La Caractérisation de la propagation d'énergie dans des guides d'ondes viscoélastique aléatoires sera discutée dans ce papier. Cette approche est basée sur une méthode spectrale stochastique appelée « Stochastic Wave Finite Element ». Cette méthode est une extension de la WFE pour les milieux aléatoires. Cette approche permet de prédire la dispersion des quantités énergétiques en tenant compte des incertitudes (géométriques et incertitudes de la propriété). Des simulations prouvent l'efficacité de notre approche. Les résultats sont validés par des simulations de Monte Carlo

BAREILLE, Olivier

BEN SOUF, Mohamed Amine

BOUCHOUCHA, Faker

HADDAR, Mohamed

ICHCHOU, Mohamed

I-Revues

20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Approche e´nerge´tique pour des guides d’ondes
stochastiques: formulation et validation
M. A. BEN SOUFa,b, M. ICHCHOUa, F. BOUCHOUCHAb, O. BAREILLEa, M.
HADDARb
a. Laboratoire de Tribologie et de Dynamique des Syste`mes, Ecole Centrale de Lyon, Ecully,
FRANCE
b. Unite de Mode´lisation, Me´canique et Productique, Ecole Nationale d’Inge´nieur de Sfax, Sfax,
TUNISIE
Re´sume´ :
La propagation d’e´nergie dans un guide viscoe´lastique est pre´sente´e dans ce papier. La re´ponse force´e
d’un guide d’ondes stochastiques soumis a` des chargements incertains et harmoniques est traite´e. Ce
mode`le e´nerge´tique est base´ sur la me´thode ”Stochastic Wave Finite Element” (SWFE). La SWFE
est une me´thode spectrale pour les guides pre´sentant des incertitudes .En supposant que les proprie´te´s
ale´atoires sont spatialement homoge`nes dans le guide, la me´thode ”Wave Finite Element” est e´tendue
par une approche probabiliste parame´trique. Le mode`le propose´ est une me´thode nume´rique valide
pour les basses, moyennes et hautes fre´quences avec un temps de calcul ne´gligeable. Des simulations
nume´riques prouvent l’efficacite´ de l’approche propose´e . Les re´sultats sont compare´s a` des simulations
de Monte Carlo.
Abstract :
The energy propagation in a viscoelastic guide is presented in this paper. The forced response of a
stochastic waveguide subjected to harmonic and uncertain loading is treated. This energy model is
based on ”Stochastic Finite Element Wave” (SWFE) method. It’s a spectral method for uncertain
media. Assuming that the random properties are spatially uniform in the waveguide, the ”Wave Finite
Element” method is extended by a parametric probabilistic approach. The proposed model is a numerical
tool valid in low, Mid- and High-frequency with a negligible computation time. Numerical simulations
prove the effectiveness of the proposed approach. The results are compared to Monte Carlo simulations
Mots clefs : energy propagation, forced response, parametric probabilistic ap-
proach
1 Introduction
La propagation d’onde dans les guides fait l’objet de plusieurs sujets de recherches intensives. La
me´thode des e´le´ments finis et l’analyse statistique de l’e´nergie (SEA) sont bien de´veloppe´s pour la
basse et la hautes fre´quence. Trop e´leve´ pour la FEA, trop faible pour la SEA, la moyenne fre´quence
reste toujours un proble`me pour les concepteurs. Ce document presente un mode`le applicable a` toute
bande de fre´quence, en particulier la moyenne fre´quence.La ”Wave Finite Element” est une me´thode
spectrale de´terministe qui traite les proble`mes de propagation des ondes dans les structures homoge`nes
et pe´riodiques. Cette me´thode est base´e sur la mode´lisation d’un sous-syste`me par les elements finis
classique. En appliquant les conditions de pe´riodicite´ on peut cre´er un proble`me de valeurs propres qui
de´crit la propagation des ondes dans le syste`me. Cette me´thode a e´te´ de´veloppe´e pour l’analyse des
vibrations des structures [1] et la propagation des ondes e´lastiques dans les guides [2]. Houillon et al.[3]
a utilise´ la WFE pour e´tudier la dynamique des structures homoge`nes d’ une section quelconque. En
outre, la propagation de l’energie dans les structures est un sujet intensivement e´tudie´ par de nombreux
1
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
chercheurs [4]. Ichchou [5] a` de´veloppe´ une me´thode simplifie´e de l’e´nergie (MES) pour les moyennes
et hautes fre´quences qui permet de pre´dire la moyenne de la densite´ d’e´nergie en 1D et 2D structures.
Arnaud et al.[6] a` utilise´ la me´thode de MES pour e´tudier la propagation de puissance dans le complexe
1D structures lie´es a` une cavite´. Langley [7] inspecte´ le flux d’e´nergie dans les structures pe´riodiques et
a e´tudie´ l’atte´nuation produite par amortissement.Tous les me´thodes pre´sente´es ne conside`rent que les
valeurs nominales des parame`tres et ne´gligent les incertitudes pre´sente´s dans les structures (proprie´te´s
me´caniques) ou dans l’une des conditions aux limites (forces, de´placements ...). L’effet de ces incer-
titudes est ne´gligeable en basse fre´quence, mais il sera de plus en plus important dans les moyennes
et hautes fre´quences.Dans cet article nous pre´senterons une approche de´crivant la propagation des
ondes et l’energie en guide d’onde stochastique. En supposant que les incertitudes sont spatialement
uniformes et pe´riodiques, nous suivons le meˆme algorithme que celui de´veloppe´ par Ghanem [8] qui
a e´tendu e´lements finis aux e´le´ments finis stochstiques. Cette formulation est e´fficace en moyenne et
haute fre´quence avec un temps de calcul ne´gligeable. Ce mode`le pre´sente´ est une combinaison entre une
me´thode parame´trique et le ”Wave Finite Element” qui permet de pre´dire la statistique des variables
cine´matiques (de´placement, forces ...) et variables quadratiques (densite´ d’e´nergie cine´tique, densite´
d’e´nergie potentielle ,...). Ce papier contient trois parties : La premie`re partie conserne la formulation
SWFE, la deuxie`me concerne la re´ponse force´es et la formualtion e´nerge´tique. La troixie`me partie
conserne les simulations prouvent l’e´fficacite´ du mode`le pre´sente´. Les re´sultats sont ve´rifie´s avec la
simulation de Monte Carlo.
2 Stochastic Spectral Formulation
Dans tout le de´veloppement, tout les variables stochastiques r˜ sont e´critent sous la forme r˜ = r¯+σrξ,
avec r¯ la moyenne, σr l’e´cart type et ξ est une variable ale´atoire centre´e et reduite ((ξ¯ = 1) ,(σξ = 0)).
2.0.1 Stochastic Wave Finite Element method : State space formu-
lation
En utilisant l’espace d’e´tat, les vecteurs d’e´tat stochastiques u˜L and u˜R sont de´finis par : u˜L =(
(q˜L)
T
(
−F˜L
)T)T
et u˜R =
(
(q˜R)
T
(
F˜R
)T)T
. Il est claire que ces deux vecteurs sont lie´es par une
matrice de transformation S˜ as :(
S¯+ σSξ
)
[u˜L] = [u˜R]⇔
(
S¯LL + σSLRξ S¯LR + σSLLξ
S¯RL + σSRLξ S¯RR + σSRRξ
)(
q¯L + σqLξ
−F¯L − σFLξ
)
=
(
q¯R + σFRξ
F¯R + σFRξ
)
(1)
En connaissant les statistiques de la matrice de transformation, le proble`me aux valeurs propres
stochastique est e´crit comme suit : (
S˜− µ˜iI2n
)
Φ˜i = 0 (2)
Si l’on conside`re que les solutions du proble`me aux valeurs propres stochastiques sont e´crites : µ˜ =
(µ¯+ σµξ) , Φ˜ =
(
Φ¯+ σΦξ
)
, l’e´xpansion de l’e´quation (2) conduit a` obtenir l’ordre ze´ro (proble`me
aux valeurs propres de´terministe)
(
S¯− µ¯iI2n
)
Φ¯i = 0. De fac¸on e´quivalente, l’expression du premier
ordre est exprime´e comme suit :(
S¯− µ¯iI2n
)
σΦi + (σS − σµiI2n) Φ¯i = 0 (3)
Puisque Φ˜Ti Jn est un vecteur propre a` gauche de S˜ associe´e a` la valeur propre 1/µi, donc l’expansion
du proble`me des valeurs propres a` gauche
((
Φ˜Ti Jn
)
S˜ = 1/µ˜i
(
Φ˜Ti Jn
))
conduit a` exprimer des termes
du premier ordre :
(σΦi)
T Jn
(
S¯− µ¯−1i I2n
)
+
(
Φ¯i
)T
Jn
(
σS + σµi µ¯
−2
i I2n
)
= 0 (4)
La re´solution des e´quations (3) et (4) on trouve :
σµi =
[(
Φ¯i
)T
σTS
(
S¯T − µ¯iI2n
)
−1
Jn
(
S¯− (µ¯i)
−1I2n
)
−
(
Φ¯i
)T
JnσS
]
×[(
Φ¯i
)T (
S¯T − µ¯iI2n
)
−1
Jn
(
S¯− (µ¯i)
−1I2n
)
+ (µ¯i)
−2 (
Φ¯i
)T
Jn
]
−1 (5)
2
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
F
21 Nk
0 L
Figure 1 – Illustration d’un guide d’onde pe´riodique
et
σΦi = −
[
S¯− µ¯iI2n
]+
[σS − σµiI2n] Φ¯i (6)
Les e´quations (5) et (6) fournit les statistiques des diffe´rentes proprie´te´s pour guide d’onde stochas-
tique. Finalement, on peut ecrire l’e´cart type du nombre d’onde :
σk =
j
d
σµ
µ¯
(7)
avec d est la longueur de la sous structure
3 Forced response : Stochastic wave mode expansion
Dans cette partie, nous essayons d’exprimer la re´ponse harmonique et de caracte´riser les effets de
la variabilite´ des de´placements et des e´ne´rgies en guides ale´atoires pe´riodiques. Les proprie´te´s des
mate´riaux et les forces sont cense´s eˆtre des parame`tres incertains. L’expansion des vecteurs d’e´tat
stochastique u˜
(k)
L et u˜
(k)
R (k = 1, ..., N) sur la base d’ondes stochastiques re´duite est e´crit :
u˜
(k)
L = Φ˜
incQ˜inc(k) + Φ˜refQ˜ref(k) (8)
u˜
(k)
R = Φ˜
incQ˜inc(k+1) + Φ˜refQ˜ref(k+1) (9)
avec Φ˜inc et Φ˜ref sont (2n ×m) des matrices incidentes et re´fle´chies, les modes d’ondes, et Q˜inc et
Q˜ref sont (m× 1) vecteurs des amplitudes stochastiques.
Le cas d’un seul guide d’onde est maintenant traite´. Soit un guide d’onde encastre´ libre soumis a` un
chargement de flexion a` son extre´mite´ libre. Les conditions aux limites sont e´crites comme suit :
Φ˜incF Q˜
inc(1) + Φ˜refF Q˜
ref(1) = −F˜ (10)
Φ˜incq Q˜
inc(N+1) + Φ˜refq Q˜
ref(N+1) = q˜ (11)
sachant que l’amplitude de keme sous-syste`me est lie´e a` l’amplitude du premier e´le´ment comme suit :
Q˜(k) =
(
µ˜inc 0
0 µ˜ref
)(k−1)
Q˜(1) (12)
donc les e´quations (13) et (14) peuvent eˆtre e´crites :
Φ˜incF Q˜
inc(1) + Φ˜refF Q˜
ref(1) = −F˜ (13)
3
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Φ˜incq µ˜
NQ˜inc(1) + Φ˜refq µ˜
−NQ˜ref(1) = q˜ (14)
Sous forme matricielle : (
Φ˜incF Φ˜
ref
F
Φ˜incq µ˜
N Φ˜
ref
q µ˜−N
)(
Q˜inc(1)
Q˜ref(1)
)
=
(
−F˜
q˜
)
(15)
L’expansion de l’e´quation (15) conduit a` identifier l’ordre ze´ro Q¯(k) =
(
µ¯inc 0
0 µ¯ref
)(k−1)
Q¯(1) qui
permet de calculer la moyenne de l’amplitude de l’onde pour le premier e´le´ment. Souffrant d’un
proble`me de singularite´, l’e´quation d’ordre ze´ro peut eˆtre reformule´e comme suit :
(
Q¯inc(1)
Q¯ref(1)
)
=
(
In 0
0 µ¯N
)(
Φ¯incF Φ¯
ref
F µ¯
N
Φ¯incq µ¯
N Φ¯
ref
q
)+(
−F¯
q¯
)
(16)
De fac¸on e´quivalente, la projection du premier ordre conduit a` quantifier l’e´cart-type de l’amplitude :
(σQ)
(1) = L¯−1
(
Φ¯incF Φ¯
ref
F µ¯
N
Φ¯incq µ¯
N Φ¯
ref
q
)+ [(
−σF
σq
)
− σA
(
Q¯inc(1)
Q¯ref(1)
)]
(17)
avec : σA =
(
σΦincF σΦrefF
σΦincq
(
µ¯inc
)N
+NΦ¯incq
(
µ¯inc
)(N−1)
σµinc σΦrefq
(
µ¯ref
)N
+NΦ¯refq
(
µ¯ref
)(N−1)
σµref
)
connaˆıssant les statistiques de l’amplitude du sous-syste`me , nous pouvons calculer les statistiques de
l’amplitude a` tout e´le´ment de la structure en utilisant la formule re´currente suivante :
(
σQinc
σQref
)(k)
=
(
µ¯inc 0
0 µ¯ref
)(k−1)(
σQinc
σQref
)(1)
+(k−1)
((
µ¯inc
)(k−2)
σµinc 0
0
(
µ¯ref
)(k−2)
σµref
)(
Q¯inc
Q¯ref
)(1)
(18)
En utilisant les e´quations (8) and (9) les statistiques de de´placement de chaque e´le´ment dans la poutre
peuvent eˆtre exprime´es comme suit :
(σq)
(k) =
(
Φ¯incq Φ¯
ref
q
Φ¯incq µ¯
inc Φ¯
ref
q µ¯ref
)
(σQ)
(k) +
(
σΦincq σΦrefq
σΦincq µ¯
inc + Φ¯incq σµinc σΦrefq µ¯
ref + Φ¯refq σµref
)
Q¯(k)
(19)
3.1 Energy density propagation
En supposant que la longueur de l’e´le´ment est suffisamment faible, les densite´s d’e´nergie varient faible-
ment dans un sous-syste`me. En utilisant cette hypothe`se la densite´ d’e´nergie cine´tique stochastique
pour le keme e´le´ment peut eˆtre e´crite :
E˜(k)c =
ω2
4d
(
q˜L
q˜R
)(k)H
M˜
(
q˜L
q˜R
)(k)
(20)
L’expansion et la projection sur les polynoˆmes de chaos conduit a` identifier l’ordre un comme suit :
σ
(k)
Ec
=
ω2
4d
(
(σq)
(k)HM¯q¯(k) + q¯(k)M¯(σq)
(k) + q¯(k)HσMq¯
(k)
)
(21)
En suivant la meˆme proce´dure de´ja pre´sente´e, la densite´ d’e´nergie potentielle stochastique peut eˆtre
exprime´ comme suit :
E˜(k)p =
1
4d
(
q˜L
q˜R
)H
K˜
(
q˜L
q˜R
)
(22)
4
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
E (MPa) ρ (kg/m3) d (m) η(%) σE,ρ(%) F (N) S (m
2) I (m4)
2 · 1011 7800 7 · 10−4 2 2 1 2.5 · 10−5 4.166 · 10−6
Table 1 – Caracte´ristiques de la poutre
ainsi, l’e´cart type est exprime´ :
σ
(k)
Ep
=
1
4d
(
(σq)
(k)HK¯q¯(k) + q¯(k)K¯(σq)
(k) + q¯(k)HσKq¯
(k)
)
(23)
Enfin, l’e´cart-type de la densite´ d’e´nergie totale est exprime´ par :
σ
(k)
E = σ
(k)
Ec
+ σ
(k)
Ep
(24)
4 Exemple nume´rique
La validation de la formulation sera pre´sente´e dans cette partie. Soit une poutre soumise a un effort
de flexion . Les caracte´ristiques de cette poutre sont pre´sente´es dans le tableau 1 : Le module d’Young
est suppose´ comme parame`tre ale´atoire. Ces figures repe´sentent les moyennes des diffe´rents quntite´s
102 103 104
10−8
10−7
10−6
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Frequency (Hz)
 
M
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 D
isp
la
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t (m
) a
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/2 
(a)
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)
(b)
Figure 2 – (a) Moyenne du de´placement, (b) e´cart type du de´placement : Moyenne analytique (∗),
WFE (−), SWFE (−−), Monte Carlo (.)
cine´matique ainsi que e´nerge´tiques. On remarque que la solution du mode`le pre´sente´ coincide avec les
simulation de Monte Carlo(3000 ite´rations). Ce qui prouve l’e´fficacite´ de la formulation.
5
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Frequency (Hz)
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Frequency (Hz)
Ki
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 E
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De
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ity
(b)
Figure 3 – (a) Moyenne de la densite´ d’e´nergie cine´tique, (b) e´cart type de la densite´ d’e´nergie
cine´tique : Moyenne analytique (∗), WFE (−), SWFE (−−), Monte Carlo (.)
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Po
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(b)
Figure 4 – (a) Moyenne de la densite´ d’e´nergie potentielle, (b) e´cart type de la densite´ d’e´nergie
potentielle : Moyenne analytique (∗), WFE (−), SWFE (−−), Monte Carlo (.)
Remerciement
Les auteurs remercient le projet Marie Curie, GA-214909 ’MID-FREQUENCY CAE Methodologies
for Mid-Frequency Analysis in Vibration and Acoustics’
Re´fe´rences
[1] M N Ichchou, J Berthaut, and M Collet. Multi-mode wave propagation in ribbed plates : part i,
wavenumber-space characteristics ; part ii, predictions and comparisons. International Journal of
Solids and Structures, 45(5) :1179–1216, 2008.
[2] J M Mencik and M N Ichchou. Multi-mode propagation and diffusion in structures through finite
elements. European Journal of Mechanics - A/Solids, 24(5) :877–898, 2005.
[3] L Houillon. Mode´lisation Vibratoire des Carrosseries Automobiles en Moyennes et hautes
Fre´quences. PhD thesis, Ecole Centrale de Lyon, 1999.
6
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
[4] H.G.D. Goyder. Vibrational power flow from machines into built-up sturctures, part i : Introduction
and approximation analysis of beam and plate-like. journal of sound and vibration, 68(1) :59–75,
1980.
[5] M. Ichchou. Formulations energetiques pour le´tude moyenne et hautes frequence des systemes :
Theorie et applications. PhD thesis, Ecole Centrale de Lyon, 1996.
[6] A Bocquillet. Me´thode E´nerge´tique de Caracte´risations Vibroacoustiques des Re´seaux Complexes.
PhD thesis, Ecole Centrale de Lyon, 2000.
[7] R. S. Langley. On the forced response of one-dimensional periodic stuctures : vibration localisation
by damping. journal of sound and vibration, 178(3) :411–428, 1994.
[8] R. Ghanem and P. Spanos. Stochastic Finite Elements : A Spectral Approach. Springer, New York,
NY, 1991.
7


Approche énergétique pour des guides d'ondes stochastiques : formulation et validation

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46333/1/cfm2011_1126.pdf

Approche énergétique pour des guides d'ondes stochastiques : formulation et validation

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