Une modélisation fine du comportement cyclique des sols nécessite de prendre en compte l'évolution de l'état interne du matériau lors de la sollicitation. Ce travail a donc pour objectif d'élaborer un modèle de sol pertinent sous sollicitation cyclique, que ce soit en condition drainée ou non drainée. Concrètement, le modèle CJS, modèle élastoplastique à deux mécanismes plastiques, a été modifié pour permettre l'intégration de variables internes ayant un impact sur le comportement mécanique du matériaux telles que la densité, la pression isotrope et l'anisotropie du matériau

BAGAGLI, Yoann

VINCENS, Eric

I-Revues

20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  
1 
Modélisation du comportement des sols : prise en compte de 
l’état interne du matériau 
Y. BAGAGLIa, E. VINCENSa 
a. Université de Lyon, Laboratoire de Tribologie et Dynamiques des Systèmes, Ecole Centrale de Lyon, 36 
avenue Guy de Collongue, 69134 ECULLY CEDEX 
Résumé :  
Le comportement d’un sol est connu pour être fortement dépendant de l’état interne du matériau. Cependant, 
au cours d’une sollicitation monotone ou cyclique, ce dernier peut fortement évoluer. Cette évolution, 
principalement liée à un resserrement du squelette granulaire et à une forte variation de l’anisotropie 
moyenne, devra donc être prise en compte dans une modélisation fine du comportement.  
Le présent travail propose donc d’améliorer un modèle de sol pré-existant en y introduisant le suivi de l’état 
interne du matériau aux travers de l’évolution de ses paramètres. 
Abstract : 
Soils behaviour is well known to be linked to the internal state of the material. But when a monotonic or a 
cyclic loading takes place, this state can dramatically evolve. This evolution, mainly linked to, from one hand, 
the density changes and, from the other hand, the variation of the mean anisotropy, will have to betaken into 
account for a precise modelling. 
This work aspires to improve a soil model by adding a material internal state following through a 
parameters real time evolution.  
Mots clefs : cycles, anisotropie, densité, sol, modélisation 
1 Introduction 
Il est couramment admis dans la littérature [1] que le comportement mécanique d’un sol est lié à des 
propriétés intrinsèques (comme la granulométrie et l’angularité) d’une part et à l’état interne du matériau 
(l’arrangement de son squelette granulaire) d’autre part. Ainsi, si la taille et la forme des grains qui 
composent un sol permettront de déterminer certaines propriétés mécaniques telles que la résistance à 
grandes déformations (ou état critique) du matériau indépendamment de son agencement initial ou de son 
histoire, d’autres propriétés seront quant à elles modulées par l’état interne du matériau. 
0
1
2
3
4
0 5 10 15 20
eps1 (%)
q/p'
sable lâche
sable dense
 
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20
eps1 (%)
epsV (%)
sable lâche
sable dense
 
Figure 1 : comportement type des sols sous sollicitation triaxiale 
 
La figure 1 illustre qualitativement ce propos en présentant l’allure couramment admise de résultats d’essais 
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2 
de compressions triaxiales sur un même sol pour deux densités relatives différentes. Dans le cas d’un sol 
lâche, l’augmentation de la contrainte déviatoire au sein du matériau se fait de manière monotone jusqu’à un 
palier à grandes déformations que l’on qualifie d’état critique. En termes de déformation volumique, cet état 
critique est également visible car, après une phase de contractance, le sol se déforme à volume constant. 
Lorsque la densité du matériau augmente, on observe une augmentation de la raideur initiale du matériau 
ainsi que l’apparition d’un pic de résistance maximale avant d’atteindre le même état critique que pour un sol 
plus lâche. En termes de déformations volumiques, une phase de dilatance apparaît également séparée de la 
phase de contractance initiale par un état transitoire que l’on désigne couramment par état caractéristique. 
Sous sollicitation cyclique, on observe généralement une densification progressive du matériau par une 
alternance de phases de contractance et de dilatance pilotées par la position de l’état caractéristique. 
Cependant, plus le matériau se densifie plus les déformations volumiques engendrées à chaque cycle seront 
de faible ampleur. Il y a un durcissement général du comportement au cours des cycles. 
De plus, si la figure 1 permet de constater l’impact de la densité relative du matériau sur son comportement 
des évolutions comparables sont à constater en fonction du confinement de celui-ci. Ainsi, pour une densité 
relative donnée (correspondant par exemple à un état mi-dense), un matériau pourra se comporter de manière 
analogue à un sol dense s’il est soumis à un faible confinement ou comme un sol lâche si le confinement est 
très important. C’est donc cette dualité densité/pression isotrope qui détermine l’état interne isotrope du 
matériau et une partie de son comportement. 
Cependant, l’état interne isotrope ne permet pas d’expliquer entièrement le comportement du sol. En effet, la 
figure 2 issue de [2] illustre ce propos en présentant des résultats obtenus lors d’essais de cisaillement 
cycliques où, pour un indice des vides donné et un confinement fixé, la capacité de compaction du matériau 
dépend fortement de son histoire. 
 
Figure 2 : Nombre de cycles correspondants à une variation de volume donnée à partir d’un même état de 
densité mais obtenues après 3 histoires de chargement différentes. 
2 Le modèle CJS 
Le modèle CJS, largement décrit par Maléki dans sa thèse de doctorat [3], est un modèle élastoplastique à 
trois mécanismes de déformations : un mécanisme élastique, un mécanisme plastique isotrope (écrouissable 
isotropiquement) et un mécanisme plastique déviatoire (écrouissable de manière isotrope et cinématique). 
L’incrément de déformation totale issue de ce modèle peut donc se mettre sous la forme suivante : 
 
dpipetot εεεε &&&& ++=  (1) 
Avec eε&  l’incrément de déformation élastique, ipε& l’incrément de déformation lié au mécanisme plastique 
isotrope et dpε& son homologue déviatoire.  
Le modèle tel qu’il est décrit dans cette deuxième partie a déjà été validé lors de simulations d’essais 
monotones pour un état de densité donné. Cependant, 3 jeux de paramètres doivent être proposés en fonction 
de l’état lâche mi-dense ou dense du matériau en début d’essai. Il est alors difficile de suivre simplement 
l’évolution de l’état interne du matériau au cours d’une sollicitation cyclique impliquant une dizaine de 
20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  
3 
cycles. La densité peut évoluer d’un état lâche à un état dense au cours d’un même essai. 
2.1 Le mécanisme élastique 
Le mécanisme élastique du modèle CJS suit une loi de Hooke traditionnelle intégralement définie par la 
donnée de deux paramètres qui, dans le cadre de ce modèle, sont les modules de compressibilité et de 
cisaillement élastique respectivement notés eK et eG  : 
 
( ) ', σε && eee GKA=  (2) 
Où A est un tenseur d’ordre 4. 
2.2 Le mécanisme plastique isotrope 
Le mécanisme plastique isotrope à pour fonction de garder en mémoire la contrainte moyenne maximale Q  
que le matériau a connu dans l’histoire de son chargement. Ce mécanisme permet notamment de simuler des 
essais de compression isotrope cyclique. Sa fonction de charge se présente sous la forme suivante : 
 
( ) QpQpf i −= ','  (3) 
Où 'p  est la pression moyenne courrante.  
L’évolution de Q  est assurée par la loi d’écrouissage (eq. 4) qui introduit un paramètre sous la forme d’un 
module de compressibilité volumique plastique. Le mécanisme étant associé, les déformations engendrées 
sont donc uniquement de nature volumique et peuvent s’exprimer suivant l’équation 5. 
 
ipKQ λ=&  (4) 
 
pip
v Kp'&& =ε  (5) 
2.3 Le mécanisme plastique déviatoire 
Le mécanisme plastique déviatoire est défini par la fonction de charge suivante : 
 
( ) ( ) 1,,' RIhqRXf IIijijd −= θσ  (6) 
Avec X  le centre de la surface de charge, IIq  la distance en terme de contrainte déviatoire entre l’état 
courrant et le centre de la surface de charge (défini par l’équation 7), 1I le premier invariant du tenseur des 
contraintes ( '31 pI = ), ( )θh  le facteur de forme du mécanisme, R  le rayon moyen de la surface de charge 
et s  la partie déviatoire du tenseur de contraintes. 
 ( )21 ijijII XIsq −=  (7) 
Il s’agit d’un mécanisme plastique écrouissable à la fois isotropiquement et cinématiquement dont 
l’évolution des variables X et R  est donnée par les équations suivantes 
 ( )2
2
ApR
pAR
R
m
m
+
=
&
&
  avec  
5,1
1
1 3
−






=
Pa
I
Ip dλ&  (8) 
 
5,1
1
1 3
−














−








∂
∂
=
Pa
I
X
q
f
devIaX ij
ij
d
d
ij φλ&    (9) 
Où dλ est le multiplicateur plastique et A , a et mR sont des paramètres du modèle : mR représente la valeur 
maximale du rayon élastique (intrinsèque au matériau) et les paramètres A et a pilotent la raideur du 
matériau et le taux d’accroissement du rayon élastique (dépendant de l’état interne du matériau). 
Afin de prendre en compte les trois états repères que sont l’état critique, l’état caractéristique et l’état de 
rupture, trois autres surfaces sont définies de la manière similaire à la surface de charge déviatoire (équations 
20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  
4 
10, 11 et 12) mais exprimées en contraintes déviatoires et possédant chacune un rayon moyen spécifique : 
 
( ) 01 =−= IRhsf critcritIIcrit θ  (10) 
 
( ) 01 =−= IRhsf carcarIIcar θ  (11) 
 
( ) 01 =−= IRhsf ruptruptIIrupt θ  (12) 
Le mécanisme plastique est non associé et son potentiel plastique est défini de telle sorte que la loi de 
dilatance suivante soit respectée : 
 





−= 1
car
II
II
dp
d
dp
v
s
sβ
ε
ε
&
&
 (13) 
Avec β  un paramètre du modèle pilotant la génération de déformation volumique et dépendant de l’état 
interne du matériau. 
3 Prise en compte de l’état interne du matériau 
3.1 Evolution isotrope du matériau 
Afin de prendre en compte l’action combinée de la densité et de la pression moyenne au sein du matériau, la 
variable d’état ψ  que nous qualifierons d’isotrope, définie par Been dans [4] sera utilisée. La définition de 
cette variable repose sur l’hypothèse couramment admise de l’existence d’une droite d’état critique dans le 
repère ( )( )'ln, pe  où e est l’indice des vides du matériau défini comme le rapport entre volume des vides au 
sein de ce dernier et le volume solide (eq. 14). L’équation de cette droite d’état critique est donnée par 
l’équation 15 et la variable ψ  est définie comme la distance en termes d’indice des vides entre l’état courant 
et cette droite d’état critique : 
 sv VVe =  (14) 
 




 ′
−=
r
ccrit p
pCee ln0  (15) 
 critee −=ψ  (16) 
Où crite  est la valeur de e sur la droite d’état critique pour la pression moyenne effective courante 'p . La 
variable ψ  ainsi définie permet de séparer quantitativement les sols à caractère dilatant ( 0<ψ ) des sols 
uniquement contractants ( 0>ψ ). Afin d’adapter le modèle CJS à l’évolution du matériau, il est donc 
possible de mettre à jour en continu ces paramètres en fonction de ψ . Cette intégration est réalisée au travers 
des paramètres carR , ruptR , a  et β  par les équations suivantes (la figure 3 illustre ces équations) : 
 
Le modèle CJS ainsi modifié requière donc 20 paramètres au total. Une procédure de calage rigoureuse du 
modèle initial a été proposé par Maléki [3] et peut-être élargie au modèle définitif par l’étude d’au moins 
deux essais triaxiaux comportant des valeurs de ψ  distinctes, un essai isotrope cyclique ainsi qu’un essai 
triaxial cyclique. 
 
( ) 0
0
1 ≤
>



+
= ψ
ψ
ψα si
si
R
R
R
carcrit
crit
car  (17) ( ) 0
0
exp0
0
≤
>




= ψ
ψ
ψαβ
ββ
β si
si
 (19) 
( ) 0
0
1 ≤
>




+
= ψ
ψ
ψα si
si
R
R
R
ruptcrit
crit
rupt  (18) ( )ψα aaa −= ;max min  (20) 
20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  
5 
 
Figure 3 : évolution des paramètres en fonction de la variable interne isotrope 
3.2 Evolution anisotrope du matériau 
L’anisotropie au sein d’un matériau peut se définir de nombreuses manières (orientation des normales aux 
contacts, orientation des efforts normaux ou tangentiels) mais peut rarement être mesurable à l’échelle 
macroscopique. Yunus et al. [5] ont montré qu’il existait une forte corrélation entre l’évolution de 
l’anisotropie des orientations des normales au contact et celle de la variable IIX  au cours d’un essai triaxial 
simulé par la Méthode aux Eléments Discrets.  La variable IIX , définie comme la norme du tenseur X  
centre de la surface de charge déviatoire, a été retenue pour quantifier cette anisotropie. Afin de caler les 
simulations sur les phénomènes d’accommodation de courbes expérimentales d’essais répétés à différents 
niveaux de chargement, il a été nécessaire d’introduire une relation affine entre les paramètres d’écrouissage 
a et A et la variable IIX . 
4 Résultats 
Les essais expérimentaux exploités ici sont issus d’essais triaxiaux réalisés sur un sable d’Hostun par 
Mohkam lors de sa thèse de doctorat [6]. Des essais monotones sont présentés figure 4 et un essai répété 
figure 5. 
0
200
400
600
800
0 5 10 15 20
eps1 (%)
q (kPa)
sim
exp
 
-8
-6
-4
-2
0
2
0 5 10 15 20
eps1 (%)
epsV (%)
sim
exp
 
Figure 4 : comparaison essais expérimentaux/simulation pour des essais triaxiaux monotones 
Les essais monotones ont été réalisés sous un confinement de 200 kPa pour diverses densités initiales (lâche 
à dense). Les déformations volumiques maximales et minimales sont relativement bien reproduites. Les pics 
de contrainte maximale correspondants à l’état de rupture du matériau sont bien évalués par le modèle. L’état 
caractéristique est lui aussi déterminé de manière pertinente et permet au matériau de se dilater. Enfin les 
raideurs initiales sont correctement modulées en fonction de l’état interne du matériau. 
20ème Congrès Français de Mécanique                                                                  Besançon, 29 août au 2 septembre 2011 
  
6 
En ce qui concerne l’essai répété, quatre paliers de contraintes impliquant cinq cycles de sollicitation sont 
effectués. Pour des questions de lisibilité, seuls les premiers et derniers cycles de chaque palier sont 
représentés sur la figure 5. La comparaison des accommodations du matériau sur chaque palier de contrainte 
entre la simulation et les résultats expérimentaux permet de conclure sur la pertinence de l’évolution des 
paramètres d’écrouissage isotrope et cinématique vis-à-vis de l’anisotropie du matériau. 
0
100
200
300
400
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
def axial (%)
q (kPa)
exp
sim
 
Figure 5 : comparaison essais expérimentaux/simulation pour un essai triaxial répété 
Il est également à noter que les résultats présentés ici ne sont qu’une partie d’une base de données plus large 
comprenant également des essais de compression isotrope cycliques, des essais triaxiaux monotones pour 
d’autres valeurs de confinement, des essais cycliques alternés et des essais triaxiaux monotones sous 
condition non-drainée. Ainsi, malgré la diversité des essais expérimentaux proposés, le modèle CJS comme 
défini dans ce travail permet de simuler de manière pertinente le comportement d’un sol avec un jeu unique 
de paramètres. 
5 Remerciements  
Les résultats présentés dans cette communication ont été acquis dans le cadre du Projet ANR 07PGCU-005-
09 appelé SOLCYP. SOLCYP est un projet de recherche sur le comportement des pieux soumis à des 
sollicitations cycliques, regroupant 12 entreprises et bureaux d’études du génie civil et 6 organismes 
universitaires et de recherche. Il est piloté par l’IREX et financé par les partenaires, l’ANR, le MEDDTL et 
la FNTP. Les auteurs remercient ces organismes pour leur soutien financier 
References 
 [1] CASAGRANDE A., Characteristics of cohesionless soils affecting the stability of slopes and earth fills, 
Journal of the Boston Society of Civil Engineering, January 1936 p. 13–32. 
 [2] SHAHNAZARI H., IKUO T., Torsion shear tests on cyclic stress-dilatancy relationship of sand, Soils and 
Fondations, vol 42, No 1, 105-119, 2002. 
 [3] Thèse de doctorat, MALEKI M., Modélisation hiérarchisée du comportement des sols, 1998. 
 [4] BEEN K., JEFFERIES M.G., A state parameter for sands, Géotechnique, vol 35, No 2, 99-112, 1988. 
 [5] Yunus Y., Vincens E., Cambou B., Numerical local analysis of relevant internal variables for 
constitutive modelling of granular materials, International Journal for Numerical and Analytical Methods in 
Geomechanics, vol 34, 1101-1123, 2010. 
 [6] Thèse de doctorat, MOHKAM M., Contribution à l’étude expérimentale et théorique de comportement des 
sables sous chargements cycliques, 1983 
 
 
 


Modélisation du comportement des sols : prise en compte de l'état interne du matériau

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46626/1/cfm2011_553.pdf

Modélisation du comportement des sols : prise en compte de l'état interne du matériau

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