Les caractéristiques de dispersion des panneaux plats, composites sont prévues par une méthode des éléments finis ondulatoire.Les matrices de masse et de raideur sont calculées par une modélisation éléments finis classique et sont insérés dans un problème aux valeurs propres polynômial, dont les solutions correspondent aux nombres d'onde de la structure.La densité modale et l'efficacité de rayonnement de la structure sont estimées en utilisant les caractéristiques de propagation.La réponse vibroacoustique à large bande du panneau est calculée dans le cadre d'une analyse statistique énergétiqu

CHRONOPOULOS, Dimitrios

ICHCHOU, Mohamed

TROCLET, Bernard

I-Revues

20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
Caracte´risation du comportement vibroacoustique des
panneaux composites par la me´thode des e´le´ments finis
ondulatoire
Dimitrios Chronopoulosa,b, Mohammed Ichchoub, Bernard Trocleta,c
a. EADS Astrium ST, 66 Route de Verneuil, BP3002, 78133 Les Mureaux Cedex, France
b. Ecole Centrale de Lyon, 36 Avenue Guy de Collongue, 69134 Ecully Cedex, France
c. Ecole Normale Supe´rieure de Cachan, 61 Avenue du Pre´sident Wilson, 94230 Cachan, France
Re´sume´ :
Un mode`le robuste pour la pre´diction de la performance vibro-acoustique des structures en mate´riaux
composites via une analyse statistique e´nerge´tique (SEA) est de´veloppe´ dans cet article. Les ca-
racte´ristiques de dispersion des panneaux composites sont pre´vues par une me´thode des e´le´ments fi-
nis ondulatoire (WFEM). Les matrices de masse et de raideur sont calcule´es par une mode´lisation
e´le´ments finis classique (FE) et sont inse´re´es dans un proble`me aux valeurs propres polynoˆmial,
dont les solutions correspondent aux nombres d’onde de la structure. La densite´ modale et l’effica-
cite´ de rayonnement de la structure sont estime´es en utilisant les caracte´ristiques de propagation. La
re´ponse vibroacoustique a` large bande du panneau est calcule´e dans le cadre d’une analyse statistique
e´nerge´tique.
Abstract :
A robust model for the prediction of the vibroacoustic performance of composite structures within a
statistical energy analysis (SEA) context is developed hereby. The dispersion characteristics of compo-
site orthotropic structures are predicted by a wave finite element (WFE) method. The structure’s mass
and stiffness matrices are computed by a conventional finite element (FE) modelling and the wave
propagation characteristics are derived by post-processing these matrices. A polynomial eigenproblem
is formed whose eigenvalues correspond to structural wavenumbers. The modal density and the radia-
tion efficiency of the structure are then evaluated using its numerically extracted wave propagation
characteristics. The broadband vibroacoustic response of each configuration under a reverberant field
excitation can then be computed within an SEA approach.
Mots clefs : Composite panels ; Wave Finite Element Method ; Statistical Energy
Analysis
1 Introduction
Les structures complexe non-isotrope stratifie´es et sandwiches sont largement utilise´s dans les applica-
tions d’inge´nierie tels que l’ae´rospatiale et l’industrie automobile, principalement en raison de leur rap-
port rigidite´ / masse e´leve´ et du fait que leurs caracte´ristiques me´caniques peuvent eˆtre conc¸ues pour
re´pondre a des ne´cessite´es particulie`res. La mode´lisation du comportement vibratoire des structures
composites complexes est un champ d’e´tudes approfondies en inge´nierie moderne. La connaissance des
caracte´ristiques de propagation des ondes dans une structure semble fournir une cle´ pour de´coder la
mode´lisation de ce comportement vibratoire.
Des formules analytiques pour la caracte´risation de dispersion dans des plaques minces orthotropes
peuvent eˆtre trouve´es dans les ouvrages classiques [1] et commencent par la the´orie des plaques
stratifie´es classique (CLPT) [2], de´veloppe´e comme une extension de la the´orie Kirchoff- Love et
1
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
applique´e avec succe`s a` des panneaux minces a` basses fre´quences. En outre, la the´orie du premier
ordre de de´formation de cisaillement (FSDT) [3] prend en compte la de´formation de cisaillement
transversale du panneau.
Renji et al [4] ont utilise´ la the´orie des plaques Midlin pour calculer les vitesses des ondes anti-
syme´triques des panneaux sandwich composites. Ghinet et Atalla [5, 6] ont utilise´ un mode`le ge´ne´ralise´
multicouche analytique Midlin pour aller plus loin et calculer la re´ponse vibroacoustique des panneaux
sandwich courbe´s en vertu d’un champ sonore diffus avec une me´thode SEA.
Une grande varie´te´ d’applications de la WFEM a e´te´ effectue´e pour pre´dire les vitesses des ondes des
structures unidimensionnelles [7, 8] et en deux dimensions [9, 10]. La principale hypothe`se de la
me´thode est la pe´riodicite´ de la structure a` mode´liser. La technique en deux dimensions a e´te´ utilise´e
avec succe`s par Inquiete [10] pour mode´liser la propagation des ondes dans des panneaux orthotropes
minces plats.
La principale contribution de cet article est le calcul des quantite´s SEA essentielles pour l’ana-
lyse vibro-acoustique d’un panneau composite orthotrope apre`s l’extraction nume´rique de ses ca-
racte´ristiques de dispersion en utilisant un mode`le WFE. L’objectif est de de´velopper une approche
robuste unifie´e pour l’analyse vibro-acoustique des structures composites, en de´veloppant une me´thode
SEA nume´riquement alimente´e. L’avantage principal de la me´thode actuelle est sa capacite´ a` mode´liser
avec pre´cision tout type de structure e´paisse he´te´roge`ne (dans le sens de l’e´paisseur), pour une tre`s
large gamme de fre´quences.
2 Pre´sentation de la me´thodologie
2.1 La me´thode WFEM 2D
L’hypothe`se fondamentale de la WFEM est la pe´riodicite´ de la structure a` eˆtre mode´lise´e a` deux
dimensions. La pe´riodicite´ doit eˆtre vrai pour la ge´ome´trie ainsi que pour les proprie´te´s me´caniques.
Les types des configurations pouvant eˆtre mode´lise´es varient des panneaux multi-couches ou des nids
d’abeille en sandwich a` des structures totalement inhomoge`nes dans le sens de l’e´paisseur.
Au de´part, les matrices de masse et de rigidite´ d’un petit segment de structure [M ] et [K] sont
extraites en utilisant des algorithmes classiques FEM. Suite a` l’analyse dans [10], un proble`me aux
valeurs propres polynoˆmial repre´sente´ dans l’e´quation suivante peut eˆtre forme´ :
( I λ−1y I λ
−1
x I λ
−1
x λ
−1
y I ) [D] ( I λxI λyI λxλyI )
T uQ = 0 (1)
ou` D est la matrice de rigidite´ dynamique de la structure mode´lise´e [D] =
(
[K] (1 + ηi)− ω2 [M ]
)
. Les
solutions du proble`me aux valeurs propres ci-dessus repre´sentent les longueurs d’onde se propageant
dans la structure et les modes d’ondes correspondant a` chaque type d’onde, et le proble`me peut
eˆtre re´solu pour toute la gamme des fre´quences et des angles de propagation. Une fois que toutes
les informations souhaite´es sont acquises, les re´sultats correspondant a` des ondes se propageant dans
la structure doivent eˆtre distingue´s par des ondes e´vanescentes et des solutions artefacts nume´riques
avec un proce´de´ de´crit dans [10]. Finalement, les longueurs d’onde correspondant a` chaque type
d’onde (flexion, cisaillement, extension) pour chaque direction de propagation sont corre´le´es par le
’Modal Assurance Criterion (MAC)’.
MAC =
(
ΦTi Φ¯j
) (
ΦTj Φ¯i
)
(
ΦTi Φ¯i
) (
ΦTj Φ¯j
) (2)
ou T exprime la transpose`e et − le conjugue´ de chaque vecteur modal.
2
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
2.2 Calcul des indices SEA
2.2.1 Densite´ modale
Selon [15], la densite´ modale d’une plaque plane peut eˆtre e´crite comme une fonction du nombre d’onde
de propagation pour chaque angle et sa vitesse de groupe correspondant de chaque type d’onde :
n (ω) =
∫ pi
0
A κ (ω, φ)
2pi2 |cg (ω, φ) |
dφ (3)
2.2.2 L’efficacite´ de rayonnement
Afin de calculer l’efficacite´ de rayonnement σ (κ (ω, φ)) pour un panneau composite, les formules
asymptotiques pre´sente´es par Leppington dans [14] sont utilise´s. L’une des hypothe`ses principales
de la SEA est l’e´quipartition de l’e´nergie parmi les modes re´sonants de sorte que le rendement de
rayonnement s’est e´crit :
σrad =
1
n (ω)
∫ pi
0
σ (κ (ω, φ))n (ω, φ) dφ (4)
2.2.3 La re´duction du bruit (NR) et la perte de transmission du
son (TL)
Le proble`me qui sera e´tudie´ est la re´duction du bruit cause´ par un panneau composite entre deux
chambres re´verbe´rantes, une chambre source, et une chambre de re´ception. Selon [13], la re´duction
du bruit cause´ par le panneau peut eˆtre e´crite comme :
NR = 10log10

 η13 +
n2η
2
rad
n1(η2+2ηrad)
η3 +
n1η13
n3
+ n2ηrad
n3

 (5)
avec 1,2,3 des indices repre´sentant la chambre source, le panneau, et la chambre re´verbe´rant respecti-
vement, η13 l’efficacite´ de transmission non-re´sonante, ηi le facteur de perte par dissipation de chaque
sous-syste`me, ηrad l’efficacite´ de rayonnement du panneau, et ni la densite´ modale de chaque sous-
syste`me. Afin de prendre en compte les dimensions finies du panneau, une me´thode de correction pour
le facteur η13 pre´sente´e dans [16] sera utilise´e.
Finalement, la perte de transmission du son (TL), l’un des plus importants indices vibroacoustique
peut eˆtre calcule´e comme suit :
TL = NR+ 10log10
(
A
αA3
)
(6)
ou A l’aire de la plaque, α le coefficient d’absorption et A3 l’aire de la chambre re´ceptive.
3 Re´sultats nume´riques
Dans cette section, la me´thodologie de´veloppe´e ci-dessus sera applique´e et valide´e. Nous prenons
comme premier exemple, le panneau orthotrope mince pre´sente´ dans [11]. Les caracte´ristiques de
dispersion du panneau ont e´te´ calcule´es pour chaque direction de propagation. Les re´sultats sont
pre´sente´s dans la fig. 1. comme une illustration 3D repre´sentant le k-espace de la structure pour
chaque fre´quence. Les caracte´ristiques de dispersion des ondes de chaque angle de´sire´ peuvent alors
eˆtre calcule´es par interpolation sur ce sche´ma.
Par la suite, les caracte´ristiques de dispersion d’un panneau type sandwich, e´pais et orthotrope pre´sente´
dans [12] ont e´te´ calcule´es en utilisant la meˆme proce´dure que ci-dessus. Les caracte´ristiques de la
structure sont pre´sente´es dans le Tableau 1. Les dimensions du panneau sont 1.12m x 0,62m.
3
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
−400−300
−200−100
0100
200300
400
0
50
100
150
200
250
300
0
1
2
3
4
5
x 104
 
Nombres d’ondes direction y (rad/m)
Nombres d’ondes direction x (rad/m) 
Fr
eq
ue
nc
e 
(H
z)
Figure 1 – Vue des nombres d’onde de flexion en 3 dimensions, se propageant dans la structure
stratifie´e en fonction de la direction de propagation et la fre´quence
Tableau 1
Caracte´ristiques des semelles Caracte´ristiques de l’ame
Epaisseur = 0.5mm Epaisseur = 6.35mm
ρ = 1600kg/m3 ρ = 160kg/m3
E1 = 49 10
9 Pa −
E2 = 49 10
9 Pa −
v12 = 0.15 v12 = 0.15
− −
− G23 = 90 10
6 Pa
− G13 = 140 10
6 Pa
La densite´ modale de la structure comprenant une aˆme avec les caracte´ristiques correspndant a` la
direction y est repre´sente´e sur fig. 2.a. La re´sistance de rayonnement du panneau selon la formule du
Leppington est e´galement repre´sente´e sur la fig. 2.b. Les re´sultats sont compare´s avec des quantite´s
expe´rimentaux pre´sente´es dans [12]. Un tre`s bon accord entre les re´sultats pre´vus et expe´rimentales
est observe´e pour les moyennes et hautes fre´quences. Les fluctuations des valeurs mesure´es pour les
basses fre´quences sont celles attendues en raison de la re´ponse discre´tise´e modale de la structure.
Finalement, la perte de transmission du son du panneau sous un champ re´verbe´rant acoustique peut
eˆtre calcule´e en utilisant l’approche de´crite SEA. Les re´sultats sont pre´sente´s dans la fig. 3. Une fois de
plus, les re´sultats de l’approche actuelle corre`lent tre`s bien avec les donne´es expe´rimentales. De plus,
ils semblent e´galement y avoir une meilleure corre´lation avec les re´sultats expe´rimentaux, par rapport
aux re´sultats du mode`le SEA pre´sente´s dans [12].
4 Conclusions
Une approche robuste pour la pre´diction de la performance vibro-acoustique des structures compo-
sites dans un contexte ondulatoire d’une analyse statistique e´nerge´tique (SEA) a e´te´ pre´sente´. Les ca-
racte´ristiques de propagation des ondes des panneaux composites ont e´te´ pre´dites par une mode´lisation
par e´le´ments finis ondulatoires et les re´sultats ont e´te´ utilise´s pour la pre´diction de la densite´ modale
et l’efficacite´ de rayonnement des structures. Ces quantite´s e´tant calcule´es, les caracte´ristiques de
re´ponse vibroacoustique du panneau ont e´te´ pre´dites dans une de´marche SEA. Un accord excellent
des re´sultats pre´sente´s par la me´thode actuelle avec des donne´es expe´rimentales dans le re´gime de
fre´quence a e´te´ observe´.
4
20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011
102 103 104
100
101
102
103
Frequence (Hz)
Ef
fic
ac
ite
 d
e 
ra
di
at
io
n
 
 
Approche WFEM
Resultats experimentaux [12]
102 103 104
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Frequence (Hz)
D
en
si
te
 m
od
al
e 
(m
od
es
/H
z)
 
 
Resultats experimentaux [12]
Approche WFEM
Figure 2 – Gauche : Comparaison de la densite´ modale obtenue par l’approche actuelle (-), Re´sultats
expe´rimentaux [12] (*).
Droite : Comparaison de l’efficacite´ de rayonnement obtenue par l’approche actuelle (-), Re´sultats
expe´rimentaux [12] (*)
102 103 104
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
Frequence (Hz)
TL
 (d
B)
 
 
Approche SEA [12]
Resultats experimentaux
Approche WFEM
Figure 3 – Comparaison du TL obtenue par l’approche actuelle (-), Re´sultats expe´rimentaux [12] (*)
Re´fe´rences
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6


Caractérisation du comportement vibroacoustique des panneaux composites par la méthode des éléments finis ondulatoire

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/46304/1/cfm2011_431.pdf

Caractérisation du comportement vibroacoustique des panneaux composites par la méthode des éléments finis ondulatoire

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