L’étude de comportement mécanique de

            structures et/ou d’écoulements s’appuie fréquemment sur des modèles géométriques perçus

            comme des assemblages de volumes, surfaces, lignes, connectés entre eux et comportant

            des singularités non-variétés. Une classification d’objets comportant des singularités

            non-variétés et des propriétés topologiques globales sont présentées pour accroître

            l’efficacité des modeleurs et la génération des contraintes de maillages

DE FLORIANI, Leila

HÉTROY, Franck

LEON, Jean-Claude

French

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceL’étude de comportement mécanique de structures et/ou d’écoulements s’appuie fréquemment sur des modèles géométriques perçus comme des assemblages de volumes, surfaces, lignes, connectés entre eux et comportant des singularités non-variétés. Une classification d’objets comportant des singularités non-variétés et des propriétés topologiques globales sont présentées pour accroître l’efficacité des modeleurs et la génération des contraintes de maillages

Léon, Jean-Claude

Hétroy, Franck

de Floriani, Leila

Hal - Université Grenoble Alpes

Propriétés topologiques pour la modélisation géométrique de domaines d'études comportant des singularités non-variétés

I-Revues

19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 
1 
Propriétés topologiques pour la modélisation géométrique de domaines 
d'études comportant des singularités non-variétés 
 
 Jean-Claude Léon, Franck Hétroy*, Leila de Floriani+ 
 
Grenoble Université, CNRS, Laboratoire G-SCOP, 46 av. Félix Viallet, 38000 Grenoble 
*Grenoble Université, CNRS - INRIA, Laboratoire J. Kuntzmann, 655 av. de l'Europe, 38334 
Montbonnot 
+Université de Gênes, Dept. Informatique, Via Dodecaneso, 35, 16146  Genova, Italie 
E mail : Jean-Claude.Leon@grenoble-inp.fr, Franck.Hetroy@imag.fr, deflo@disi.unige.it  
 
Résumé : 
 
L’étude de comportement mécanique de structures et/ou d’écoulements s’appuie fréquemment sur des 
modèles géométriques perçus comme des assemblages de volumes, surfaces, lignes, connectés entre eux 
et comportant des singularités non-variétés. Une classification d’objets comportant des singularités non-
variétés et des propriétés topologiques globales sont présentées pour accroître l’efficacité des modeleurs 
et la génération des contraintes de maillages. 
 
Abstract: 
 
The mechanical behavior of structures and/or fluids relies on geometric models perceived as sets of 
volumes, surfaces, lines, connected together and containing non-manifold singularities. A classification 
of objects incorporating non-manifold singularities as well as global topological properties are 
introduced to improve the efficiency of modelers and the generation of meshing constraints. 
 
Mots-clefs : topologie, singularités non-variété, modèles géométriques, maillage 
 
1 Introduction 
 
Lors de la modélisation de comportement de structures, de fluides, …, et de leurs 
interactions, une étape consiste à élaborer le modèle numérique du domaine, D , correspondant 
au composant ou sous-système étudié. Ce modèle s’appuie sur les objectifs de la simulation de 
comportement et prend en compte les simplifications effectuées par rapport à la forme réelle du 
composant ou sous-système étudié. Ainsi obtenu, D comporte fréquemment des sous-domaines 
iD , { }ni ,,1 K∈  correspondant à des courbes ou bien des surfaces éventuellement ouvertes1. D  
ainsi composé de différentes variétés est qualifié de modèle non-variété. Lorsque des sous-
domaines iD  sont connectés entre eux, le voisinage de la connexion n’est souvent plus 
homéomorphe à un disque, si un iD  au moins est 2-variété ou bien à un segment, si plus de 
deux iD  de type 1-variété sont connectés. De telles configurations sont caractéristiques de 
singularités non-variétés et D  est qualifié de modèle non-variété. Le maillage généré à partir de 
D  pour constituer le support de la simulation numérique possède des caractéristiques similaires 
et le même qualificatif. 
La génération de modèles non-variété est actuellement une tâche longue et fastidieuse, 
reposant sur des opérations répétées de découpage et de connexion entre sous-domaines iD  afin 
de les assembler progressivement pour produire D . Comparativement, la construction de 
volumes à l’aide de modeleurs CAO est efficace car appuyée à des opérateurs agissant 
                                                          
1 Ces sous-domaines iD sont dénommés : variétés. Le voisinage de tout point de iD  est ‘équivalent’ à un disque. Lorsque 
iD  possède au moins un point dont le voisinage est ‘équivalent’ à un demi-disque, iD  est dénommé variété à bord. 
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2 
globalement sur la forme d’un objet et capables de caractériser les transformations topologiques 
correspondantes. 
De même, l’accroissement du nombre de simulations nécessite de plus en plus la mise en 
place d’opérateurs capables de comparer des modèles de simulation, de rechercher des modèles 
similaires à un modèle de référence. Pour ce faire, la comparaison de formes de modèles 
comportant des singularités non-variétés constitue une des premières étapes de cette démarche. 
 
FIG. 1 –  Exemples de domaines de simulation représentant des structures ou des domaines fluides. 
 
L’objectif du travail présenté est d’indiquer les propriétés actuellement identifiées 
constituant une base pour la classification de modèles géométriques comportant des singularités 
non-variétés. La classification de modèles non-variétés est considérée comme une première 
étape à la mise en place de fonctions de modélisation agissant globalement sur un objet et une 
phase initiale pour permettre la comparaison de modèles de simulation. La classification des 
objets s’appuie sur des paramètres géométriques et topologiques. Ces derniers agissent en 
premier lieu pour définir des catégories d’objets et constituent le premier thème d’étude abordé 
dans le travail actuel. 
 
2 Topologie et caractéristiques de forme de domaines D  
 
Les modèles géométriques support de l’approche développée sont des complexes 
simpliciaux : des objets correspondant à certaines classes de maillages de domaines D , et des 
complexes cellulaires : des objets pouvant décrire des modèles CAO. Chacune de ces catégories 
d’objets peut comporter des singularités non-variétés. Les propriétés topologiques globales des 
complexes simpliciaux et des complexes cellulaires sont caractérisées par le théorème d’Euler-
Poincaré appliqué à un domaine D  comportant des points, des segments, des facettes [1] : 
210 βββ +−=+− fev    (1) 
où v , e , f  désignent respectivement les nombres de sommets, d’arêtes et de faces de D  
et 0β , 1β , 2β  désignent les nombres de Betti et forment les nombres de 0-cycles, 1-cycles et 2-
cycles de D , respectivement. L’interprétation de 0β  correspond au nombre de composantes 
connexes constituant D . 1β  et 2β  ne disposent pas d’interprétations simples en relation avec la 
forme de D , en général. Dans le cas particulier où D  est décrit par un ensemble de 2-variétés 
connexes, correspondant à la représentation de volumes par leur frontière selon l’approche B-
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Rep utilisée par les modeleurs géométriques en CAO : 20 ββ = , et 1β  est égal au double du 
nombre de trous débouchant que contient D  ; l’Eq. (1) devient alors : 
( )hsfev −=+− 2    (2) 
avec s  et h  sont respectivement le nombre de composantes connexes et de trous 
débouchant. Ainsi, l’eq. (2) participe à la fois à la classification des domaines D  et à des 
opérateurs de modélisation agissant globalement sur la forme de D . 
A la différence de domaines D  comportant un ensemble de 2-variétés, le cas général où D  
contient des singularités non-variétés ne possède pas actuellement de propriété équivalente à 
l’eq. (2). La Figure 2 illustre cette situation à travers trois domaines 1D , 2D , 3D  dont 1D  est 2-
variété et 2D , 3D  possèdent des singularités non-variété mais où 1D , 2D , 3D  disposent d’une 
caractéristique de forme commune interprétable comme un trou définis par certains 1-cycles du 
terme 1β  associé à 2D et 3D . 
 
FIG. 2 –  a) domaine 1D  2-variété comportant un trou, b), c) domaines 2D et 3D  avec singularités non-variétés mais 
comportant un trou similaire à 1D . 
 L’établissement d’une propriété semblable à l’eq. (2) pour D  quelconque s’appuie sur 
une classification des singularités non-variétés représentant un des premiers enjeux actuellement 
abordé du point de la classification des 1-cycles. 
 
3 Concepts mis en œuvre pour la classification des 1-cycles de domaines comportant 
des singularités non-variétés 
 
La démarche mise en place repose sur l’extraction de propriétés topologiques fondées sur 
l’existence de relations d’adjacence entre des faces, des arêtes et des sommets décrivant D . A 
ce titre, la configuration de la Figure 3a représente un domaine D . Ce domaine peut être perçu 
comme : 
- possédant une singularité non-variété où l’arête ab  est connectée à 4 faces (Fig. 3a), 
- deux composantes connexes dans le cas où existe deux arêtes 11ba  et 22ba  similaires à 
ab  en lieu et place de ab . Dans ce cas, l’absence de relation d’adjacence équivaut à 
percevoir les deux composantes comme séparées l’une de l’autre (Fig. 3b), 
- un ruban possédant une auto-intersection telle que ),(),(/),(),( jjiijjii vuPvuPvuvu
rr
=≠∃ . 
Les couples de points ainsi définis correspondent à ab  (voir Fig. 3c) mais ce lieu 
géométrique ne constitue pas une arête contribuant aux propriétés topologiques de D . 
 
 
FIG. 3 –  a) domaine avec singularité non-variété, b) domaine défini comme deux composantes connexes en contact 
( 0=ε ), c) domaine comportant une auto-intersection. 
Visuellement, et donc du point de vue de la forme perçue, ces trois configurations sont 
identiques. Géométriquement, elles sont toutes équivalentes puisqu’en ab  le voisinage d’un 
b) c) a) 
ε  
a
b  
2n
r
3n
r  4
n
r 1
n
r
2n
r  
3n
r  
4n
r  
b) c) a) 
1n
r
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4 
point est homéomorphe à deux disques collés l’un à l’autre, donc ayant deux points en commun. 
Du point de vue topologie, la Fig. 3a est plus riche en information que 3c car elle explicite des 
relations d’adjacence. La Fig. 3a exprime aussi topologiquement la configuration de contact de 
la Fig. 3b. Les Fig. 3b et c se distinguent également l’une de l’autre par des configurations de 
normales différentes au voisinage de ab . 
En toute brièveté, la configuration de la Fig. 3a est considérée comme configuration de 
référence pour la classification des configurations non-variétés et pour l’étude de propriétés 
topologiques des domaines D . Cette configuration, dotée de l’arité des disques connectés en 
une singularité non-variété et du concept de fonction de transition, Θ , définie par la disposition 
des normales au voisinage de la singularité non-variété, permet de décrire indifféremment les 
Fig. 3b ou 3c selon les paramètres choisis. Dans le cas de la Fig. 3c, faisant référence au concept 
d’auto-intersection, on introduit la distinction entre l’auto-intersection implicite représentée par 
la Fig. 3c où l’arête ab  n’existe pas dans la description topologique de D  et l’auto-intersection 
explicite, où ab  existe, construite sur la base de la Fig. 3a et dotée de la fonction abΘ  
correspondante et d’une arité de 2. Par conséquent, les éléments de classification présentés à la 
section suivante sont uniformément basés sur des domaines D  comportant des singularités non-
variété et exclusivement des auto-intersections explicites et munis de fonctions iΘ  en chaque 
singularité. 
Les concepts précédents adressent en particulier les 1-cycles. Afin de contribuer à la 
classification, le concept de ruban et la notion de vrillage d’un ruban sont introduits et agissent 
comme propriété topologique globale en compléments des i-cycles. Un ruban est tout à fait 
l’analogue d’une bande de papier refermée sur elle-même et formant un anneau. Le vrillage, ou 
nombre de demi-tours appliqués lors de la fermeture de la bande, est effectivement une 
propriété topologique globale complémentaire dont la bande de Moëbius est un exemple avec 
un vrillage de 1 (voir Fig. 4a). Généraliser ce vrillage engendre des configurations 
topologiquement différentes qui peuvent être caractérisées à l’aide de la théorie des nœuds [5]. 
En effet, les deux courbes de bord d’un ruban forment une classe de nœuds appelée : nœuds de 
tore, de type rqK ,  où Zq∈  désigne le vrillage et 2=r  représente les 2 frontières du ruban en 
contact avec la surface d’un tore (voir Fig. 4b). Les rubans ainsi générés ont tous des 
comportements différents, mis en évidence par la subdivision du ruban selon un 1-cycle, i.e. en 
le découpant longitudinalement selon un chemin fermé. Ainsi, la subdivision de 2,0K  produit 
deux rubans totalement indépendants ; 2,1K , le ruban de Moëbius, ne divise pas l’espace 
lorsqu’il est subdivisé ; 2,2K , produit un lien ( )2,22,2 , KKL  formé de deux nœuds simples 
représentés par des rubans avec un vrillage de 2, lors de sa subdivision (voir Fig. 4c). 
 
FIG. 4 –  a) Ruban de Moëbius, b) Nœud de tore 2,1K  s’appuyant sur la frontière d’un ruban de Moëbius, c) 
Conséquence de la subdivision d’un nœud 2,2K  produisant un lien ( )2,22,2 , KKL . 
 
4 Eléments de classification de domaines comportant des singularités non-variétés 
 
 Les travaux en cours et la taille de ce document amènent à ne considérer qu’une partie de 
la classification des domaines D  comportant des singularités non-variétés [3, 4]. Les éléments 
(c) (a) (b) 
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de classification décrits ont pour objectif d’illustrer les propriétés topologiques identifiées et 
leur contribution à cette classification. A titre d’illustration et de fil conducteur, certaines des 
surfaces classiquement utilisées en topologie combinatoire servent de base à l’exposé ci-
dessous. Les éléments de classification proposés adressent uniquement les 1-cycles. Les 
illustrations proposées sont basées sur des domaines D , 2-variétés, où des singularités non-
variété peuvent être obtenues par déformation de D . La localisation et la caractérisation de 
singularités s’appuie sur une décomposition de D  en ‘Composants Variété-Connectés’ (CVC). 
Dans le cas de complexes simpliciaux, cette décomposition est unique [2]. 
Considérons comme premier élément, la sphère soumise à des déformations produisant des 
configurations dites de ‘pincement’. Dans la classification, elle est caractérisée comme 2-variété 
sans 1-cycle et donc sans ruban. Son pincement en un point 1I  (voir Fig. 5a), avec une arité de 
2, produit un 1-cycle mais pas de ruban car la singularité non-variété réduite à un sommet ne 
permet pas de définir de vrillage (voir Fig. 5b). La singularité est caractérisée par le voisinage 
de 1I  homéomorphe à deux cônes. L’augmentation de l’arité en ce sommet permet de 
généraliser le concept de ‘pincement’ (voir Fig. 5c et d), correspondant à accroissement 
équivalent du nombre de 1-cycles. Ce ‘pincement’ peut être perçu comme une transition entre la 
sphère et le tore (Fig. 5e) avec un accroissement du nombre de 1-cycles. Topologiquement, le 
‘pincement’ peut être étendu à des singularités caractérisées par des 1-complexes sans 1-cycle 
(voir Fig. 5f). Considérant l’influence de Θ , l’exemple de ‘pincement’ le long d’une ligne avec 
un ruban 0=q  correspond à domaine D  non-variété (voir Fig. 5g) ; 1=q produit un objet non-
orientable de type ‘bonnet croisé’ (voir Fig. 5h). 
 
 
FIG. 5 – Caractérisation de configurations de ‘pincement’ obtenues par transformations d’une sphère ou d’un tore. 
 
L’accroissement du nombre de rubans permet de décrire de nouvelles catégories de 
domaines D  (voir Fig. 6) ici constitués de deux CVC (Fig. 6a) où 2 rubans interviennent, l’un 
des deux étant sans vrillage 0=q . La singularité non-variété localisée entre 1D  et 2D  permet de 
définir une fonction de transition Θ  engendrant soit un ruban avec 0=q  (dans ce cas D  peut 
être perçu comme un tore dont une protubérance est plaquée sur le trou du tore (voir Fig. 6b et 
c), soit un ruban avec 1=q  où l’interprétation de D  est une 2-variété immergée dans 3IR  
correspondant à une bouteille de Klein (voir Fig. 6a). Cet exemple montre comment un domaine 
D  comportant des singularités non-variétés peut être perçu de différentes manières, une forme 
d’illusions optiques comme elles sont connues pour les images (voir Fig. 6d) mais appliquées en 
3D. La configuration avec un ruban 0=q  montre ici qu’une 2-variété immergée dans 3IR , 
(b) 
(c) 
1I  
1I  
nr  
(a) 
1I  
(d) 
1I
Configuration 
non-variété 
pincée (L) 
(e) 
10β  
11β  
nr  
1n
r
1n
r  
2n
r  
3n
r  
(f) (g) (h) 
2n
r
19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 
6 
considérée comme ‘non fabricable’ peut être perçue comme un domaine D  avec singularité 
non-variété plongé dans 3IR  et constituant une représentation idéalisée d’un objet réel (voir Fig. 
6e). 
 
 
FIG. 6 – a) Domaine D  constitué de deux CVC et perçu comme une bouteille de Klein, b), c) deux représentations de 
D  illustrant son obtention à partir d’un tore, d) illusion optique 2D représentant une vieille femme et une 
jeune femme, e) objet dont l’idéalisation est un domaine D  non-variété pouvant être interprété comme 
une ‘triple bouteille de Klein’ courtoisie A. Bennett, Science Museum, Londres. 
 
Poursuivre l’accroissement du vrillage avec  
2=q  pour le second ruban conduit à un domaine 
D  correspondant à la Figure 7 où l’évolution du 
vrillage du ruban est indiqué en plusieurs places 
sur la surface de D .  
 
5 Conclusions 
 
Dans un contexte bref, différentes propriétés 
topologiques globales appliquées à la classification 
de domaines comportant des singularités non-
variétés ont été esquissées et illustrées à travers des 
éléments d’une classification. Ce travail constitue 
un travail préliminaire à la mise en place d’opérateurs de modélisation de domaines de 
simulation agissant globalement sur la forme d’un objet. La classification menée constitue une 
base pour un modeleur capable de distinguer les objets acceptables pour une application de ceux 
qui ne le sont pas, par analogie à des modeleurs volumiques.  La classification est également 
une base pour la recherche et la définition de similitudes entre domaines D . 
 
Références 
 
[1] M. Agoston – “Computer graphics and geometric modelling: Mathematics”, Springer, 2005. 
[2] A. Hui, L. De Floriani – “A two-level topological decomposition for non-manifold 
simplicial shapes”, Solid and physical modeling conference 2007, Beijing, June 2007. 
[3] J-C Léon, L. de Floriani – “Contribution to a taxonomy of non-manifold models based on 
topological properties”, Proc. ASME DETC Conf, New York, Août 2008. 
[4] J-C Léon, L. de Floriani, F. Hétroy – “Classification of non-manifold singularities from 
transformations of 2-manifolds”, Proc. SMI Conf., Beijing, June 2009. 
[5] K. Murasugi –  “Knot theory & its applications”, Birkhäuser, 1996. 
a) D1 
D2 
b) c) d) e) 
n
r , 0=q  
n
r  
n
r  
n
r , 1=q  
n
r , 2=q  
FIG. 7 – Domaine D  avec un ruban 
vrillé 2=q . 


Propriétés topologiques pour la modélisation géométrique de domaines

            d'études comportant des singularités non-variétés

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