Prendre en compte la dissymétrie traction/compression dans la modélisation 3D des alliages à mémoire de forme:est ce utile pour rendre compte de leur rupture ou de leur délamination? Pas toujours!des essais de rupture sur éprouvettes entaillées peuvent nous aider à répondre à la question et de déterminer les surfaces de transformation de phase en pointe de fissure et à les comparer aux prédictions analytiques

LAYDI, Rachid

LEXCELLENT, Christian

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique                                                Besançon, 29 août au 2 septembre 2011
1 
 
Effet du choix d’un modèle thermomécanique 3D de 
comportement des alliages à mémoire de forme sur la prédiction 
de la rupture et de la délamination 
C. Lexcellent, R.M. Laydi 
Département DMA, FEMTO-ST (UMR CNRS 6174), Université de Franche-Comté, 
24 rue de l’Epitaphe, 25000 Besançon, France 
Résumé 
Le but du jeu est d’examiner l’effet du choix d’un modèle 3D de comportement des alliages à mémoire de forme 
(AMF) sur la forme géométrique des surfaces de transformation de phase. Ces modèles choisis comme « inspirés 
de la plasticité » sont soit de type Huber-Von Mises soit J2, soit prenant en compte la dissymétrie entre la 
traction et la compression c’est-à-dire J2, J3. Deux cas sont étudiés  
(i) Un chargement classique en mode I sur une éprouvette fissurée. L’effet de la dissymétrie est plus 
perceptible en contrainte plane qu’en déformation plane. 
(ii) Un problème de délamination entre un AMF et un solide élastique isotrope, révèle que prendre en 
compte, dans ce cas, la dissymétrie, a un impact négligeable sur la taille et la forme des surfaces de 
transformation de phase générées sur les AMF. 
Abstract 
The aim of this paper is to examine the impact of the choice of “plasticity theory-inspired” SMA models in the 
prediction of the shape of phase transformation domains. In this field a comparison is made between Huber-Von 
Mises based model J2 and an another integrating the asymmetry between tension and compression (J2,J3). Two 
situations are observed 
(i) A classical mode I loading on a plate with a crack. The effect of the asymmetry intensity is important for 
plane stress conditions, not for plane strain ones. 
(ii) A problem of delamination between a SMA (shape memory alloy) and an elastic solid, reveales that 
taking into account the asymmetry has negligible impact on the size and the shape of the phase 
transformation surface generated in SMAs. 
Mots clefs : Alliages à mémoire de forme ; pseudoelasticité ; mécanique de la rupture ; surface  
                   frontière 
1. Introduction 
L’étude est focalisée sur quelques modèles AMF inspirés de la plasticité (voir par exemple Aurrichio et al[1], 
Zaki et Moumni [2] et particulièrement les investigations de Raniecki et Lexcellent [3]). 
Concernant d’autres approches, une revue a été effectuée sur le comportement thermomécanique des 
monocristaux (Patoor et al [4]) et des polycristaux (Lagoudas et al [5]). Comme en plasticité, un ingrédient 
important est la détermination des surfaces frontières de transformation de phase. 
La dissymétrie entre la traction et la compression a été mise en évidence expérimentalement par Vacher et 
Lexcellent [6] sur des AMF à base de cuivre et Orgeas et Favier [7] sur des Ni-Ti. Le modèle 3D doit être de 
nature J2, J3 (voir par exemple Bouvet et al [8]). 
Mais vient une question : quel est l’impact du choix d’un modèle 3D intégrant ou non la dissymétrie traction-
compression sur la forme des surfaces frontières de transformation de phase pour quelques problèmes de 
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2 
 
mécanique ? (i) sur une plaque fissurée sollicitée en mode I (II ou III) (ii) pour une fissure à l’interface entre un 
matériau AMF et un milieu élastique isotrope. 
2. Détermination de la surface de transformation de phase au voisinage de la pointe 
de la fissure 
Dans ce travail, seulement le mode I est investi (les calculs pour les modes II et III sont structurellement les 
mêmes). Sous l’hypothèse de la petite taille de la zone de transformation ce qui est vérifié expérimentalement 
par les tests de Daly et al [9] sur des feuilles de NiTi, la théorie élastique linéaire de la mécanique de la rupture 
permet de connaître le champ de contrainte aux alentours de la pointe de la fissure. 
 )(q)r(),r( 11M qcqs =  (1) 
où (r,q) constituent les coordonnées polaires du point M avec la pointe de la fissure comme origine. Ainsi  
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ+÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ-÷
ø
ö
ç
è
æ
=>=
b
qqqq
qqqqq
q
p
c
100
0
2
3sin
2
sin1
2
3cos
2
sin
0
2
3cos
2
sin
2
3sin
2
sin1
2
cos
)(,0
2
)(
11
q
r
Kr I  
 
 
(2),(3) 
 
L’équation (3) peut être trouvée dans la littérature concernant le mode I pour la théorie classique linéaire de la 
mécanique de la rupture  
 plane) ndeformatio DP : 2-1 ; plane contrainteCP:1(et nb =
 
(4) 
Ainsi, le tenseur déviateur des contraintes peut être défini par  
 ;1
3
1 sss trS -= )()( 11 qcs qSrS =  
(5),(6) 
)(1 qqS   représente le déviateur de )(1 qq . L’indice s  représente la contrainte totale et l’indice q la composante 
dépendante de  q . 
 
Classiquement, la contrainte équivalente de Huber-Von Mises est identifiée par
 
 2/1S:SS;
2
3;S ssss kks ===
 
(7) 
L’équation de la surface frontière de début de transformation de phase (austenite A → martensite M) s’écrit 
 cs )MT(b)y(f)(F sss s =-==  (8) 
où f > 0, est une fonction régulière (sa dérivée seconde est continue). En fait, f est introduite afin de prendre en 
compte la dissymétrie entre la traction et la compression appelée « effet différentiel de la contrainte » par 
Raniecki and Mroz [10]. 
σc constitute la contrainte critère pourl’initiation de la transformation de phase 
Ms : la température de début de transformation de phase à l’état libre de contrainte 
÷
ø
ö
ç
è
æ ss
dT
d T re températula avec  de pente la:b cc
 
Bouvet et al [8] choisissent f comme fonction de l’invariant de Lode yσ  
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3 
 
 ,
3
))y1(a1(cos
cos)y(f
1
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é --
=
-
s
s  3S
)Sdet(
6y
s
s
s k=
 
 
(9), (10) 
Et, dans ce cas, yσ est independant de la variable r. 
Ainsi, on obtient le rayon frontière r(q) avec q variant de (-p) à (+p) 
 
2
1
2
2
)(
2
1)( qk
sp
q q
I SKr ÷
ø
ö
ç
è
æ=
 
 
(11) 
Si l’on introduit dans la fonction critère (eq.8) un rayon adimensionnel rL(q) défini par 
 ;)y(f)(R
L
)(r)(r 2
AMF
L sq
qq == ;)(3)(
2
1 qq qSR =    
2
c
I
AMF
K
4
1L ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
sp  
 
(14),(15) 
les calculs de R(q) et de yσ peuvent être effectués 
 ( ) ;)cos(1
2
3
2
cos2)(R 22 bqqq +÷
ø
ö
ç
è
æ -÷
ø
ö
ç
è
æ=
2/3
2
2
3
2)cos(1
9
2)cos(1
2)(y
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
--
=
bq
bq
kbqs
 
 
(16) 
Enfin, le rayon adimensionnel rL(q) peut être obtenu à partir de l’équation (14) en utilisant la fonction de 
correction f(yσ) définie dans l’équation (9). 
La figure 1 montre  l’évolution de rL avec q en CP pour plusieurs valeurs du paramètre a (a Î[0,1]). La forme de 
la courbe frontière est fortement dépendante de la valeur de a, c’est-à-dire de l’intensité de la dissymétrie entre la 
traction et la compression. 
Ce n’est pas vraiment le cas en DP (voir figure 2) où la dissymétrie a une influence négligeable sur la forme et la 
taille de la courbe limite. 
  
Fig. 1 : Zone de transformation de phase 
normalisée rL(q) en CP pour plusieurs valeurs de a 
: a Î [0,1]
Fig. 2 : Zone de transformation de phase 
normalisée rL(q) en DP pour plusieurs valeurs de a 
: a Î [0,1]
Sous l’hypothèse que la transformation de phase puisse être totale, on peut prédire la surface frontière en 
remplaçant MS par MF (MF : température de fin d’apparition de la martensite à l’état libre de contrainte) dans σc 
(equation (8). 
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4 
 
3 Un problème de délamination entre un AMF et un solide élastique isotrope 
En référence au travail de Rice et al. [11], nous étudions la théorie de la rupture élasto-fragile pour des fissures 
situées entre deux solides différents : la couche supérieure est un AMF (Matériau 1) et la couche inférieure un 
matériau élastique isotrope (Matériau 2) comme le montre la figure 3. 
 
FIG. 3 – Un interface typique entre un AMF et un milieu élastique isotrope 
De facture classique, les contraintes au voisinage de la pointe de la fissure sont en 1/Ör, ce qui signifie qu’elles 
n’ont pas de limite quant r → 0. En guise de conséquence, une contrainte induite par la transformation de phase 
(ou une réorientation des variantes de martensite) apparaît au voisinage de la pointe de la fissure dès le 
chargement mécanique. Ainsi une perturbation est observée dans cette région. 
 
Le premier travail consiste à prédire les surfaces de début (ou de fin) de transformation de phase autour de la 
pointe de la fissure (voir la figure 3). 
Sous l’hypothèse d’un comportement symétrique entre la traction et la compression pour le comportement 
pseudoélastique des AMF, Freed et al [12] ont construit ces surfaces. Dans notre investigation, la dissymétrie 
entre la traction et la compression est intégrée. 
Le champ de contraintes est donné par Rice et al [1] pour deux matériaux élastiques collés 
 ,),,,ˆ(
r2
K
),,,r( neqyS
p
neqs =    ÷ø
ö
ç
è
æ+===
Lˆ
rˆLog)),0(rrˆ(ˆ eyeqy
 
 
(17) 
ε est appelé le paramètre “d’oscillation” dont la valeur intègre le ratio entre les constantes élastiques (Ei,νi) des 
deux matériaux.  
Ψ est une donnée angulaire. 
 
(DP). planen déformatio laet  (CP) plane contrainte la entren distinctio la faire depermet   n
 Des calculs identiques que dans la partie 2, délivrent le rayon critère r(q) sous la forme simple 
 
2
fM
22
)MT(C
K
2
1L,)(FLr ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
==
p
Sr   
 
 
(18) 
avec
 
{ )""1;""1)/()( finMpourdébutMpourMTMT fsfs =>--== rrr
 
(19) 
linéairenon  systèmeun d' résolution lapar  obtenueest  ˆ de valeur La y
 
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5 
 
 ;
Lˆ
rˆLogˆˆFLrˆ 2 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ+== eyySr   ),,0,ˆ()ˆ(
ˆ neqySyS ==
 
 
(20) 
Données matérielles 
ν1 = ν2 = ν  = 0.3   ;   Mat. 1 : A E1 = EA = 70 GPa, M : E1 = EM = 30 GPa ; Mat. 2 : E2 = 30 GPa 
[12]. alet  Fredpar  données celles que  valeursmêmes (les m4.10L,m5.10 Lˆ,2 -2-3s ===r
 La figure 4 (resp. 5) représente la zone de transformation pour les conditions de contraintes planes (resp. 
déformation planes) avec ψ = 45° (a = 0, symétie  a = 1 dissymétrie maximale). 
 
 
Fig. 4 : Zones de transformation en contraintes 
planes
Fig.5 : Zones de transformation en déformations 
planes
L’observation des différentes courbes montrent que la taille et la forme des surfaces frontières sont sensiblement 
les mêmes pour la symétrie et la dissymétrie maximale. De plus, nous avons effectué beaucoup de simulations 
avec différentes valeurs de EA et EM versus E2 et aussi différents ψ sans changements notables. 
Lexcellentet Laydipar  délivréen publicatio une dans  trouvéeêtrepeut  ˆ Rice de anglel' de existencel' de preuve La y
[13]. 
4 Conclusion
 
Si l’on examine pour le mode I, les surfaces frontières prédites, l’effet de la dissymétrie est évident en CP, moins 
sensible en DP [14]. 
Enfin, pour un problème de délamination entre une couche supérieure en AMF et une couche inférieure 
constituée d’un matériau élastique isotrope, l’impact de la dissymétrie dans la prédiction est négligeable. Une 
sérieuse expertise du tenseur des contraintes délivré par Rice et al [11] peut expliquer cette constatation. 
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6 
 
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Effet du choix d'un modéle thermomécanique 3D de comportement des alliages à mémoire de forme sur la prédiction de la rupture et de la délamination

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46724/1/cfm2011_567.pdf

Effet du choix d'un modéle thermomécanique 3D de comportement des alliages à mémoire de forme sur la prédiction de la rupture et de la délamination

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