux, S. Deleplanque, and M. Davis, “Contrôle du tangage 
d'un véhicule en phase balistique,” CFM 2011, en cours de soumission.
[4] C. Grossetête and P. Olive, “Mécanique des systèmes et du solide 2 année MP-MP*-PT-PT*; cours et  
exercices corrigés,” 1999.
[5] L. Bocquet, J. Faroux, and J. Renault, “Toute la mécanique; cours et exercices corrigés; MPSI-PCSI,  
MP-PC-PSI,” 2002.
[6] J. Radix, Gyroscopes et gyromètres, Cepadues, 1992.
5


Modélisation du comportement en roulis d'un véhicule capable d'auto-retournement en phase balistique

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46860/1/cfm2011_719.pdf

Modélisation du comportement en roulis d'un véhicule capable d'auto-retournement en phase balistique

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