La saturation de l'instabilité dynamo est liée à la rétroaction du champ magnétique sur l'écoulement qui l'a engendré. Pour étudier ce phénomène, nous avons étudié l'influence d'un champ magnétique sur un écoulement turbulent de von Kármán. Les mesures que nous avons faites montrent que les échelles turbulentes sont peu affectées par le champ contrairement aux grandes échelles de l'écoulement. On a ainsi observé une transition entre un écoulement hydrodynamique et un écoulement MHD lorsque la vitesse d'Alfvèn est comparable aux vitesses caractéristiques de l'écoulement

FRICK P.

KHALILOV, Ruslan

PINTON, Jean-François

PLIHON, Nicolas

VERHILLE, Gautier

I-Revues

20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Modification d’un e´coulement turbulent de von Ka´rma´n
par un champ magne´tique
G. Verhillea, N. Plihonb, R. Khalilovc, J.-F. Pintonb, P.Frickc
a. I.R.P.H.E, 49 rue F. Joliot Curie 13384 Marseille Cedex 13.
b. Laboratoire de Physique de l’ENS Lyon, 46 Alle´e d’Italie 69007 Lyon.
c. Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Division, Russian Academy of Sciences, ul.
Akademika Koroleva 1, Perm, 614013 Russia.
Re´sume´ :
La saturation de l’instabilite´ dynamo est lie´e a` la re´troaction du champ magne´tique sur l’e´coulement
qui l’a engendre´. Pour comprendre ce phe´nome`ne, nous avons e´tudie´ l’influence d’un champ magne´tique
sur un e´coulement turbulent de von Ka´rma´n. Les mesures que nous avons faites montrent que les
e´chelles turbulentes sont peu affecte´es par le champ contrairement aux grandes e´chelles de l’e´coulement.
On a ainsi observe´ une transition entre un e´coulement hydrodynamique et un e´coulement MHD lorsque
la vitesse d’Alfve`n est comparable aux vitesses caracte´ristiques de l’e´coulement.
Abstract :
The saturation of the dynamo instability is due to the action of the magnetic field on the flow which
has generated it. To investigate this phenomenon, we have study the influence of an homogeneous
magnetic field on a turbulent von Ka´rma´n flow. Our measurements exhibit that at moderate interaction
parameter, the turbulent scale is independent of the magnetic field whereas the large scales are strongly
changed. By increasing the interaction parameter, a transition between a hydrodynamic regime and a
MHD regime appears when the Alfve`n speed is of the same order than the typical velocity of the flow.
Mots clefs : Magne´tohydrodynamique, turbulence, effet dynamo.
1 Introduction
Les premiers travaux expe´rimentaux lie´s la dynamo ont e´tudie´ l’effet d’un e´coulement turbulent sur
un champ magne´tique [1, 2]. Dans ces expe´riences d’induction, le champ magne´tique applique´ est
suffisamment faible pour ne pas perturber l’e´coulement, i.e. la force de Laplace est ne´gligeable devant
les termes d’inertie dans l’e´quation de Navier-Stokes (N = j ×B/ρ(u · ∇u) = σ`B2/ρu 1). Inverse-
ment, certains travaux ont e´tudie´ la modification des proprie´te´s statistiques de la turbulence par un
champ magne´tique (N  1). La plupart de ces e´tudes ont e´te´ mene´es dans des conduites [3] avec des
nombres de Reynolds mode´re´s (Re ∼ 104). Elles ont montre´ que l’effet du champ magne´tique pouvait
eˆtre mode´lise´ par une viscosite´ anisotrope : les structures dont la vorticite´ est paralle`le au champ ne
sont pas affecte´es par le champ magne´tique contrairement a` celles dont la vorticite´ est perpendiculaire
au champ magne´tique qui sont alors fortement dissipe´es. L’e´coulement devient ainsi quasi 2-D invariant
suivant la direction du champ magne´tique. Aucun de ces deux re´gimes ne correspond a` celui observe´
lors de la saturation d’une dynamo. En effet, pour observer un champ dynamo, le nombre de Reynolds
magne´tique de l’e´coulement Rm = U`/λ, ou` λ = 1/µσ est la diffusivite´ magne´tique du fluide, doit
eˆtre supe´rieur a` un seuil Rmc > 1. Comme le Prandtl magne´tique Pm = ν/λ des me´taux liquides est
petit (Pm & 10−6) les e´coulements e´tudie´s sont toujours fortement turbulents : Re & 106. De plus,
l’e´tat d’e´quilibre est caracte´rise´ par des parame`tres d’interaction d’ordre 1 (N ∼ 1) et, contrairement
aux expe´riences d’induction, le champ de vitesse et le champ magne´tique s’adaptent localement et en
permanence l’un a` l’autre.
1
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Pour appre´hender ce phe´nome`ne, nous pre´sentons ici une e´tude ou` le champ applique´ est homoge`ne
et constant. Nous nous inte´ressons alors aux modifications de l’e´coulement lorsque le parame`tre d’in-
teraction est d’ordre 1. Dans un premier temps nous allons pre´senter le dispositif expe´rimental avant
d’e´tudier l’e´volution de la puissance dissipe´e par l’e´coulement. La troisie`me partie est consacre´e a`
l’e´tude du champ induit qui est une image des gradients de vitesse dans l’e´coulement. Enfin, dans la
dernie`re partie nous montrons que l’e´coulement bifurque d’un re´gime hydrodynamique a` un re´gime
magne´tohydrodynamique lorsque la vitesse d’Alfve`n est du meˆme ordre de grandeur que les fluctua-
tions de vitesse de l’e´coulement.
2 Dispositif expe´rimental
Un e´coulement de von Ka´rma´n est cre´e´ par la rotation de deux disques coaxiaux de rayon R = 8.3 cm
munis de 8 paˆles droites de 1 cm de hauteur et se´pare´s de H = 20.3 cm. Deux moteur asynchrones
de 11 kW permettent d’atteindre des fre´quences de rotation comprises entre 0.5 Hz et 20 Hz avec une
pre´cision de 0.5 %. Des serpentins situe´s derrie`re les disques permettent de maintenir la tempe´rature
de l’enceinte entre 40 et 48 C˚.
Lorsque les deux disques tournent a` la meˆme vitesse et en sens oppose´, l’e´coulement est constitue´ de
deux cellules toro¨ıdales se´pare´es par une couche de cisaillement localise´e dans le plan me´dian et de
deux cellules polo¨ıdales dues a` la force centrifuge localise´e au niveau des disques (cf sche´ma figure 1).
Si un seul des disques tourne, il n’y a plus qu’une cellule toro¨ıdale et une cellule polo¨ıdale. Enfin si les
deux disques tournent dans le meˆme sens, il n’y a qu’une cellule toro¨ıdale et deux cellules polo¨ıdales.
b c d
a
F1>0  F2>0 F1>0  F2=0 F1>0  F2<0
θ
x
y
z
F1
F2
Fig. 1 – Sche´ma du dispositif expe´rimental et des diffe´rents e´coulements de von Ka´rma´n e´tudie´s.
Le fluide utilise´ est du gallium, un me´tal liquide dont le point de fusion est de 29 C˚. Il a une masse
volumique ρGa = 6.09 × 103 kg.m−3, une conductivite´ e´lectrique σGa = 3.7 × 106 Ω−1.m−1 (soit une
diffusivite´ magne´tique de λ = 0.3m2.s−1) et une viscosite´ cine´matique de ν = 3.1 × 10−7 m2.s−1. On
de´finit alors le nombre de Reynolds Re et le nombre de Reynolds magne´tique Rm de l’e´coulement par :
Re = 2piR2F/ν et Rm = 2piR2F/λ = Pm.Re, ou` Pm est le Prandtl magne´tique Pm = ν/λ ∼ 10−6. Le
nombre de Reynolds magne´tique maximal est de 5 donc en dessous du seuil dynamo [4]. Les nombres
de Reynolds associe´s sont supe´rieurs a` 106.
Le champ magne´tique applique´ BA est perpendiculaire a` l’axe de rotation des disques et est cre´e´
par deux bobines en configuration de Helmholtz. Une alimentation Drusch de 30 kW permet de
faire circuler un courant compris entre 0 et 200 A dans les bobines. Le champ maximal est alors
d’environ 2 kG sur l’ensemble de l’expe´rience (inhomoge´ne´ite´ . 10 %). Le parame`tre d’interaction
N = σRB2/ρ2piRF est donc compris entre 0 et 0.5 ce qui est, a priori, suffisant pour modifier
2
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
l’e´coulement [5]. Une circulation d’eau froide a e´te´ mise en place pour limiter l’e´chauffement par effet
Joule a` l’origine d’une augmentation de la re´sistance des bobines. La de´rive en tempe´rature est ainsi
infe´rieure a` ∆T < 10 C˚ au cours d’une expe´rience.
Les couples consomme´s par les moteurs sont de´termine´s par l’intensite´ de´livre´e par les variateurs les
alimentant. Comme les expe´riences son re´alise´es a` fre´quence fixe, ces mesures sont suffisantes pour
de´terminer la puissance injecte´e dans l’e´coulement. Le champ induit est mesure´ par huit capteurs a`
effet Hall situe´s le long d’un rayon dans le plan me´dian. L’ensemble des mesures sont nume´rise´es avec
une carte National Instrument 24 bits PXI-4472 a` une fre´quence de 1 kHz.
3 Augmentation de la puissance injecte´e
Dans un premier temps, nous nous inte´ressons, pour chaque e´coulement, a` l’e´volution de la puissance
injecte´e en fonction de la fre´quence de rotation des disques F pour diffe´rents champs applique´s BA (cf.
figure 2 a, b et c). Pour le plus petit parame`tre d’interaction, on retrouve les re´sultats classiques de
turbulence : la puissance injecte´e est proportionnelle a` F 3 et augmente avec le cisaillement a` grande
e´chelle. Lorsque l’on augmente l’intensite´ du champ applique´, on constate que la puissance injecte´e
augmente et que les courbes restent cubiques. On peut facilement interpre´ter cette augmentation par
l’apparition de la force de Laplace.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
2
4
6
8
10
N
P
[k
W
]
 
 
F=6 Hz
F=8 Hz
F=10 Hz
F=12 Hz
F=14 Hz
F=16 Hz
F=18 Hz
F=20 Hz
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
N
P
[k
W
]
 
 
F=6 Hz
F=8 Hz
F=10 Hz
F=12 Hz
F=14 Hz
F=16 Hz
F=18 Hz
F=20 Hz
0 5 10 15 200
2
4
6
8
10
F [Hz]
P
[k
W
]
 
 
BA=100 gauss
BA=310 gauss
BA=510 gauss
BA=610 gauss
BA=780 gauss
BA=940 gauss
BA=1130 gauss
BA=1230 gauss
BA=1400 gauss
BA=1550 gauss
−20 −10 0 10 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
F [Hz]
P
[k
W
]
 
 
BA=160 gauss
BA=300 gauss
BA=440 gauss
BA=630 gauss
BA=770 gauss
BA=930 gauss
BA=1080 gauss
BA=1260 gauss
BA=1380 gauss
BA=1580 gauss
−20 −10 0 10 200
1
2
3
4
5
F [Hz]
P
[k
W
]
 
 
BA=160 gauss
BA=300 gauss
BA=470 gauss
BA=650 gauss
BA=770 gauss
BA=920 gauss
BA=1080 gauss
BA=1240 gauss
BA=1440 gauss
BA=1550 gauss
F
1
F
2BIz F2F1=0
BIz
F
1
F
2B
I
r
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
N
P
[k
W
]
 
 
F=6 Hz
F=8 Hz
F=10 Hz
F=12 Hz
F=14 Hz
F=16 Hz
F=18 Hz
F=20 Hz
Fig. 2 – Evolution de la puissance injecte´e en fonction de la fre´quence (a, b, c) et du parame`tre
d’interaction (d, e, f) pour les diffe´rents e´coulements (contra : a, d ; 1 disque : b, e ; corot : c, f).
Pour quantifier ce phe´nome`ne, il suffit de remarquer que la puissance moyenne injecte´e dans le syste`me
est e´gale a` la puissance dissipe´e. Ici, les sources de dissipation sont les frottements visqueux et la
dissipation par effet Joule. Ainsi comme la turbulence est pleinement de´veloppe´e, on peut e´crire :
PH =
∫
η(∇u)2dτ ∝ ρu
3
`
(1)
3
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De meˆme, la puissance dissipe´e par effet Joule est donne´e par la relation suivante :
PJ =
∫
j2
σ
dτ ∼ `3σu2B2 = `3σ`B
2
ρu
u3
`
∝ N.PH (2)
ou` N = σ`B2/ρu est le parame`tre d’interaction. La puissance dissipe´e totale P s’e´crit simplement :
P = PH + PJ ∝ PH(1 + γN) (3)
A F fixe´e, la dissipation hydrodynamique est fixe´e. On s’attend donc a` ce que la puissance injecte´e
soit line´aire avec le parame`tre d’interaction. Les figures 2 d, e et f confirment cette loi d’e´chelle.
Au cours de cette e´tude, nous avons suppose´ que la dissipation turbulente n’e´tait que peu modifie´e par
le champ magne´tique. Pour tester cette hypothe`se, il est ne´cessaire d’e´tudier localement l’e´volution
des gradients de vitesse.
4 Induction et gradient de vitesse
On sait que pour de petits nombres de Reynolds magne´tiques Rm  1, le champ induit s’exprime
simplement a` partir des gradients de vitesse [2] :
(∂t − λ∆)BI = BA · ∇u (4)
Le champ induit moyen ne de´pend donc que des gradients de vitesse de l’e´coulement moyen et des
conditions aux limites e´lectromagne´tiques.
0 5 10 15 20−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
F [Hz]
B
I
/
B
A
 
 
BA=160 gauss
BA=340 gauss
BA=500 gauss
BA=620 gauss
BA=780 gauss
BA=920 gauss
BA=1120 gauss
BA=1260 gauss
BA=1400 gauss
BA=1540 gauss
F
1
F
2BIz
−20 −10 0 10 20
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
F [Hz]
B
I
/
B
A
 
 
BA=160 gauss
BA=300 gauss
BA=440 gauss
BA=620 gauss
BA=780 gauss
BA=920 gauss
BA=1080 gauss
BA=1240 gauss
BA=1380 gauss
BA=1580 gauss
F2
F1=0
BIz
−20 −10 0 10 20
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
F [Hz]
B
I
/
B
A
 
 
BA=160 gauss
BA=300 gauss
BA=460 gauss
BA=640 gauss
BA=760 gauss
BA=920 gauss
BA=1080 gauss
BA=1240 gauss
BA=1420 gauss
BA=1540 gauss
F
1
F
2B
I
r
(a) (b) (c)
−2 −1 0 1 2−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
Rm(1 − 3.8
√
N)
B
I
/
B
A
 
 
−5 0 5
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
Rm(1 − 0.7
√
N)
B
I
/
B
A
−5 0 5
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
Rm(1 − 1.15
√
N)
B
I
/
B
A
(d) (e) (f)
Fig. 3 – Evolution du champ induit en fonction de la fre´quence (a, b, c) et du parame`tre d’interaction
(d, e, f) pour les diffe´rents e´coulements (contra : a, d ; 1 disque : b, e ; corot : c, f).
Par exemple, si N  1, en contra-rotation avec un champ BA transverse, le champ axial induit BIz
dans le plan me´dian est cre´e´ par la rotation diffe´rentielle et les conditions aux limites isolantes au
niveau de la cuve. Il est alors proportionnel a` la fre´quence de rotation des disques F . Avec le meˆme
champ applique´, a` un disque, l’he´licite´ moyenne de l’e´coulement induit, par effet Parker, un champ
4
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
axial proportionnel a` F 2. En co-rotation, l’expulsion du champ applique´ par un vortex se traduit par
un champ radial [2].
Les figures 3 a, b et c repre´sentent l’e´volution des champs induits normalise´s par le champ applique´
en fonction de la fre´quence de rotation des disques. Si la force de Laplace est ne´gligeable, les courbes
doivent se superposer, ce qui n’est pas le cas ici. De plus, on constate, par exemple, qu’en contra-
rotation l’e´volution du champ induit n’est plus line´aire avec F et donc avec Rm = µσ2piR2F .
La force de Laplace est donc suffisamment forte pour modifier l’e´coulement moyen. Nous voulons
trouver une courbe maitresse pour de´crire l’e´volution du champ de vitesse. Pre´ce´demment, nous avons
vu que la puissance dissipe´e par effet Joule PJ est proportionnelle a` BI
2 et varie line´airement avec
le parame`tre d’interaction N . On s’attend donc a` une correction en
√
N pour le champ induit BI .
Les figures 3 d, e et f montrent qu’avec un parame`tre ajustable, l’ensemble des points expe´rimentaux
retombent sur une courbe maitresse si l’on conside`re un nombre de Reynolds magne´tique corrige´
Rm(1 − γ√N), ou` Rm = µσ2piR2F et γ est une constante lie´e a` la force de Laplace qui ne de´pend
donc que de l’e´coulement et de la direction du champ applique´.
L’ensemble des e´tudes que nous venons de pre´senter ont e´te´ re´alise´es en fixant le champ magne´tique BA
et en faisant varier la vitesse de rotation des disques. Si l’on s’inte´resse au proble`me de saturation de
la dynamo, il est plus pertinent de fixer la vitesse et d’augmenter progressivement le champ applique´.
5 Transition entre un e´coulement hydrodynamique et un e´coulement
magne´tohydrodynamique
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
5
10
15
20
25
N
B
I

[g
au
ss
]
100 102
10−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
−11/3
f [Hz]
p
sd
 
 
hydro
MHD
trans
0 2 4 6 8 10
0
1
2
x 10−4
f [Hz ]
p
sd
a b
Fig. 4 – a) Evolution de 〈BI〉 en fonction du champ applique´ BA. b) Spectres du champ induit pour
le re´gime hydro, transitoire et MHD.
Dans cette partie, nous nous inte´ressons uniquement a` la contra-rotation exacte. On travaille a` F =
12 Hz et on se limite a` des parame`tres d’interaction infe´rieurs a` N . 0.1. La figure 4.a repre´sente
l’e´volution de la moyenne du champ induit en fonction du parame`tre d’interaction. Pour les plus petits
parame`tres d’interaction, on constate que le champ induit est proportionnel a`
√
N , donc line´aire en
BA. On retrouve alors les re´sultats classiques des pre´ce´dentes expe´riences d’induction ou` le champ
magne´tique est un vecteur passif. En revanche, si N > 0.05, le champ induit est plus faible que dans
le cas hydrodynamique et quasiment inde´pendant du champ applique´. Cela traduit une modification
de l’e´coulement par la force de Laplace. Il est inte´ressant de noter que dans ce re´gime, la vitesse
d’Alfve`n est du meˆme ordre de grandeur que les fluctuations de vitesse. Comme l’intensite´ du champ
magne´tique n’est pas assez forte, les ondes d’Alfve`n ainsi excite´es sont des ondes e´vanescentes. Il y
a donc un nouveau processus de dissipation d’e´nergie, tre`s efficace puisque la diffusivite´ magne´tique
est grande devant la diffusivite´ de quantite´ de mouvement λ  ν. Entre ces deux re´gimes, il existe
5
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
un re´gime transitoire ou` le champ induit diminue rapidement lorsque l’intensite´ du champ applique´
augmente.
L’e´tude pre´ce´dente a e´te´ re´alise´e sur les grandeurs moyennes. Il est inte´ressant d’e´tudier la dynamique
du champ induit pour savoir quelles e´chelles sont modifie´es par la force de Laplace. Trois spectres
mesure´s dans le re´gime hydrodynamique, MHD et transitoire sont repre´sente´s sur la figure 4.b. On
constate qu’entre le re´gime transitoire et le re´gime hydrodynamique l’e´nergie contenue dans les basses
fre´quences augmente alors que la cascade turbulente est inchange´e. Si l’on continue a` augmenter le
champ magne´tique, l’e´nergie des basses fre´quences diminue tout comme l’e´nergie mis en jeu dans la
cascade turbulente. Les basses fre´quences du champ induit e´tant ge´ne´ralement associe´es a` la dynamique
des grandes e´chelles, il est inte´ressant d’e´tudier l’e´volution du mode du champ induit au cours de la
transition. La figure 5 repre´sente 3 profils instantane´s, i.e. moyenne´s sur 1 s. Dans les trois cas, nous
avons repre´sente´ les profils les plus proches et les plus e´loigne´s du profil moyen. On constate que dans
les re´gimes hydrodynamique et MHD, les profils instantane´s fluctuent relativement peu autour de
la valeur moyenne alors que dans le re´gime transitoire, on constate que l’e´coulement passe de fac¸on
intermittente du profil hydro au profil MHD.
0 2 4 6 8
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
r [cm]
B
I
/B
A
0 2 4 6 8
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
r [cm]
B
I
/B
A
0 2 4 6 8
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
r [cm]
B
I
/B
A
(a) (b) (c)
Fig. 5 – Evolution du profil de champ induit dans le re´gime (a) hydro (N ∼ 10−3), (b) le re´gime
transitoire (N ∼ 10−2) et (c) MHD (N ∼ 6× 10−2).
6 Conclusions
Notre e´tude montre qu’il est possible de modifier des e´coulements turbulents avec des parame`tres
d’interaction relativement faible. Nous avons mis en e´vidence des scalings permettant de trouver des
courbes maitresses pour la puissance injecte´e et l’induction. Enfin, nous avons montre´ que la dynamique
des grandes e´chelles est modifie´e avant celle des e´chelles turbulentes et qu’il existe une transition entre
un e´coulement hydro et un e´coulement MHD lorsque la vitesse d’Alfve`n est du meˆme ordre de grandeur
que les fluctuations de vitesse de l’e´coulement.
Re´fe´rences
[1] F. Pe´tre´lis et al., Nonlinear Magnetic Induction by Helical Motion in a Liquid Sodium Turbulent
Flow, PRL, 90(17), 2003.
[2] M. Bourgoin, Etudes en magne´tohydrodynamique, application a` l’effet dynamo, The`se de l’ENS
Lyon, 2003.
[3] J. Sommeria and R. Moreau, Why, How and When MHD-turbulence becomes 2-dimensionnal,
JFM, 118 1982.
[4] R. Monchaux et al., Generation of a magnetic field by dynamo action in a turbulent flow of liquid
sodium, PRL, 98(4), 2007.
[5] D. Brito et al., Experimental study of a geostrophic vortex of gallium in a transverse magnetic
field, Physics of the Earth and Planetary Interior, 91, 1995.
6


Modification d'un écoulement turbulent de von Kármán par un champ magnétique

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46382/1/cfm2011_331.pdf

Modification d'un écoulement turbulent de von Kármán par un champ magnétique

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