Les matériaux dont la microstructure est invariante par changement d'échelle est peu abordée par la mécanique, faute d'approches réellement satisfaisantes. On propose ici une approche à partir des « fonctions auto-similaires » (Michelitsch, Maugin et al. PRE 80, 011135, 2009) en introduisant la notion de « dérivée généralisée ».On définit la « dérivée généralisée » résultant d'un processus (h vers 0) d'une fonction opérateur A(T(h)-1)/A(h) appliquée à f(x) avec l'opérateur de translation T(h) (T(h)f(x)=f(x+h)). Quelques exemples dynamiques en mécanique des matériaux seront discutés

DEROGAR, Shahram

MAUGIN, Gérard

MICHELITSCH, Thomas

NICOLLEAU, Franck C.G.A.

NOWAKOWSKI, Andrzej F.

I-Revues

Sur une ge´ne´ralisation de l’ope´rateur fractionnaire
Thomas M. Michelitsch1∗, Ge´rard A. Maugin1
Shahram Derogar2
Andrzej F. Nowakowski3, Franck C. G. A. Nicolleau3
1 Universite´ Pierre et Marie Curie, Paris 6
Institut Jean le Rond d’Alembert
CNRS UMR 7190
France
2 School of Mechanical, Aerospace and Civil Engineering
The University of Manchester
Royaume Uni
3 Sheffield Fluid Mechanics Group, Department of Mechanical Engineering
University of Sheffield
Royaume Uni
March 7, 2011
Re´sume´ Cette communication a pour but de proposer une ge´ne´ralisation de la notion de de´rive´e tradition-
nelle afin d’inclure les de´rive´es fractionnaires comme celles de Riemann-Liouville, Gruenwald-Letnikov, Weyl,
Riesz, Caputo, Marchaud et d’autres variantes comme cas particuliers. Nous le de´montrons de manie`re ex-
plicite pour la de´rive´e de Marchaud. Afin de de´finir cette notion il convient d’employer le calcul d’ope´rateurs
line´aires. La notion de de´rive´e ge´ne´ralise´e est susceptible non seulement de reproduire les de´rive´es et inte´grales
traditionelles et fractionnaires mais aussi de de´finir de nouvelles espe`ces de “de´rive´es” qui peuvent eˆtre utiles
pour traiter certains proble`mes de me´canique en milieux sans echelles internes (fractals) [2].
mots cle´: De´rive´e ge´ne´ralise´e, de´rive´e fractionnaire, inte´grale fractionnaire de Riemann-Liouville, diffe´rence
fractionnaire, calcul d’ope´rateurs
1 INTRODUCTION
Le but du calcul fractionnaire qui a environ 300 ans est d’appre´hender le proble`me des ordres non-entiers des
de´rive´es traditionnelles. Comme il est bien connu, l’extension de la notion de de´rive´e aux ordres non-entiers
ne se fait pas de manie`re unique. Du coup, il en existe plusieurs variantes. Nous nous re´fe´rons a` l’ouvrage
classique d’Oldham et Spanier [4] et a` d’autres auteurs dont nous ne citons que [1, 3, 5, 6].
Cette communication a pour but d’introduire une ge´ne´ralisation des notions de “de´rive´e” et d’“inte´grale”
afin de mettre en place un outil mathe´matique permettant d’aborder quelques proble´mes nouveaux en me´canique
des mate´riaux auto-similaires. Pour cela il convient d’employer l’ope´rateur de translation T de´fini par
T (h)f(x) = f(x+ h) , ∀x, h ∈ R (1)
∗Auteur correspondant, couriel : michel@lmm.jussieu.fr
1
Pour e´viter trop de complications nous nous restreignons ici a` des fonctions continues, soit plusieurs fois
diffe´rentiables, soit non-diffe´rentiables. On observe que T (h1)T (h2) = T (h1 + h2), h1, h2 ∈ R avec T (0) = 1
et T a(h) = T (ah) , a ∈ R. Si f(x) est sufisamment lisse (lipschitzienne) on peut identifier
T (h) = ehDx (2)
ou` Dx = ddx de´note la de´rive´e traditionnelle du premier ordre. Dans cette communication nous construisons
des ope´rateurs qui s’appliquent aux fonctions continues remplissant la condition de Ho¨lder [1]:
|f(x+ h)− f(x)| ≤ C hδ , 0 < δ ≤ 1 (3)
pour x et x+h e´tant dans le domaine de f(x). C de´signe une constante et δ l’exposant de Ho¨lder. Si δ 6= 1 la
fonction f(x) n’est pas diffe´rentiable et par conse´quent (2) n’existe pas. Le cas δ = 1 correspond aux fonctions
traditionnelles dites liptschitziennes.
2 Motivation et de´finition de de´rive´es et inte´grales ge´neralise´es
Cet paragraphe est consacre´ a` une ge´ne´ralisation de la notion de de´rive´e incluant la notion de de´rive´e frac-
tionnaire. Il en re´sulte un ope´rateur qui s’applique aux fonctions ho¨lde´riennes. Pour motiver notre propos,
conside´rons la de´rive´e d’ordre n entier (n ∈ N0) de´finie par
Dnxf(x) = lim
h→0
h−n (T (h)− 1)n f(x) = lim
h→0
h−n
n∑
k=0
(−1)k
(
n
k
)
f(x− kh) , n ∈ N0 (4)
ou` limh→0 T (nh)→ 1 est utilise´. Dans (4) on a utilise´ les notations habituelles
(
n
k
)
= n!k!(n−k)! avec la fonction
Γ de´finie par1
β! = Γ(β + 1) =
∫ ∞
0
τβe−τdτ , β ∈ R > −1 (5)
ge´ne´ralisant β! pour les non-entiers verifiant2 β > −1 et qui donne pour β = n = 1, 2, .. ∈ N n! = Πnk=1k. La
restriction β > −1 assure la convergence de l’inte´grale (5). Au vu de (4) la de´rive´e traditionnelle d’ordre n
peut eˆtre re´-e´crite comme
Dnf(x) = lim
h→0
g(T (h))
g(1 + h)
f(x) (6)
avec une fonction
g(λ) = (λ− 1)n =
∞∑
k=0
a(k)λk, a(k) = (−1)n−k
(
n
k
)
(7)
ou` nous ne nous inte´ressons qu’aux cas non-banals n ≥ 1 ∈ N. Nous de´nommons par la suite la fonction g(λ)
“fonction constituante” ou en bref la “constituante”. On observe dans l’exemple ci-dessus que
g(λ = 1) =
∞∑
k=0
a(k) = 0 (8)
A partir de cette observation nous appelons le cas limite
Dgf(x) = lim
h→0
g(T (h))
g(1 + h)
f(x) (9)
1Il nous suffira ici de nous restreindre aux β ∈ R.
2Re(β) > −1 si β ∈ C.
2
“de´rive´e ge´neralise´e”, en bref “de´rive´e”, si sa constituante satisfait (8), c’est-a`-dire si g(λ = 1) = 0 et par
conse´quent la de´rive´e ge´ne´ralise´e d’une constante est ze´ro. L’exemple le plus banal de cette notion est bien
suˆr la de´rive´e traditionnelle du premier ordre ayant la constituante g(λ) = λ− 1. Inversement nous appelons
(9) “inte´grale ge´ne´ralise´e” ou simplement “inte´grale” si g(λ = 1) est singulie`re au point λ = 1 a` savoir
| lim
λ→1
g(λ) =
∞∑
k=0
a(k)| → ∞ (10)
Il s’ensuit que si une constituante g(λ) re´alise une de´rive´e, alors 1/g(λ) re´alise une inte´grale et vice versa.
Pour tous les autres cas ou` 0 < |g(1)| < ∞, (9) peut eˆtre de´termine´e sans proble`me donnant le re´sultat
banal Dgf(x) = f(x). Dans cette communication nous nous restreignons aux cas ou` la constituante a un
comportement au voisinage de λ = 1 comme une puissance : (λ− 1)c, c ∈ R. Dans ce cas on peut e´galement
remplacer (9) par Dgf(x) = limh→0 g(1 + [T (h)− 1]/h).
D’abord nous donnons une e´valuation qui est valable pour les cas ou` d
s
dλs g(λ = 1) <∞, s ∈ N0 et au moins
d’ordre s0 avec d
s
dλs g(λ = 1) 6= 0. Pour cela nous posons
g(T (h)) = g(λ+ T (h)− 1)|λ=1 = e(T (h)−1)
d
dλ g(λ)|λ=1 (11)
ce qui peut eˆtre e´crit en e´valuant l’ope´rateur exponentiel comme
g(T (h))f(x) =
∑
s=0
1
s!
(T (h)− 1)s d
s
dλs
g(λ)|λ=1f(x)
= g(1)f(x) + (T (h)− 1)f(x) d
dλ
g(λ = 1) +
1
2!
(T (h)− 1)2f(x) d
2
dλ2
g(λ = 1) + ..
(12)
Par la suite tous les de´pendances de h se comprennent dans le cas limite h → 0 (h > 0)3. Au cas ou` f(x)
serait infiniment diffe´rentiable on peut remplacer (T (h) − 1)sf(x) = (ehDx − 1)sf(x) = hsDsxf(x). Le cas
limite h → 0 de la se´rie (12) est donc de´termine´ par l’ordre s0 de de´rivation de g le plus bas donnant une
de´rive´e non-nulle, soit :
ds
dλs
g(λ = 1) = 0, ∀ 0 ≤ s < s0 (13)
c’est a` dire que 0 < | ds0dλs0 g(λ = 1)| < ∞. Il s’ensuit que l’ordre dominant dans (12) pour h → 0 est donc
l’ordre s0
g(T (h))f(x) =
1
s0!
(T (h)− 1)s0f(x) d
s0
dλs0
g(λ = 1) + .. (14)
et
g(1 + h) =
hs0
s0!
ds0
dλs0
g(λ = 1) + .. (15)
afin d’arriver a`
Dgf(x) = h−s0(T (h)− 1)s0f(x) = d
s0
dxs0
f(x) (16)
qui n’existe qu’au cas ou` f serait s0 fois differentiable de manie`re continue. (16) est valable si | dsdλs g(λ = 1)| <∞, ∀s ∈ N0. On se rend compte que l’ope´rateur Dg de (16) est local, il agit seulement sur f(x) au point x.
Toutefois, la localite´ de l’ope´rateur Dg n’est pas conserve´e si la constituante g posse`de des de´rive´es singulie`res
au point λ = 1, c’est-a`-dire s’il existe un ordre s1 tel que
| d
s
dλs
g(λ→ 1)| =∞ , s ≥ s1 = 0, 1, 2, .. ∈ N0 (17)
3Sans que ”h→ 0” soit toujours explicitement e´crit.
3
et | dsdλs g(λ → 1)| < ∞ si s < s1. Dans ces cas (9) devient non-local. La brie´vete´ qui s’impose pour cette
communication, nous oblige a` de´montrer seulement que les de´rive´es fractionnaires sont e´galement comprises
dans la notion de de´rive´e ge´ne´ralise´e (9). Supposons la constituante
g(λ) = (λ− 1)α , 0 < α < 1 (18)
avec l’exposant α non-entier. Pour 0 < α < 1 la constituante (18) appartient a` la cate´gorie (8) et par
conse´quent (9) s’e´crit
Dgf(x) = h−α (T (h)− 1)α f(x) (19)
par de´finition d’une de´rive´e4 fractionnaire [4]. Nous supposons que la fonction f(x) est choisie telle que
(T (h)− 1)α produise une se´rie convergente soit
Dgf(x) = Dαxf(x) = h−α
∞∑
k=0
(−1)k
(
α
k
)
f(x− kh) (20)
ou` nous avons utilise´ le fait que (T (h)− 1)α = T (αh)(1− T (−kh))α = (1− T (−kh))α car T (hα) = 1 dans le
cas limite h→ 0. On tient compte de la de´composition T (−hk) = (T (−h)− 1 + 1)k
T (−kh) =
∞∑
s=0
(
k
s
)
(T (−h)− 1)s (21)
Or il convient d’abord d’e´valuer la se´rie d’ope´rateurs
S(k0, h) =
k0∑
k=0
(−1)k
(
α
k
)
T (−kh) =
∞∑
s=0
k0∑
k=0
(−1)k
(
α
k
)(
k
s
)
(T (−h)− 1)s (22)
qui peut eˆtre re´-e´crite comme
S(k0, h)f(x) =
∞∑
s=0
As(k0)(T (−h)− 1)sf(x) (23)
et avec
As(k0) =
k0∑
k=0
(−1)k
(
α
k
)(
k
s
)
= (−1)k0
(
α− (s+ 1)
k0 − s
)(
α
s
)
=
−α
s− α(−1)
k0
(
α− 1
k0
)(
k0
s
)
, s = 0, 1, 2, .. ∈ N0
(24)
Alors on trouve pour (23)
S(k0, h)f(x) = (−1)k0
(
α− 1
k0
)
f(x) +
∞∑
s=1
As(k0)(T (−h)− 1)sf(x) (25)
En vue de (20) nous sommes surtout inte´resse´s par les repre´sentations asymptotiques pour k0 À 1 a` savoir(
α− 1
k0
)
(−1)k0 = (k0 − α)!
(−α)!k0! →
k−α
(−α)! , k0 À 1 (26)
et (
k0
s
)
→ k
s
0
s!
, k0 À 1 (27)
ou` (−α)! est de´fini par (5). Pour k0 À 1 on a donc
As(k0)→ −α
s− α
ks0
s!
k−α
(−α)! , s = 0, 1, 2, ..∞ (28)
4Si α < 0 g est du type (10) et dans ce cas (19) de´finit une inte´grale fractionnaire.
4
ou` il faut distinguer les cas s = 0 et s > 0 soit5
As(k0) =
−α
(s− α)
ks−α0
(−α)!s! =

k−α0
(−α)! s = 0∫ k0
0
ks
s!
(−α)k−(α+1)
(−α)! dk s ≥ 1
(29)
Il s’ensuit que
S(k0, h) = A0(k0)f(x) +
∞∑
s=1
As(k0)(T (−h)− 1)sf(x) (30)
La relation (30) est valable aussi pour les fonctions non-diffe´rentiables (ho¨lde´riennes), voire pour les fonctions
non-continues. Ici, il nous faut rendre compte du caracte`re de la fonction f : si f(x) est infiniment diffe´rentiable
(lipschitzienne), on peut poser T (−h) = e−hDx et dans le cas limite h→ 0 on peut poser (T (−h)− 1)sf(x) =
(−1)shsDsxf(x). En tenant compte de (29) on obtient, pour k0 À 1, en introduisant la variable continue
0 ≤ τ = hk ≤ τ0 = hk0 :
S(k0, h) = hα
{
τ−α0
(−α)!f(x) +
∞∑
s=1
(−1)sDsxf(x)
∫ τ0
0
τ s
s!
(−α)τ−(α+1)
(−α)! dτ
}
(31)
On s’aperc¸oit que la somme a` partir de s = 1 est une convolution de la se´rie de Taylor de f(x − τ) − f(x).
On peut donc re´-e´crire (31) comme
S(k0, h) = hα
{
τ−α0
(−α)!f(x) +
∫ τ0
0
(f(x− τ)− f(x)) (−α)τ
−(α+1)
(−α)! dτ
}
(32)
(32) est valable pour k0 À 1 avec τ0(h) = hk0. Le cas limite h → 0 de (32) qui de´termine (20) de´pend du
choix de τ0(h) a` condition que k0 À 0. Il faut souligner que dans (31), (32) la se´quence des processus limites
joue :
lim
h→0
(
lim
k0→∞
S(k0, h)
)
6=
(
lim
h→0
S(k0(h))
)
, avec lim
h→0
k0(h)→∞ (33)
Pour cette raison, il y a autant de de´finitions diffe´rentes de la de´rive´e fractionnaire dans la lite´rature (e.g.
[4]).
Conside´rons le cas du membre gauche de (33) a` savoir k0 →∞ alors que h est infinitesimal et fixe. On a
donc dans ce cas toujours comme limite supe´rieure d’inte´gration τ0 = hk0 →∞ dans (32) et on obtient
Dαxf(x) = h
−αS(k0 =∞, h) =
∫ ∞
0
(f(x− τ)− f(x)) (−α)τ
−(α+1)
(−α)! dτ (34)
qui peut eˆtre re´-e´crit comme
Dαxf(x) =
(−α)
(−α)!
∫ x
−∞
(x− t)−(α+1) (f(t)− f(x)) dt (35)
Les expressions (34)-(35) sont connues comme de´rive´es fractionnaires de Marchaud6 (Eq. (12) dans [1]). On
se rend compte que (34) n’existe qu’aux cas ou` |f(x − τ) − f(x)| se comporte pour τ → 0 comme Cτ δ avec
δ > α, c’est-a`-dire si f(x) est ho¨lde´rienne, son exposant doit eˆtre tel que 0 < α < δ ≤ 1 ou` le cas δ = 1
correspond aux fonctions traditionnelles lipschitziennes. On a la propriete´ de´sire´e que Dαx (const) = 0. A
condition que f(x) soit une fois diffe´rentiable, on arrive a`
Dαxf(x) = D
α−1
x (Dxf(x)) = Dx(D
α−1
x f(x)) = Dx
∫ ∞
0
τ−α
(−α)!f(x− τ)dτ (36)
5A remarquer A0(k0 →∞) = 0 e´tant une conse´quence de (8) et et As(k0 →∞) =∞ pour s > 0.
6Malheuresement il existe une certaine confusion sur cette de´nomination dans la lite´rature. Nous avons adopte´ celle de [1],
mais on devrait y trouver des de´nominations diffe´rentes.
5
ou` l’inte´grale correspond tout a` fait a` ce qu’on de´duit pour Dα−1x f(x) a` partir de (9)7. Afin d’obtenir (34),
(35), on a suppose´ que f(x) remplit les conditions suivantes
lim
τ→0 |f(x)− f(x− τ)| ≤ C0(x)τ
δ
lim
τ→∞ |f(−τ)| ≤ C∞τ
β
(37)
avec β < α < δ ≤ 1. Les relations (34), (35) sont donc plus ge´ne´rales que (36) qui exige que f soit une fois
diffe´rentiable et par conse´quent δ = 1. Nous rappelons que nous avons toujours suppose´ que 0 < α < 1. On
observe que f(x) = eλx (λ > 0, pour la convergence8) est une fonction propre de l’ope´rateur Dαx a` savoir
Dαxe
λx = h−α(1− T (−h))αeλx = h−α(1− e−hλ)αeλx = λαeλx
Dαxe
λx = λαeλx
∫ ∞
0
t−α
(−α)!e
−tdt = λαeλx
(38)
Le fait que eλx, qui est fonction propre de l’ope´rateur de translation T (−h)eλx = eλ(x−h) = e−hλeλx, reste
aussi une fonction propre de Dαx de (35), (36) re´side dans le fait que ces deux ope´rateurs agissent dans le
meˆme espace de fonctions de´fini sur le domaine −∞ < x <∞9.
3 Conclusions
Nous avons introduit le concept d’une de´rive´e (et inte´grale) ge´ne´ralise´e qui est susceptible de reproduire les
de´rive´es fractionnaires, ce que nous avons de´montre´ a` l’aide de la de´rive´e fractionnaire de Marchaud (eqs.
(34)-(36)). De telles de´rive´es peuvent eˆtre de´finies par des cas limites a` partir de la relation (9) ou par
des relations semblables le´ge`rement modifie´es. Dans certains cas on de´duit des convolutions permettant de
capturer des effets non-locaux dans l’espace ou dans le temps. Par exemple, ce concept permet d’aborder
certains syste`mes me´caniques comportant des interactions inter-particulaires a` longue distance comme il s’en
produit dans les milieux ayant une microstructure sans e´chelle (auto-similaires) [2].
References
[1] B. Ross, S.G. Samko, E. Russel Love, Functions that have no First Order Derivative might have Fractional Derivatives of
all Orders Less than One, Real Analysis Exchange 20(2) (1994/5), 140-157.
[2] T. M. Michelitsch, G. A. Maugin, F. C. G. A. Nicolleau, A. F. Nowakowski, and S. Derogar, Dispersion relations and wave
operators in self-similar quasicontinuous linear chains, Phys. Rev. E 80, 011135 (2009).
[3] Miller, K. S. and Ross, B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. New York:
Wiley, 1993.
[4] Oldham, K. B. and Spanier, J. The Fractional Calculus: Integrations and Differentiations of Arbitrary Order. New York:
Academic Press, 1974.
[5] Riesz, Marcel (1949), L’inte´grale de Riemann-Liouville et le proble`me de Cauchy, Acta Mathematica 81: 1223,
doi:10.1007/BF02395016, MR0030102, ISSN 0001-5962.
[6] S. Samko, A. Kilbas and O. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach,
London (1993).
7Dans notre classification Dα−1x f(x) est une inte´grale car α− 1 < 0 et correspond a` l’inte´grale fractionnaire d’ordre α− 1 de
Riemann-Liouville [3].
8Re(λ) > 0 si λ ∈ C.
9Ce fait se traduit par la commutativite´ des deux ope´rateurs T (h) et Dαx .
6


Sur une généralisation de l'opérateur fractionnaire

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46148/1/cfm2011_75.pdf

Sur une généralisation de l'opérateur fractionnaire

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues